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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 10 blaue , 5 gelbe und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{3}{29}$
rot -> blau	$\frac{10}{87}$
rot -> gelb	$\frac{5}{87}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{87}$
blau -> rot	$\frac{10}{87}$
blau -> blau	$\frac{3}{29}$
blau -> gelb	$\frac{5}{87}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{87}$
gelb -> rot	$\frac{5}{87}$
gelb -> blau	$\frac{5}{87}$
gelb -> gelb	$\frac{2}{87}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{174}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{87}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{87}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{174}$
schwarz -> schwarz	$\frac{2}{87}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{6}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{10}{87}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{10}{87}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{10}{87}$ + $\frac{10}{87}$ = $\frac{20}{87}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 rote, 5 blaue , 4 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{19}$
rot -> blau	$\frac{5}{76}$
rot -> gelb	$\frac{1}{19}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{38}$
blau -> rot	$\frac{5}{76}$
blau -> blau	$\frac{1}{19}$
blau -> gelb	$\frac{1}{19}$
blau -> schwarz	$\frac{3}{38}$
gelb -> rot	$\frac{1}{19}$
gelb -> blau	$\frac{1}{19}$
gelb -> gelb	$\frac{3}{95}$
gelb -> schwarz	$\frac{6}{95}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{38}$
schwarz -> blau	$\frac{3}{38}$
schwarz -> gelb	$\frac{6}{95}$
schwarz -> schwarz	$\frac{3}{38}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{4}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{5}{76}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{5}{76}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{76}$ + $\frac{5}{76}$ = $\frac{5}{38}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{15}{29}$ ; "nicht 13": $\frac{14}{29}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{58}$
13 -> nicht 13	$\frac{15}{58}$
nicht 13 -> 13	$\frac{15}{58}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{13}{58}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{15}{29}$ ; P("nicht 13")= $\frac{14}{29}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{15}{58}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{15}{58}$ = $\frac{15}{58}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 4 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies im 2.Versuch passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{7}$ ⋅ $\frac{4}{6}$
= $\frac{1}{7}$ ⋅ $\frac{4}{2}$
= $\frac{2}{7}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal 1-12 und 1 mal 13-24"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1-12 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
1-12 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
13-24 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
25-36 -> 1-12	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> 25-36	$\frac{144}{1369}$
25-36 -> grüne 0	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 1-12	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 13-24	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> 25-36	$\frac{12}{1369}$
grüne 0 -> grüne 0	$\frac{1}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1-12")= $\frac{12}{37}$ ; P("13-24")= $\frac{12}{37}$ ; P("25-36")= $\frac{12}{37}$ ; P("grüne 0")= $\frac{1}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1-12'-'13-24' (P= $\frac{144}{1369}$ )
'13-24'-'1-12' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{144}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{288}{1369}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen mit Zurücklegen