Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen
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mit Zurücklegen (einfach)
Beispiel:
Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine durch 3 teilbare Zahl zu würfeln?
| Ereignis | P |
|---|---|
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> 3er-Zahl -> nicht 3er | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er -> 3er-Zahl | |
| 3er-Zahl -> nicht 3er -> nicht 3er | |
| nicht 3er -> 3er-Zahl -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er -> 3er-Zahl -> nicht 3er | |
| nicht 3er -> nicht 3er -> 3er-Zahl | |
| nicht 3er -> nicht 3er -> nicht 3er |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("3er-Zahl")=; P("nicht 3er")=;
Die relevanten Pfade sind:- '3er-Zahl'-'3er-Zahl'-'nicht 3er' (P=)
- '3er-Zahl'-'nicht 3er'-'3er-Zahl' (P=)
- 'nicht 3er'-'3er-Zahl'-'3er-Zahl' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
Ziehen mit Zurücklegen
Beispiel:
(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)
Da ja ausschließlich nach 'C' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'C' und 'nicht C'
Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"C": ; "nicht C": ;
Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal C' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'C' bzw. 0 mal 'C'
Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:
P=1-P(0 mal 'C')=1- =
| Ereignis | P |
|---|---|
| C -> C | |
| C -> nicht C | |
| nicht C -> C | |
| nicht C -> nicht C |
Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("C")=; P("nicht C")=;
Die relevanten Pfade sind:- 'C'-'nicht C' (P=)
- 'nicht C'-'C' (P=)
- 'C'-'C' (P=)
Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:
+ + =
