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x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $x^{2} + 6 x + 4$ .

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 6 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 6 x + 9 - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 9 + 4$

= ${(x + 3)}^{2} - 5$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-3|-5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 6 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 6 x$	=	0
$x (x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 6$	=	0	\| $- 6$
x₂	=	$- 6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-3|y).

y = ${(- 3)}^{2} + 6 \cdot (- 3) + 4$ = $9 - 18 + 4$ = -5

also: S(-3|-5).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $2 x^{2} - 12 x - 4$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $2 x^{2} - 12 x - 4$

= $2 (x^{2} - 6 x) - 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2 (x^{2} - 6 x + 9 - 9) - 4$

= $2 (x^{2} - 6 x + 9) + 2 \cdot (- 9) - 4$

= $2 {(x - 3)}^{2} - 18 - 4$

= $2 {(x - 3)}^{2} - 22$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-22).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2 x^{2} - 12 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2 x^{2} - 12 x - 4$ nur um $- 4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2 x^{2} - 12 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2 x^{2} - 12 x$	=	0
$2 x (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $2 \cdot 3^{2} - 12 \cdot 3 - 4$ = $18 - 36 - 4$ = -22

also: S(3|-22).

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-4) und B(4|-7) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-4): -4 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-7): -7 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-4 = 1 +1b +c |-1
-7 = 16 +4b +c |-16

-5 = 1b +c
-23 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 23 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 23$
$c + 4 b$	=	$- 23$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 23 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 5 & (I) \\ + c & = & (- 23 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 23 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 23 - 4 b)$	=	$- 5$
$b - 23 - 4 b$	=	$- 5$
$- 3 b - 23$	=	$- 5$	\| $+ 23$
$- 3 b$	=	$18$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 6$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 23 - 4 \cdot (- 6)$

= $- 23 + 24$

= $1$

also

c = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|1)

Jetzt können wir b= $- 6$ und c= $1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 6 x + 1$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|2) und B(-2|-1) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|2): 2 = 1² + b⋅1 +c

B(-2|-1): -1 = ( - 2 )² + b⋅( - 2 ) +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
2 = 1 +1b +c |-1
-1 = 4 -2b +c |-4

1 = 1b +c
-5 = -2b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ - 2 b & + c & = & - 5 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$- 2 b + c$	=	$- 5$
$c - 2 b$	=	$- 5$	\| $+ 2 b$
$c$	=	$- 5 + 2 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & 1 & (I) \\ + c & = & (- 5 + 2 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 5 + 2 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 5 + 2 b)$	=	$1$
$b - 5 + 2 b$	=	$1$
$3 b - 5$	=	$1$	\| $+ 5$
$3 b$	=	$6$	\|: $3$
$b$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 5 + 2 \cdot 2$

= $- 5 + 4$

= $- 1$

also

c = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Jetzt können wir b= $2$ und c= $- 1$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 2 x - 1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 1 - 1$

= ${(x + 1)}^{2} - 2$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-1|-2).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 2 x - 1$ nur um $- 1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 2 x$	=	0
$x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-1|y).

y = ${(- 1)}^{2} + 2 \cdot (- 1) - 1$ = $1 - 2 - 1$ = -2

also: S(-1|-2).

Aufgabenbeispiele von Scheitelform, Termbestimmung

x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

ax²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg