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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 7 gelbe, 5 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{576}$
rot -> blau	$\frac{35}{576}$
rot -> gelb	$\frac{49}{576}$
rot -> schwarz	$\frac{35}{576}$
blau -> rot	$\frac{35}{576}$
blau -> blau	$\frac{25}{576}$
blau -> gelb	$\frac{35}{576}$
blau -> schwarz	$\frac{25}{576}$
gelb -> rot	$\frac{49}{576}$
gelb -> blau	$\frac{35}{576}$
gelb -> gelb	$\frac{49}{576}$
gelb -> schwarz	$\frac{35}{576}$
schwarz -> rot	$\frac{35}{576}$
schwarz -> blau	$\frac{25}{576}$
schwarz -> gelb	$\frac{35}{576}$
schwarz -> schwarz	$\frac{25}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{24}$ ; P("blau")= $\frac{5}{24}$ ; P("gelb")= $\frac{7}{24}$ ; P("schwarz")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{35}{576}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{35}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{35}{576}$ + $\frac{35}{576}$ = $\frac{35}{288}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 6 rote und 4 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{3}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{2}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{8}{125}$ = $\frac{117}{125}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{27}{125}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{18}{125}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{18}{125}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{12}{125}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{12}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{12}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{8}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{27}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{27}{125}$ = $\frac{117}{125}$