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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 10 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen genau 3 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{24}{91}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{15}{91}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{20}{273}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{2}{3}$ ; P("Jungs")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{24}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{24}{91}$ = $\frac{24}{91}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 3 blaue , 5 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{35}$
rot -> nicht rot	$\frac{6}{35}$
nicht rot -> rot	$\frac{6}{35}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{22}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{35}$ = $\frac{1}{35}$

nur Summen

Beispiel:

Ein Würfel wird zwei mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 7 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{1}{6}$ ; P("3")= $\frac{1}{6}$ ; P("4")= $\frac{1}{6}$ ; P("5")= $\frac{1}{6}$ ; P("6")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'6' (P= $\frac{1}{36}$ )
'6'-'1' (P= $\frac{1}{36}$ )
'2'-'5' (P= $\frac{1}{36}$ )
'5'-'2' (P= $\frac{1}{36}$ )
'3'-'4' (P= $\frac{1}{36}$ )
'4'-'3' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 4 gelbe, 2 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{1}{4}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{4}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{16}$
rot -> nicht rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> rot	$\frac{3}{16}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{9}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{3}{16}$ )
'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{9}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{16}$ + $\frac{3}{16}$ + $\frac{9}{16}$ = $\frac{15}{16}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 1 16 = 15 16

P=1-P(2 mal 'rot')=1- $\frac{1}{16}$ = $\frac{15}{16}$