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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 8 Schüler mit NWT-Profil, 8 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 4 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{4}{15}$ ; "nicht NWT": $\frac{11}{15}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{28}{435}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{88}{435}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{88}{435}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{77}{145}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{28}{435}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{435}$ = $\frac{28}{435}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{38}$
1 -> 2	$\frac{7}{38}$
1 -> 3	$\frac{3}{38}$
2 -> 1	$\frac{7}{38}$
2 -> 2	$\frac{21}{190}$
2 -> 3	$\frac{21}{380}$
3 -> 1	$\frac{3}{38}$
3 -> 2	$\frac{21}{380}$
3 -> 3	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{2}$ ; P("2")= $\frac{7}{20}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{38}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{38}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{51}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

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Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{5}{11}$ ; "nicht 13": $\frac{6}{11}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{77}$
13 -> nicht 13	$\frac{20}{77}$
nicht 13 -> 13	$\frac{20}{77}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{2}{7}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{11}$ ; P("nicht 13")= $\frac{6}{11}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{15}{77}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{77}$ = $\frac{15}{77}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 7 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 3.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{36}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 2 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{15}$
1 -> 2	$\frac{8}{105}$
1 -> 3	$\frac{4}{21}$
2 -> 1	$\frac{8}{105}$
2 -> 2	$\frac{1}{105}$
2 -> 3	$\frac{1}{21}$
3 -> 1	$\frac{4}{21}$
3 -> 2	$\frac{1}{21}$
3 -> 3	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{8}{15}$ ; P("2")= $\frac{2}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{8}{105}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{8}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{105}$ + $\frac{8}{105}$ = $\frac{16}{105}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen