1. Weg

$\text{y}=$ $x^2-6x-4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2-6x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $-6x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2-6x+9-9-4$

= ${\left(x-3\right)}^2-9-4$

= ${\left(x-3\right)}^2-13$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-13).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2-6x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2-6x-4$ nur um $-4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2-6x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2-6x$	=	0
$x\left(x-6\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^2-6\cdot 3-4$ = $9-18-4$ = -13

also: S(3|-13).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+5x+4$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+10x\right)+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2+10x+25-25\right)+4$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+10x+25\right)+\frac{1}{2}·\left(-25\right)+4$

= $\frac{1}{2}{\left(x+5\right)}^2-\frac{25}{2}+4$

= $\frac{1}{2}{\left(x+5\right)}^2-\frac{17}{2}$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-8.5).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2+5x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2+5x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2+5x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2+5x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2+5x\right)$	=	0
$x^2+10x$	=	0
$x\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-5\right)}^2+5\cdot \left(-5\right)+4$ = $\frac{25}{2}-25+4$ = -8.5

also: S(-5|-8.5).