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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "höchstens 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{4}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Ass' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'Ass'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- $\frac{1}{28}$ = $\frac{27}{28}$

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{28}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{3}{14}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{15}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{3}{14}$ )
'nicht Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{15}{28}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{14}$ + $\frac{3}{14}$ + $\frac{15}{28}$ = $\frac{27}{28}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 10 kugel mit einer 2 und 7 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{3}{190}$
1 -> 2	$\frac{3}{38}$
1 -> 3	$\frac{21}{380}$
2 -> 1	$\frac{3}{38}$
2 -> 2	$\frac{9}{38}$
2 -> 3	$\frac{7}{38}$
3 -> 1	$\frac{21}{380}$
3 -> 2	$\frac{7}{38}$
3 -> 3	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{20}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{7}{38}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{7}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{38}$ + $\frac{7}{38}$ = $\frac{7}{19}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{45}$
1 -> 2	$\frac{4}{45}$
1 -> 3	$\frac{4}{45}$
2 -> 1	$\frac{4}{45}$
2 -> 2	$\frac{2}{15}$
2 -> 3	$\frac{8}{45}$
3 -> 1	$\frac{4}{45}$
3 -> 2	$\frac{8}{45}$
3 -> 3	$\frac{2}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{4}{45}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{4}{45}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{14}{45}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{7}{4}$
= $\frac{7}{36}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 2 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{2}{3}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{14}{55}$ = $\frac{41}{55}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{14}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{4}{55}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{28}{165}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{4}{55}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{4}{55}$ + $\frac{1}{55}$ = $\frac{41}{55}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- 1 28 = 27 28

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- 14 55 = 41 55

P=1-P(2 mal 'Ass')=1- $\frac{1}{28}$ = $\frac{27}{28}$

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{14}{55}$ = $\frac{41}{55}$