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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 4 gelbe, 10 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal blau und 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{576}$
rot -> blau	$\frac{35}{288}$
rot -> gelb	$\frac{7}{144}$
rot -> schwarz	$\frac{7}{192}$
blau -> rot	$\frac{35}{288}$
blau -> blau	$\frac{25}{144}$
blau -> gelb	$\frac{5}{72}$
blau -> schwarz	$\frac{5}{96}$
gelb -> rot	$\frac{7}{144}$
gelb -> blau	$\frac{5}{72}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{36}$
gelb -> schwarz	$\frac{1}{48}$
schwarz -> rot	$\frac{7}{192}$
schwarz -> blau	$\frac{5}{96}$
schwarz -> gelb	$\frac{1}{48}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{24}$ ; P("blau")= $\frac{5}{12}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{6}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'schwarz' (P= $\frac{5}{96}$ )
'schwarz'-'blau' (P= $\frac{5}{96}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{96}$ + $\frac{5}{96}$ = $\frac{5}{48}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?

Lösung einblenden

Ereignis	P
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{1}{27}$
3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl	$\frac{2}{27}$
nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl	$\frac{4}{27}$
nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er	$\frac{8}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")= $\frac{1}{3}$ ; P("nicht 3er")= $\frac{2}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P= $\frac{2}{27}$ )
'3er-Zahl'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P= $\frac{2}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ = $\frac{2}{9}$