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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind 4 Asse, 4 Könige und 2 Damen. Es werden 2 Karten gleichzeitig vom Stapel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit "mindestens 1 mal Ass"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Ass' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Ass' und 'nicht Ass'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Ass": $\frac{2}{5}$ ; "nicht Ass": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Ass' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Ass' bzw. 0 mal 'Ass'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Ass')=1- $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$

Ereignis	P
Ass -> Ass	$\frac{2}{15}$
Ass -> nicht Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> Ass	$\frac{4}{15}$
nicht Ass -> nicht Ass	$\frac{1}{3}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Ass")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht Ass")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Ass'-'nicht Ass' (P= $\frac{4}{15}$ )
'nicht Ass'-'Ass' (P= $\frac{4}{15}$ )
'Ass'-'Ass' (P= $\frac{2}{15}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{15}$ + $\frac{4}{15}$ + $\frac{2}{15}$ = $\frac{2}{3}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 9 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{14}{95}$
1 -> 2	$\frac{18}{95}$
1 -> 3	$\frac{6}{95}$
2 -> 1	$\frac{18}{95}$
2 -> 2	$\frac{18}{95}$
2 -> 3	$\frac{27}{380}$
3 -> 1	$\frac{6}{95}$
3 -> 2	$\frac{27}{380}$
3 -> 3	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{5}$ ; P("2")= $\frac{9}{20}$ ; P("3")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{27}{380}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{27}{380}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{27}{380}$ + $\frac{27}{380}$ = $\frac{27}{190}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 4 kugel mit einer 2 und 3 Kugeln mit einer 3. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Kugeln 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{15}$
1 -> 2	$\frac{16}{105}$
1 -> 3	$\frac{4}{35}$
2 -> 1	$\frac{16}{105}$
2 -> 2	$\frac{2}{35}$
2 -> 3	$\frac{2}{35}$
3 -> 1	$\frac{4}{35}$
3 -> 2	$\frac{2}{35}$
3 -> 3	$\frac{1}{35}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{8}{15}$ ; P("2")= $\frac{4}{15}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{16}{105}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{16}{105}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{16}{105}$ + $\frac{16}{105}$ = $\frac{32}{105}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 2. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
= $\frac{1}{4}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 3 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 8 Kugeln mit einer Zwei, 10 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{92}$
1 -> 2	$\frac{1}{23}$
1 -> 3	$\frac{5}{92}$
1 -> 4	$\frac{3}{184}$
2 -> 1	$\frac{1}{23}$
2 -> 2	$\frac{7}{69}$
2 -> 3	$\frac{10}{69}$
2 -> 4	$\frac{1}{23}$
3 -> 1	$\frac{5}{92}$
3 -> 2	$\frac{10}{69}$
3 -> 3	$\frac{15}{92}$
3 -> 4	$\frac{5}{92}$
4 -> 1	$\frac{3}{184}$
4 -> 2	$\frac{1}{23}$
4 -> 3	$\frac{5}{92}$
4 -> 4	$\frac{1}{92}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{8}$ ; P("2")= $\frac{1}{3}$ ; P("3")= $\frac{5}{12}$ ; P("4")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{3}{184}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{3}{184}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{10}{69}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{10}{69}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{184}$ + $\frac{3}{184}$ + $\frac{10}{69}$ + $\frac{10}{69}$ = $\frac{89}{276}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

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