Aufgabenbeispiele von Nullstellen, Schnittpunkte

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
y= x 2 -8x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -8x = 0
x ( x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -8 = 0 | +8
x2 = 8

L={0; 8 }

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
y= x 2 -4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 -4x = 0
x ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x2 = 4

L={0; 4 }

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen 0+4 2 = 2 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(2|y) mit y = 2 2 -42 = 4 -8 = -4.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=0 und x2=4 , Scheitel: S(2|-4).

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= -2 x 2 -18x -16 .

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Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

-2 x 2 -18x -16 = 0 |:2

- x 2 -9x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +9 ± ( -9 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -8 ) 2( -1 )

x1,2 = +9 ± 81 -32 -2

x1,2 = +9 ± 49 -2

x1 = 9 + 49 -2 = 9 +7 -2 = 16 -2 = -8

x2 = 9 - 49 -2 = 9 -7 -2 = 2 -2 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -9x -8 = 0 |: -1

x 2 +9x +8 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 9 2 ) 2 - 8 = 81 4 - 8 = 81 4 - 32 4 = 49 4

x1,2 = - 9 2 ± 49 4

x1 = - 9 2 - 7 2 = - 16 2 = -8

x2 = - 9 2 + 7 2 = - 2 2 = -1

L={ -8 ; -1 }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N1( -8 |0) und N2( -1 |0).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= 2 ( x -2 ) 2
und
g(x)= 50 .

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Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 ( x -2 ) 2 = 50 |:2
( x -2 ) 2 = 25 | 2

1. Fall

x -2 = - 25 = -5
x -2 = -5 | +2
x1 = -3

2. Fall

x -2 = 25 = 5
x -2 = 5 | +2
x2 = 7

L={ -3 ; 7 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -3 ) = 50

g( 7 ) = 50

Die Schnittpunkte sind also S1( -3 | 50 ) und S2( 7 | 50 ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= 4 x 2 -7x -5
und
g(x)= 3 x 2 -4x +5 .

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Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

4 x 2 -7x -5 = 3 x 2 -4x +5 | -3 x 2 +4x -5

x 2 -3x -10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +3 ± ( -3 ) 2 -4 · 1 · ( -10 ) 21

x1,2 = +3 ± 9 +40 2

x1,2 = +3 ± 49 2

x1 = 3 + 49 2 = 3 +7 2 = 10 2 = 5

x2 = 3 - 49 2 = 3 -7 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 3 2 ) 2 - ( -10 ) = 9 4 + 10 = 9 4 + 40 4 = 49 4

x1,2 = 3 2 ± 49 4

x1 = 3 2 - 7 2 = - 4 2 = -2

x2 = 3 2 + 7 2 = 10 2 = 5

L={ -2 ; 5 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -2 ) = 3 ( -2 ) 2 -4( -2 ) +5 = 34 +8 +5 = 12 +8 +5 = 25

g( 5 ) = 3 5 2 -45 +5 = 325 -20 +5 = 75 -20 +5 = 60

Die Schnittpunkte sind also S1( -2 | 25 ) und S2( 5 | 60 ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 + 21 4 x -10 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

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Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = -2 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 4 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 3 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= - 3 4 .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= - 3 4 x -2 oder f(x)= - 3 4 x -2 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

- 3 4 x -2 = - x 2 + 21 4 x -10 |⋅ 4
4( - 3 4 x -2 ) = 4( - x 2 + 21 4 x -10 )
-3x -8 = -4 x 2 +21x -40 | +4 x 2 -21x +40
4 x 2 -24x +32 = 0 |:4

x 2 -6x +8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 8 21

x1,2 = +6 ± 36 -32 2

x1,2 = +6 ± 4 2

x1 = 6 + 4 2 = 6 +2 2 = 8 2 = 4

x2 = 6 - 4 2 = 6 -2 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - 8 = 9 - 8 = 1

x1,2 = 3 ± 1

x1 = 3 - 1 = 2

x2 = 3 + 1 = 4

L={ 2 ; 4 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 2 ) = - 2 2 + 21 4 2 -10 = -4 + 21 2 -10 = - 7 2

g( 4 ) = - 4 2 + 21 4 4 -10 = -16 +21 -10 = -5

Die Schnittpunkte sind also S1( 2 | - 7 2 ) und S2( 4 | -5 ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= x 2 -5x +4 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 -5x +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = +5 ± 25 -16 2

x1,2 = +5 ± 9 2

x1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

x2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 4 = 25 4 - 4 = 25 4 - 16 4 = 9 4

x1,2 = 5 2 ± 9 4

x1 = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1

x2 = 5 2 + 3 2 = 8 2 = 4

Der Funktionterm ( x -1 ) ( x -4 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x 2 -5x +4 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist y= ( x -1 ) ( x -4 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(1|0) und N2(4|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x -1 ) · ( x -4 ) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = -1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= - ( x -1 ) ( x -4 ) .