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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 2 blaue , 6 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{15}{92}$
rot -> blau	$\frac{5}{138}$
rot -> gelb	$\frac{5}{46}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{46}$
blau -> rot	$\frac{5}{138}$
blau -> blau	$\frac{1}{276}$
blau -> gelb	$\frac{1}{46}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{46}$
gelb -> rot	$\frac{5}{46}$
gelb -> blau	$\frac{1}{46}$
gelb -> gelb	$\frac{5}{92}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{46}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{46}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{46}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{46}$
schwarz -> schwarz	$\frac{5}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{5}{12}$ ; P("blau")= $\frac{1}{12}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{5}{138}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{5}{138}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{138}$ + $\frac{5}{138}$ = $\frac{5}{69}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 5 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 3 kugel mit einer 2 und 4 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 6 ist?

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Da ja ausschließlich nach '3' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3' und 'nicht 3'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
3 -> 3	$\frac{1}{11}$
3 -> nicht 3	$\frac{8}{33}$
nicht 3 -> 3	$\frac{8}{33}$
nicht 3 -> nicht 3	$\frac{14}{33}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3'-'3' (P= $\frac{1}{11}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{11}$ = $\frac{1}{11}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 5 14-Jährige und 4 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 27 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{35}{92}$
13 -> 14	$\frac{25}{184}$
13 -> 15	$\frac{5}{46}$
14 -> 13	$\frac{25}{184}$
14 -> 14	$\frac{5}{138}$
14 -> 15	$\frac{5}{138}$
15 -> 13	$\frac{5}{46}$
15 -> 14	$\frac{5}{138}$
15 -> 15	$\frac{1}{46}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{8}$ ; P("14")= $\frac{5}{24}$ ; P("15")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'14' (P= $\frac{25}{184}$ )
'14'-'13' (P= $\frac{25}{184}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{184}$ + $\frac{25}{184}$ = $\frac{25}{92}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 21 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{24}$ ⋅ $\frac{21}{23}$
= $\frac{3}{8}$ ⋅ $\frac{7}{23}$
= $\frac{21}{184}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal Zahl und 2 mal Wappen"?

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Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)