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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 6 Schüler mit NWT-Profil, 3 Schüler mit sprachlichem Profil, 5 Schüler mit Musik-Profil und 6 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 0 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{3}{10}$ ; "nicht NWT": $\frac{7}{10}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{3}{38}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{21}{95}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{21}{95}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{91}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht NWT'-'nicht NWT' (P= $\frac{91}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{91}{190}$ = $\frac{91}{190}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Dame"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Dame' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Dame' und 'nicht Dame'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Dame": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Dame": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Dame' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Dame' bzw. 0 mal 'Dame'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Dame')=1- $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

Ereignis	P
Dame -> Dame	$\frac{3}{14}$
Dame -> nicht Dame	$\frac{2}{7}$
nicht Dame -> Dame	$\frac{2}{7}$
nicht Dame -> nicht Dame	$\frac{3}{14}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Dame")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Dame")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Dame'-'nicht Dame' (P= $\frac{2}{7}$ )
'nicht Dame'-'Dame' (P= $\frac{2}{7}$ )
'Dame'-'Dame' (P= $\frac{3}{14}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{7}$ + $\frac{2}{7}$ + $\frac{3}{14}$ = $\frac{11}{14}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{9}{64}$
1 -> 3	$\frac{3}{64}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{9}{64}$
2 -> 2	$\frac{9}{64}$
2 -> 3	$\frac{3}{64}$
2 -> 4	$\frac{3}{64}$
3 -> 1	$\frac{3}{64}$
3 -> 2	$\frac{3}{64}$
3 -> 3	$\frac{1}{64}$
3 -> 4	$\frac{1}{64}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{3}{64}$
4 -> 3	$\frac{1}{64}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{3}{8}$ ; P("3")= $\frac{1}{8}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{3}{64}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{3}{64}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{3}{64}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{3}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ = $\frac{3}{16}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 4 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{6}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{2}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$
= $1$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{2}{3}$
= $\frac{2}{15}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 5 gelbe, 10 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{3}{20}$ ; "nicht schwarz": $\frac{17}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{289}{400}$ = $\frac{111}{400}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{400}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{51}{400}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{51}{400}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{289}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{3}{20}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{17}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{51}{400}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{51}{400}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{9}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{51}{400}$ + $\frac{51}{400}$ + $\frac{9}{400}$ = $\frac{111}{400}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)