Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen
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ohne Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Bei der Auslosung zum Championsleague-Achtelfinale sind noch alle 4 deutsche Mannschaften im Lostopf mit den 16 Mannschaften. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den erstem drei gezogenen Mannschaften genau 2 deutsche Mannschaften sind (wenn man mal von der falschen Annahme ausgeht, dass alle Mannschaften im gleichen Lostopf sind)?
| Ereignis | P |
|---|---|
| deutsch -> deutsch -> deutsch | |
| deutsch -> deutsch -> andere | |
| deutsch -> andere -> deutsch | |
| deutsch -> andere -> andere | |
| andere -> deutsch -> deutsch | |
| andere -> deutsch -> andere | |
| andere -> andere -> deutsch | |
| andere -> andere -> andere |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("deutsch")=; P("andere")=;
Die relevanten Pfade sind:
'deutsch'-'deutsch'-'andere' (P=)
'deutsch'-'andere'-'deutsch' (P=)
'andere'-'deutsch'-'deutsch' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?
Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": ; "nicht rot": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(2 mal 'rot')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| rot -> rot | |
| rot -> nicht rot | |
| nicht rot -> rot | |
| nicht rot -> nicht rot |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")=; P("nicht rot")=;
Die relevanten Pfade sind:
'rot'-'nicht rot' (P=)
'nicht rot'-'rot' (P=)
'nicht rot'-'nicht rot' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
nur Summen
Beispiel:
In einer Urne sind 3 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 4 ist?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 1 -> 1 | |
| 1 -> 2 | |
| 1 -> 3 | |
| 2 -> 1 | |
| 2 -> 2 | |
| 2 -> 3 | |
| 3 -> 1 | |
| 3 -> 2 | |
| 3 -> 3 |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")=; P("2")=; P("3")=;
Die relevanten Pfade sind:- '1'-'3' (P=)
- '3'-'1' (P=)
- '2'-'2' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen bis erstmals x kommt
Beispiel:
In einer Urne sind 6 rote und 3 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)
Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:
P= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
=
Ziehen ohne Zurücklegen
Beispiel:
In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten vom Stapel gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal König"?
Da ja ausschließlich nach 'König' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'König' und 'nicht König'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"König": ; "nicht König": ;
| Ereignis | P |
|---|---|
| König -> König | |
| König -> nicht König | |
| nicht König -> König | |
| nicht König -> nicht König |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("König")=; P("nicht König")=;
Die relevanten Pfade sind:
'König'-'König' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
=
