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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 10 gelbe, 6 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{1}{3}$ ; "nicht gelb": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{1}{9}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{2}{9}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{2}{9}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{4}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{4}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 scharze und ein grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{18}{37}$ ; "nicht schwarz": $\frac{19}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- $\frac{324}{1369}$ = $\frac{1045}{1369}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{342}{1369}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{342}{1369}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{361}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{18}{37}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{19}{37}$ ;