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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 4 Mädchen und 6 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{30}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ; P("Jungs")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Jungs' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Mädchen'-'Jungs'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'Jungs'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{2}{21}$
3 -> nicht 3	$\frac{5}{21}$
nicht 3 -> 3	$\frac{5}{21}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{3}{7}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{2}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{21}$ = $\frac{2}{21}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{5}$ ; "nicht 3": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{25}$
3 -> nicht 3	$\frac{4}{25}$
nicht 3 -> 3	$\frac{4}{25}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{16}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht 3")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 10 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 5.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{14}$ ⋅ $\frac{3}{13}$ ⋅ $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{1001}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

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Da ja ausschließlich nach 'Teiler' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Teiler' und 'nicht Teiler'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Teiler": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Teiler": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{1}{27}$
Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{2}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> Teiler	$\frac{2}{27}$
nicht Teiler -> Teiler -> nicht Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> Teiler	$\frac{4}{27}$
nicht Teiler -> nicht Teiler -> nicht Teiler	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Teiler")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Teiler")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht Teiler'-'Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'Teiler' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht Teiler'-'nicht Teiler'-'nicht Teiler' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{20}{27}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen