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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 3 blaue , 2 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{18}{95}$
rot -> blau	$\frac{27}{380}$
rot -> gelb	$\frac{9}{190}$
rot -> schwarz	$\frac{27}{190}$
blau -> rot	$\frac{27}{380}$
blau -> blau	$\frac{3}{190}$
blau -> gelb	$\frac{3}{190}$
blau -> schwarz	$\frac{9}{190}$
gelb -> rot	$\frac{9}{190}$
gelb -> blau	$\frac{3}{190}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{190}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{95}$
schwarz -> rot	$\frac{27}{190}$
schwarz -> blau	$\frac{9}{190}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{95}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{9}{20}$ ; P("blau")= $\frac{3}{20}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'gelb' (P= $\frac{9}{190}$ )
'gelb'-'rot' (P= $\frac{9}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{190}$ + $\frac{9}{190}$ = $\frac{9}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

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Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{45}$
7 -> 8	$\frac{4}{45}$
7 -> 9	$\frac{4}{45}$
8 -> 7	$\frac{4}{45}$
8 -> 8	$\frac{2}{15}$
8 -> 9	$\frac{8}{45}$
9 -> 7	$\frac{4}{45}$
9 -> 8	$\frac{8}{45}$
9 -> 9	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{5}$ ; P("8")= $\frac{2}{5}$ ; P("9")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'8'-'9' (P= $\frac{8}{45}$ )
'9'-'8' (P= $\frac{8}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ = $\frac{16}{45}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{5}{11}$
13 -> 14	$\frac{25}{154}$
13 -> 15	$\frac{5}{77}$
14 -> 13	$\frac{25}{154}$
14 -> 14	$\frac{10}{231}$
14 -> 15	$\frac{5}{231}$
15 -> 13	$\frac{5}{77}$
15 -> 14	$\frac{5}{231}$
15 -> 15	$\frac{1}{231}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{22}$ ; P("14")= $\frac{5}{22}$ ; P("15")= $\frac{1}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{154}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{154}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{154}$ + $\frac{25}{154}$ = $\frac{25}{77}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{9}$ ⋅ $\frac{2}{8}$ ⋅ $\frac{6}{7}$
= $\frac{3}{3}$ ⋅ $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{1}{7}$
= $\frac{1}{14}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 7 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 3 Kugeln mit einer Zwei, 8 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 3 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{7}{92}$
1 -> 2	$\frac{7}{184}$
1 -> 3	$\frac{7}{69}$
1 -> 4	$\frac{7}{92}$
2 -> 1	$\frac{7}{184}$
2 -> 2	$\frac{1}{92}$
2 -> 3	$\frac{1}{23}$
2 -> 4	$\frac{3}{92}$
3 -> 1	$\frac{7}{69}$
3 -> 2	$\frac{1}{23}$
3 -> 3	$\frac{7}{69}$
3 -> 4	$\frac{2}{23}$
4 -> 1	$\frac{7}{92}$
4 -> 2	$\frac{3}{92}$
4 -> 3	$\frac{2}{23}$
4 -> 4	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{24}$ ; P("2")= $\frac{1}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("4")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{7}{184}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{7}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{184}$ + $\frac{7}{184}$ = $\frac{7}{92}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen