Mathebattle EduRandomtasks

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

Lösung einblenden

Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{140}$ = $\frac{1}{140}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 7 vom Typ Herz, 9 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{29}$
Kreuz -> Herz	$\frac{7}{87}$
Kreuz -> Pik	$\frac{3}{29}$
Kreuz -> Karo	$\frac{4}{87}$
Herz -> Kreuz	$\frac{7}{87}$
Herz -> Herz	$\frac{7}{145}$
Herz -> Pik	$\frac{21}{290}$
Herz -> Karo	$\frac{14}{435}$
Pik -> Kreuz	$\frac{3}{29}$
Pik -> Herz	$\frac{21}{290}$
Pik -> Pik	$\frac{12}{145}$
Pik -> Karo	$\frac{6}{145}$
Karo -> Kreuz	$\frac{4}{87}$
Karo -> Herz	$\frac{14}{435}$
Karo -> Pik	$\frac{6}{145}$
Karo -> Karo	$\frac{2}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{3}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{30}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{10}$ ; P("Karo")= $\frac{2}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{3}{29}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{7}{145}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{12}{145}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{2}{145}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{29}$ + $\frac{7}{145}$ + $\frac{12}{145}$ + $\frac{2}{145}$ = $\frac{36}{145}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{11}$ ⋅ $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{7}{9}$
= $\frac{2}{11}$ ⋅ $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{7}{3}$
= $\frac{14}{165}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal 1-12"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '1-12' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '1-12' und 'nicht 1-12'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"1-12": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 1-12": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 1-12' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '1-12'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '1-12')=1- $\frac{144}{1369}$ = $\frac{1225}{1369}$

Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> nicht 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> 1-12	$\frac{300}{1369}$
nicht 1-12 -> nicht 1-12	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 1-12")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'nicht 1-12' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 1-12'-'1-12' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 1-12'-'nicht 1-12' (P= $\frac{625}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{625}{1369}$ = $\frac{1225}{1369}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal '1-12')=1- 144 1369 = 1225 1369

P=1-P(2 mal '1-12')=1- $\frac{144}{1369}$ = $\frac{1225}{1369}$