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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 6 Mädchen und 4 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 2 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{3}{5}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{2}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Mädchen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Mädchen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{6}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{10}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{30}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{3}{5}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{6}$ )
'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{1}{10}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{30}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{30}$ = $\frac{5}{6}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 7 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 8 mit Drei und 5 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 7 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{7}{145}$
1 -> 2	$\frac{7}{87}$
1 -> 3	$\frac{28}{435}$
1 -> 4	$\frac{7}{174}$
2 -> 1	$\frac{7}{87}$
2 -> 2	$\frac{3}{29}$
2 -> 3	$\frac{8}{87}$
2 -> 4	$\frac{5}{87}$
3 -> 1	$\frac{28}{435}$
3 -> 2	$\frac{8}{87}$
3 -> 3	$\frac{28}{435}$
3 -> 4	$\frac{4}{87}$
4 -> 1	$\frac{7}{174}$
4 -> 2	$\frac{5}{87}$
4 -> 3	$\frac{4}{87}$
4 -> 4	$\frac{2}{87}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{7}{30}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'4' (P= $\frac{4}{87}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{4}{87}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{87}$ + $\frac{4}{87}$ = $\frac{8}{87}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 30 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '15' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '15' und 'nicht 15'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"15": $\frac{4}{19}$ ; "nicht 15": $\frac{15}{19}$ ;

Ereignis	P
15 -> 15	$\frac{2}{57}$
15 -> nicht 15	$\frac{10}{57}$
nicht 15 -> 15	$\frac{10}{57}$
nicht 15 -> nicht 15	$\frac{35}{57}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("15")= $\frac{4}{19}$ ; P("nicht 15")= $\frac{15}{19}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'15'-'15' (P= $\frac{2}{57}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{57}$ = $\frac{2}{57}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 0 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'nicht 3er'-'nicht 3er' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{9}$ = $\frac{4}{9}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- 1 6 = 5 6

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(3 mal 'Mädchen')=1- $\frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$