Aufgabenbeispiele von Proportionale Zuordnung

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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

In den 8 Joghurtbechern von Herrn Schaaf sind insgesamt 4000 g drin.

Wie viel Joghurt ist in 1 Becher drin?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Becher Joghurt4000 g
1 Becher Joghurt?

Um von 8 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 1 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 4000 g durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Becher Joghurt entspricht:

: 8
8 Becher Joghurt4000 g
1 Becher Joghurt?
: 8
: 8
8 Becher Joghurt4000 g
1 Becher Joghurt500 g
: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Becher Joghurt entspricht: 500 g

Dreisatz (beide Richtungen)

Beispiel:

Eine erfahrende Langstreckenläuferin trainiert immer mit exakt dem gleichen Tempo. Für 9 km braucht sie 63 Minuten.

Wie lange braucht sie für 7 km?
Wie viele km schafft sie in 84 min?

Lösung einblenden

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:


9 km63 min
??
7 km?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 km teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 9 und von 7 sein, also der ggT(9,7) = 1.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 km:


9 km63 min
1 km?
7 km?

Um von 9 km in der ersten Zeile auf 1 km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 9 teilen. Somit müssen wir auch die 63 min durch 9 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 km entspricht:

: 9

9 km63 min
1 km7 min
7 km?

: 9

Jetzt müssen wir ja wieder die 1 km in der mittleren Zeile mit 7 multiplizieren, um auf die 7 km in der dritten Zeile zu kommen.

: 9
⋅ 7

9 km63 min
1 km7 min
7 km49 min

: 9
⋅ 7

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 7 km entspricht: 49 min



Für die andere Frage (Wie viele km schafft sie in 84 min?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "min"-Werte haben und nach einem "km"-Wert gesucht wird:


63 min9 km
??
84 min?

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die min in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 63 min teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 63 und von 84 sein, also der ggT(63,84) = 21.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 21 min:


63 min9 km
21 min?
84 min?

Um von 63 min in der ersten Zeile auf 21 min in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Somit müssen wir auch die 9 km durch 3 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 21 min entspricht:

: 3

63 min9 km
21 min3 km
84 min?

: 3

Jetzt müssen wir ja wieder die 21 min in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 84 min in der dritten Zeile zu kommen.

: 3
⋅ 4

63 min9 km
21 min3 km
84 min12 km

: 3
⋅ 4

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 84 min entspricht: 12 km

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7 wenn die Größe B den Wert 21 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 21 durch den Wert von 'Größe A' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 7 des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= 21 7 =3
Zuordnungsvorschrift: y = 3 ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Im Winter schneit es 1 Stunde lang total gleichmäßig. Dabei fallen in 7 Minuten 18,2 cm. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man jedem Minuten-Wert eine Schneehöhe in cm zuordnen kann.

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Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Schneehöhe', nämlich 18.2 durch den Wert von 'Zeit' (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 7 des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= 18.2 7 =2,6
Zuordnungsvorschrift: y = 2,6 ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 4, wenn die Größe B den Wert 6.4 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 10.4 hat?

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Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 6.4 = m⋅4.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 6.4 durch den Wert von Größe A (4) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 4 des Wertes bei 4 sein muss.
Also: m= 6.4 4 =1,6
Zuordnungsvorschrift: y = 1,6 ⋅ x

x-Wert bei y = 10.4

Da der/die Größe B den Wert 10.4 hat, muss man 10.4 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
10.4 = 1,6 ⋅ x.
Das klappt mit x = 10.4 1.6 , weil dann 10.4 = 1,6 10.4 1.6 .
Somit gilt für x (Größe A) = 10.4 1.6 = 6.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Die Lernmittelbücherei hat 120 neue gleiche Bücher bekommen. Jeweils 8 Bücher wiegen zusammen 10,4kg. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der Bücher dem Gewicht in kg zuordnen kann.

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    Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 10.4 = m⋅8.

    Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Gesamtgewicht, nämlich 10.4 durch den Wert von Bücheranzahl (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade 1 8 des Wertes bei 8 sein muss.
    Also: m= 10.4 8 =1,3
    Zuordnungsvorschrift: y = 1,3 ⋅ x

    1. y-Wert bei x = 7

      Da der/die Bücheranzahl den Wert 7 hat, muss man einfach 7 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Gesamtgewicht zu erhalten:
      y=1,3 ⋅ 7 = 9.1

      .
    2. x-Wert bei y = 6.5

      Da der/die Gesamtgewicht den Wert 6.5 hat, muss man 6.5 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Bücheranzahl zu erhalten:
      6.5 = 1,3 ⋅ x.
      Das klappt mit x = 6.5 1.3 , weil dann 6.5 = 1,3 6.5 1.3 .
      Somit gilt für x (Bücheranzahl) = 6.5 1.3 = 5.