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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 8 gelbe, 8 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{7}{30}$ ; "nicht schwarz": $\frac{23}{30}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{529}{900}$ = $\frac{371}{900}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{49}{900}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{161}{900}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{161}{900}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{529}{900}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{7}{30}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{23}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{161}{900}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{161}{900}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{49}{900}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{161}{900}$ + $\frac{161}{900}$ + $\frac{49}{900}$ = $\frac{371}{900}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Ein Glücksrad wie in der Abbildung rechts wird zwei mal gedreht. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal C"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'C' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'C' und 'nicht C'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"C": $\frac{1}{8}$ ; "nicht C": $\frac{7}{8}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal C' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'C' bzw. 0 mal 'C'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'C')=1- $\frac{49}{64}$ = $\frac{15}{64}$

Ereignis	P
C -> C	$\frac{1}{64}$
C -> nicht C	$\frac{7}{64}$
nicht C -> C	$\frac{7}{64}$
nicht C -> nicht C	$\frac{49}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("C")= $\frac{1}{8}$ ; P("nicht C")= $\frac{7}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'C'-'nicht C' (P= $\frac{7}{64}$ )
'nicht C'-'C' (P= $\frac{7}{64}$ )
'C'-'C' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{7}{64}$ + $\frac{7}{64}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{15}{64}$