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Aufgabenbeispiele von Modellieren

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Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Aus einer rechteckigen Fläche, die a= $- 6$ cm breit und b=cm hoch ist soll oben ein Rechteck entfernt werden, so dass links oben und rechts oben noch zwei gleiche Quadrate stehen bleiben (siehe Skizze). Welche Seitenlänge müssen diese Quadrate haben, damit der Flächeninhalt der übrig gebliebenen Fläche (in der Skizze hellblau) minimal wird?

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9$

= $x^{2} + 6 x + 9 + 1 \cdot (- 9)$

= ${(x + 3)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-9).

2. Weg

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3)$ = $9 - 18$ = -9

also: S(-3|-9).

Für x=-3 bekommen wir also mit -9 einen extremalen Wert von $x^{2} + 6 x$