Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 2 mal Zahl"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": 1 2 ; "nicht Zahl": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal 'Zahl')=1- 1 8 = 7 8

EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= 1 2 ; P("nicht Zahl")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 7 8


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Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine 6 zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": 1 6 ; "nicht 6er": 5 6 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal '6er')=1- 1 216 = 215 216

EreignisP
6er -> 6er -> 6er 1 216
6er -> 6er -> nicht 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> 6er 5 216
6er -> nicht 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> 6er -> 6er 5 216
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er 25 216
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er 125 216

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= 1 6 ; P("nicht 6er")= 5 6 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • '6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'6er' (P= 5 216 )
  • '6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= 25 216 )
  • 'nicht 6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= 125 216 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

5 216 + 5 216 + 5 216 + 25 216 + 25 216 + 25 216 + 125 216 = 215 216