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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 9 gelbe, 7 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{1}{6}$ ; "nicht schwarz": $\frac{5}{6}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'schwarz')=1- $\frac{1}{36}$ = $\frac{35}{36}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{36}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{5}{36}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{5}{36}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{25}{36}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{1}{6}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{5}{36}$ )
'nicht schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{25}{36}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{36}$ + $\frac{5}{36}$ + $\frac{25}{36}$ = $\frac{35}{36}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{343}{1000}$ = $\frac{657}{1000}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{27}{1000}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{343}{1000}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{7}{10}$ ;