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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 2 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach '3er-Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '3er-Zahl' und 'nicht 3er-Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"3er-Zahl": $\frac{1}{3}$ ; "nicht 3er-Zahl": $\frac{2}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal 3er-Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein '3er-Zahl' bzw. 0 mal '3er-Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal '3er-Zahl')=1- $\frac{4}{9}$ = $\frac{5}{9}$

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{9}$
3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{9}$
nicht 3er-Zahl -> nicht 3er-Zahl	$\frac{4}{9}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er-Zahl")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'nicht 3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'nicht 3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{9}$ )
'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{1}{9}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{9}$ + $\frac{2}{9}$ + $\frac{1}{9}$ = $\frac{5}{9}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 5 gelbe, 7 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{5}{24}$ ; "nicht gelb": $\frac{19}{24}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'gelb' bzw. 0 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'gelb')=1- $\frac{361}{576}$ = $\frac{215}{576}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{25}{576}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{95}{576}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{95}{576}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{361}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{5}{24}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{19}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'gelb'-'nicht gelb' (P= $\frac{95}{576}$ )
'nicht gelb'-'gelb' (P= $\frac{95}{576}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{25}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{95}{576}$ + $\frac{95}{576}$ + $\frac{25}{576}$ = $\frac{215}{576}$