Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
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ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 7 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)
| Ereignis | P |
|---|---|
| Kreuz -> Kreuz | |
| Kreuz -> Herz | |
| Kreuz -> Pik | |
| Kreuz -> Karo | |
| Herz -> Kreuz | |
| Herz -> Herz | |
| Herz -> Pik | |
| Herz -> Karo | |
| Pik -> Kreuz | |
| Pik -> Herz | |
| Pik -> Pik | |
| Pik -> Karo | |
| Karo -> Kreuz | |
| Karo -> Herz | |
| Karo -> Pik | |
| Karo -> Karo |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")=; P("Herz")=; P("Pik")=; P("Karo")=;
Die relevanten Pfade sind:
'Kreuz'-'Kreuz' (P=)
'Herz'-'Herz' (P=)
'Pik'-'Pik' (P=)
'Karo'-'Karo' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 3 mal blau"?
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot -> rot | |
| rot -> rot -> blau | |
| rot -> blau -> rot | |
| rot -> blau -> blau | |
| blau -> rot -> rot | |
| blau -> rot -> blau | |
| blau -> blau -> rot | |
| blau -> blau -> blau |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")=; P("blau")=;
Die relevanten Pfade sind:
'blau'-'blau'-'blau' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?
Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": ; "nicht 3": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| 3 -> 3 | |
| 3 -> nicht 3 | |
| nicht 3 -> 3 | |
| nicht 3 -> nicht 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")=; P("nicht 3")=;
Die relevanten Pfade sind:- '3'-'3' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
Aus einem Kartenstapel mit 6 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Da ja ausschließlich nach 'A' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'A' und 'nicht A'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"A": ; "nicht A": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| A -> A | |
| A -> nicht A | |
| nicht A -> A | |
| nicht A -> nicht A |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")=; P("nicht A")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'A'-'A' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
