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ohne Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote, 8 blaue , 10 gelbe und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal ohne Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{5}{16}$ ; "nicht rot": $\frac{11}{16}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{231}{496}$ = $\frac{265}{496}$

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{45}{496}$
rot -> nicht rot	$\frac{55}{248}$
nicht rot -> rot	$\frac{55}{248}$
nicht rot -> nicht rot	$\frac{231}{496}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{5}{16}$ ; P("nicht rot")= $\frac{11}{16}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{55}{248}$ )
'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{55}{248}$ )
'rot'-'rot' (P= $\frac{45}{496}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{55}{248}$ + $\frac{55}{248}$ + $\frac{45}{496}$ = $\frac{265}{496}$

Ziehen ohne Zurücklegen

Beispiel:

In einem Lostopf sind 5 Kugeln mit einer Eins beschriftet, 10 Kugeln mit einer Zwei, 2 mit Drei und 3 mit einer Vier. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkiet dass die beiden gezogenen Zahlen zusammen 5 ergeben?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{19}$
1 -> 2	$\frac{5}{38}$
1 -> 3	$\frac{1}{38}$
1 -> 4	$\frac{3}{76}$
2 -> 1	$\frac{5}{38}$
2 -> 2	$\frac{9}{38}$
2 -> 3	$\frac{1}{19}$
2 -> 4	$\frac{3}{38}$
3 -> 1	$\frac{1}{38}$
3 -> 2	$\frac{1}{19}$
3 -> 3	$\frac{1}{190}$
3 -> 4	$\frac{3}{190}$
4 -> 1	$\frac{3}{76}$
4 -> 2	$\frac{3}{38}$
4 -> 3	$\frac{3}{190}$
4 -> 4	$\frac{3}{190}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{4}$ ; P("2")= $\frac{1}{2}$ ; P("3")= $\frac{1}{10}$ ; P("4")= $\frac{3}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'4' (P= $\frac{3}{76}$ )
'4'-'1' (P= $\frac{3}{76}$ )
'2'-'3' (P= $\frac{1}{19}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{1}{19}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{3}{76}$ + $\frac{3}{76}$ + $\frac{1}{19}$ + $\frac{1}{19}$ = $\frac{7}{38}$

nur Summen

Beispiel:

In einer Urne sind 2 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 7 2er und 3 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 5 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{7}{72}$
1 -> 3	$\frac{1}{24}$
2 -> 1	$\frac{7}{72}$
2 -> 2	$\frac{49}{144}$
2 -> 3	$\frac{7}{48}$
3 -> 1	$\frac{1}{24}$
3 -> 2	$\frac{7}{48}$
3 -> 3	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{1}{6}$ ; P("2")= $\frac{7}{12}$ ; P("3")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'2'-'3' (P= $\frac{7}{48}$ )
'3'-'2' (P= $\frac{7}{48}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{48}$ + $\frac{7}{48}$ = $\frac{7}{24}$

Ziehen bis erstmals x kommt

Beispiel:

Werder Bremen hat mal wieder das Halbfinale des DFB-Pokals erreicht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Auslosung Werder an 4. Stelle gezogen wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

Lösung einblenden

Die Wahrscheinlichkeit kann man dem einzig möglichen Pfad entlang ablesen:

P= $\frac{3}{4}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ⋅ $1$
= $\frac{1}{4}$

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Primzahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente ohne Zurücklegen

ohne Zurücklegen (einfach)

Ziehen ohne Zurücklegen

nur Summen

Ziehen bis erstmals x kommt

mit Zurücklegen (einfach)