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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

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Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{24}{91}$
rot -> rot -> blau	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> rot	$\frac{15}{91}$
rot -> blau -> blau	$\frac{20}{273}$
blau -> rot -> rot	$\frac{15}{91}$
blau -> rot -> blau	$\frac{20}{273}$
blau -> blau -> rot	$\frac{20}{273}$
blau -> blau -> blau	$\frac{2}{91}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'blau' (P= $\frac{15}{91}$ )
'rot'-'blau'-'rot' (P= $\frac{15}{91}$ )
'blau'-'rot'-'rot' (P= $\frac{15}{91}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ + $\frac{15}{91}$ = $\frac{45}{91}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer 8-ten Klasse gibt es 2 Schüler mit NWT-Profil, 10 Schüler mit sprachlichem Profil, 10 Schüler mit Musik-Profil und 3 Schüler mit IMP-Profil. Der NWT-Lehrer hört, dass heute 2 Schüler fehlen würden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Schüler mit NWT-Profil fehlen?

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Da ja ausschließlich nach 'NWT' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'NWT' und 'nicht NWT'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"NWT": $\frac{2}{25}$ ; "nicht NWT": $\frac{23}{25}$ ;

Ereignis	P
NWT -> NWT	$\frac{1}{300}$
NWT -> nicht NWT	$\frac{23}{300}$
nicht NWT -> NWT	$\frac{23}{300}$
nicht NWT -> nicht NWT	$\frac{253}{300}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("NWT")= $\frac{2}{25}$ ; P("nicht NWT")= $\frac{23}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'NWT'-'NWT' (P= $\frac{1}{300}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{300}$ = $\frac{1}{300}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 2er und 5 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

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Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{9}{100}$
1 -> 2	$\frac{27}{200}$
1 -> 3	$\frac{3}{40}$
2 -> 1	$\frac{27}{200}$
2 -> 2	$\frac{81}{400}$
2 -> 3	$\frac{9}{80}$
3 -> 1	$\frac{3}{40}$
3 -> 2	$\frac{9}{80}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{3}{10}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{9}{80}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{9}{80}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{80}$ + $\frac{9}{80}$ = $\frac{9}{40}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 3. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{2}{17}$ ⋅ $\frac{15}{16}$
= $\frac{3}{3}$ ⋅ $\frac{1}{17}$ ⋅ $\frac{5}{16}$
= $\frac{5}{272}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 2 blaue , 6 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal schwarz"?

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Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{4}{15}$ ; "nicht schwarz": $\frac{11}{15}$ ;

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{2}{35}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{22}{105}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{22}{105}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{11}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{2}{35}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{35}$ = $\frac{2}{35}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen