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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 5 blaue , 2 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{19}$ = $\frac{18}{19}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{19}$
blau -> nicht blau	$\frac{15}{76}$
nicht blau -> blau	$\frac{15}{76}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{21}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{15}{76}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{21}{38}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{76}$ + $\frac{15}{76}$ + $\frac{21}{38}$ = $\frac{18}{19}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Stapel sind 4 Karten vom Wert 7, 4 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten gleichzeitig aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{2}{5}$ ; "nicht 7": $\frac{3}{5}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{2}{15}$
7 -> nicht 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht 7")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{15}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{15}$ ⋅ $\frac{2}{14}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{12}{12}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{1}{13}$ ⋅ $\frac{2}{2}$
= $\frac{1}{455}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{3}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{27}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{4}{27}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{20}{27}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 1 19 = 18 19

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{1}{19}$ = $\frac{18}{19}$