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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{2}{15}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Ass' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 8 Karten der Farbe Kreuz, 3 der Farbe Pik, 4 der Farbe Herz und 5 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Herz und 1 mal Karo"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{14}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{6}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{8}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{2}{19}$
Pik -> Kreuz	$\frac{6}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{190}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{76}$
Herz -> Kreuz	$\frac{8}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{19}$
Karo -> Kreuz	$\frac{2}{19}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{76}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{19}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{2}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{20}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Herz'-'Karo' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Karo'-'Herz' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{2}{19}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{25}$
1 -> 2	$\frac{3}{25}$
1 -> 3	$\frac{1}{25}$
2 -> 1	$\frac{3}{25}$
2 -> 2	$\frac{9}{25}$
2 -> 3	$\frac{3}{25}$
3 -> 1	$\frac{1}{25}$
3 -> 2	$\frac{3}{25}$
3 -> 3	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{3}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{3}{25}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{3}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{25}$ + $\frac{3}{25}$ = $\frac{6}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{2}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{6}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine Primzahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{8}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)