Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften höchstens 1 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'deutsch' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'deutsch' und 'nicht deutsch'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"deutsch": 1 4 ; "nicht deutsch": 3 4 ;

EreignisP
deutsch -> deutsch -> deutsch 1 140
deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 3 70
deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> deutsch -> deutsch 3 70
nicht deutsch -> deutsch -> nicht deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> deutsch 11 70
nicht deutsch -> nicht deutsch -> nicht deutsch 11 28

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= 1 4 ; P("nicht deutsch")= 3 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'deutsch' (P= 11 70 )
'nicht deutsch'-'nicht deutsch'-'nicht deutsch' (P= 11 28 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

11 70 + 11 70 + 11 70 + 11 28 = 121 140


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot und 3 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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EreignisP
rot -> rot -> rot 21 55
rot -> rot -> blau 9 55
rot -> blau -> rot 9 55
rot -> blau -> blau 9 220
blau -> rot -> rot 9 55
blau -> rot -> blau 9 220
blau -> blau -> rot 9 220
blau -> blau -> blau 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 4 ; P("blau")= 1 4 ;

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'rot'-'rot'-'rot' (P= 21 55 )
'blau'-'blau'-'blau' (P= 1 220 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

21 55 + 1 220 = 17 44


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

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Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": 2 5 ; "nicht 9": 3 5 ;

EreignisP
9 -> 9 2 15
9 -> nicht 9 4 15
nicht 9 -> 9 4 15
nicht 9 -> nicht 9 1 3

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= 2 5 ; P("nicht 9")= 3 5 ;

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'9'-'9' (P= 2 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 15 = 2 15


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 21 18 20
= 3 7 6 20
= 9 70

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Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 3 vom Typ Kreuz, 9 vom Typ Herz, 2 vom Typ Pik und 6 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

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EreignisP
Kreuz -> Kreuz 3 190
Kreuz -> Herz 27 380
Kreuz -> Pik 3 190
Kreuz -> Karo 9 190
Herz -> Kreuz 27 380
Herz -> Herz 18 95
Herz -> Pik 9 190
Herz -> Karo 27 190
Pik -> Kreuz 3 190
Pik -> Herz 9 190
Pik -> Pik 1 190
Pik -> Karo 3 95
Karo -> Kreuz 9 190
Karo -> Herz 27 190
Karo -> Pik 3 95
Karo -> Karo 3 38

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= 3 20 ; P("Herz")= 9 20 ; P("Pik")= 1 10 ; P("Karo")= 3 10 ;

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'Kreuz'-'Kreuz' (P= 3 190 )
'Herz'-'Herz' (P= 18 95 )
'Pik'-'Pik' (P= 1 190 )
'Karo'-'Karo' (P= 3 38 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 190 + 18 95 + 1 190 + 3 38 = 11 38