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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{30}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ; P("Jungs")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 2 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 7 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{190}$
1 -> 2	$\frac{7}{190}$
1 -> 3	$\frac{7}{190}$
1 -> 4	$\frac{2}{95}$
2 -> 1	$\frac{7}{190}$
2 -> 2	$\frac{21}{190}$
2 -> 3	$\frac{49}{380}$
2 -> 4	$\frac{7}{95}$
3 -> 1	$\frac{7}{190}$
3 -> 2	$\frac{49}{380}$
3 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> 4	$\frac{7}{95}$
4 -> 1	$\frac{2}{95}$
4 -> 2	$\frac{7}{95}$
4 -> 3	$\frac{7}{95}$
4 -> 4	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{10}$ ; P("2")= $\frac{7}{20}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{7}{190}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{7}{190}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{190}$ + $\frac{7}{190}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{7}{38}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{4}{29}$ ; "nicht 15": $\frac{25}{29}$ ;

Ereignis	P
15 -> 15	$\frac{3}{203}$
15 -> nicht 15	$\frac{25}{203}$
nicht 15 -> 15	$\frac{25}{203}$
nicht 15 -> nicht 15	$\frac{150}{203}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= $\frac{4}{29}$ ; P("nicht 15")= $\frac{25}{29}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'15'-'15' (P= $\frac{3}{203}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{203}$ = $\frac{3}{203}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 11 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{15}$ ⋅ $\frac{3}{14}$ ⋅ $\frac{2}{13}$ ⋅ $\frac{11}{12}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{11}{3}$
= $\frac{11}{1365}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{9}{64}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
2 -> 1	$\frac{9}{64}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{3}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{3}{32}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{3}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{9}{64}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ = $\frac{9}{32}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen