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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote, 6 blaue , 5 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{38}$
rot -> blau	$\frac{9}{95}$
rot -> gelb	$\frac{3}{38}$
rot -> schwarz	$\frac{9}{190}$
blau -> rot	$\frac{9}{95}$
blau -> blau	$\frac{3}{38}$
blau -> gelb	$\frac{3}{38}$
blau -> schwarz	$\frac{9}{190}$
gelb -> rot	$\frac{3}{38}$
gelb -> blau	$\frac{3}{38}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{19}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{76}$
schwarz -> rot	$\frac{9}{190}$
schwarz -> blau	$\frac{9}{190}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{76}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'gelb' (P= $\frac{3}{38}$ )
'gelb'-'rot' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{3}{19}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 4 vom Typ rot, 8 vom Typ blau, 2 vom Typ gelb und 6 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{95}$
rot -> blau	$\frac{8}{95}$
rot -> gelb	$\frac{2}{95}$
rot -> schwarz	$\frac{6}{95}$
blau -> rot	$\frac{8}{95}$
blau -> blau	$\frac{14}{95}$
blau -> gelb	$\frac{4}{95}$
blau -> schwarz	$\frac{12}{95}$
gelb -> rot	$\frac{2}{95}$
gelb -> blau	$\frac{4}{95}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{190}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{95}$
schwarz -> rot	$\frac{6}{95}$
schwarz -> blau	$\frac{12}{95}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{95}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{5}$ ; P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{3}{95}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{14}{95}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{190}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{3}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{95}$ + $\frac{14}{95}$ + $\frac{1}{190}$ + $\frac{3}{38}$ = $\frac{5}{19}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 5 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{5}$
1 -> 2	$\frac{1}{6}$
1 -> 3	$\frac{1}{10}$
2 -> 1	$\frac{1}{6}$
2 -> 2	$\frac{2}{21}$
2 -> 3	$\frac{1}{14}$
3 -> 1	$\frac{1}{10}$
3 -> 2	$\frac{1}{14}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{15}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{6}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{21}$ ⋅ $\frac{2}{20}$ ⋅ $\frac{18}{19}$
= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{3}{19}$
= $\frac{9}{665}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 3 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 4 Kugeln mit einer Zwei, 4 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{35}$
1 -> 2	$\frac{2}{35}$
1 -> 3	$\frac{2}{35}$
1 -> 4	$\frac{2}{35}$
2 -> 1	$\frac{2}{35}$
2 -> 2	$\frac{2}{35}$
2 -> 3	$\frac{8}{105}$
2 -> 4	$\frac{8}{105}$
3 -> 1	$\frac{2}{35}$
3 -> 2	$\frac{8}{105}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$
3 -> 4	$\frac{8}{105}$
4 -> 1	$\frac{2}{35}$
4 -> 2	$\frac{8}{105}$
4 -> 3	$\frac{8}{105}$
4 -> 4	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{4}{15}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ; P("4")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{8}{105}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{8}{105}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{105}$ + $\frac{8}{105}$ + $\frac{2}{35}$ = $\frac{22}{105}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

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Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen