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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind verschiedene Karten, 8 vom Typ Kreuz, 4 vom Typ Herz, 4 vom Typ Pik und 4 vom Typ Karo. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Karten der gleichen Farbe zu ziehen? (Unter Farben versteht man beim Kartenspiel Herz, Kreuz, Pig und Karo - nicht rot und schwarz)

Lösung einblenden

Ereignis	P
Kreuz -> Kreuz	$\frac{14}{95}$
Kreuz -> Herz	$\frac{8}{95}$
Kreuz -> Pik	$\frac{8}{95}$
Kreuz -> Karo	$\frac{8}{95}$
Herz -> Kreuz	$\frac{8}{95}$
Herz -> Herz	$\frac{3}{95}$
Herz -> Pik	$\frac{4}{95}$
Herz -> Karo	$\frac{4}{95}$
Pik -> Kreuz	$\frac{8}{95}$
Pik -> Herz	$\frac{4}{95}$
Pik -> Pik	$\frac{3}{95}$
Pik -> Karo	$\frac{4}{95}$
Karo -> Kreuz	$\frac{8}{95}$
Karo -> Herz	$\frac{4}{95}$
Karo -> Pik	$\frac{4}{95}$
Karo -> Karo	$\frac{3}{95}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Kreuz")= $\frac{2}{5}$ ; P("Herz")= $\frac{1}{5}$ ; P("Pik")= $\frac{1}{5}$ ; P("Karo")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Kreuz'-'Kreuz' (P= $\frac{14}{95}$ )
'Herz'-'Herz' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Pik'-'Pik' (P= $\frac{3}{95}$ )
'Karo'-'Karo' (P= $\frac{3}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{95}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{3}{95}$ + $\frac{3}{95}$ = $\frac{23}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 6 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 5 Kugeln mit einer Zwei, 7 mit Drei und 6 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 4 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{5}{92}$
1 -> 2	$\frac{5}{92}$
1 -> 3	$\frac{7}{92}$
1 -> 4	$\frac{3}{46}$
2 -> 1	$\frac{5}{92}$
2 -> 2	$\frac{5}{138}$
2 -> 3	$\frac{35}{552}$
2 -> 4	$\frac{5}{92}$
3 -> 1	$\frac{7}{92}$
3 -> 2	$\frac{35}{552}$
3 -> 3	$\frac{7}{92}$
3 -> 4	$\frac{7}{92}$
4 -> 1	$\frac{3}{46}$
4 -> 2	$\frac{5}{92}$
4 -> 3	$\frac{7}{92}$
4 -> 4	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{5}{24}$ ; P("3")= $\frac{7}{24}$ ; P("4")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'3' (P= $\frac{7}{92}$ )
'3'-'1' (P= $\frac{7}{92}$ )
'2'-'2' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{92}$ + $\frac{7}{92}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{13}{69}$

nur Summen

Beispiel:

In einem Stapel sind 2 Karten vom Wert 7, 2 Karten vom Wert 8 und 2 9er. Man zieht 2 Karten aus dem Stapel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Karten gerade 16 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
7 -> 7	$\frac{1}{15}$
7 -> 8	$\frac{2}{15}$
7 -> 9	$\frac{2}{15}$
8 -> 7	$\frac{2}{15}$
8 -> 8	$\frac{1}{15}$
8 -> 9	$\frac{2}{15}$
9 -> 7	$\frac{2}{15}$
9 -> 8	$\frac{2}{15}$
9 -> 9	$\frac{1}{15}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("7")= $\frac{1}{3}$ ; P("8")= $\frac{1}{3}$ ; P("9")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'7'-'9' (P= $\frac{2}{15}$ )
'9'-'7' (P= $\frac{2}{15}$ )
'8'-'8' (P= $\frac{1}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{1}{15}$ = $\frac{1}{3}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 7 blaue Kugeln. Es soll (ohne Zurücklegen) solange gezogen werden, bis erstmals eine blaue Kugel erscheint. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit die blaue Kugel im 3. Versuch zu ziehen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{2}{9}$ ⋅ $\frac{1}{8}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{9}$ ⋅ $\frac{1}{4}$ ⋅ $\frac{7}{7}$
= $\frac{1}{36}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Wappen' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Wappen' bzw. 0 mal 'Wappen'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Wappen')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)