Mathebattle EduRandomtasks

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 5 blaue , 8 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{5}{138}$
rot -> blau	$\frac{25}{552}$
rot -> gelb	$\frac{5}{69}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{92}$
blau -> rot	$\frac{25}{552}$
blau -> blau	$\frac{5}{138}$
blau -> gelb	$\frac{5}{69}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{92}$
gelb -> rot	$\frac{5}{69}$
gelb -> blau	$\frac{5}{69}$
gelb -> gelb	$\frac{7}{69}$
gelb -> schwarz	$\frac{2}{23}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{92}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{92}$
schwarz -> gelb	$\frac{2}{23}$
schwarz -> schwarz	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{5}{24}$ ; P("blau")= $\frac{5}{24}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{3}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{25}{552}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{25}{552}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{552}$ + $\frac{25}{552}$ = $\frac{25}{276}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an eine Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{24}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{24}{91}$ = $\frac{24}{91}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 4 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 18 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '9' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '9' und 'nicht 9'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"9": $\frac{2}{5}$ ; "nicht 9": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
9 -> 9	$\frac{2}{15}$
9 -> nicht 9	$\frac{4}{15}$
nicht 9 -> 9	$\frac{4}{15}$
nicht 9 -> nicht 9	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("9")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht 9")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'9'-'9' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 3 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{3}{3}$
= $\frac{1}{10}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 5 vom Typ Kreuz, 6 vom Typ Herz, 6 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{1}{19}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{76}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{38}$
Herz -> Pik	$\frac{9}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{9}{190}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{9}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{38}$
Pik -> Karo	$\frac{9}{190}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{76}$
Karo -> Herz	$\frac{9}{190}$
Karo -> Pik	$\frac{9}{190}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{4}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{10}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{10}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{1}{19}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{38}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{38}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{19}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{43}{190}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)