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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 7 gelbe, 2 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{9}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{81}{100}$ = $\frac{19}{100}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{100}$
blau -> nicht blau	$\frac{9}{100}$
nicht blau -> blau	$\frac{9}{100}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{81}{100}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{9}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{9}{100}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{9}{100}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{100}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{100}$ + $\frac{9}{100}$ + $\frac{1}{100}$ = $\frac{19}{100}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 9 vom Typ rot, 5 vom Typ blau, 6 vom Typ gelb und 4 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{64}$
rot -> blau	$\frac{5}{64}$
rot -> gelb	$\frac{3}{32}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{16}$
blau -> rot	$\frac{5}{64}$
blau -> blau	$\frac{25}{576}$
blau -> gelb	$\frac{5}{96}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{144}$
gelb -> rot	$\frac{3}{32}$
gelb -> blau	$\frac{5}{96}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{16}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{24}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{16}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{144}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{24}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{8}$ ; P("blau")= $\frac{5}{24}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{4}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{64}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{25}{576}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{1}{16}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{64}$ + $\frac{25}{576}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{79}{288}$