Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x = 3 der (in der Abbildung rechts rote) Punkt (3|y) auf der Höhe y = 0.3 liegt.

Der gesuchte Funktionsterm $\text{y}=$ ${\left(x-5\right)}^2+6$ ist ein Spezialfall von $a·{(x-d)}^2+e$. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x = 5 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(5|6).

Da das a=$1$>0 ist, ist die Parabel nach nach oben geöffnet.

Und weil |a|=|$1$|=1 ist, ist die Parabel gleich als die Normalparabel.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y = ax² sein.

Und weil die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a positiv sein.

An der Stelle x=1 ist der y-Wert gerade y=a⋅1²=a. Hier können wir also das a ablesen.

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $3x^2$.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y=ax² sein.

Wenn der Punkt P(9|5) auf der Parabel liegt, muss f(9) = a⋅9² = 81a = 5 gelten.

81a = 5 |:81

a = $\frac{5}{81}$

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $\frac{5}{81}{x}^2$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+2\right)·x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a·\left(-3+2\right)·\left(-3\right)$ = $3a$=1.

Hieraus ergibt sich a=$\frac{1}{3}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $\frac{1}{3}\left(x+2\right)x$.

Man erkennt leicht, dass der Scheitel der abgebildeten Parabel in S(4|4) liegt, so dass der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·{(x-d)}^2+e$ mit d = 4 und e = 4, also $\text{y}=$ $a·{\left(x-4\right)}^2+4$ sein muss.

Und weil die Parabel nach unten geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a negativ sein.

Um das a genau zu bestimmen, schauen wir uns einen Punkt an, dessen x-Wert 1 neben dem Scheitel liegt. An der Stelle x = 3 ist der y-Wert gerade y = $a·{\left(3-4\right)}^2+4$ = 1a +4. Hier können wir am Schaubild ablesen, dass y = 1a +4 = 3.75 ist.

1a +4 = 3.75 | -4

a = -0.25

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $-\mathrm{0,25}{\left(x-4\right)}^2+4$.

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $\text{y}=$ $-2\left(x+3\right)x$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(1|0) und N₂(5|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x-1\right)·\left(x-5\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a·\left(2-1\right)·\left(2-5\right)$ = $-3a$=-1.

Hieraus ergibt sich a=$\frac{1}{3}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $\frac{1}{3}\left(x-1\right)\left(x-5\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{y}=$ $\frac{1}{3}\left(x-1\right)\left(x-5\right)$

= $\frac{1}{3}(x·x+x·\left(-5\right)-1·x-1·\left(-5\right))$

= $\frac{1}{3}(x·x-5x-x+5)$

= $\frac{1}{3}\left(x^2-6x+5\right)$

= $\frac{1}{3}{x}^2-2x+\frac{5}{3}$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $\text{y}=$ $\frac{1}{3}{x}^2-2x+\frac{5}{3}$