Aufgabenbeispiele von Nullstellen, Schnittpunkte

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Nullstellen mit Nullprodukt

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen der quadratischen Funktion f mit
y= x 2 +7x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

x 2 +7x = 0
x ( x +7 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +7 = 0 | -7
x2 = -7

L={ -7 ; 0}

Nullstellen und Scheitel (Nullprodukt)

Beispiel:

Bestimme die Nullstellen und dann den Scheitel der quadratischen Funktion f mit
y= 2 x 2 +4x

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Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir einfach y = 0.

Hier kann man x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden

2 x 2 +4x = 0
2 x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

L={ -2 ; 0}

Wegen der Symmetrie von Parabeln wissen wir, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen muss. Wir berechen also den Mittelwert der beiden Nullstellen -2+0 2 = -1 und erhalten so den x-Wert des Scheitels.

Der Scheitel hat also die Koordinaten S(-1|y) mit y = 2 ( -1 ) 2 +4( -1 ) = 2 -4 = -2.

Als Ergebnisse erhalten wir also: Nullstellen: x1=-2 und x2=0 , Scheitel: S(-1|-2).

Nullstellen mit Mitternachtsformel

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit f(x)= x 2 +10x +25 .

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Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

x 2 +10x +25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · 1 · 25 21

x1,2 = -10 ± 100 -100 2

x1,2 = -10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -10 2 = -5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 5 2 - 25 = 25 - 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = -5 ± 0 = -5

L={ -5 }

-5 ist 2-fache Lösung!

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Der einzige Schnittpunkt mit der x-Achse ist also N( -5 |0).

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= 2 ( x +2 ) 2 +12
und
g(x)= 14 .

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Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

2 ( x +2 ) 2 +12 = 14 | -12
2 ( x +2 ) 2 = 2 |:2
( x +2 ) 2 = 1 | 2

1. Fall

x +2 = - 1 = -1
x +2 = -1 | -2
x1 = -3

2. Fall

x +2 = 1 = 1
x +2 = 1 | -2
x2 = -1

L={ -3 ; -1 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( -3 ) = 14

g( -1 ) = 14

Die Schnittpunkte sind also S1( -3 | 14 ) und S2( -1 | 14 ).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
f(x)= -3 x 2 -3x +4
und
g(x)= -4 x 2 +3x -5 .

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Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

-3 x 2 -3x +4 = -4 x 2 +3x -5 | +4 x 2 -3x +5

x 2 -6x +9 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 9 21

x1,2 = +6 ± 36 -36 2

x1,2 = +6 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 6 2 = 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - 9 = 9 - 9 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 3 ± 0 = 3

L={ 3 }

3 ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 3 ) = -4 3 2 +33 -5 = -49 +9 -5 = -36 +9 -5 = -32

Der einzige Schnittpunkt ist also S( 3 | -32 ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit g(x)= - x 2 +6x -2 .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

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Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = 2 kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 1 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m=1.

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= x +2 oder f(x)= x +2 .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

x +2 = - x 2 +6x -2 | + x 2 -6x +2

x 2 -5x +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 4 21

x1,2 = +5 ± 25 -16 2

x1,2 = +5 ± 9 2

x1 = 5 + 9 2 = 5 +3 2 = 8 2 = 4

x2 = 5 - 9 2 = 5 -3 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 4 = 25 4 - 4 = 25 4 - 16 4 = 9 4

x1,2 = 5 2 ± 9 4

x1 = 5 2 - 3 2 = 2 2 = 1

x2 = 5 2 + 3 2 = 8 2 = 4

L={ 1 ; 4 }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( 1 ) = - 1 2 +61 -2 = -1 +6 -2 = 3

g( 4 ) = - 4 2 +64 -2 = -16 +24 -2 = 6

Die Schnittpunkte sind also S1( 1 | 3 ) und S2( 4 | 6 ).

Linearfaktordarst. aus Term (a=1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit y= x 2 + x -2 .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

x 2 + x -2 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -1 ± 1 2 -4 · 1 · ( -2 ) 21

x1,2 = -1 ± 1 +8 2

x1,2 = -1 ± 9 2

x1 = -1 + 9 2 = -1 +3 2 = 2 2 = 1

x2 = -1 - 9 2 = -1 -3 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 2 ) 2 - ( -2 ) = 1 4 + 2 = 1 4 + 8 4 = 9 4

x1,2 = - 1 2 ± 9 4

x1 = - 1 2 - 3 2 = - 4 2 = -2

x2 = - 1 2 + 3 2 = 2 2 = 1

Der Funktionterm ( x +2 ) ( x -1 ) hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie y= x 2 + x -2 und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist y= ( x +2 ) ( x -1 ) bereits der gesuchte Term.

Linearfaktordarst. am Graph (a=1)

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(
Gezeichnet ist eine Normalparabel. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

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Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N1(-4|0) und N2(-1|0).

Also muss der Funktionsterm y= a · ( x +4 ) · ( x +1 ) sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach oben geöffnet, also muss a = 1 sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit y= ( x +4 ) ( x +1 ) .