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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{(- x)}$ = $- 1$

$- \sqrt{(- x)}$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{(- x)}$	=	$1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- x$	=	$1^{2}$

$- x$	=	$1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $- \sqrt{(- x)}$

$=$ $- \sqrt{(- (- 1))}$

= $- \sqrt{1}$

= $- 1$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $- 1$

$=$ $- 1$

Also -1 = -1

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 15}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x + 15}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 15$	=	${(- x)}^{2}$

- 2 x + 15

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 15}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2+8}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{2-8}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 15$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $\sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 5) + 15}$

= $\sqrt{10 + 15}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $- x$

$=$ $- (- 5)$

= $5$

Also 5 = 5

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 3 + 15}$

= $\sqrt{- 6 + 15}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $3$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 40}$ = $- 2 x - 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 40}$	=	$- 2 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 40$	=	${(- 2 x - 4)}^{2}$

12 x + 40

=

4 x^{2} + 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

- 16 x

- 16

- 4 x^{2} - 4 x + 24

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 6}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1+5}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{1-5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{12 x + 40}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 3) + 40}$

= $\sqrt{- 36 + 40}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $- 2 x - 4$

$=$ $- 2 \cdot (- 3) - 4$

= $6 - 4$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{12 x + 40}$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 2 + 40}$

= $\sqrt{24 + 40}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $2$ in $- 2 x - 4$

$=$ $- 2 \cdot 2 - 4$

= $- 4 - 4$

= $- 8$

Also 8 ≠ -8

x = $2$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 3$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{15 x + 249}$ = $2 \sqrt{4 x + 64}$

Lösung einblenden

$\sqrt{15 x + 249}$	=	$2 \sqrt{4 x + 64}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$15 x + 249$	=	${(2 \sqrt{4 x + 64})}^{2}$

$15 x + 249$	=	$4 (4 x + 64)$
$15 x + 249$	=	$16 x + 256$	\| $- 249$
$15 x$	=	$16 x + 7$	\| $- 16 x$
$- x$	=	$7$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{15 x + 249}$

$=$ $\sqrt{15 \cdot (- 7) + 249}$

= $\sqrt{- 105 + 249}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $2 \sqrt{4 x + 64}$

$=$ $2 \sqrt{4 \cdot (- 7) + 64}$

= $2 \sqrt{- 28 + 64}$

= $2 \sqrt{36}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{8 x - 20}$ = $\sqrt{4 x - 12} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{8 x - 20}$	=	$\sqrt{4 x - 12} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8 x - 20$	=	${(\sqrt{4 x - 12} + 2)}^{2}$

$8 x - 20$	=	$4 \sqrt{4 x - 12} + 4 x - 8$	\| $- 8 x$ $+ 20$ $- 4 \sqrt{4 x - 12}$
$- 4 \sqrt{4 x - 12}$	=	$- 4 x + 12$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{4 x - 12}$	=	$x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4 x - 12$	=	${(x - 3)}^{2}$

4 x - 12

=

x^{2} - 6 x + 9

|

- x^{2}

+ 6 x

- 9

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10+4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 10-4}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 10 x - 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 3 - 20}$

= $\sqrt{24 - 20}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $3$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 3 - 12} + 2$

= $\sqrt{12 - 12} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{8 x - 20}$

$=$ $\sqrt{8 \cdot 7 - 20}$

= $\sqrt{56 - 20}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{4 x - 12} + 2$

$=$ $\sqrt{4 \cdot 7 - 12} + 2$

= $\sqrt{28 - 12} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -5

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 7

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 7$

Probe für x = $3$

Probe für x = $7$