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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal König"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": $\frac{1}{2}$ ; "nicht König": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
König -> König	$\frac{3}{14}$
König -> nicht König	$\frac{2}{7}$
nicht König -> König	$\frac{2}{7}$
nicht König -> nicht König	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("König")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht König")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'König'-'nicht König' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht König'-'König' (P= $\frac{2}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$ = $\frac{4}{7}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 6 vom Typ rot, 2 vom Typ blau, 5 vom Typ gelb und 7 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{38}$
rot -> blau	$\frac{3}{95}$
rot -> gelb	$\frac{3}{38}$
rot -> schwarz	$\frac{21}{190}$
blau -> rot	$\frac{3}{95}$
blau -> blau	$\frac{1}{190}$
blau -> gelb	$\frac{1}{38}$
blau -> schwarz	$\frac{7}{190}$
gelb -> rot	$\frac{3}{38}$
gelb -> blau	$\frac{1}{38}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{19}$
gelb -> schwarz	$\frac{7}{76}$
schwarz -> rot	$\frac{21}{190}$
schwarz -> blau	$\frac{7}{190}$
schwarz -> gelb	$\frac{7}{76}$
schwarz -> schwarz	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{1}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("schwarz")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{3}{38}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{190}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{19}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{47}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 15 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> 8	$\frac{8}{45}$
7 -> 9	$\frac{4}{45}$
8 -> 7	$\frac{8}{45}$
8 -> 8	$\frac{2}{15}$
8 -> 9	$\frac{4}{45}$
9 -> 7	$\frac{4}{45}$
9 -> 8	$\frac{4}{45}$
9 -> 9	$\frac{1}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{2}{5}$ ; P("8")= $\frac{2}{5}$ ; P("9")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'8' (P= $\frac{8}{45}$ )
'8'-'7' (P= $\frac{8}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ = $\frac{16}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{2}{7}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{56}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{49}{225}$
1 -> 2	$\frac{7}{45}$
1 -> 3	$\frac{7}{75}$
2 -> 1	$\frac{7}{45}$
2 -> 2	$\frac{1}{9}$
2 -> 3	$\frac{1}{15}$
3 -> 1	$\frac{7}{75}$
3 -> 2	$\frac{1}{15}$
3 -> 3	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{15}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{1}{15}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen