Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": 1 4 ; "nicht deutsch": 3 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal deutsch' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'deutsch'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'deutsch')=1- 1 140 = 139 140

EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch 3 70
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= 1 4 ; P("nicht deutsch")= 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= 3 70 )
'deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )
'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 28 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 70 + 3 70 + 3 70 + 11 70 + 11 70 + 11 70 + 11 28 = 139 140


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 10 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 10 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 3 52
1 -> 2 5 78
1 -> 3 5 78
1 -> 4 5 78
2 -> 1 5 78
2 -> 2 3 52
2 -> 3 5 78
2 -> 4 5 78
3 -> 1 5 78
3 -> 2 5 78
3 -> 3 3 52
3 -> 4 5 78
4 -> 1 5 78
4 -> 2 5 78
4 -> 3 5 78
4 -> 4 3 52

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 1 4 ; P("2")= 1 4 ; P("3")= 1 4 ; P("4")= 1 4 ;

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'1'-'2' (P= 5 78 )
'2'-'1' (P= 5 78 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 78 + 5 78 = 5 39


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

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EreignisP
7 -> 7 1 28
7 -> 8 1 7
7 -> 9 1 14
8 -> 7 1 7
8 -> 8 3 14
8 -> 9 1 7
9 -> 7 1 14
9 -> 8 1 7
9 -> 9 1 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 1 4 ; P("8")= 1 2 ; P("9")= 1 4 ;

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'7'-'8' (P= 1 7 )
'8'-'7' (P= 1 7 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 1 7 = 2 7


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 9 3 8 5 7
= 1 3 1 2 5 7
= 5 42

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": 1 3 ; "nicht Ass": 2 3 ;

EreignisP
Ass -> Ass 1 11
Ass -> nicht Ass 8 33
nicht Ass -> Ass 8 33
nicht Ass -> nicht Ass 14 33

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= 1 3 ; P("nicht Ass")= 2 3 ;

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'Ass'-'Ass' (P= 1 11 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 11 = 1 11