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Aufgabenbeispiele von Modellieren

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Extremwertaufgaben (Anwend.)

Beispiel:

Ein Rechteck hat den Umfang $4$ cm. Wie breit muss es sein, damit der Flächeninhalt des Quadrats am größten wird.

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1$

= $x^{2} + 2 x + 1 + 1 \cdot (- 1)$

= ${(x + 1)}^{2} - 1$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-1).

2. Weg

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1)$ = $1 - 2$ = -1

also: S(-1|-1).

Für x=-1 bekommen wir also mit -1 einen extremalen Wert von $x^{2} + 2 x$