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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal rot"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{30}$
rot -> rot -> blau	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> rot	$\frac{1}{10}$
rot -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> rot -> rot	$\frac{1}{10}$
blau -> rot -> blau	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> rot	$\frac{1}{6}$
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{6}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot'-'blau' (P= $\frac{1}{10}$ )
'rot'-'blau'-'rot' (P= $\frac{1}{10}$ )
'blau'-'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{10}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{10}$ = $\frac{3}{10}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot und 7 vom Typ blau. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

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Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{15}$
rot -> blau	$\frac{7}{30}$
blau -> rot	$\frac{7}{30}$
blau -> blau	$\frac{7}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{10}$ ; P("blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{1}{15}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{7}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{15}$ + $\frac{7}{15}$ = $\frac{8}{15}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 6 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 4 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{19}$
1 -> 2	$\frac{9}{76}$
1 -> 3	$\frac{3}{38}$
2 -> 1	$\frac{9}{76}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{27}{190}$
3 -> 1	$\frac{3}{38}$
3 -> 2	$\frac{27}{190}$
3 -> 3	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{3}{38}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{3}{38}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{18}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{38}$ + $\frac{3}{38}$ + $\frac{18}{95}$ = $\frac{33}{95}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 10 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{12}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{10}{10}$
= $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{11}$ ⋅ $\frac{5}{5}$
= $\frac{1}{66}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{7}$
rot -> blau	$\frac{5}{21}$
blau -> rot	$\frac{5}{21}$
blau -> blau	$\frac{2}{21}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{5}{21}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{5}{21}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{21}$ + $\frac{5}{21}$ = $\frac{10}{21}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen ohne Zurücklegen