Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 3 10 ; "nicht rot": 7 10 ;

EreignisP
rot -> rot -> rot 1 120
rot -> rot -> nicht rot 7 120
rot -> nicht rot -> rot 7 120
rot -> nicht rot -> nicht rot 7 40
nicht rot -> rot -> rot 7 120
nicht rot -> rot -> nicht rot 7 40
nicht rot -> nicht rot -> rot 7 40
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot 7 24

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 10 ; P("nicht rot")= 7 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= 7 120 )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= 7 120 )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= 7 120 )
'rot'-'rot'-'rot' (P= 1 120 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

7 120 + 7 120 + 7 120 + 1 120 = 11 60


Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 3 mal blau"?

Lösung einblenden
EreignisP
rot -> rot -> rot 21 55
rot -> rot -> blau 9 55
rot -> blau -> rot 9 55
rot -> blau -> blau 9 220
blau -> rot -> rot 9 55
blau -> rot -> blau 9 220
blau -> blau -> rot 9 220
blau -> blau -> blau 1 220

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 4 ; P("blau")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:


'blau'-'blau'-'blau' (P= 1 220 )


Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 220 = 1 220


nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 6 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

Lösung einblenden
EreignisP
1 -> 1 9 100
1 -> 2 3 25
1 -> 3 9 100
2 -> 1 3 25
2 -> 2 4 25
2 -> 3 3 25
3 -> 1 9 100
3 -> 2 3 25
3 -> 3 9 100

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= 3 10 ; P("2")= 2 5 ; P("3")= 3 10 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '2'-'3' (P= 3 25 )
  • '3'-'2' (P= 3 25 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

3 25 + 3 25 = 6 25


Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 12 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 4.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= 3 15 2 14 1 13 12 12
= 1 5 1 7 1 13 2 2
= 1 455

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :(

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 scharze und ein grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": 18 37 ; "nicht rot": 19 37 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'rot')=1- 324 1369 = 1045 1369

EreignisP
rot -> rot 324 1369
rot -> nicht rot 342 1369
nicht rot -> rot 342 1369
nicht rot -> nicht rot 361 1369

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 18 37 ; P("nicht rot")= 19 37 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'nicht rot' (P= 342 1369 )
  • 'nicht rot'-'rot' (P= 342 1369 )
  • 'nicht rot'-'nicht rot' (P= 361 1369 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

342 1369 + 342 1369 + 361 1369 = 1045 1369