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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2,8284 \sqrt{x}$ = $4$

$2,8284 \sqrt{x}$	=	$4$	\|: $2,8284$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{4}{2,8284}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{4}{2,8284})}^{2}$

x

=

2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $2,8284 \sqrt{x}$

$=$ $2,8284 \sqrt{2}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $2$ in $4$

$=$ $4$

Also 4 = 4

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 3 x + 4}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 3 x + 4}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 4$	=	${(- x)}^{2}$

- 3 x + 4

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot (- 4) + 4}$

= $\sqrt{12 + 4}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- x$

$=$ $- (- 4)$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 3 x + 4}$

$=$ $\sqrt{- 3 \cdot 1 + 4}$

= $\sqrt{- 3 + 4}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- x$

$=$ $- 1$

Also 1 ≠ -1

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{11 x + 26}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{11 x + 26}$	=	$x + 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$11 x + 26$	=	${(x + 4)}^{2}$

11 x + 26

=

x^{2} + 8 x + 16

|

- x^{2}

- 8 x

- 16

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{11 x + 26}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot (- 2) + 26}$

= $\sqrt{- 22 + 26}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $x + 4$

$=$ $- 2 + 4$

= $2$

Also 2 = 2

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{11 x + 26}$

$=$ $\sqrt{11 \cdot 5 + 26}$

= $\sqrt{55 + 26}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $5$ in $x + 4$

$=$ $5 + 4$

= $9$

Also 9 = 9

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 2$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{30 x + 405}$ = $3 \sqrt{3 x + 43}$

Lösung einblenden

$\sqrt{30 x + 405}$	=	$3 \sqrt{3 x + 43}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$30 x + 405$	=	${(3 \sqrt{3 x + 43})}^{2}$

$30 x + 405$	=	$9 (3 x + 43)$
$30 x + 405$	=	$27 x + 387$	\| $- 405$
$30 x$	=	$27 x - 18$	\| $- 27 x$
$3 x$	=	$- 18$	\|: $3$
$x$	=	$- 6$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 6$

Linke Seite:

x = $- 6$ in $\sqrt{30 x + 405}$

$=$ $\sqrt{30 \cdot (- 6) + 405}$

= $\sqrt{- 180 + 405}$

= $\sqrt{225}$

= $15$

Rechte Seite:

x = $- 6$ in $3 \sqrt{3 x + 43}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 6) + 43}$

= $3 \sqrt{- 18 + 43}$

= $3 \sqrt{25}$

= $15$

Also 15 = 15

x = $- 6$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 6$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x + 71}$ = $\sqrt{x + 23} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x + 71}$	=	$\sqrt{x + 23} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 71$	=	${(\sqrt{x + 23} + 2)}^{2}$

$5 x + 71$	=	$4 \sqrt{x + 23} + x + 27$	\| $- 5 x$ $- 71$ $- 4 \sqrt{x + 23}$
$- 4 \sqrt{x + 23}$	=	$- 4 x - 44$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 23}$	=	$x + 11$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 23$	=	${(x + 11)}^{2}$

x + 23

=

x^{2} + 22 x + 121

|

- x^{2}

- 22 x

- 121

$- x^{2} - 21 x - 98$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 98)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 392}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{21+7}{- 2}$ = $\frac{28}{- 2}$ = $- 14$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{21-7}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 21 x - 98$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 21 x + 98$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{2})}^{2} - 98$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $98$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{392}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{21}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{28}{2}$ = -14

x₂ = $- \frac{21}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 14$

Linke Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{5 x + 71}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 14) + 71}$

= $\sqrt{- 70 + 71}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $- 14$ in $\sqrt{x + 23} + 2$

$=$ $\sqrt{- 14 + 23} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 1 ≠ 5

x = $- 14$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $- 7$

Linke Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{5 x + 71}$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 7) + 71}$

= $\sqrt{- 35 + 71}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $- 7$ in $\sqrt{x + 23} + 2$

$=$ $\sqrt{- 7 + 23} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $- 7$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 7$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -6

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -14

Probe für x = -7

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 6$

Probe für x = $- 14$

Probe für x = $- 7$