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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 3 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 3 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{9}{38}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{38}$
Kreuz -> Pik	$\frac{2}{19}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{38}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{190}$
Herz -> Pik	$\frac{3}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{9}{380}$
Pik -> Kreuz	$\frac{2}{19}$
Pik -> Herz	$\frac{3}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{3}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{38}$
Karo -> Herz	$\frac{9}{380}$
Karo -> Pik	$\frac{3}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{2}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{9}{38}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{190}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{38}$ + $\frac{3}{190}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{3}{190}$ = $\frac{3}{10}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 10 vom Typ Kreuz, 5 vom Typ Herz, 5 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{15}{92}$
Kreuz -> Herz	$\frac{25}{276}$
Kreuz -> Pik	$\frac{25}{276}$
Kreuz -> Karo	$\frac{5}{69}$
Herz -> Kreuz	$\frac{25}{276}$
Herz -> Herz	$\frac{5}{138}$
Herz -> Pik	$\frac{25}{552}$
Herz -> Karo	$\frac{5}{138}$
Pik -> Kreuz	$\frac{25}{276}$
Pik -> Herz	$\frac{25}{552}$
Pik -> Pik	$\frac{5}{138}$
Pik -> Karo	$\frac{5}{138}$
Karo -> Kreuz	$\frac{5}{69}$
Karo -> Herz	$\frac{5}{138}$
Karo -> Pik	$\frac{5}{138}$
Karo -> Karo	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{5}{12}$ ; P("Herz")= $\frac{5}{24}$ ; P("Pik")= $\frac{5}{24}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{15}{92}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{5}{138}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{5}{138}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{1}{46}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{92}$ + $\frac{5}{138}$ + $\frac{5}{138}$ + $\frac{1}{46}$ = $\frac{71}{276}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 6 ist?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{5}$ ; "nicht 3": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{25}$
3 -> nicht 3	$\frac{4}{25}$
nicht 3 -> 3	$\frac{4}{25}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{16}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht 3")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{25}$ = $\frac{1}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- 1 9 = 8 9

P=1-P(2 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$