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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 3 blaue , 8 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{23}$
rot -> blau	$\frac{9}{184}$
rot -> gelb	$\frac{3}{23}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{46}$
blau -> rot	$\frac{9}{184}$
blau -> blau	$\frac{1}{92}$
blau -> gelb	$\frac{1}{23}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{46}$
gelb -> rot	$\frac{3}{23}$
gelb -> blau	$\frac{1}{23}$
gelb -> gelb	$\frac{7}{69}$
gelb -> schwarz	$\frac{4}{69}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{46}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{46}$
schwarz -> gelb	$\frac{4}{69}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{8}$ ; P("blau")= $\frac{1}{8}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{3}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{9}{184}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{9}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{184}$ + $\frac{9}{184}$ = $\frac{9}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 10 vom Typ rot und 5 vom Typ blau. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{24}{91}$
rot -> rot -> blau	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> rot	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> blau	$\frac{20}{273}$
blau -> rot -> rot	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> blau	$\frac{20}{273}$
blau -> blau -> rot	$\frac{20}{273}$
blau -> blau -> blau	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{24}{91}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{2}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{24}{91}$ + $\frac{2}{91}$ = $\frac{2}{7}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{7}{72}$
1 -> 3	$\frac{1}{24}$
2 -> 1	$\frac{7}{72}$
2 -> 2	$\frac{49}{144}$
2 -> 3	$\frac{7}{48}$
3 -> 1	$\frac{1}{24}$
3 -> 2	$\frac{7}{48}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{7}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{7}{72}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{7}{72}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{72}$ + $\frac{7}{72}$ = $\frac{7}{36}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 8 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{11}$ ⋅ $\frac{2}{10}$ ⋅ $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{8}{8}$
= $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{4}{4}$
= $\frac{1}{165}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 4 Schüler mit NWT-Profil, 5 Schüler mit sprachlichem Profil, 6 Schüler mit Musik-Profil und 5 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{1}{5}$ ; "nicht NWT": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{95}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{16}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{16}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{12}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{12}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{19}$ = $\frac{12}{19}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)