Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen
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mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens 1 mal eine Primzahl zu würfeln?
Da ja ausschließlich nach 'prim' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'prim' und 'nicht prim'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"prim": ; "nicht prim": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal prim' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'prim' bzw. 0 mal 'prim'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'prim')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| prim -> prim -> prim | |
| prim -> prim -> nicht prim | |
| prim -> nicht prim -> prim | |
| prim -> nicht prim -> nicht prim | |
| nicht prim -> prim -> prim | |
| nicht prim -> prim -> nicht prim | |
| nicht prim -> nicht prim -> prim | |
| nicht prim -> nicht prim -> nicht prim |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")=; P("nicht prim")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'prim'-'nicht prim'-'nicht prim' (P=)
- 'nicht prim'-'prim'-'nicht prim' (P=)
- 'nicht prim'-'nicht prim'-'prim' (P=)
- 'prim'-'prim'-'nicht prim' (P=)
- 'prim'-'nicht prim'-'prim' (P=)
- 'nicht prim'-'prim'-'prim' (P=)
- 'prim'-'prim'-'prim' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + + + + + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
| Ereignis | P |
|---|---|
| A -> A | |
| A -> B | |
| A -> C | |
| A -> D | |
| B -> A | |
| B -> B | |
| B -> C | |
| B -> D | |
| C -> A | |
| C -> B | |
| C -> C | |
| C -> D | |
| D -> A | |
| D -> B | |
| D -> C | |
| D -> D |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("A")=; P("B")=; P("C")=; P("D")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'C'-'D' (P=)
- 'D'-'C' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ =
