Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 1 an ein Mädchen gehen?

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EreignisP
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen 14 55
Mädchen -> Mädchen -> Jungs 28 165
Mädchen -> Jungs -> Mädchen 28 165
Mädchen -> Jungs -> Jungs 4 55
Jungs -> Mädchen -> Mädchen 28 165
Jungs -> Mädchen -> Jungs 4 55
Jungs -> Jungs -> Mädchen 4 55
Jungs -> Jungs -> Jungs 1 55

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= 2 3 ; P("Jungs")= 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'Mädchen'-'Jungs'-'Jungs' (P= 4 55 )
'Jungs'-'Mädchen'-'Jungs' (P= 4 55 )
'Jungs'-'Jungs'-'Mädchen' (P= 4 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

4 55 + 4 55 + 4 55 = 12 55


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften mindestens 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": 1 4 ; "nicht deutsch": 3 4 ;

EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch 3 70
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= 1 4 ; P("nicht deutsch")= 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= 3 70 )
'deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= 3 70 )
'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= 1 140 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 70 + 3 70 + 3 70 + 1 140 = 19 140


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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EreignisP
7 -> 7 1 28
7 -> 8 1 14
7 -> 9 1 7
8 -> 7 1 14
8 -> 8 1 28
8 -> 9 1 7
9 -> 7 1 7
9 -> 8 1 7
9 -> 9 3 14

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 1 4 ; P("8")= 1 4 ; P("9")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'8'-'9' (P= 1 7 )
'9'-'8' (P= 1 7 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 7 + 1 7 = 2 7


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 11 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 4 15 3 14 2 13 11 12
= 1 5 1 7 1 13 11 3
= 11 1365

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Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 6 blaue , 9 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

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Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 1 10 ; "nicht rot": 9 10 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- 153 190 = 37 190

EreignisP
rot -> rot 1 190
rot -> nicht rot 9 95
nicht rot -> rot 9 95
nicht rot -> nicht rot 153 190

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 1 10 ; P("nicht rot")= 9 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'nicht rot' (P= 9 95 )
'nicht rot'-'rot' (P= 9 95 )
'rot'-'rot' (P= 1 190 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 95 + 9 95 + 1 190 = 37 190