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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 8 blaue , 3 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{8}$ ; "nicht gelb": $\frac{7}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{1}{92}$ = $\frac{91}{92}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{92}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{21}{184}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{21}{184}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{35}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{8}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{7}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{21}{184}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{21}{184}$ )
'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{35}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{184}$ + $\frac{21}{184}$ + $\frac{35}{46}$ = $\frac{91}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 6 vom Typ Kreuz, 8 vom Typ Herz, 7 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{5}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{2}{23}$
Kreuz -> Pik	$\frac{7}{92}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{92}$
Herz -> Kreuz	$\frac{2}{23}$
Herz -> Herz	$\frac{7}{69}$
Herz -> Pik	$\frac{7}{69}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{23}$
Pik -> Kreuz	$\frac{7}{92}$
Pik -> Herz	$\frac{7}{69}$
Pik -> Pik	$\frac{7}{92}$
Pik -> Karo	$\frac{7}{184}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{92}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{23}$
Karo -> Pik	$\frac{7}{184}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Pik")= $\frac{7}{24}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{5}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{7}{69}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{7}{92}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{92}$ + $\frac{7}{69}$ + $\frac{7}{92}$ + $\frac{1}{92}$ = $\frac{67}{276}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{32}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{32}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 12 rote und 2 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{12}{13}$
= $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{6}{13}$
= $\frac{12}{91}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 4 gelbe, 6 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{5}$ ; "nicht schwarz": $\frac{4}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{16}{25}$ = $\frac{9}{25}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{25}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{4}{25}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{4}{25}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{16}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{4}{25}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{4}{25}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{25}$ + $\frac{4}{25}$ + $\frac{1}{25}$ = $\frac{9}{25}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- 1 92 = 91 92

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{1}{92}$ = $\frac{91}{92}$