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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 \sqrt{3 x + 31}$ = $12$

$3 \sqrt{3 x + 31}$	=	$12$	\|: $3$
$\sqrt{3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 31$	=	$4^{2}$

$3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$3 x$	=	$- 15$	\|: $3$
$x$	=	$- 5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 5$

Linke Seite:

x = $- 5$ in $3 \sqrt{3 x + 31}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 5) + 31}$

= $3 \sqrt{- 15 + 31}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $- 5$ in $12$

$=$ $12$

Also 12 = 12

x = $- 5$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{28 x - 48}$ = $2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{28 x - 48}$	=	$2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$28 x - 48$	=	${(2 x)}^{2}$

28 x - 48

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} + 28 x - 48

= 0 |:4

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7+1}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 7-1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $\sqrt{28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 3 - 48}$

= $\sqrt{84 - 48}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 3$

= $6$

Also 6 = 6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{28 x - 48}$

$=$ $\sqrt{28 \cdot 4 - 48}$

= $\sqrt{112 - 48}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $4$ in $2 x$

$=$ $2 \cdot 4$

= $8$

Also 8 = 8

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ ; $4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 73} - 3 x$ = $1$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 73} - 3 x$	=	$1$	\| $+ 3 x$
$\sqrt{24 x + 73}$	=	$3 x + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 73$	=	${(3 x + 1)}^{2}$

24 x + 73

=

9 x^{2} + 6 x + 1

|

- 9 x^{2}

- 6 x

- 1

- 9 x^{2} + 18 x + 72

= 0 |:9

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{24 x + 73} - 3 x$

$=$ $\sqrt{24 \cdot (- 2) + 73} - 3 \cdot (- 2)$

= $\sqrt{- 48 + 73} + 6$

= $\sqrt{25} + 6$

= $5 + 6$

= $11$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $1$

$=$ $1$

Also 11 ≠ 1

x = $- 2$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{24 x + 73} - 3 x$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 4 + 73} - 3 \cdot 4$

= $\sqrt{96 + 73} - 12$

= $\sqrt{169} - 12$

= $13 - 12$

= $1$

Rechte Seite:

x = $4$ in $1$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $4$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{19 x - 15}$ = $2 \sqrt{5 x - 4}$

Lösung einblenden

$\sqrt{19 x - 15}$	=	$2 \sqrt{5 x - 4}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$19 x - 15$	=	${(2 \sqrt{5 x - 4})}^{2}$

$19 x - 15$	=	$4 (5 x - 4)$
$19 x - 15$	=	$20 x - 16$	\| $+ 15$
$19 x$	=	$20 x - 1$	\| $- 20 x$
$- x$	=	$- 1$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{19 x - 15}$

$=$ $\sqrt{19 \cdot 1 - 15}$

= $\sqrt{19 - 15}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $2 \sqrt{5 x - 4}$

$=$ $2 \sqrt{5 \cdot 1 - 4}$

= $2 \sqrt{5 - 4}$

= $2 \sqrt{1}$

= $2$

Also 2 = 2

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{5 x}$ = $\sqrt{x + 4} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{5 x}$	=	$\sqrt{x + 4} + 2$
$2,2361 \sqrt{x}$	=	$\sqrt{x + 4} + 2$	\|: $2,2361$
$\sqrt{x}$	=	$\frac{1}{2,2361} \sqrt{x + 4} + \frac{2}{2,2361}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	${(\frac{1}{2,2361} \sqrt{x + 4} + \frac{2}{2,2361})}^{2}$

$x$	=	$0,8 \sqrt{x + 4} + \frac{1}{5} x + 1,6$	\|⋅ 5
$5 x$	=	$5 (0,8 \sqrt{x + 4} + \frac{1}{5} x + 1,6)$
$5 x$	=	$4 \sqrt{x + 4} + x + 8$	\| $- 5 x$ $- 4 \sqrt{x + 4}$
$- 4 \sqrt{x + 4}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{x + 4}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 4$	=	${(x - 2)}^{2}$

$x + 4$	=	$x^{2} - 4 x + 4$	\| $- 4$
$x$	=	$x^{2} - 4 x$	\| $- (x^{2} - 4 x)$
$- x^{2} + x + 4 x$	=	0
$- x^{2} + 5 x$	=	0
$x (- x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 0

Linke Seite:

x = 0 in $2,2361 \sqrt{x}$

$=$ $2,2361 \sqrt{0}$

= 0

Rechte Seite:

x = 0 in $\sqrt{x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{0 + 4} + 2$

= $\sqrt{4} + 2$

= $2 + 2$

= $4$

Also 0 ≠ 4

x = 0 ist somit keine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $2,2361 \sqrt{x}$

$=$ $2,2361 \sqrt{5}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $5$ in $\sqrt{x + 4} + 2$

$=$ $\sqrt{5 + 4} + 2$

= $\sqrt{9} + 2$

= $3 + 2$

= $5$

Also 5 = 5

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 3

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 4

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Probe für x = 0

Probe für x = 5

Probe für x = $- 5$

Probe für x = $3$

Probe für x = $4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $4$

Probe für x = $1$

Probe für x = $5$