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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 4 gelbe, 6 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{9}{400}$
rot -> blau	$\frac{9}{200}$
rot -> gelb	$\frac{3}{100}$
rot -> schwarz	$\frac{21}{400}$
blau -> rot	$\frac{9}{200}$
blau -> blau	$\frac{9}{100}$
blau -> gelb	$\frac{3}{50}$
blau -> schwarz	$\frac{21}{200}$
gelb -> rot	$\frac{3}{100}$
gelb -> blau	$\frac{3}{50}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{25}$
gelb -> schwarz	$\frac{7}{100}$
schwarz -> rot	$\frac{21}{400}$
schwarz -> blau	$\frac{21}{200}$
schwarz -> gelb	$\frac{7}{100}$
schwarz -> schwarz	$\frac{49}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{3}{20}$ ; P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{7}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{9}{200}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{9}{200}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{9}{200}$ + $\frac{9}{200}$ = $\frac{9}{100}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette kann man auch auf Zahlenbereiche setzen. Z.B. auf die Zahlenbereiche 1-12, 13-24 und 25-36, wobei die grüne 0 zu keinem der Bereiche gehört. Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal 13-24"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '13-24' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '13-24' und 'nicht 13-24'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"13-24": $\frac{12}{37}$ ; "nicht 13-24": $\frac{25}{37}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 13-24' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '13-24' bzw. 0 mal '13-24'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '13-24')=1- $\frac{625}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$

Ereignis	P
13-24 -> 13-24	$\frac{144}{1369}$
13-24 -> nicht 13-24	$\frac{300}{1369}$
nicht 13-24 -> 13-24	$\frac{300}{1369}$
nicht 13-24 -> nicht 13-24	$\frac{625}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("13-24")= $\frac{12}{37}$ ; P("nicht 13-24")= $\frac{25}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'13-24'-'nicht 13-24' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'nicht 13-24'-'13-24' (P= $\frac{300}{1369}$ )
'13-24'-'13-24' (P= $\frac{144}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{300}{1369}$ + $\frac{300}{1369}$ + $\frac{144}{1369}$ = $\frac{744}{1369}$