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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "2 mal Zahl und 1 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Zahl -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'Zahl'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Wappen'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Wappen'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{3}$ ; "nicht blau": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{1}{27}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{2}{27}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{2}{27}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{4}{27}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{2}{27}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{4}{27}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{4}{27}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht blau")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{2}{27}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{2}{27}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{1}{27}$ = $\frac{7}{27}$