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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Zahl"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Zahl": $\frac{1}{2}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Zahl' bzw. 0 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Zahl')=1- $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ereignis	P
Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl	$\frac{1}{8}$
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Zahl")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )
'Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{7}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote, 8 gelbe, 8 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "genau 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{1}{3}$ ; "nicht blau": $\frac{2}{3}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{1}{9}$
blau -> nicht blau	$\frac{2}{9}$
nicht blau -> blau	$\frac{2}{9}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht blau")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{9}$ = $\frac{1}{9}$