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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 3 mal blau"?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{24}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{24}$ = $\frac{7}{24}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 8 vom Typ rot, 7 vom Typ blau und 5 vom Typ gelb. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{14}{95}$
rot -> blau	$\frac{14}{95}$
rot -> gelb	$\frac{2}{19}$
blau -> rot	$\frac{14}{95}$
blau -> blau	$\frac{21}{190}$
blau -> gelb	$\frac{7}{76}$
gelb -> rot	$\frac{2}{19}$
gelb -> blau	$\frac{7}{76}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{7}{20}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{14}{95}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{21}{190}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{95}$ + $\frac{21}{190}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{59}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 5 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{45}$
1 -> 2	$\frac{1}{15}$
1 -> 3	$\frac{1}{9}$
2 -> 1	$\frac{1}{15}$
2 -> 2	$\frac{1}{15}$
2 -> 3	$\frac{1}{6}$
3 -> 1	$\frac{1}{9}$
3 -> 2	$\frac{1}{6}$
3 -> 3	$\frac{2}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{5}$ ; P("2")= $\frac{3}{10}$ ; P("3")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{1}{6}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{6}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 4. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{2}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{15}{15}$
= $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{17}$ ⋅ $\frac{1}{16}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{816}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

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Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{27}{64}$ = $\frac{37}{64}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{64}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{3}{64}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{3}{64}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{3}{64}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{9}{64}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{64}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{64}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{9}{64}$ )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{3}{64}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{9}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{3}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{37}{64}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen