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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal Wappen"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Wappen' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Wappen' und 'nicht Wappen'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Wappen": $\frac{1}{2}$ ; "nicht Wappen": $\frac{1}{2}$ ;

Ereignis	P
Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> Wappen	$\frac{1}{8}$
nicht Wappen -> nicht Wappen -> nicht Wappen	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Wappen")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht Wappen")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht Wappen'-'nicht Wappen'-'nicht Wappen' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{1}{2}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 8 vom Typ rot, 4 vom Typ blau, 3 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{4}{25}$
rot -> blau	$\frac{2}{25}$
rot -> gelb	$\frac{3}{50}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{10}$
blau -> rot	$\frac{2}{25}$
blau -> blau	$\frac{1}{25}$
blau -> gelb	$\frac{3}{100}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{20}$
gelb -> rot	$\frac{3}{50}$
gelb -> blau	$\frac{3}{100}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{400}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{80}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{10}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{20}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{80}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{16}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{5}$ ; P("blau")= $\frac{1}{5}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{20}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{4}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{25}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{25}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{9}{400}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{16}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{25}$ + $\frac{1}{25}$ + $\frac{9}{400}$ + $\frac{1}{16}$ = $\frac{57}{200}$