Mathebattle EduRandomtasks

einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \sqrt{- 3 x + 31}$ = $- 4$

$- \sqrt{- 3 x + 31}$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$\sqrt{- 3 x + 31}$	=	$4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 3 x + 31$	=	$4^{2}$

$- 3 x + 31$	=	$16$	\| $- 31$
$- 3 x$	=	$- 15$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$5$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $- \sqrt{- 3 x + 31}$

$=$ $- \sqrt{- 3 \cdot 5 + 31}$

= $- \sqrt{- 15 + 31}$

= $- \sqrt{16}$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $5$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $5$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 8 x - 16}$ = $- x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 8 x - 16}$	=	$- x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 8 x - 16$	=	${(- x)}^{2}$

- 8 x - 16

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 8 x - 16}$

$=$ $\sqrt{- 8 \cdot (- 4) - 16}$

= $\sqrt{32 - 16}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- x$

$=$ $- (- 4)$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{63 x - 171}$ = $3 x - 3$

Lösung einblenden

$\sqrt{63 x - 171}$	=	$3 x - 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$63 x - 171$	=	${(3 x - 3)}^{2}$

63 x - 171

=

9 x^{2} - 18 x + 9

|

- 9 x^{2}

+ 18 x

- 9

- 9 x^{2} + 81 x - 180

= 0 |:9

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 20)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9+1}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 9-1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 20$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 20$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $4$

Linke Seite:

x = $4$ in $\sqrt{63 x - 171}$

$=$ $\sqrt{63 \cdot 4 - 171}$

= $\sqrt{252 - 171}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $4$ in $3 x - 3$

$=$ $3 \cdot 4 - 3$

= $12 - 3$

= $9$

Also 9 = 9

x = $4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $5$

Linke Seite:

x = $5$ in $\sqrt{63 x - 171}$

$=$ $\sqrt{63 \cdot 5 - 171}$

= $\sqrt{315 - 171}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $5$ in $3 x - 3$

$=$ $3 \cdot 5 - 3$

= $15 - 3$

= $12$

Also 12 = 12

x = $5$ ist somit eine Lösung !

L={ $4$ ; $5$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{10 x + 54}$ = $3 \sqrt{x + 7}$

Lösung einblenden

$\sqrt{10 x + 54}$	=	$3 \sqrt{x + 7}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$10 x + 54$	=	${(3 \sqrt{x + 7})}^{2}$

$10 x + 54$	=	$9 (x + 7)$
$10 x + 54$	=	$9 x + 63$	\| $- 54$
$10 x$	=	$9 x + 9$	\| $- 9 x$
$x$	=	$9$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $9$

Linke Seite:

x = $9$ in $\sqrt{10 x + 54}$

$=$ $\sqrt{10 \cdot 9 + 54}$

= $\sqrt{90 + 54}$

= $\sqrt{144}$

= $12$

Rechte Seite:

x = $9$ in $3 \sqrt{x + 7}$

$=$ $3 \sqrt{9 + 7}$

= $3 \sqrt{16}$

= $12$

Also 12 = 12

x = $9$ ist somit eine Lösung !

L={ $9$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x - 14}$ = $\sqrt{5 x - 10} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x - 14}$	=	$\sqrt{5 x - 10} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x - 14$	=	${(\sqrt{5 x - 10} + 2)}^{2}$

$9 x - 14$	=	$4 \sqrt{5 x - 10} + 5 x - 6$	\| $- 9 x$ $+ 14$ $- 4 \sqrt{5 x - 10}$
$- 4 \sqrt{5 x - 10}$	=	$- 4 x + 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x - 10}$	=	$x - 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x - 10$	=	${(x - 2)}^{2}$

5 x - 10

=

x^{2} - 4 x + 4

|

- x^{2}

+ 4 x

- 4

$- x^{2} + 9 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 9+5}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 9-5}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{9 x - 14}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 2 - 14}$

= $\sqrt{18 - 14}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x - 10} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 - 10} + 2$

= $\sqrt{10 - 10} + 2$

= $\sqrt{0} + 2$

= $0 + 2$

= $2$

Also 2 = 2

x = $2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{9 x - 14}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 7 - 14}$

= $\sqrt{63 - 14}$

= $\sqrt{49}$

= $7$

Rechte Seite:

x = $7$ in $\sqrt{5 x - 10} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 7 - 10} + 2$

= $\sqrt{35 - 10} + 2$

= $\sqrt{25} + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Also 7 = 7

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 4

Probe für x = 5

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 9

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 2

Probe für x = 7

Probe für x = $5$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $4$

Probe für x = $5$

Probe für x = $9$

Probe für x = $2$

Probe für x = $7$