Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": 7 10 ; "nicht blau": 3 10 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 7 15 = 8 15

EreignisP
blau -> blau 7 15
blau -> nicht blau 7 30
nicht blau -> blau 7 30
nicht blau -> nicht blau 1 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= 7 10 ; P("nicht blau")= 3 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'nicht blau' (P= 7 30 )
'nicht blau'-'blau' (P= 7 30 )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= 1 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 30 + 7 30 + 1 15 = 8 15


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 3 4 ; "nicht rot": 1 4 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- 1 220 = 219 220

EreignisP
rot -> rot -> rot 21 55
rot -> rot -> nicht rot 9 55
rot -> nicht rot -> rot 9 55
rot -> nicht rot -> nicht rot 9 220
nicht rot -> rot -> rot 9 55
nicht rot -> rot -> nicht rot 9 220
nicht rot -> nicht rot -> rot 9 220
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 4 ; P("nicht rot")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= 9 220 )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 9 220 )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 9 220 )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 9 55 )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 9 55 )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= 9 55 )
'rot'-'rot'-'rot' (P= 21 55 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 220 + 9 220 + 9 220 + 9 55 + 9 55 + 9 55 + 21 55 = 219 220


nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 17 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
7 -> 7 1 15
7 -> 8 2 15
7 -> 9 2 15
8 -> 7 2 15
8 -> 8 1 15
8 -> 9 2 15
9 -> 7 2 15
9 -> 8 2 15
9 -> 9 1 15

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= 1 3 ; P("8")= 1 3 ; P("9")= 1 3 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'8'-'9' (P= 2 15 )
'9'-'8' (P= 2 15 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

2 15 + 2 15 = 4 15


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 4 2 3 1 2 1
= 1 2 1 1 2 1
= 1 4

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Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen 5 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 9 64
1 -> 2 3 32
1 -> 3 3 32
1 -> 4 3 64
2 -> 1 3 32
2 -> 2 1 16
2 -> 3 1 16
2 -> 4 1 32
3 -> 1 3 32
3 -> 2 1 16
3 -> 3 1 16
3 -> 4 1 32
4 -> 1 3 64
4 -> 2 1 32
4 -> 3 1 32
4 -> 4 1 64

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 3 8 ; P("2")= 1 4 ; P("3")= 1 4 ; P("4")= 1 8 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '1'-'4' (P= 3 64 )
  • '4'-'1' (P= 3 64 )
  • '2'-'3' (P= 1 16 )
  • '3'-'2' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 64 + 3 64 + 1 16 + 1 16 = 7 32