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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine Primzahl zu würfeln?

Ereignis	P
prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> prim	$\frac{1}{8}$
nicht prim -> nicht prim -> nicht prim	$\frac{1}{8}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("prim")= $\frac{1}{2}$ ; P("nicht prim")= $\frac{1}{2}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'prim'-'prim'-'nicht prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'prim'-'nicht prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )
'nicht prim'-'prim'-'prim' (P= $\frac{1}{8}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{8}$ = $\frac{3}{8}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 10 vom Typ rot, 6 vom Typ blau, 5 vom Typ gelb und 3 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{25}{144}$
rot -> blau	$\frac{5}{48}$
rot -> gelb	$\frac{25}{288}$
rot -> schwarz	$\frac{5}{96}$
blau -> rot	$\frac{5}{48}$
blau -> blau	$\frac{1}{16}$
blau -> gelb	$\frac{5}{96}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{32}$
gelb -> rot	$\frac{25}{288}$
gelb -> blau	$\frac{5}{96}$
gelb -> gelb	$\frac{25}{576}$
gelb -> schwarz	$\frac{5}{192}$
schwarz -> rot	$\frac{5}{96}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{32}$
schwarz -> gelb	$\frac{5}{192}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{5}{12}$ ; P("blau")= $\frac{1}{4}$ ; P("gelb")= $\frac{5}{24}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'rot' (P= $\frac{25}{144}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{1}{16}$ )
'gelb'-'gelb' (P= $\frac{25}{576}$ )
'schwarz'-'schwarz' (P= $\frac{1}{64}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{25}{144}$ + $\frac{1}{16}$ + $\frac{25}{576}$ + $\frac{1}{64}$ = $\frac{85}{288}$