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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 8 Schüler mit NWT-Profil, 4 Schüler mit sprachlichem Profil, 7 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass höchstens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{3}$ ; "nicht NWT": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{7}{69}$ = $\frac{62}{69}$

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{69}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{16}{69}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{10}{23}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{16}{69}$ )
'nicht NWT'-'NWT' (P= $\frac{16}{69}$ )
'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{10}{23}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{69}$ + $\frac{16}{69}$ + $\frac{10}{23}$ = $\frac{62}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{21}{190}$
1 -> 2	$\frac{49}{380}$
1 -> 3	$\frac{21}{190}$
2 -> 1	$\frac{49}{380}$
2 -> 2	$\frac{21}{190}$
2 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> 1	$\frac{21}{190}$
3 -> 2	$\frac{21}{190}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{7}{20}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{49}{380}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{49}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{380}$ + $\frac{49}{380}$ = $\frac{49}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 7 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{49}{400}$
1 -> 2	$\frac{21}{200}$
1 -> 3	$\frac{49}{400}$
2 -> 1	$\frac{21}{200}$
2 -> 2	$\frac{9}{100}$
2 -> 3	$\frac{21}{200}$
3 -> 1	$\frac{49}{400}$
3 -> 2	$\frac{21}{200}$
3 -> 3	$\frac{49}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{20}$ ; P("2")= $\frac{3}{10}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{49}{400}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{49}{400}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{49}{400}$ + $\frac{49}{400}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{67}{200}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{18}{19}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{3}{19}$
= $\frac{9}{665}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine 6 zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '6er')=1- $\frac{1}{36}$ = $\frac{35}{36}$

Ereignis	P
6er -> 6er	$\frac{1}{36}$
6er -> nicht 6er	$\frac{5}{36}$
nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{36}$
nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 6er")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{25}{36}$ = $\frac{35}{36}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- 7 69 = 62 69

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal '6er')=1- 1 36 = 35 36

P=1-P(2 mal 'NWT')=1- $\frac{7}{69}$ = $\frac{62}{69}$

P=1-P(2 mal '6er')=1- $\frac{1}{36}$ = $\frac{35}{36}$