Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 6}$ = $- 4$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 6}$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 6}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 6$	=	$2^{2}$

$- 2 x + 6$	=	$4$	\| $- 6$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 6}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot 1 + 6}$

= $- 2 \sqrt{- 2 + 6}$

= $- 2 \sqrt{4}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 7 x - 12}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 7 x - 12}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 7 x - 12$	=	${(x)}^{2}$

- 7 x - 12

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7+1}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{7-1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 4) - 12}$

= $\sqrt{28 - 12}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $x$

$=$ $- 4$

Also 4 ≠ -4

x = $- 4$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 7 x - 12}$

$=$ $\sqrt{- 7 \cdot (- 3) - 12}$

= $\sqrt{21 - 12}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{27 x - 45} - 3$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{27 x - 45} - 3$	=	$- 3 x$	\| $+ 3$
$\sqrt{27 x - 45}$	=	$- 3 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$27 x - 45$	=	${(- 3 x + 3)}^{2}$

27 x - 45

=

9 x^{2} - 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

+ 18 x

- 9

- 9 x^{2} + 45 x - 54

= 0 |:9

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5+1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 5-1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{27 x - 45} - 3$

$=$ $\sqrt{27 \cdot 2 - 45} - 3$

= $\sqrt{54 - 45} - 3$

= $\sqrt{9} - 3$

= $3 - 3$

= 0

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 2$

= $- 6$

Also 0 ≠ -6

x = $2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{27 x - 45} - 3$

$=$ $\sqrt{27 \cdot 3 - 45} - 3$

= $\sqrt{81 - 45} - 3$

= $\sqrt{36} - 3$

= $6 - 3$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 3 x$

$=$ $- 3 \cdot 3$

= $- 9$

Also 3 ≠ -9

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={}

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{16 x + 112}$ = $2 \sqrt{3 x + 25}$

Lösung einblenden

$\sqrt{16 x + 112}$	=	$2 \sqrt{3 x + 25}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$16 x + 112$	=	${(2 \sqrt{3 x + 25})}^{2}$

$16 x + 112$	=	$4 (3 x + 25)$
$16 x + 112$	=	$12 x + 100$	\| $- 112$
$16 x$	=	$12 x - 12$	\| $- 12 x$
$4 x$	=	$- 12$	\|: $4$
$x$	=	$- 3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{16 x + 112}$

$=$ $\sqrt{16 \cdot (- 3) + 112}$

= $\sqrt{- 48 + 112}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $2 \sqrt{3 x + 25}$

$=$ $2 \sqrt{3 \cdot (- 3) + 25}$

= $2 \sqrt{- 9 + 25}$

= $2 \sqrt{16}$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{7 x + 9}$ = $\sqrt{5 x + 4} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{7 x + 9}$	=	$\sqrt{5 x + 4} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$7 x + 9$	=	${(\sqrt{5 x + 4} + 1)}^{2}$

$7 x + 9$	=	$2 \sqrt{5 x + 4} + 5 x + 5$	\| $- 7 x$ $- 9$ $- 2 \sqrt{5 x + 4}$
$- 2 \sqrt{5 x + 4}$	=	$- 2 x - 4$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{5 x + 4}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 4$	=	${(x + 2)}^{2}$

$5 x + 4$	=	$x^{2} + 4 x + 4$	\| $- 4$
$5 x$	=	$x^{2} + 4 x$	\| $- (x^{2} + 4 x)$
$- x^{2} + 5 x - 4 x$	=	0
$- x^{2} + x$	=	0
$x (- x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 1$	=	0	\| $- 1$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $\sqrt{7 x + 9}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 0 + 9}$

= $\sqrt{0 + 9}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{5 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 0 + 4} + 1$

= $\sqrt{0 + 4} + 1$

= $\sqrt{4} + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Also 3 = 3

x = 0 ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{7 x + 9}$

$=$ $\sqrt{7 \cdot 1 + 9}$

= $\sqrt{7 + 9}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{5 x + 4} + 1$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 1 + 4} + 1$

= $\sqrt{5 + 4} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 4 = 4

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={0; $1$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -3

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 1

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$