Aufgabenbeispiele von Scheitelform

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x 2 -6x +4 .

Lösung einblenden

1. Weg

y= x 2 -6x +4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -6x +9 -9 +4

= ( x -3 ) 2 -9 +4

= ( x -3 ) 2 -5

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -6x +4 nur um 4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -6x = 0
x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = 3 2 -63 +4 = 9 -18 +4 = -5

also: S(3|-5).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= 2 x 2 +4x +1 .

Lösung einblenden

1. Weg

y= 2 x 2 +4x +1

= 2( x 2 +2x ) +1

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +2x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 2x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 2( x 2 +2x +1 -1 ) +1

= 2( x 2 +2x +1 ) + 2 · ( -1 ) +1

= 2 ( x +1 ) 2 -2 +1

= 2 ( x +1 ) 2 -1

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-1).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 2 x 2 +4x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 2 x 2 +4x +1 nur um 1 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 2 x 2 +4x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

2 x 2 +4x = 0
2 x ( x +2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +2 = 0 | -2
x2 = -2

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = 2 ( -1 ) 2 +4( -1 ) +1 = 2 -4 +1 = -1

also: S(-1|-1).