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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'andere' (P= $\frac{3}{70}$ )
'deutsch'-'andere'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )
'andere'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{3}{70}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ + $\frac{3}{70}$ = $\frac{9}{70}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 3 blaue , 6 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

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Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{2}{5}$ ; "nicht gelb": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- $\frac{12}{35}$ = $\frac{23}{35}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{7}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{9}{35}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{9}{35}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{12}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{9}{35}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{9}{35}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{7}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{35}$ + $\frac{9}{35}$ + $\frac{1}{7}$ = $\frac{23}{35}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{23}$
1 -> 2	$\frac{15}{92}$
1 -> 3	$\frac{15}{184}$
2 -> 1	$\frac{15}{92}$
2 -> 2	$\frac{15}{92}$
2 -> 3	$\frac{25}{276}$
3 -> 1	$\frac{15}{184}$
3 -> 2	$\frac{25}{276}$
3 -> 3	$\frac{5}{138}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{5}{12}$ ; P("3")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{15}{184}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{15}{184}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{15}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{184}$ + $\frac{15}{184}$ + $\frac{15}{92}$ = $\frac{15}{46}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 1 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $1$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{3}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 4 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 8 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{50}$
1 -> 2	$\frac{4}{75}$
1 -> 3	$\frac{1}{15}$
1 -> 4	$\frac{1}{50}$
2 -> 1	$\frac{4}{75}$
2 -> 2	$\frac{7}{75}$
2 -> 3	$\frac{2}{15}$
2 -> 4	$\frac{1}{25}$
3 -> 1	$\frac{1}{15}$
3 -> 2	$\frac{2}{15}$
3 -> 3	$\frac{3}{20}$
3 -> 4	$\frac{1}{20}$
4 -> 1	$\frac{1}{50}$
4 -> 2	$\frac{1}{25}$
4 -> 3	$\frac{1}{20}$
4 -> 4	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{4}{25}$ ; P("2")= $\frac{8}{25}$ ; P("3")= $\frac{2}{5}$ ; P("4")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{1}{20}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{20}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{20}$ + $\frac{1}{20}$ = $\frac{1}{10}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen