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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 10 blaue , 10 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{2}{145}$
rot -> blau	$\frac{4}{87}$
rot -> gelb	$\frac{4}{87}$
rot -> schwarz	$\frac{4}{145}$
blau -> rot	$\frac{4}{87}$
blau -> blau	$\frac{3}{29}$
blau -> gelb	$\frac{10}{87}$
blau -> schwarz	$\frac{2}{29}$
gelb -> rot	$\frac{4}{87}$
gelb -> blau	$\frac{10}{87}$
gelb -> gelb	$\frac{3}{29}$
gelb -> schwarz	$\frac{2}{29}$
schwarz -> rot	$\frac{4}{145}$
schwarz -> blau	$\frac{2}{29}$
schwarz -> gelb	$\frac{2}{29}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{29}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{15}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{3}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{4}{87}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{4}{87}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{87}$ + $\frac{4}{87}$ = $\frac{8}{87}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 3 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?

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Ereignis	P
deutsch -> deutsch -> deutsch	$\frac{1}{140}$
deutsch -> deutsch -> andere	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> deutsch	$\frac{3}{70}$
deutsch -> andere -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> deutsch -> deutsch	$\frac{3}{70}$
andere -> deutsch -> andere	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> deutsch	$\frac{11}{70}$
andere -> andere -> andere	$\frac{11}{28}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")= $\frac{1}{4}$ ; P("andere")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'deutsch'-'deutsch'-'deutsch' (P= $\frac{1}{140}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{140}$ = $\frac{1}{140}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 6 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{81}{400}$
1 -> 2	$\frac{27}{200}$
1 -> 3	$\frac{9}{80}$
2 -> 1	$\frac{27}{200}$
2 -> 2	$\frac{9}{100}$
2 -> 3	$\frac{3}{40}$
3 -> 1	$\frac{9}{80}$
3 -> 2	$\frac{3}{40}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{9}{20}$ ; P("2")= $\frac{3}{10}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{9}{80}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{9}{80}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{9}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{80}$ + $\frac{9}{80}$ + $\frac{9}{100}$ = $\frac{63}{200}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{10}$ ⋅ $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{120}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 2 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 1 mal Ass"?

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Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{3}$ ; "nicht Ass": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{15}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{2}{5}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{4}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ = $\frac{8}{15}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)