Der gesuchte Funktionsterm $\text{y}=$ ${\left(x-1\right)}^2+6$ ist ein Spezialfall von $a·{(x-d)}^2+e$. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x = 1 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(1|6).

Da das a=$1$>0 ist, ist die Parabel nach nach oben geöffnet.

Und weil |a|=|$1$|=1 ist, ist die Parabel gleich als die Normalparabel.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y = ax² sein.

Und weil die Parabel nach unten geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a negativ sein.

An der Stelle x=1 ist der y-Wert gerade y=a⋅1²=a. Hier können wir also das a ablesen.

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $-3x^2$.

Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x = 5 der (in der Abblidung rechts rote) Punkt (5|y) auf der Höhe y = -4.2 liegt.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(1|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-1\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|-2).
Es gilt dann ja: y = -2,
also y = $a·\left(0+1\right)·\left(0-1\right)$ = $-a$=-2.

Hieraus ergibt sich a=$2$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $2\left(x+1\right)\left(x-1\right)$.

Man erkennt leicht, dass der Scheitel der abgebildeten Parabel in S(-4|2) liegt, so dass der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·{(x-d)}^2+e$ mit d = -4 und e = 2, also $\text{y}=$ $a·{\left(x+4\right)}^2+2$ sein muss.

Und weil die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a positiv sein.

Um das a genau zu bestimmen, schauen wir uns einen Punkt an, dessen x-Wert 1 neben dem Scheitel liegt. An der Stelle x = -3 ist der y-Wert gerade y = $a·{\left(-3+4\right)}^2+2$ = 1a +2. Hier können wir am Schaubild ablesen, dass y = 1a +2 = 2.25 ist.

1a +2 = 2.25 | -2

a = 0.25

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $\mathrm{0,25}{\left(x+4\right)}^2+2$.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y=ax² sein.

Wenn der Punkt P(-2|7) auf der Parabel liegt, muss f(-2) = a⋅-2² = 4a = 7 gelten.

4a = 7 |:4

a = $\frac{7}{4}$

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $\frac{7}{4}{x}^2$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-2\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(0|2).
Es gilt dann ja: y = 2,
also y = $a·\left(0+1\right)·\left(0-2\right)$ = $-2a$=2.

Hieraus ergibt sich a=$-1$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $-\left(x+1\right)\left(x-2\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{y}=$ $-\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

= $-(x·x+x·\left(-2\right)+1·x+1·\left(-2\right))$

= $-(x·x-2x+x-2)$

= $-\left(x^2-x-2\right)$

= $-x^2+x+2$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $\text{y}=$ $-x^2+x+2$

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $\text{y}=$ $3x\left(x-2\right)$.