Aufgabenbeispiele von Scheitelform

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x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x 2 -6x -4 .

Lösung einblenden

1. Weg

y= x 2 -6x -4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -6x +9 -9 -4

= ( x -3 ) 2 -9 -4

= ( x -3 ) 2 -13

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-13).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -6x -4 nur um -4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -6x = 0
x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = 3 2 -63 -4 = 9 -18 -4 = -13

also: S(3|-13).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= 1 2 x 2 +5x +4 .

Lösung einblenden

1. Weg

y= 1 2 x 2 +5x +4

= 1 2 ( x 2 +10x ) +4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +10x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 10x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= 1 2 ( x 2 +10x +25 -25 ) +4

= 1 2 ( x 2 +10x +25 ) + 1 2 · ( -25 ) +4

= 1 2 ( x +5 ) 2 - 25 2 +4

= 1 2 ( x +5 ) 2 - 17 2

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-8.5).


2. Weg

Wir betrachten nun nur 1 2 x 2 +5x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie 1 2 x 2 +5x +4 nur um 4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von 1 2 x 2 +5x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

1 2 x 2 +5x = 0 |⋅ 2
2( 1 2 x 2 +5x ) = 0
x 2 +10x = 0
x ( x +10 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +10 = 0 | -10
x2 = -10

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = 1 2 ( -5 ) 2 +5( -5 ) +4 = 25 2 -25 +4 = -8.5

also: S(-5|-8.5).