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x²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $x^{2} - 6 x + 5$ .

1. Weg

$y =$ $x^{2} - 6 x + 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} - 6 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $- 6 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis -3 zu 9. Diese 9 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 9, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} - 6 x + 9 - 9 + 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 9 + 5$

= ${(x - 3)}^{2} - 4$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(3|-4).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} - 6 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} - 6 x + 5$ nur um $5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} - 6 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} - 6 x$	=	0
$x \cdot (x - 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 6$	=	0	\| $+ 6$
x₂	=	$6$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(3|y).

y = $3^{2} - 6 \cdot 3 + 5$ = $9 - 18 + 5$ = -4

also: S(3|-4).

ax²+bx+c -> Scheitelform

Beispiel:

Bestimme die Koordinaten des Scheitels der Parabel von der Funktion f mit $y =$ $2 x^{2} + 16 x + 4$ .

Lösung einblenden

1. Weg

$y =$ $2 x^{2} + 16 x + 4$

= $2 (x^{2} + 8 x) + 4$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $2 (x^{2} + 8 x + 16 - 16) + 4$

= $2 (x^{2} + 8 x + 16) + 2 \cdot (- 16) + 4$

= $2 {(x + 4)}^{2} - 32 + 4$

= $2 {(x + 4)}^{2} - 28$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-28).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $2 x^{2} + 16 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $2 x^{2} + 16 x + 4$ nur um $4$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $2 x^{2} + 16 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$2 x^{2} + 16 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = $2 \cdot {(- 4)}^{2} + 16 \cdot (- 4) + 4$ = $32 - 64 + 4$ = -28

also: S(-4|-28).

quadr. Funktionterm bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(1|-7) und B(4|-4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme einen Funktionsterm dieser Parabel.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(1|-7): -7 = 1² + b⋅1 +c

B(4|-4): -4 = 4² + b⋅4 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-7 = 1 +1b +c |-1
-4 = 16 +4b +c |-16

-8 = 1b +c
-20 = 4b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ 4 b & + c & = & - 20 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$4 b + c$	=	$- 20$
$c + 4 b$	=	$- 20$	\| $- 4 b$
$c$	=	$- 20 - 4 b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} b & + c & = & - 8 & (I) \\ + c & = & (- 20 - 4 b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $- 20 - 4 b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$b + 1 \cdot (- 20 - 4 b)$	=	$- 8$
$b - 20 - 4 b$	=	$- 8$
$- 3 b - 20$	=	$- 8$	\| $+ 20$
$- 3 b$	=	$12$	\|:( $- 3$ )
$b$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $- 20 - 4 \cdot (- 4)$

= $- 20 + 16$

= $- 4$

also

c = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Jetzt können wir b= $- 4$ und c= $- 4$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} - 4 x - 4$

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

Beispiel:

Die Punkte A(-1|-12) und B(1|4) liegen auf einer verschobenen Normalparabel.

Bestimme die Koordinaten des Scheitels dieser Parabel.

Lösung einblenden

Um den Scheitel dieser Parabel bestimmen zu können, müssen wir zuerst den Funktionsterm dieser Parabel berechnen:

Wir setzen einfach bei beiden Punkten A und B jeweils den x- und den y-Wert in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c ein:

A(-1|-12): -12 = ( - 1 )² + b⋅( - 1 ) +c

B(1|4): 4 = 1² + b⋅1 +c

Damit erhalten wir ein LGS (lineares Gleichungssystem):
-12 = 1 -1b +c |-1
4 = 1 +1b +c |-1

-13 = -1b +c
3 = 1b +c
Wir vertauschen die linke mit der rechten Seite und lösen dann das LGS:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ b & + c & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem c ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach c umstellt:

$b + c$	=	$3$
$c + b$	=	$3$	\| $- b$
$c$	=	$3 - b$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - b & + c & = & - 13 & (I) \\ + c & = & (3 - b) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das c durch ( $3 - b$ ) ersetzen und dann nach b auflösen:

$- b + 1 \cdot (3 - b)$	=	$- 13$
$- b + 3 - b$	=	$- 13$
$- 2 b + 3$	=	$- 13$	\| $- 3$
$- 2 b$	=	$- 16$	\|:( $- 2$ )
$b$	=	$8$

Somit haben wir eine Lösung für b.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

c = $3 - 8$

= $- 5$

also

c = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (8|-5)

Jetzt können wir b= $8$ und c= $- 5$ in die allgemeine Funktionsgleichung y = x² + bx + c einsetzen und erhalten so den Funktionsterm:

$y =$ $x^{2} + 8 x - 5$

Jetzt müssen wir noch den Scheitel dieser Parabel bestimmen:

1. Weg

$y =$ $x^{2} + 8 x - 5$

Man erweitert die ersten beiden Summanden ( $x^{2} + 8 x$ ) zu einem 'binomischen Formel'-Term. Dazu teilt man die $8 x$ durch 2x und quadriert diese Ergebnis 4 zu 16. Diese 16 fügt man dann an dritter Stelle in die Summe ein. So erhält man einen Term der Form x² ± 2xb + b², den man mit der binomischen Formel als (x ± b)² schreiben kann. Damit der Funktionsterm aber nicht verändert wird muss man die 16, die man an 3. Stelle eingefügt hat, danach auch wieder abziehen.

= $x^{2} + 8 x + 16 - 16 - 5$

= ${(x + 4)}^{2} - 16 - 5$

= ${(x + 4)}^{2} - 21$

Jetzt kann man den Scheitel leicht ablesen: S(-4|-21).

2. Weg

Wir betrachten nun nur $x^{2} + 8 x$ . Deren Parabel sieht ja genau gleich aus wie $x^{2} + 8 x - 5$ nur um $- 5$ nach oben/unten verschoben. Das heißt beide Parabeln haben ihren Scheitel an der gleichen x-Stelle.

Von $x^{2} + 8 x$ können wir aber über Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt sehr leicht die Nullstellen bestimmen.

$x^{2} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 8$	=	0	\| $- 8$
x₂	=	$- 8$

Aus Symmetriegründen muss der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Nullstellen liegen, also S(-4|y).

y = ${(- 4)}^{2} + 8 \cdot (- 4) - 5$ = $16 - 32 - 5$ = -21

also: S(-4|-21).

Aufgabenbeispiele von Scheitelform, Termbestimmung

x²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

ax²+bx+c -> Scheitelform

1. Weg

2. Weg

quadr. Funktionterm bestimmen

Scheitel aus 2 Punkten bestimmen

1. Weg

2. Weg