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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 \sqrt{- 2 x + 15}$ = $- 6$

$- 2 \sqrt{- 2 x + 15}$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{- 2 x + 15}$	=	$3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 15$	=	$3^{2}$

$- 2 x + 15$	=	$9$	\| $- 15$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $3$

Linke Seite:

x = $3$ in $- 2 \sqrt{- 2 x + 15}$

$=$ $- 2 \sqrt{- 2 \cdot 3 + 15}$

= $- 2 \sqrt{- 6 + 15}$

= $- 2 \sqrt{9}$

= $- 6$

Rechte Seite:

x = $3$ in $- 6$

$=$ $- 6$

Also -6 = -6

x = $3$ ist somit eine Lösung !

L={ $3$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 24 x - 32}$ = $- 2 x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 24 x - 32}$	=	$- 2 x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 24 x - 32$	=	${(- 2 x)}^{2}$

- 24 x - 32

=

4 x^{2}

|

- 4 x^{2}

- 4 x^{2} - 24 x - 32

= 0 |:4

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6+2}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{6-2}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{- 24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 4) - 32}$

= $\sqrt{96 - 32}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 4)$

= $8$

Also 8 = 8

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{- 24 x - 32}$

$=$ $\sqrt{- 24 \cdot (- 2) - 32}$

= $\sqrt{48 - 32}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 2 x$

$=$ $- 2 \cdot (- 2)$

= $4$

Also 4 = 4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{12 x + 24} + 2 x$ = $- 4$

Lösung einblenden

$\sqrt{12 x + 24} + 2 x$	=	$- 4$	\| $- 2 x$
$\sqrt{12 x + 24}$	=	$- 2 x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$12 x + 24$	=	${(- 2 x - 4)}^{2}$

12 x + 24

=

4 x^{2} + 16 x + 16

|

- 4 x^{2}

- 16 x

- 16

- 4 x^{2} - 4 x + 8

= 0 |:4

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 2$

Linke Seite:

x = $- 2$ in $\sqrt{12 x + 24} + 2 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot (- 2) + 24} + 2 \cdot (- 2)$

= $\sqrt{- 24 + 24} - 4$

= $\sqrt{0} - 4$

= $0 - 4$

= $- 4$

Rechte Seite:

x = $- 2$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also -4 = -4

x = $- 2$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{12 x + 24} + 2 x$

$=$ $\sqrt{12 \cdot 1 + 24} + 2 \cdot 1$

= $\sqrt{12 + 24} + 2$

= $\sqrt{36} + 2$

= $6 + 2$

= $8$

Rechte Seite:

x = $1$ in $- 4$

$=$ $- 4$

Also 8 ≠ -4

x = $1$ ist somit keine Lösung !

L={ $- 2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{46 x + 119}$ = $3 \sqrt{5 x + 14}$

Lösung einblenden

$\sqrt{46 x + 119}$	=	$3 \sqrt{5 x + 14}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$46 x + 119$	=	${(3 \sqrt{5 x + 14})}^{2}$

$46 x + 119$	=	$9 (5 x + 14)$
$46 x + 119$	=	$45 x + 126$	\| $- 119$
$46 x$	=	$45 x + 7$	\| $- 45 x$
$x$	=	$7$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $7$

Linke Seite:

x = $7$ in $\sqrt{46 x + 119}$

$=$ $\sqrt{46 \cdot 7 + 119}$

= $\sqrt{322 + 119}$

= $\sqrt{441}$

= $21$

Rechte Seite:

x = $7$ in $3 \sqrt{5 x + 14}$

$=$ $3 \sqrt{5 \cdot 7 + 14}$

= $3 \sqrt{35 + 14}$

= $3 \sqrt{49}$

= $21$

Also 21 = 21

x = $7$ ist somit eine Lösung !

L={ $7$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{9 x + 18}$ = $\sqrt{5 x + 6} + 2$

Lösung einblenden

$\sqrt{9 x + 18}$	=	$\sqrt{5 x + 6} + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$9 x + 18$	=	${(\sqrt{5 x + 6} + 2)}^{2}$

$9 x + 18$	=	$4 \sqrt{5 x + 6} + 5 x + 10$	\| $- 9 x$ $- 18$ $- 4 \sqrt{5 x + 6}$
$- 4 \sqrt{5 x + 6}$	=	$- 4 x - 8$	\|:( $- 4$ )
$\sqrt{5 x + 6}$	=	$x + 2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$5 x + 6$	=	${(x + 2)}^{2}$

5 x + 6

=

x^{2} + 4 x + 4

|

- x^{2}

- 4 x

- 4

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{9 x + 18}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot (- 1) + 18}$

= $\sqrt{- 9 + 18}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{5 x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot (- 1) + 6} + 2$

= $\sqrt{- 5 + 6} + 2$

= $\sqrt{1} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Also 3 = 3

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{9 x + 18}$

$=$ $\sqrt{9 \cdot 2 + 18}$

= $\sqrt{18 + 18}$

= $\sqrt{36}$

= $6$

Rechte Seite:

x = $2$ in $\sqrt{5 x + 6} + 2$

$=$ $\sqrt{5 \cdot 2 + 6} + 2$

= $\sqrt{10 + 6} + 2$

= $\sqrt{16} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Also 6 = 6

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Wurzelgleichungen

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = 3

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -4

Probe für x = -2

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -2

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = 7

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -1

Probe für x = 2

Probe für x = $3$

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $- 2$

Probe für x = $1$

Probe für x = $7$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $2$