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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 2 gelbe, 9 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{9}$
rot -> blau	$\frac{1}{8}$
rot -> gelb	$\frac{1}{36}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{72}$
blau -> rot	$\frac{1}{8}$
blau -> blau	$\frac{9}{64}$
blau -> gelb	$\frac{1}{32}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{64}$
gelb -> rot	$\frac{1}{36}$
gelb -> blau	$\frac{1}{32}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{144}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{288}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{72}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{64}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{288}$
schwarz -> schwarz	$\frac{25}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{3}$ ; P("blau")= $\frac{3}{8}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{12}$ ; P("schwarz")= $\frac{5}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'gelb' (P= $\frac{1}{36}$ )
'gelb'-'rot' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{5}$ ; "nicht blau": $\frac{2}{5}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{27}{125}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{18}{125}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{18}{125}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{12}{125}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{18}{125}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{12}{125}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{12}{125}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{8}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{5}$ ; P("nicht blau")= $\frac{2}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{18}{125}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{18}{125}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{27}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{27}{125}$ = $\frac{81}{125}$