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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 2 rote, 2 gelbe, 9 blaue und 7 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'schwarz' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'schwarz' und 'nicht schwarz'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"schwarz": $\frac{7}{20}$ ; "nicht schwarz": $\frac{13}{20}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal schwarz' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'schwarz' bzw. 0 mal 'schwarz'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'schwarz')=1- $\frac{169}{400}$ = $\frac{231}{400}$

Ereignis	P
schwarz -> schwarz	$\frac{49}{400}$
schwarz -> nicht schwarz	$\frac{91}{400}$
nicht schwarz -> schwarz	$\frac{91}{400}$
nicht schwarz -> nicht schwarz	$\frac{169}{400}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("schwarz")= $\frac{7}{20}$ ; P("nicht schwarz")= $\frac{13}{20}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'schwarz'-'nicht schwarz' (P= $\frac{91}{400}$ )
'nicht schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{91}{400}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{49}{400}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{91}{400}$ + $\frac{91}{400}$ + $\frac{49}{400}$ = $\frac{231}{400}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

Beim Roulette gibt es 18 rote, 18 scharze und ein grünes Feld (für die Null). Es wird zwei mal eine Kugel im Roulette gespielt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{324}{1369}$
rot -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
rot -> grün	$\frac{18}{1369}$
schwarz -> rot	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> schwarz	$\frac{324}{1369}$
schwarz -> grün	$\frac{18}{1369}$
grün -> rot	$\frac{18}{1369}$
grün -> schwarz	$\frac{18}{1369}$
grün -> grün	$\frac{1}{1369}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{18}{37}$ ; P("schwarz")= $\frac{18}{37}$ ; P("grün")= $\frac{1}{37}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{324}{1369}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{324}{1369}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{324}{1369}$ + $\frac{324}{1369}$ = $\frac{648}{1369}$