Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 5 gelbe, 7 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{6}$ ; "nicht schwarz": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{25}{36}$ = $\frac{11}{36}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{36}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{5}{36}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{5}{36}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{5}{36}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{11}{36}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote und 6 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{5}$ ; "nicht rot": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{27}{125}$ = $\frac{98}{125}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{125}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{12}{125}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{12}{125}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{12}{125}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{18}{125}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{27}{125}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht rot")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{18}{125}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{12}{125}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{125}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{18}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{12}{125}$ + $\frac{8}{125}$ = $\frac{98}{125}$