$\sqrt{-3x+18}$ = $-3$

Diese Gleichung kann keine Lösung haben, da eine Wurzel nie einen negativen Wert annehmen kann!

L={}

$\sqrt{-32x-60}$	=	$2x$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-32x-60$	=	${\left(2x\right)}^2$

$-32x-60$

=

$4x^2$

| $-4x^2$

$-4x^2-32x-60$ = 0 |:4

$-x^2-8x-15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{{\left(-8\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-15\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{64-60}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+8\pm \sqrt{4}}{-2}$

x₁ = $\frac{8+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

x₂ = $\frac{8-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>8</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{-32x-60}$ $=$ $\sqrt{-32\cdot \left(-5\right)-60}$ = $\sqrt{160-60}$ = $\sqrt{100}$ = $10$

Rechte Seite: x = $-5$ in $2x$ $=$ $2\cdot \left(-5\right)$ = $-10$

Also 10 ≠ -10

x = $-5$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{-32x-60}$ $=$ $\sqrt{-32\cdot \left(-3\right)-60}$ = $\sqrt{96-60}$ = $\sqrt{36}$ = $6$

Rechte Seite: x = $-3$ in $2x$ $=$ $2\cdot \left(-3\right)$ = $-6$

Also 6 ≠ -6

x = $-3$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{-32x-15}-2x$	=	$-3$	| $+2x$
$\sqrt{-32x-15}$	=	$2x-3$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-32x-15$	=	${\left(2x-3\right)}^2$

$-32x-15$

=

$4x^2-12x+9$

| $-4x^2$ $+12x$ $-9$

$-4x^2-20x-24$ = 0 |:4

$-x^2-5x-6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{{\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-6\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{25-24}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+5\pm \sqrt{1}}{-2}$

x₁ = $\frac{5+\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{6}{-2}$ = $-3$

x₂ = $\frac{5-\sqrt{1}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>5</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>1</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{-32x-15}-2x$ $=$ $\sqrt{-32\cdot \left(-3\right)-15}-2\cdot \left(-3\right)$ = $\sqrt{96-15}+6$ = $\sqrt{81}+6$ = $9+6$ = $15$

Rechte Seite: x = $-3$ in $-3$ $=$ $-3$

Also 15 ≠ -3

x = $-3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{-32x-15}-2x$ $=$ $\sqrt{-32\cdot \left(-2\right)-15}-2\cdot \left(-2\right)$ = $\sqrt{64-15}+4$ = $\sqrt{49}+4$ = $7+4$ = $11$

Rechte Seite: x = $-2$ in $-3$ $=$ $-3$

Also 11 ≠ -3

x = $-2$ ist somit keine Lösung !

L={}

$\sqrt{14x-26}$	=	$2\sqrt{4x-8}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$14x-26$	=	${\left(2\sqrt{4x-8}\right)}^2$

$14x-26$	=	$4\left(4x-8\right)$
$14x-26$	=	$16x-32$	| $+26$
$14x$	=	$16x-6$	| $-16x$
$-2x$	=	$-6$	|:($-2$)
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite: x = $3$ in $\sqrt{14x-26}$ $=$ $\sqrt{14\cdot 3-26}$ = $\sqrt{42-26}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $3$ in $2\sqrt{4x-8}$ $=$ $2\sqrt{4\cdot 3-8}$ = $2\sqrt{12-8}$ = $2\sqrt{4}$ = $4$

Also 4 = 4

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$}

$\sqrt{8x+9}$	=	$\sqrt{4x+5}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$8x+9$	=	${\left(\sqrt{4x+5}+2\right)}^2$

$8x+9$	=	$4\sqrt{4x+5}+4x+9$	| $-8x$ $-9$ $-4\sqrt{4x+5}$
$-4\sqrt{4x+5}$	=	$-4x$	|:($-4$)
$\sqrt{4x+5}$	=	$x$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$4x+5$	=	${\left(x\right)}^2$

$4x+5$

=

$x^2$

| $-x^2$

$-x^2+4x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·\left(-1\right)·5}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16+20}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{36}}{-2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{-2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{36}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-1$

Linke Seite: x = $-1$ in $\sqrt{8x+9}$ $=$ $\sqrt{8\cdot \left(-1\right)+9}$ = $\sqrt{-8+9}$ = $\sqrt{1}$ = $1$

Rechte Seite: x = $-1$ in $\sqrt{4x+5}+2$ $=$ $\sqrt{4\cdot \left(-1\right)+5}+2$ = $\sqrt{-4+5}+2$ = $\sqrt{1}+2$ = $1+2$ = $3$

Also 1 ≠ 3

x = $-1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{8x+9}$ $=$ $\sqrt{8\cdot 5+9}$ = $\sqrt{40+9}$ = $\sqrt{49}$ = $7$

Rechte Seite: x = $5$ in $\sqrt{4x+5}+2$ $=$ $\sqrt{4\cdot 5+5}+2$ = $\sqrt{20+5}+2$ = $\sqrt{25}+2$ = $5+2$ = $7$

Also 7 = 7

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}