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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 2 Asse, 4 Könige und 4 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "genau 2 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{1}{5}$ ; "nicht Ass": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{1}{45}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{8}{45}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{8}{45}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{28}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'Ass' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{45}$ = $\frac{1}{45}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{18}{95}$
1 -> 2	$\frac{18}{95}$
1 -> 3	$\frac{27}{380}$
2 -> 1	$\frac{18}{95}$
2 -> 2	$\frac{14}{95}$
2 -> 3	$\frac{6}{95}$
3 -> 1	$\frac{27}{380}$
3 -> 2	$\frac{6}{95}$
3 -> 3	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{9}{20}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{18}{95}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{18}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{95}$ + $\frac{18}{95}$ = $\frac{36}{95}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 10 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 29 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{15}{92}$
13 -> 14	$\frac{25}{138}$
13 -> 15	$\frac{5}{69}$
14 -> 13	$\frac{25}{138}$
14 -> 14	$\frac{15}{92}$
14 -> 15	$\frac{5}{69}$
15 -> 13	$\frac{5}{69}$
15 -> 14	$\frac{5}{69}$
15 -> 15	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{12}$ ; P("14")= $\frac{5}{12}$ ; P("15")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'14'-'15' (P= $\frac{5}{69}$ )
'15'-'14' (P= $\frac{5}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{69}$ + $\frac{5}{69}$ = $\frac{10}{69}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 3. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$
= $\frac{1}{4}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

Ziehen bis erstmals x kommt