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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{5}$ ; "nicht Ass": $\frac{4}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Ass' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Ass' bzw. 0 mal 'Ass'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Ass')=1- $\frac{28}{45}$ = $\frac{17}{45}$

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{45}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{8}{45}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{8}{45}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{8}{45}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{8}{45}$ )
'Ass'-'Ass' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ + $\frac{1}{45}$ = $\frac{17}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Karten der Farbe Kreuz, 9 der Farbe Pik, 5 der Farbe Herz und 6 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Pik"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{46}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{46}$
Kreuz -> Herz	$\frac{5}{138}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{23}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{46}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{23}$
Pik -> Herz	$\frac{15}{184}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{92}$
Herz -> Kreuz	$\frac{5}{138}$
Herz -> Pik	$\frac{15}{184}$
Herz -> Herz	$\frac{5}{138}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{92}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{23}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{92}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{92}$
Karo -> Karo	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{6}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{8}$ ; P("Herz")= $\frac{5}{24}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Pik' (P= $\frac{3}{46}$ )
'Pik'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{46}$ + $\frac{3}{46}$ = $\frac{3}{23}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Ass' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Ass' bzw. 0 mal 'Ass'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Ass')=1- $\frac{15}{28}$ = $\frac{13}{28}$

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )
'Ass'-'Ass' (P= $\frac{1}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ + $\frac{3}{14}$ + $\frac{1}{28}$ = $\frac{13}{28}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen