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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 5 gelbe, 8 blaue und 5 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{2}{5}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{5}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{9}{25}$ = $\frac{16}{25}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{4}{25}$
blau -> nicht blau	$\frac{6}{25}$
nicht blau -> blau	$\frac{6}{25}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{9}{25}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{2}{5}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{5}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{6}{25}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{6}{25}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{4}{25}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{6}{25}$ + $\frac{6}{25}$ + $\frac{4}{25}$ = $\frac{16}{25}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote, 8 gelbe, 8 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{49}{900}$
rot -> blau	$\frac{14}{225}$
rot -> gelb	$\frac{14}{225}$
rot -> schwarz	$\frac{49}{900}$
blau -> rot	$\frac{14}{225}$
blau -> blau	$\frac{16}{225}$
blau -> gelb	$\frac{16}{225}$
blau -> schwarz	$\frac{14}{225}$
gelb -> rot	$\frac{14}{225}$
gelb -> blau	$\frac{16}{225}$
gelb -> gelb	$\frac{16}{225}$
gelb -> schwarz	$\frac{14}{225}$
schwarz -> rot	$\frac{49}{900}$
schwarz -> blau	$\frac{14}{225}$
schwarz -> gelb	$\frac{14}{225}$
schwarz -> schwarz	$\frac{49}{900}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{7}{30}$ ; P("blau")= $\frac{4}{15}$ ; P("gelb")= $\frac{4}{15}$ ; P("schwarz")= $\frac{7}{30}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{14}{225}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{14}{225}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{14}{225}$ + $\frac{14}{225}$ = $\frac{28}{225}$