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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 5 Mädchen und 5 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den ersten 3 verlosten Plätzen höchstens 1 an ein Mädchen gehen?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Mädchen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Mädchen' und 'nicht Mädchen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Mädchen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Mädchen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{1}{12}$
Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> Mädchen	$\frac{5}{36}$
nicht Mädchen -> nicht Mädchen -> nicht Mädchen	$\frac{1}{12}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Mädchen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'Mädchen' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen'-'nicht Mädchen' (P= $\frac{1}{12}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 7 blaue , 3 gelbe und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{5}$ ; "nicht gelb": $\frac{4}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{1}{35}$ = $\frac{34}{35}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{35}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{6}{35}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{6}{35}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{22}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{6}{35}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{6}{35}$ )
'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{22}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{35}$ + $\frac{6}{35}$ + $\frac{22}{35}$ = $\frac{34}{35}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{2}{35}$
1 -> 2	$\frac{2}{15}$
1 -> 3	$\frac{8}{105}$
2 -> 1	$\frac{2}{15}$
2 -> 2	$\frac{1}{5}$
2 -> 3	$\frac{2}{15}$
3 -> 1	$\frac{8}{105}$
3 -> 2	$\frac{2}{15}$
3 -> 3	$\frac{2}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{4}{15}$ ; P("2")= $\frac{7}{15}$ ; P("3")= $\frac{4}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{2}{15}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{4}{15}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 10 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{14}$ ⋅ $\frac{10}{13}$
= $\frac{4}{7}$ ⋅ $\frac{5}{13}$
= $\frac{20}{91}$

ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{3}$ ; "nicht blau": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{55}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{4}{55}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{4}{55}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{28}{165}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{4}{55}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{28}{165}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{28}{165}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{14}{55}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht blau")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{28}{165}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{28}{165}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{28}{165}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{14}{55}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{28}{165}$ + $\frac{14}{55}$ = $\frac{42}{55}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- 1 35 = 34 35

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{1}{35}$ = $\frac{34}{35}$