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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

Ein Würfel wird 3 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau 2 mal eine 6 zu würfeln?

Ereignis	P
6er -> 6er -> 6er	$\frac{1}{216}$
6er -> 6er -> keine_6	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> 6er	$\frac{5}{216}$
6er -> keine_6 -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> 6er -> 6er	$\frac{5}{216}$
keine_6 -> 6er -> keine_6	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> 6er	$\frac{25}{216}$
keine_6 -> keine_6 -> keine_6	$\frac{125}{216}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("6er")= $\frac{1}{6}$ ; P("keine_6")= $\frac{5}{6}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'6er'-'6er'-'keine_6' (P= $\frac{5}{216}$ )
'6er'-'keine_6'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )
'keine_6'-'6er'-'6er' (P= $\frac{5}{216}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ = $\frac{5}{72}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 7 rote und 3 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{3}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{7}{10}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{343}{1000}$ = $\frac{657}{1000}$

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{27}{1000}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{343}{1000}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{3}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{7}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau'-'nicht blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'nicht blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'nicht blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{63}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{27}{1000}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{63}{1000}$ + $\frac{27}{1000}$ = $\frac{657}{1000}$