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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{12}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{30}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ; P("Jungs")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{3}{32}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{3}{32}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ = $\frac{3}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{2}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{5}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 6 vom Typ rot, 5 vom Typ blau und 4 vom Typ gelb. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{25}$
rot -> blau	$\frac{2}{15}$
rot -> gelb	$\frac{8}{75}$
blau -> rot	$\frac{2}{15}$
blau -> blau	$\frac{1}{9}$
blau -> gelb	$\frac{4}{45}$
gelb -> rot	$\frac{8}{75}$
gelb -> blau	$\frac{4}{45}$
gelb -> gelb	$\frac{16}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("gelb")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{25}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{9}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{16}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{25}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{16}{225}$ = $\frac{77}{225}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen