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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 2 Schüler mit NWT-Profil, 8 Schüler mit sprachlichem Profil, 6 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{10}$ ; "nicht NWT": $\frac{9}{10}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{190}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{9}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{9}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{153}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{10}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{190}$ = $\frac{1}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Dame": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Dame' bzw. 0 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Dame')=1- $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{2}{15}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{4}{15}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{4}{15}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{4}{15}$ )
'Dame'-'Dame' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{3}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{7}{20}$ ; "nicht 3": $\frac{13}{20}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{21}{190}$
3 -> nicht 3	$\frac{91}{380}$
nicht 3 -> 3	$\frac{91}{380}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{39}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{7}{20}$ ; P("nicht 3")= $\frac{13}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{190}$ = $\frac{21}{190}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{66}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen