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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "1 mal Ass und 1 mal König"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{2}{15}$
Ass -> König	$\frac{4}{45}$
Ass -> Dame	$\frac{8}{45}$
König -> Ass	$\frac{4}{45}$
König -> König	$\frac{1}{45}$
König -> Dame	$\frac{4}{45}$
Dame -> Ass	$\frac{8}{45}$
Dame -> König	$\frac{4}{45}$
Dame -> Dame	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{2}{5}$ ; P("König")= $\frac{1}{5}$ ; P("Dame")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'König' (P= $\frac{4}{45}$ )
'König'-'Ass' (P= $\frac{4}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ = $\frac{8}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 7 Schüler mit NWT-Profil, 2 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{7}{24}$ ; "nicht NWT": $\frac{17}{24}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{7}{92}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{119}{552}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{119}{552}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{34}{69}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{7}{24}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{17}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{7}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ = $\frac{7}{92}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{4}$
1 -> 2	$\frac{1}{8}$
1 -> 3	$\frac{1}{8}$
2 -> 1	$\frac{1}{8}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 1	$\frac{1}{8}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{8}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{8}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{5}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $1$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{20}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal A"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'A' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'A' und 'nicht A'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"A": $\frac{3}{8}$ ; "nicht A": $\frac{5}{8}$ ;

Ereignis	P
A -> A	$\frac{9}{64}$
A -> nicht A	$\frac{15}{64}$
nicht A -> A	$\frac{15}{64}$
nicht A -> nicht A	$\frac{25}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")= $\frac{3}{8}$ ; P("nicht A")= $\frac{5}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'A'-'A' (P= $\frac{9}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ = $\frac{9}{64}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen