A(-6|36) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${\left(-6\right)}^2$=36.

B($\frac{6}{7}$|$\frac{6}{49}$) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${\left(\frac{6}{7}\right)}^2$=$\frac{36}{49}$ ≠ $\frac{6}{49}$.

C(-0.4|0.16) liegt auf der Normalparabel, weil y= ${\left(-\mathrm{0,4}\right)}^2$=0.16.

D( $\sqrt{9}$|81) liegt nicht auf der Normalparabel, weil y= ${\left(\sqrt{9}\right)}^2$=$9$ ≠ 81.

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(0|2) liegt.

Die Parabel ist also um 2 Einheiten in y-Richtung verschoben. Der Funktionsterm ist demnach $\text{y}=$ $x^2+e$, in diesem Fall mit e= 2.

Der gesuchte Funktionsterm ist also: $\text{y}=$ $x^2+2$.

Im Schaubild erkennen wir, dass der Scheitel der Normalparabel bei S(2|5) liegt.

Eine Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm y= ± ${(x-d)}^2+e$.

Weil - ${(x-d)}^2$ nie größer Null werden kann, muss der größte Wert der Funktion bei x=d sein, weil hier ${(x-d)}^2$ gerade gleich Null ist. Wenn Der Scheitel nun als y-Wert e hat, so ist die Parabel um e Einheiten nach oben verschoben, also muss man zu - ${(x-d)}^2$ noch e addieren.

Wenn man nun beachtet, dass die Normalparabel nach unten geöffnet ist, und die Scheitelkoordinaten für d und e einsetzt, so erhält man als Funktionsterm: y= $-{\left(x-2\right)}^2+5$.

Der gesuchte Funktionsterm $\text{y}=$ ${\left(x+8\right)}^2$ ist ein Spezialfall von ${(x-d)}^2$. Der kleinste Wert wird dabei also bei x=-8 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y=0. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(-8|0).

Der gesuchte Funktionsterm $\text{y}=$ ${\left(x-7\right)}^2+6$ ist ein Spezialfall von ${(x-d)}^2+e$. Der Scheitel liegt dabei bei S(d|e), denn der kleinste Wert wird hier bei x=7 angenommen. Dieser kleinste Wert ist dann y = 6. Die Parabel hat also ihren Scheitel in S(7|6).

1. Weg

Eine nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitel S(d|e) hat den Funktionsterm $\text{y}=$ ${(x-d)}^2+e$.

Also muss der Funktionsterm der vorliegenden Parabel $\text{y}=$ ${\left(x+1\right)}^2+3$ sein.

Setzt man nun x=-2 in diesen Funktionsterm ein, so erhält man y = ${\left(-2+1\right)}^2+3$ = $1+3$= $4$.

2. Weg

Der x-Wert von S ist genau 1 Einheiten vom x-Wert des Scheitels entfernt und weil ja eine Normalparabel die gleiche Form wie das Schaubild von y=x² hat, muss also auch hier der y-Wert um 1²=1 höher liegen als der des Scheitel. Man erhält also den y-Wert von P, in dem man zum y-Wert des Scheitels noch 1 drauf addiert, also y = 3+1 = 4.

Der Punkt P hat also die Koordinaten P(-2|4).

Für die faktorisierte Darstellung brauchen wir die Nullstellen. Also berechnen wir diese als erstes.

$x^2+4x+3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·3}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{-4+\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-2}{2}$ = $-1$

x₂ = $\frac{-4-\sqrt{4}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>4</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-6}{2}$ = $-3$

Der Funktionterm $\left(x+3\right)\left(x+1\right)$ hat nun also genau die gleichen Nullstellen wie $\text{y}=$ $x^2+4x+3$ und beide Terme haben a=1 als Koeffizient vor dem x² (Normalparabeln).

Also ist $\text{y}=$ $\left(x+3\right)\left(x+1\right)$ bereits der gesuchte Term.

Wir lesen einfach die beiden Schnittpunkte mit der x-Achse ab: N₁(-2|0) und N₂(2|0).

Also muss der Funktionsterm $\text{y}=$ $a·\left(x+2\right)·\left(x-2\right)$ sein.

Weil es sich ja aber um eine Normalparabel handelt, kann dieses a nur 1 oder -1 sein.

Die Parabel ist nach unten geöffnet, also muss a = $-1$ sein.

Der gesuchte faktorisierte Funktionsterm ist somit $\text{y}=$ $-\left(x+2\right)\left(x-2\right)$.