Aufgabenbeispiele von Modellieren

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Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Die Summe zweier Zahlen ist -8 . Wie groß muss man die erste Zahl wählen, damit das Produkt der beiden Zahlen größtmöglich wird? Wie groß ist dann dieses Produkt.

Lösung einblenden

1. Weg

y= x 2 -8x

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -8x +16 -16

= x 2 -8x +16 + 1 · ( -16 )

= ( x -4 ) 2 -16

= ( x -4 ) 2 -16

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(4|-16).


2. Weg

Von x 2 -8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -8x = 0
x ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(4|y).

y = 4 2 -84 = 16 -32 = -16

also: S(4|-16).


Für x=4 bekommen wir also mit -16 einen extremalen Wert von x 2 -8x