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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 4 rote, 9 gelbe, 8 blaue und 3 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "1 mal rot und 1 mal schwarz"?

Lösung einblenden

Ereignis	P
rot -> rot	$\frac{1}{36}$
rot -> blau	$\frac{1}{18}$
rot -> gelb	$\frac{1}{16}$
rot -> schwarz	$\frac{1}{48}$
blau -> rot	$\frac{1}{18}$
blau -> blau	$\frac{1}{9}$
blau -> gelb	$\frac{1}{8}$
blau -> schwarz	$\frac{1}{24}$
gelb -> rot	$\frac{1}{16}$
gelb -> blau	$\frac{1}{8}$
gelb -> gelb	$\frac{9}{64}$
gelb -> schwarz	$\frac{3}{64}$
schwarz -> rot	$\frac{1}{48}$
schwarz -> blau	$\frac{1}{24}$
schwarz -> gelb	$\frac{3}{64}$
schwarz -> schwarz	$\frac{1}{64}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{1}{6}$ ; P("blau")= $\frac{1}{3}$ ; P("gelb")= $\frac{3}{8}$ ; P("schwarz")= $\frac{1}{8}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'schwarz' (P= $\frac{1}{48}$ )
'schwarz'-'rot' (P= $\frac{1}{48}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{1}{48}$ + $\frac{1}{48}$ = $\frac{1}{24}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 10 rote und 5 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal rot"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'rot' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'rot' und 'nicht rot'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"rot": $\frac{2}{3}$ ; "nicht rot": $\frac{1}{3}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal rot' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'rot' bzw. 0 mal 'rot'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'rot')=1- $\frac{1}{27}$ = $\frac{26}{27}$

Ereignis	P
rot -> rot -> rot	$\frac{8}{27}$
rot -> rot -> nicht rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> rot	$\frac{4}{27}$
rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> rot -> rot	$\frac{4}{27}$
nicht rot -> rot -> nicht rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> rot	$\frac{2}{27}$
nicht rot -> nicht rot -> nicht rot	$\frac{1}{27}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("rot")= $\frac{2}{3}$ ; P("nicht rot")= $\frac{1}{3}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'rot'-'nicht rot'-'nicht rot' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{2}{27}$ )
'nicht rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{2}{27}$ )
'rot'-'rot'-'nicht rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'nicht rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'nicht rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{4}{27}$ )
'rot'-'rot'-'rot' (P= $\frac{8}{27}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{2}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{4}{27}$ + $\frac{8}{27}$ = $\frac{26}{27}$