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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{7}{10}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'rot')=1- $\frac{7}{24}$ = $\frac{17}{24}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{7}{24}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{7}{40}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{7}{40}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{7}{120}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{7}{40}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{7}{120}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{7}{120}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{120}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{7}{40}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{7}{40}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{7}{40}$ )
'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{7}{120}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{1}{120}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{1}{120}$ = $\frac{17}{24}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Karten der Farbe Kreuz, 6 der Farbe Pik, 3 der Farbe Herz und 7 der Farbe Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Kreuz und 1 mal Pik"? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{6}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{3}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{7}{95}$
Pik -> Kreuz	$\frac{6}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{38}$
Pik -> Herz	$\frac{9}{190}$
Pik -> Karo	$\frac{21}{190}$
Herz -> Kreuz	$\frac{3}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{9}{190}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{190}$
Herz -> Karo	$\frac{21}{380}$
Karo -> Kreuz	$\frac{7}{95}$
Karo -> Pik	$\frac{21}{190}$
Karo -> Herz	$\frac{21}{380}$
Karo -> Karo	$\frac{21}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{3}{10}$ ; P("Herz")= $\frac{3}{20}$ ; P("Karo")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Pik' (P= $\frac{6}{95}$ )
'Pik'-'Kreuz' (P= $\frac{6}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{95}$ + $\frac{6}{95}$ = $\frac{12}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{5}{12}$ ; "nicht 13": $\frac{7}{12}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{92}$
13 -> nicht 13	$\frac{35}{138}$
nicht 13 -> 13	$\frac{35}{138}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{91}{276}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{12}$ ; P("nicht 13")= $\frac{7}{12}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{15}{92}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{92}$ = $\frac{15}{92}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 11 rote und 4 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine rote Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die rote Kugel im 2. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{4}{15}$ ⋅ $\frac{11}{14}$
= $\frac{2}{15}$ ⋅ $\frac{11}{7}$
= $\frac{22}{105}$

nur Summen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{64}$
1 -> 2	$\frac{3}{32}$
1 -> 3	$\frac{3}{32}$
1 -> 4	$\frac{3}{64}$
2 -> 1	$\frac{3}{32}$
2 -> 2	$\frac{1}{16}$
2 -> 3	$\frac{1}{16}$
2 -> 4	$\frac{1}{32}$
3 -> 1	$\frac{3}{32}$
3 -> 2	$\frac{1}{16}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$
3 -> 4	$\frac{1}{32}$
4 -> 1	$\frac{3}{64}$
4 -> 2	$\frac{1}{32}$
4 -> 3	$\frac{1}{32}$
4 -> 4	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{4}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{32}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{32}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{32}$ + $\frac{3}{32}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{1}{4}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

P=1-P(3 mal 'rot')=1- 7 24 = 17 24

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

nur Summen

P=1-P(3 mal 'rot')=1- $\frac{7}{24}$ = $\frac{17}{24}$