Mathebattle EduRandomtasks

zurück zum Themenbaum

Aufgabenbeispiele von Scheitelform

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 2 x + 4$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 2 x + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 2 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 2 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -1 zu 1. Diese 1 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 1, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 2 x + 1 - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} - 1 + 4$

= ${(x - 1)}^{2} + 3$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(1|3).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 2 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 2 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 2 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(1|y).

y = $1^{2} - 2 \cdot 1 + 4$ = $1 - 2 + 4$ = 3

also: S(1|3).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $3 x^{2} + 12 x + 3$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $3 x^{2} + 12 x + 3$

= $3 (x^{2} + 4 x) + 3$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 4 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $4 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 2 zu 4. Diese 4 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 4, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $3 (x^{2} + 4 x + 4 - 4) + 3$

= $3 (x^{2} + 4 x + 4) + 3 \cdot (- 4) + 3$

= $3 {(x + 2)}^{2} - 12 + 3$

= $3 {(x + 2)}^{2} - 9$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-2|-9).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $3 x^{2} + 12 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $3 x^{2} + 12 x + 3$ nur um $3$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $3 x^{2} + 12 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$3 x^{2} + 12 x$	=	0
$3 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-2|y).

y = $3 \cdot {(- 2)}^{2} + 12 \cdot (- 2) + 3$ = $12 - 24 + 3$ = -9

also: S(-2|-9).