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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 8 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an ein Mädchen gehen?

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Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{14}{55}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{4}{55}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{28}{165}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{4}{55}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{4}{55}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{1}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{14}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{55}$ = $\frac{14}{55}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 5 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 2 Kugeln mit einer Zwei, 9 mit Drei und 4 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 6 ergeben?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{19}$
1 -> 2	$\frac{1}{38}$
1 -> 3	$\frac{9}{76}$
1 -> 4	$\frac{1}{19}$
2 -> 1	$\frac{1}{38}$
2 -> 2	$\frac{1}{190}$
2 -> 3	$\frac{9}{190}$
2 -> 4	$\frac{2}{95}$
3 -> 1	$\frac{9}{76}$
3 -> 2	$\frac{9}{190}$
3 -> 3	$\frac{18}{95}$
3 -> 4	$\frac{9}{95}$
4 -> 1	$\frac{1}{19}$
4 -> 2	$\frac{2}{95}$
4 -> 3	$\frac{9}{95}$
4 -> 4	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{1}{10}$ ; P("3")= $\frac{9}{20}$ ; P("4")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'4' (P= $\frac{2}{95}$ )
'4'-'2' (P= $\frac{2}{95}$ )
'3'-'3' (P= $\frac{18}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{95}$ + $\frac{2}{95}$ + $\frac{18}{95}$ = $\frac{22}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 14 ist?

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Da ja ausschließlich nach '7' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '7' und 'nicht 7'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"7": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 7": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{15}$
7 -> nicht 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> 7	$\frac{4}{15}$
nicht 7 -> nicht 7	$\frac{2}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 7")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'7' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{15}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{7}{8}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{7}{2}$
= $\frac{7}{330}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 scharze und ein grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
rot -> grün	$\frac{18}{1369}$
schwarz -> rot	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> grün	$\frac{18}{1369}$
grün -> rot	$\frac{18}{1369}$
grün -> schwarz	$\frac{18}{1369}$
grün -> grün	$\frac{1}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("schwarz")= $\frac{18}{37}$ ; P("grün")= $\frac{1}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{324}{1369}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{324}{1369}$ + $\frac{324}{1369}$ = $\frac{648}{1369}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen