Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 9 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens 1 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": 7 30 ; "nicht NWT": 23 30 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal NWT' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'NWT' bzw. 0 mal 'NWT'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'NWT')=1- 253 435 = 182 435

EreignisP
NWT -> NWT 7 145
NWT -> nicht NWT 161 870
nicht NWT -> NWT 161 870
nicht NWT -> nicht NWT 253 435

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= 7 30 ; P("nicht NWT")= 23 30 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'NWT'-'nicht NWT' (P= 161 870 )
'nicht NWT'-'NWT' (P= 161 870 )
'NWT'-'NWT' (P= 7 145 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

161 870 + 161 870 + 7 145 = 182 435


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": 1 3 ; "nicht 7": 2 3 ;

EreignisP
7 -> 7 1 15
7 -> nicht 7 4 15
nicht 7 -> 7 4 15
nicht 7 -> nicht 7 2 5

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 1 3 ; P("nicht 7")= 2 3 ;

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'7'-'7' (P= 1 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 15 = 1 15


nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 28 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden
EreignisP
13 -> 13 15 92
13 -> 14 25 138
13 -> 15 5 69
14 -> 13 25 138
14 -> 14 15 92
14 -> 15 5 69
15 -> 13 5 69
15 -> 14 5 69
15 -> 15 1 46

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= 5 12 ; P("14")= 5 12 ; P("15")= 1 6 ;

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'13'-'15' (P= 5 69 )
'15'-'13' (P= 5 69 )
'14'-'14' (P= 15 92 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 69 + 5 69 + 15 92 = 85 276


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 5. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 11 3 10 2 9 1 8 7 7
= 1 11 1 5 1 3 1 2 7 7
= 1 330

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": 1 3 ; "nicht Teiler": 2 3 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Teiler' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Teiler'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Teiler')=1- 1 9 = 8 9

EreignisP
Teiler -> Teiler 1 9
Teiler -> nicht Teiler 2 9
nicht Teiler -> Teiler 2 9
nicht Teiler -> nicht Teiler 4 9

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= 1 3 ; P("nicht Teiler")= 2 3 ;

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  • 'Teiler'-'nicht Teiler' (P= 2 9 )
  • 'nicht Teiler'-'Teiler' (P= 2 9 )
  • 'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= 4 9 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 9 + 2 9 + 4 9 = 8 9