Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen
ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 6 rote, 2 blaue , 7 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> blau | |
| rot -> gelb | |
| rot -> schwarz | |
| blau -> rot | |
| blau -> blau | |
| blau -> gelb | |
| blau -> schwarz | |
| gelb -> rot | |
| gelb -> blau | |
| gelb -> gelb | |
| gelb -> schwarz | |
| schwarz -> rot | |
| schwarz -> blau | |
| schwarz -> gelb | |
| schwarz -> schwarz |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")=; P("blau")=; P("gelb")=; P("schwarz")=;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'blau' (P=)
'blau'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 7 -> 7 | |
| 7 -> 8 | |
| 7 -> 9 | |
| 8 -> 7 | |
| 8 -> 8 | |
| 8 -> 9 | |
| 9 -> 7 | |
| 9 -> 8 | |
| 9 -> 9 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")=; P("8")=; P("9")=;
Die relevanten Pfade sind:
'7'-'9' (P=)
'9'-'7' (P=)
'8'-'8' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?
Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": ; "nicht 3": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 3 -> 3 | |
| 3 -> nicht 3 | |
| nicht 3 -> 3 | |
| nicht 3 -> nicht 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")=; P("nicht 3")=;
Die relevanten Pfade sind:- '3'-'3' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 11 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einer Urne sind 5 rote, 7 gelbe, 9 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?
Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": ; "nicht rot": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'rot')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> nicht rot | |
| nicht rot -> rot | |
| nicht rot -> nicht rot |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")=; P("nicht rot")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'rot'-'nicht rot' (P=)
- 'nicht rot'-'rot' (P=)
- 'rot'-'rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
