Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Eine faire Münze (d.h. die Wahrscheinlichkeit für Zahl und Wappen ist gleich groß) wird drei mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal Zahl"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'Zahl' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'Zahl' und 'nicht Zahl'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"Zahl": 1 2 ; "nicht Zahl": 1 2 ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal Zahl' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'Zahl' bzw. 0 mal 'Zahl'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'Zahl')=1- 1 8 = 7 8

EreignisP
Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> Zahl -> nicht Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> Zahl 1 8
nicht Zahl -> nicht Zahl -> nicht Zahl 1 8

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("Zahl")= 1 2 ; P("nicht Zahl")= 1 2 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'Zahl'-'nicht Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'Zahl'-'nicht Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'nicht Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'nicht Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )
  • 'Zahl'-'Zahl'-'Zahl' (P= 1 8 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 = 7 8


Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind verschiedene Kugeln, 3 vom Typ rot, 9 vom Typ blau, 3 vom Typ gelb und 5 vom Typ schwarz. Es wird 2 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 2 Kugeln gleicher Farbe zu ziehen?

Lösung einblenden
EreignisP
rot -> rot 9 400
rot -> blau 27 400
rot -> gelb 9 400
rot -> schwarz 3 80
blau -> rot 27 400
blau -> blau 81 400
blau -> gelb 27 400
blau -> schwarz 9 80
gelb -> rot 9 400
gelb -> blau 27 400
gelb -> gelb 9 400
gelb -> schwarz 3 80
schwarz -> rot 3 80
schwarz -> blau 9 80
schwarz -> gelb 3 80
schwarz -> schwarz 1 16

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= 3 20 ; P("blau")= 9 20 ; P("gelb")= 3 20 ; P("schwarz")= 1 4 ;

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das SchaubBild nicht sehen :( Die relevanten Pfade sind:
  • 'rot'-'rot' (P= 9 400 )
  • 'blau'-'blau' (P= 81 400 )
  • 'gelb'-'gelb' (P= 9 400 )
  • 'schwarz'-'schwarz' (P= 1 16 )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

9 400 + 81 400 + 9 400 + 1 16 = 31 100