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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 5 gelbe, 8 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{81}{625}$
rot -> blau	$\frac{72}{625}$
rot -> gelb	$\frac{9}{125}$
rot -> schwarz	$\frac{27}{625}$
blau -> rot	$\frac{72}{625}$
blau -> blau	$\frac{64}{625}$
blau -> gelb	$\frac{8}{125}$
blau -> schwarz	$\frac{24}{625}$
gelb -> rot	$\frac{9}{125}$
gelb -> blau	$\frac{8}{125}$
gelb -> gelb	$\frac{1}{25}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{125}$
schwarz -> rot	$\frac{27}{625}$
schwarz -> blau	$\frac{24}{625}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{125}$
schwarz -> schwarz	$\frac{9}{625}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{9}{25}$ ; P("blau")= $\frac{8}{25}$ ; P("gelb")= $\frac{1}{5}$ ; P("schwarz")= $\frac{3}{25}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'blau' (P= $\frac{72}{625}$ )
'blau'-'rot' (P= $\frac{72}{625}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{72}{625}$ + $\frac{72}{625}$ = $\frac{144}{625}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 8 rote, 5 gelbe, 5 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "höchstens 1 mal gelb"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'gelb' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'gelb' und 'nicht gelb'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"gelb": $\frac{5}{24}$ ; "nicht gelb": $\frac{19}{24}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'höchstens einmal gelb' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben 2 mal 'gelb'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(2 mal 'gelb')=1- $\frac{25}{576}$ = $\frac{551}{576}$

Ereignis	P
gelb -> gelb	$\frac{25}{576}$
gelb -> nicht gelb	$\frac{95}{576}$
nicht gelb -> gelb	$\frac{95}{576}$
nicht gelb -> nicht gelb	$\frac{361}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("gelb")= $\frac{5}{24}$ ; P("nicht gelb")= $\frac{19}{24}$ ;