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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 2 mal eine 6 zu würfeln?

Da ja ausschließlich nach '6er' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: '6er' und 'nicht 6er'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"6er": $\frac{1}{6}$ ; "nicht 6er": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal 6er' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 3 mal '6er'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(3 mal '6er')=1- $\frac{1}{216}$ = $\frac{215}{216}$

Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
nicht 6er -> 6er -> nicht 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> 6er	$\frac{25}{216}$
nicht 6er -> nicht 6er -> nicht 6er	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht 6er")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'nicht 6er'-'6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er'-'6er' (P= $\frac{25}{216}$ )
'nicht 6er'-'nicht 6er'-'nicht 6er' (P= $\frac{125}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{125}{216}$ = $\frac{215}{216}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{27}$ = $\frac{26}{27}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{27}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{4}{27}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{3}$ ;