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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 7 blaue , 4 gelbe und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{5}$ ; "nicht gelb": $\frac{4}{5}$ ;

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{3}{95}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{16}{95}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{16}{95}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{12}{19}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{4}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'gelb' (P= $\frac{3}{95}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{95}$ = $\frac{3}{95}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote und 8 blaue Kugeln. Es wird 2 mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{4}{5}$ ; "nicht blau": $\frac{1}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{28}{45}$ = $\frac{17}{45}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{28}{45}$
blau -> nicht blau	$\frac{8}{45}$
nicht blau -> blau	$\frac{8}{45}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{1}{45}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{4}{5}$ ; P("nicht blau")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{8}{45}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{8}{45}$ )
'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{1}{45}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$ + $\frac{1}{45}$ = $\frac{17}{45}$

nur Summen

Beispiel:

In einer 8. Klasse gibt es 15 SchülerInnen, die 13 Jahre alt sind, 10 14-Jährige und 2 15-Jährige. Ein Lehrer, der keine Ahnung über das Alter seiner Schüler hat, muss bei zwei SchülerInnen raten, wie alt die beiden zusammen sind. Er tippt auf 26 Jahre. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zufällig richtig getippt hat?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '13' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13' und 'nicht 13'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13": $\frac{5}{9}$ ; "nicht 13": $\frac{4}{9}$ ;

Ereignis	P
13 -> 13	$\frac{35}{117}$
13 -> nicht 13	$\frac{10}{39}$
nicht 13 -> 13	$\frac{10}{39}$
nicht 13 -> nicht 13	$\frac{22}{117}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13")= $\frac{5}{9}$ ; P("nicht 13")= $\frac{4}{9}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13'-'13' (P= $\frac{35}{117}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{35}{117}$ = $\frac{35}{117}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies beim 2. Losdurchgang passiert?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{18}$ ⋅ $\frac{15}{17}$
= $\frac{3}{6}$ ⋅ $\frac{5}{17}$
= $\frac{5}{34}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 mal eine Primzahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
prim -> prim	$\frac{1}{4}$
prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> prim	$\frac{1}{4}$
nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{4}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{4}$ )
'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{4}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

P=1-P(2 mal 'blau')=1- 28 45 = 17 45

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)

P=1-P(2 mal 'blau')=1- $\frac{28}{45}$ = $\frac{17}{45}$