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y-Wert bei einer quadr. Funktion ablesen

Beispiel:

Entnimm dem Graphen in der Abbildung näherungsweise den y-Wert an der Stelle x = 1.

Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x = 1 der (in der Abbildung rechts rote) Punkt (1|y) auf der Höhe y = -0.8 liegt.

Schaubild bei allg. Scheitelform

Beispiel:

Die Funktion f mit $y =$ ${(x + 3)}^{2} + 6$ ist eine quadratische Funktion. Bestimme den Scheitel ihres Schaubilds. Bestimme, ob sie nach oben oder unten geöffnet ist, und ob sie enger oder weiter als eine Normalparabel ist.

Lösung einblenden

Der gesuchte Funktionsterm $y =$ ${(x + 3)}^{2} + 6$ ist ein Spezialfall von $a \cdot {(x - d)}^{2} + e$ . Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x = -3 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-3|6).

Da das a= $1$ >0 ist, ist die Parabel nach nach oben geöffnet.

Und weil |a|=| $1$ |=1 ist, ist die Parabel gleich als die Normalparabel.

ax² aus Graph bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm der gezeichneten Parabel.

Lösung einblenden

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y = ax² sein.

Und weil die Parabel nach unten geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a negativ sein.

An der Stelle x=1 ist der y-Wert gerade y=a⋅1²=a. Hier können wir also das a ablesen.

So erhält man als Funktionsterm: $y =$ $- 0,5 x^{2}$ .

ax² mit 2. Punkt bestimmen

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm der Parabel mit dem Scheitel S(0|0) auf der der Punkt P(-5|6) liegt.

Lösung einblenden

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y=ax² sein.

Wenn der Punkt P(-5|6) auf der Parabel liegt, muss f(-5) = a⋅-5² = 25a = 6 gelten.

25a = 6 |:25

a = $\frac{6}{25}$

So erhält man als Funktionsterm: $y =$ $\frac{6}{25} x^{2}$ .

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Beispiel:

Gezeichnet ist eine Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 4) \cdot (x + 2)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-3|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a \cdot (- 3 + 4) \cdot (- 3 + 2)$ = $- a$ =1.

Hieraus ergibt sich a= $- 1$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $- (x + 4) (x + 2)$ .

Term aus Graph (allg.)

Beispiel:

Bestimme den Funktionsterm der gezeichneten Parabel.

Lösung einblenden

Man erkennt leicht, dass der Scheitel der abgebildeten Parabel in S(0|0) liegt, so dass der Funktionsterm $y =$ $a \cdot {(x - d)}^{2} + e$ mit d = 0 und e = 0, also $y =$ $a \cdot {(x + 0)}^{2} + 0$ sein muss.

Und weil die Parabel nach unten geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a negativ sein.

Um das a genau zu bestimmen, schauen wir uns einen Punkt an, dessen x-Wert 1 neben dem Scheitel liegt. An der Stelle x = 1 ist der y-Wert gerade y = $a \cdot {(1 + 0)}^{2} + 0$ = 1a +0. Hier können wir am Schaubild ablesen, dass y = 1a +0 = -0.5 ist.

1a +0 = -0.5 | -0

a = -0.5

An der Stelle x=1 kann man das -0.5 zwar nicht so gut ablesen, man kann aber auch x = 2 in y =

a \cdot {(2 + 0)}^{2} + 0

= -2 einsetzen,
also x = 2 in y = a⋅2² +0 = 4a +0 = -2 | -0
4a = -2 |:4
a =

- \frac{2}{4}

= -0.5

So erhält man als Funktionsterm: $y =$ $- 0,5 x^{2}$ .

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit $y =$ $3 x^{2} - 3$ .
Bestimme einen Funktionsterm in faktorisierter Darstellung.

Lösung einblenden

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$3 x^{2} - 3$	=	0	\| $+ 3$
$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$ genau die gleichen Nullstellen wie $y =$ $3 x^{2} - 3$ .

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$y =$ $a \cdot (x + 1) \cdot (x - 1)$

= $a \cdot (x \cdot x + x \cdot (- 1) + 1 \cdot x + 1 \cdot (- 1))$

= $a \cdot (x \cdot x - x + x - 1)$

= $a \cdot (x^{2} - 1)$

Für a = 3 ergibt sich also tatsächlich:

$3 (x^{2} - 1)$ = $3 x^{2} - 3$ = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $y =$ $3 (x + 1) (x - 1)$

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.

Beispiel:

Gezeichnet ist das Schaubild einer Parabel, die nicht unbedingt eine Normalparabel sein muss. Bestimme einen Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c an.

Lösung einblenden

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $y =$ $a \cdot (x + 3) \cdot x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a \cdot (- 2 + 3) \cdot (- 2)$ = $- 2 a$ =-1.

Hieraus ergibt sich a= $\frac{1}{2}$ .

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $y =$ $\frac{1}{2} (x + 3) x$ .

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$y =$ $\frac{1}{2} (x + 3) x$

= $\frac{1}{2} (x \cdot x + 3 \cdot x)$

= $\frac{1}{2} (x \cdot x + 3 x)$

= $\frac{1}{2} (x^{2} + 3 x)$

= $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $y =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x$

Aufgabenbeispiele von Streckung

y-Wert bei einer quadr. Funktion ablesen

Schaubild bei allg. Scheitelform

ax² aus Graph bestimmen

ax² mit 2. Punkt bestimmen

Linearfaktordarst. am Graph (a≠1)

Term aus Graph (allg.)

Linearfakt. aus Term (a≠1)

Linearfakt. am Graph (a≠1) + Ausmultipl.