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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 5 gelbe, 2 blaue und 4 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{4}{15}$ ; "nicht schwarz": $\frac{11}{15}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{121}{225}$ = $\frac{104}{225}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{16}{225}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{44}{225}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{44}{225}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{121}{225}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{4}{15}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{11}{15}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{44}{225}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{44}{225}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{16}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{44}{225}$ + $\frac{44}{225}$ + $\frac{16}{225}$ = $\frac{104}{225}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 Kugeln, die mit einer 1 beschriftet sind, 8 2er und 4 Kugeln mit einer 3. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden Zahlen gerade 3 ist?

Lösung einblenden

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{4}{25}$
1 -> 2	$\frac{4}{25}$
1 -> 3	$\frac{2}{25}$
2 -> 1	$\frac{4}{25}$
2 -> 2	$\frac{4}{25}$
2 -> 3	$\frac{2}{25}$
3 -> 1	$\frac{2}{25}$
3 -> 2	$\frac{2}{25}$
3 -> 3	$\frac{1}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("1")= $\frac{2}{5}$ ; P("2")= $\frac{2}{5}$ ; P("3")= $\frac{1}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'1'-'2' (P= $\frac{4}{25}$ )
'2'-'1' (P= $\frac{4}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{4}{25}$ + $\frac{4}{25}$ = $\frac{8}{25}$