Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x = 2 der (in der Abbildung rechts rote) Punkt (2|y) auf der Höhe y = 0 liegt.

Der gesuchte Funktionsterm $\text{y}=$ ${\left(x+2\right)}^2+6$ ist ein Spezialfall von $a·{(x-d)}^2+e$. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x = -2 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-2|6).

Da das a=$1$>0 ist, ist die Parabel nach nach oben geöffnet.

Und weil |a|=|$1$|=1 ist, ist die Parabel gleich als die Normalparabel.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y = ax² sein.

Und weil die Parabel nach unten geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a negativ sein.

An der Stelle x=1 ist der y-Wert gerade y=a⋅1²=a. Hier können wir also das a ablesen.

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $-4x^2$.

Weil der Scheitel der Parabel im Ursprung liegt, muss der Funktionsterm y=ax² sein.

Wenn der Punkt P(6|4) auf der Parabel liegt, muss f(6) = a⋅6² = 36a = 4 gelten.

36a = 4 |:36

a = $\frac{1}{9}$

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $\frac{1}{9}{x}^2$.

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-4|0) und N₂(-2|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+4\right)·\left(x+2\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-5|-1).
Es gilt dann ja: y = -1,
also y = $a·\left(-5+4\right)·\left(-5+2\right)$ = $3a$=-1.

Hieraus ergibt sich a=$-\frac{1}{3}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $-\frac{1}{3}\left(x+4\right)\left(x+2\right)$.

Man erkennt leicht, dass der Scheitel der abgebildeten Parabel in S(-1|0) liegt, so dass der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·{(x-d)}^2+e$ mit d = -1 und e = 0, also $\text{y}=$ $a·{\left(x+1\right)}^2+0$ sein muss.

Und weil die Parabel nach oben geöffnet ist, muss das Vorzeichen von a positiv sein.

Um das a genau zu bestimmen, schauen wir uns einen Punkt an, dessen x-Wert 1 neben dem Scheitel liegt. An der Stelle x = 0 ist der y-Wert gerade y = $a·{\left(0+1\right)}^2+0$ = 1a +0. Hier können wir am Schaubild ablesen, dass y = 1a +0 = 3 ist.

1a +0 = 3 | -0

a = 3

So erhält man als Funktionsterm: $\text{y}=$ $3{\left(x+1\right)}^2$.

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$-x^2+4x-3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·\left(-1\right)·\left(-3\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{-2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4}}{-2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{-2}$ = $1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{4}}{-2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{-2}$ = $3$

Für jedes a hat also der Funktionterm $a·\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$ genau die gleichen Nullstellen wie $\text{y}=$ $-3x^2+12x-9$.

Wenn wir nun ausmultiplizieren, erkennenn wir, dass a genau der Koeffizient vor den x² bei unserer Originalfunktion sein muss:

$\text{y}=$ $a·\left(x-1\right)·\left(x-3\right)$

= $a·(x·x+x·\left(-3\right)-1·x-1·\left(-3\right))$

= $a·(x·x-3x-x+3)$

= $a·\left(x^2-4x+3\right)$

Für a = -3 ergibt sich also tatsächlich:

$-3\left(x^2-4x+3\right)$ = $-3x^2+12x-9$ = y

Der gesuchte Funktionsterm in faktorisierter Darstellung ist also: $\text{y}=$ $-3\left(x-1\right)\left(x-3\right)$

Zuerst lesen wir die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-1|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+1\right)·\left(x-2\right)$ sein.

Um dieses a zu bestimmen, suchen wir uns am besten einen Punkt auf dem Graph aus, bei dem sowohl der x-Wert als auch der y-Wert ganzzahlig sind (also ein Punkt auf dem Graph, der genau durch ein 'Kästchenkreuz' geht), in diesem Fall z.B. P(-2|1).
Es gilt dann ja: y = 1,
also y = $a·\left(-2+1\right)·\left(-2-2\right)$ = $4a$=1.

Hieraus ergibt sich a=$\frac{1}{4}$.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $\frac{1}{4}\left(x+1\right)\left(x-2\right)$.

Jetzt muss der faktorisierte Term eben noch ausmultipliziert werden:

$\text{y}=$ $\frac{1}{4}\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

= $\frac{1}{4}(x·x+x·\left(-2\right)+1·x+1·\left(-2\right))$

= $\frac{1}{4}(x·x-2x+x-2)$

= $\frac{1}{4}\left(x^2-x-2\right)$

= $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}$

Der gesuchte Funktionsterm in der Form y = ax² + bx + c ist somit $\text{y}=$ $\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}$