Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x = 1 der (in der Abbildung rechts rote) Punkt (1|y) auf der Höhe y = 2.7 liegt.

Der gesuchte Funktionsterm $\text{y}=$ $\frac{5}{4}{\left(x+2\right)}^2+6$ ist ein Spezialfall von $a·{(x-d)}^2+e$. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x = -2 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-2|6).

Da das a=$\frac{5}{4}$>0 ist, ist die Parabel nach nach oben geöffnet.

Und weil |a|=|$\frac{5}{4}$|>1 ist, ist die Parabel enger als die Normalparabel.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y = ax² sein.

Und weil die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a positiv sein.

An der Stelle x=1 ist der y-Wert gerade y=a⋅1²=a. Hier können wir also das a ablesen.

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $3x^2$.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y=ax² sein.

Wenn der Punkt P(-9|7) auf der Parabel liegt, muss f(-9) = a⋅-9² = 81a = 7 gelten.

81a = 7 |:81

a = $\frac{7}{81}$

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $\frac{7}{81}{x}^2$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(0|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+2\right)·x$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-1|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a·\left(-1+2\right)·\left(-1\right)$ = $-a$=-1.

Hieraus ergibt sich a=$1$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $\left(x+2\right)x$.

Man erkennt leicht, dass der Scheitel der abgebildeten Parabel in S(-4|1) liegt, so dass der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·{(x-d)}^2+e$ mit d = -4 und e = 1, also $\text{y}=$ $a·{\left(x+4\right)}^2+1$ sein muss.

Und weil die Parabel nach unten geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a negativ sein.

Um das a genau zu bestimmen, schauen wir uns einen Punkt an, dessen x-Wert 1 neben dem Scheitel liegt. An der Stelle x = -3 ist der y-Wert gerade y = $a·{\left(-3+4\right)}^2+1$ = 1a +1. Hier können wir am Schaubild ablesen, dass y = 1a +1 = 0.5 ist.

1a +1 = 0.5 | -1

a = -0.5

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $-\mathrm{0,5}{\left(x+4\right)}^2+1$.

Wir können einfach x ausklammern und erhalten so $\text{y}=$ $-4\left(x+3\right)x$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-3|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+3\right)·\left(x+2\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-4|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a·\left(-4+3\right)·\left(-4+2\right)$ = $2a$=-1.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{2}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $-\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(x+2\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{y}=$ $-\frac{1}{2}\left(x+3\right)\left(x+2\right)$

= $-\frac{1}{2}(x·x+x·2+3·x+3·2)$

= $-\frac{1}{2}(x·x+2x+3x+6)$

= $-\frac{1}{2}\left(x^2+5x+6\right)$

= $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{2}x-3$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $\text{y}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{5}{2}x-3$