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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 3 gelbe, 2 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{7}{20}$ ; "nicht schwarz": $\frac{13}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- $\frac{49}{400}$ = $\frac{351}{400}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{49}{400}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{91}{400}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{91}{400}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{169}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{7}{20}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{13}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{91}{400}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{91}{400}$ )
'nicht schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{169}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{91}{400}$ + $\frac{91}{400}$ + $\frac{169}{400}$ = $\frac{351}{400}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Würfelspiel Mäxle würfelt man mit zwei Würfeln. Die größere Augenzahl nimmt man als Zehner, die kleinere als Einer (z.B. 3 und 5 ergibt 53). Ein Pasch (gleiche Zahlen bei beiden Würfeln) zählt mehr als alle anderen Ergebnisse. Lediglich ein Mäxle (eine 1 und ein 2) schlägt auch einen Pasch. Die beiden schlechtesten Ergebnisse sind also 31 und 32. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?