1. Weg

$\text{y}=$ $x^2+10x+4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+10x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $10x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 5 zu 25. Diese 25 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 25, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^2+10x+25-25+4$

= ${\left(x+5\right)}^2-25+4$

= ${\left(x+5\right)}^2-21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-5|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^2+10x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^2+10x+4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^2+10x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^2+10x$	=	0
$x\left(x+10\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-5|y).

y = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)+4$ = $25-50+4$ = -21

also: S(-5|-21).

1. Weg

$\text{y}=$ $\frac{1}{2}{x}^2+4x+1$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+8x\right)+1$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^2+8x$) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $\frac{1}{2}\left(x^2+8x+16-16\right)+1$

= $\frac{1}{2}\left(x^2+8x+16\right)+\frac{1}{2}·\left(-16\right)+1$

= $\frac{1}{2}{\left(x+4\right)}^2-8+1$

= $\frac{1}{2}{\left(x+4\right)}^2-7$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-7).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $\frac{1}{2}{x}^2+4x$. Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $\frac{1}{2}{x}^2+4x+1$ nur um $1$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $\frac{1}{2}{x}^2+4x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$\frac{1}{2}{x}^2+4x$	=	0	|⋅ 2
$2\left(\frac{1}{2}{x}^2+4x\right)$	=	0
$x^2+8x$	=	0
$x\left(x+8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)+1$ = $8-16+1$ = -7

also: S(-4|-7).