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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 6 blaue , 4 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{4}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{5}{92}$ = $\frac{87}{92}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{5}{92}$
blau -> nicht blau	$\frac{9}{46}$
nicht blau -> blau	$\frac{9}{46}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{51}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{46}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{9}{46}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{51}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{46}$ + $\frac{9}{46}$ + $\frac{51}{92}$ = $\frac{87}{92}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 3 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 7 der Farbe Herz und 4 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Pik und 1 mal Herz"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{190}$
Kreuz -> Pik	$\frac{9}{190}$
Kreuz -> Herz	$\frac{21}{380}$
Kreuz -> Karo	$\frac{3}{95}$
Pik -> Kreuz	$\frac{9}{190}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{21}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{6}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{21}{380}$
Herz -> Pik	$\frac{21}{190}$
Herz -> Herz	$\frac{21}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{7}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Karo -> Pik	$\frac{6}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{7}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{3}{20}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{7}{20}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Pik'-'Herz' (P= $\frac{21}{190}$ )
'Herz'-'Pik' (P= $\frac{21}{190}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{21}{190}$ + $\frac{21}{190}$ = $\frac{21}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{81}{400}$
1 -> 2	$\frac{9}{50}$
1 -> 3	$\frac{27}{400}$
2 -> 1	$\frac{9}{50}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{3}{50}$
3 -> 1	$\frac{27}{400}$
3 -> 2	$\frac{3}{50}$
3 -> 3	$\frac{9}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{9}{20}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{9}{50}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{9}{50}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{50}$ + $\frac{9}{50}$ = $\frac{9}{25}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 1 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> höher	$\frac{1}{12}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> höher	$\frac{1}{12}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> höher	$\frac{1}{12}$
höher -> 1	$\frac{1}{12}$
höher -> 2	$\frac{1}{12}$
höher -> 3	$\frac{1}{12}$
höher -> höher	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("höher")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{9}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 5 92 = 87 92

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{5}{92}$ = $\frac{87}{92}$