Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Zahl"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Zahl": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Zahl' bzw. 0 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Zahl')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Zahl")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot, 9 vom Typ blau, 3 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{400}$
rot -> blau	$\frac{27}{400}$
rot -> gelb	$\frac{9}{400}$
rot -> schwarz	$\frac{3}{80}$
blau -> rot	$\frac{27}{400}$
blau -> blau	$\frac{81}{400}$
blau -> gelb	$\frac{27}{400}$
blau -> schwarz	$\frac{9}{80}$
gelb -> rot	$\frac{9}{400}$
gelb -> blau	$\frac{27}{400}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{400}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{80}$
schwarz -> rot	$\frac{3}{80}$
schwarz -> blau	$\frac{9}{80}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{80}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{20}$ ; P("blau")= $\frac{9}{20}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{20}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{9}{400}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{81}{400}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{9}{400}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{400}$ + $\frac{81}{400}$ + $\frac{9}{400}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{31}{100}$