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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 1 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{2}{9}$
rot -> blau	$\frac{5}{18}$
blau -> rot	$\frac{5}{18}$
blau -> blau	$\frac{2}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{2}$ ; P("blau")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{5}{18}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{5}{18}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{18}$ + $\frac{5}{18}$ = $\frac{5}{9}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{49}{380}$
1 -> 3	$\frac{21}{190}$
2 -> 1	$\frac{49}{380}$
2 -> 2	$\frac{21}{190}$
2 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> 1	$\frac{21}{190}$
3 -> 2	$\frac{21}{190}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{7}{20}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{49}{380}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{49}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{380}$ + $\frac{49}{380}$ = $\frac{49}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{1}{11}$ ; "nicht 15": $\frac{10}{11}$ ;

Ereignis	P
15 -> 15	$\frac{1}{231}$
15 -> nicht 15	$\frac{20}{231}$
nicht 15 -> 15	$\frac{20}{231}$
nicht 15 -> nicht 15	$\frac{190}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= $\frac{1}{11}$ ; P("nicht 15")= $\frac{10}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'15'-'15' (P= $\frac{1}{231}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{231}$ = $\frac{1}{231}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{6}$ ⋅ $\frac{4}{5}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $2$ ⋅ $\frac{2}{5}$
= $\frac{4}{35}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{25}{64}$
1 -> 2	$\frac{5}{64}$
1 -> 3	$\frac{5}{64}$
1 -> 4	$\frac{5}{64}$
2 -> 1	$\frac{5}{64}$
2 -> 2	$\frac{1}{64}$
2 -> 3	$\frac{1}{64}$
2 -> 4	$\frac{1}{64}$
3 -> 1	$\frac{5}{64}$
3 -> 2	$\frac{1}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{5}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{5}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{5}{64}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{5}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{64}$ + $\frac{5}{64}$ = $\frac{5}{32}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen