$-3\sqrt{x+7}$	=	$-6$	|:($-3$)
$\sqrt{x+7}$	=	$2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x+7$	=	$2^2$

$x+7$	=	$4$	| $-7$
$x$	=	$-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $-3\sqrt{x+7}$ $=$ $-3\sqrt{-3+7}$ = $-3\sqrt{4}$ = $-6$

Rechte Seite: x = $-3$ in $-6$ $=$ $-6$

Also -6 = -6

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$}

$\sqrt{12x+40}$	=	$2x$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12x+40$	=	${\left(2x\right)}^2$

$12x+40$

=

$4x^2$

| $-4x^2$

$-4x^2+12x+40$ = 0 |:4

$-x^2+3x+10$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4·\left(-1\right)·10}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{9+40}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-3\pm \sqrt{49}}{-2}$

x₁ = $\frac{-3+\sqrt{49}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{4}{-2}$ = $-2$

x₂ = $\frac{-3-\sqrt{49}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-10}{-2}$ = $5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-2$

Linke Seite: x = $-2$ in $\sqrt{12x+40}$ $=$ $\sqrt{12\cdot \left(-2\right)+40}$ = $\sqrt{-24+40}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $-2$ in $2x$ $=$ $2\cdot \left(-2\right)$ = $-4$

Also 4 ≠ -4

x = $-2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite: x = $5$ in $\sqrt{12x+40}$ $=$ $\sqrt{12\cdot 5+40}$ = $\sqrt{60+40}$ = $\sqrt{100}$ = $10$

Rechte Seite: x = $5$ in $2x$ $=$ $2\cdot 5$ = $10$

Also 10 = 10

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$}

$\sqrt{-14x-21}$	=	$-x+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$-14x-21$	=	${\left(-x+2\right)}^2$

$-14x-21$

=

$x^2-4x+4$

| $-x^2$ $+4x$ $-4$

$-x^2-10x-25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{{\left(-10\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-25\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{100-100}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+10\pm \sqrt{0}}{-2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{10}{-2}$ = $-5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-5$

Linke Seite: x = $-5$ in $\sqrt{-14x-21}$ $=$ $\sqrt{-14\cdot \left(-5\right)-21}$ = $\sqrt{70-21}$ = $\sqrt{49}$ = $7$

Rechte Seite: x = $-5$ in $-x+2$ $=$ $-\left(-5\right)+2$ = $5+2$ = $7$

Also 7 = 7

x = $-5$ ist somit eine Lösung !

L={ $-5$}

$\sqrt{24x+216}$	=	$3\sqrt{3x+25}$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24x+216$	=	${\left(3\sqrt{3x+25}\right)}^2$

$24x+216$	=	$9\left(3x+25\right)$
$24x+216$	=	$27x+225$	| $-216$
$24x$	=	$27x+9$	| $-27x$
$-3x$	=	$9$	|:($-3$)
$x$	=	$-3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-3$

Linke Seite: x = $-3$ in $\sqrt{24x+216}$ $=$ $\sqrt{24\cdot \left(-3\right)+216}$ = $\sqrt{-72+216}$ = $\sqrt{144}$ = $12$

Rechte Seite: x = $-3$ in $3\sqrt{3x+25}$ $=$ $3\sqrt{3\cdot \left(-3\right)+25}$ = $3\sqrt{-9+25}$ = $3\sqrt{16}$ = $12$

Also 12 = 12

x = $-3$ ist somit eine Lösung !

L={ $-3$}

$\sqrt{6x+52}$	=	$\sqrt{2x+16}+2$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$6x+52$	=	${\left(\sqrt{2x+16}+2\right)}^2$

$6x+52$	=	$4\sqrt{2x+16}+2x+20$	| $-6x$ $-52$ $-4\sqrt{2x+16}$
$-4\sqrt{2x+16}$	=	$-4x-32$	|:($-4$)
$\sqrt{2x+16}$	=	$x+8$	|(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$2x+16$	=	${\left(x+8\right)}^2$

$2x+16$

=

$x^2+16x+64$

| $-x^2$ $-16x$ $-64$

$-x^2-14x-48$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{{\left(-14\right)}^2-4·\left(-1\right)·\left(-48\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{196-192}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{+14\pm \sqrt{4}}{-2}$

x₁ = $\frac{14+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{-2}$ = $-8$

x₂ = $\frac{14-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>14</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{12}{-2}$ = $-6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $-8$

Linke Seite: x = $-8$ in $\sqrt{6x+52}$ $=$ $\sqrt{6\cdot \left(-8\right)+52}$ = $\sqrt{-48+52}$ = $\sqrt{4}$ = $2$

Rechte Seite: x = $-8$ in $\sqrt{2x+16}+2$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-8\right)+16}+2$ = $\sqrt{-16+16}+2$ = $\sqrt{0}+2$ = $0+2$ = $2$

Also 2 = 2

x = $-8$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $-6$

Linke Seite: x = $-6$ in $\sqrt{6x+52}$ $=$ $\sqrt{6\cdot \left(-6\right)+52}$ = $\sqrt{-36+52}$ = $\sqrt{16}$ = $4$

Rechte Seite: x = $-6$ in $\sqrt{2x+16}+2$ $=$ $\sqrt{2\cdot \left(-6\right)+16}+2$ = $\sqrt{-12+16}+2$ = $\sqrt{4}+2$ = $2+2$ = $4$

Also 4 = 4

x = $-6$ ist somit eine Lösung !

L={ $-8$; $-6$}