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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 6 blaue , 7 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{9}{25}$ ; "nicht rot": $\frac{16}{25}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{25}$
rot -> nicht rot	$\frac{6}{25}$
nicht rot -> rot	$\frac{6}{25}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{2}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{9}{25}$ ; P("nicht rot")= $\frac{16}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{3}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{25}$ = $\frac{3}{25}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen mindestens 2 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{14}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{14}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{14}{55}$ = $\frac{42}{55}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 11 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'5'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 9 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{1}{10}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{9}{9}$
= $\frac{1}{55}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{5}{24}$ ; "nicht 3": $\frac{19}{24}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{25}{576}$
3 -> nicht 3	$\frac{95}{576}$
nicht 3 -> 3	$\frac{95}{576}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{361}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{5}{24}$ ; P("nicht 3")= $\frac{19}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{25}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{576}$ = $\frac{25}{576}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen