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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 2 vom Typ Herz, 10 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{20}$
Kreuz -> Herz	$\frac{1}{30}$
Kreuz -> Pik	$\frac{1}{6}$
Kreuz -> Karo	$\frac{1}{20}$
Herz -> Kreuz	$\frac{1}{30}$
Herz -> Herz	$\frac{1}{300}$
Herz -> Pik	$\frac{1}{30}$
Herz -> Karo	$\frac{1}{100}$
Pik -> Kreuz	$\frac{1}{6}$
Pik -> Herz	$\frac{1}{30}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{20}$
Pik -> Karo	$\frac{1}{20}$
Karo -> Kreuz	$\frac{1}{20}$
Karo -> Herz	$\frac{1}{100}$
Karo -> Pik	$\frac{1}{20}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{2}{5}$ ; P("Herz")= $\frac{2}{25}$ ; P("Pik")= $\frac{2}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{20}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{1}{300}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{20}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{20}$ + $\frac{1}{300}$ + $\frac{3}{20}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{47}{150}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 2 vom Typ rot, 9 vom Typ blau, 6 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{190}$
rot -> blau	$\frac{9}{190}$
rot -> gelb	$\frac{3}{95}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{190}$
blau -> rot	$\frac{9}{190}$
blau -> blau	$\frac{18}{95}$
blau -> gelb	$\frac{27}{190}$
blau -> schwarz	$\frac{27}{380}$
gelb -> rot	$\frac{3}{95}$
gelb -> blau	$\frac{27}{190}$
gelb -> gelb	$\frac{3}{38}$
gelb -> schwarz	$\frac{9}{190}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{190}$
schwarz -> blau	$\frac{27}{380}$
schwarz -> gelb	$\frac{9}{190}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{10}$ ; P("blau")= $\frac{9}{20}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{10}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{190}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{18}{95}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{3}{38}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{190}$ + $\frac{18}{95}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{11}{38}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 6 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{16}$
1 -> 2	$\frac{1}{16}$
1 -> 3	$\frac{1}{16}$
1 -> 4	$\frac{1}{16}$
2 -> 1	$\frac{1}{16}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{16}$
3 -> 1	$\frac{1}{16}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{16}$
4 -> 1	$\frac{1}{16}$
4 -> 2	$\frac{1}{16}$
4 -> 3	$\frac{1}{16}$
4 -> 4	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{1}{16}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{3}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 9 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{12}$ ⋅ $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{9}{10}$
= $\frac{3}{2}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$
= $\frac{9}{220}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Wappen"?

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Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)