Aufgabenbeispiele von Scheitelform

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x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x 2 -6x +3 .

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1. Weg

y= x 2 -6x +3

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 -6x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die -6x durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 -6x +9 -9 +3

= ( x -3 ) 2 -9 +3

= ( x -3 ) 2 -6

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-6).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 -6x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 -6x +3 nur um 3 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 -6x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 -6x = 0
x ( x -6 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x -6 = 0 | +6
x2 = 6

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = 3 2 -63 +3 = 9 -18 +3 = -6

also: S(3|-6).


ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit y= x 2 +8x -4 .

Lösung einblenden

1. Weg

y= x 2 +8x -4

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( x 2 +8x ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die 8x durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= x 2 +8x +16 -16 -4

= x 2 +8x +16 + 1 · ( -16 ) -4

= ( x +4 ) 2 -16 -4

= ( x +4 ) 2 -20

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-20).


2. Weg

Wir betrachten nun nur x 2 +8x . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie x 2 +8x -4 nur um -4 nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von x 2 +8x können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

x 2 +8x = 0
x ( x +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +8 = 0 | -8
x2 = -8

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ( -4 ) 2 +8( -4 ) -4 = 16 -32 -4 = -20

also: S(-4|-20).