Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 3 4 ; "nicht rot": 1 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- 1 220 = 219 220

EreignisP
rot -> rot -> rot 21 55
rot -> rot -> nicht rot 9 55
rot -> nicht rot -> rot 9 55
rot -> nicht rot -> nicht rot 9 220
nicht rot -> rot -> rot 9 55
nicht rot -> rot -> nicht rot 9 220
nicht rot -> nicht rot -> rot 9 220
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 4 ; P("nicht rot")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= 9 220 )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 9 220 )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 9 220 )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 9 55 )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 9 55 )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= 9 55 )
'rot'-'rot'-'rot' (P= 21 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 220 + 9 220 + 9 220 + 9 55 + 9 55 + 9 55 + 21 55 = 219 220


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 3 Mädchen und 7 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 1 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": 3 10 ; "nicht Mädchen": 7 10 ;

EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 1 120
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 7 120
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 7 120
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 7 40
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 7 120
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen 7 40
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen 7 40
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen 7 24

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= 3 10 ; P("nicht Mädchen")= 7 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 7 40 )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 7 40 )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= 7 40 )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= 7 24 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 40 + 7 40 + 7 40 + 7 24 = 49 60


nur Summen

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 3 32
1 -> 3 3 32
1 -> 4 3 64
2 -> 1 3 32
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 16
2 -> 4 1 32
3 -> 1 3 32
3 -> 2 1 16
3 -> 3 1 16
3 -> 4 1 32
4 -> 1 3 64
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 32
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 3 8 ; P("2")= 1 4 ; P("3")= 1 4 ; P("4")= 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'3' (P= 3 32 )
  • '3'-'1' (P= 3 32 )
  • '2'-'2' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 32 + 3 32 + 1 16 = 1 4


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 6 3 5 2 4 2 3
= 1 1 5 1 2 3
= 2 15

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Zahl und 2 mal Wappen"?

Lösung einblenden
EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> Wappen 1 8
Zahl -> Wappen -> Zahl 1 8
Zahl -> Wappen -> Wappen 1 8
Wappen -> Zahl -> Zahl 1 8
Wappen -> Zahl -> Wappen 1 8
Wappen -> Wappen -> Zahl 1 8
Wappen -> Wappen -> Wappen 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= 1 2 ; P("Wappen")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= 1 8 )
  • 'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 = 3 8