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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 0 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Jungs'-'Jungs'-'Jungs' (P= $\frac{2}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{91}$ = $\frac{2}{91}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot, 9 vom Typ blau, 6 vom Typ gelb und 6 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{92}$
rot -> blau	$\frac{9}{184}$
rot -> gelb	$\frac{3}{92}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{92}$
blau -> rot	$\frac{9}{184}$
blau -> blau	$\frac{3}{23}$
blau -> gelb	$\frac{9}{92}$
blau -> schwarz	$\frac{9}{92}$
gelb -> rot	$\frac{3}{92}$
gelb -> blau	$\frac{9}{92}$
gelb -> gelb	$\frac{5}{92}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{46}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{92}$
schwarz -> blau	$\frac{9}{92}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{46}$
schwarz -> schwarz	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{8}$ ; P("blau")= $\frac{3}{8}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{92}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{3}{23}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{5}{92}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{5}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{92}$ + $\frac{3}{23}$ + $\frac{5}{92}$ + $\frac{5}{92}$ = $\frac{1}{4}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{9}$
1 -> 2	$\frac{1}{9}$
1 -> 3	$\frac{1}{9}$
2 -> 1	$\frac{1}{9}$
2 -> 2	$\frac{1}{9}$
2 -> 3	$\frac{1}{9}$
3 -> 1	$\frac{1}{9}$
3 -> 2	$\frac{1}{9}$
3 -> 3	$\frac{1}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{3}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{9}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{2}{9}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{18}{20}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{6}{20}$
= $\frac{9}{70}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{64}$
rot -> rot -> blau	$\frac{9}{64}$
rot -> blau -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> blau -> blau	$\frac{3}{64}$
blau -> rot -> rot	$\frac{9}{64}$
blau -> rot -> blau	$\frac{3}{64}$
blau -> blau -> rot	$\frac{3}{64}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{64}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{7}{16}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen