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Aufgabenbeispiele von Zufallsexperimente mit Zurücklegen

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mit Zurücklegen (einfach)

Beispiel:

In einer Urne sind 9 rote, 2 gelbe, 7 blaue und 6 schwarze Kugeln. Es wird zwei mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 1 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{7}{24}$ ; "nicht blau": $\frac{17}{24}$ ;

Wie man auch im Baumdiagramm unten gut erkennen kann, sind bei 'mindestens einmal blau' alle Möglichkeiten enthalten, außer eben kein 'blau' bzw. 0 mal 'blau'

Man kann also am aller einfachsten die gesuchte Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnen:

P=1-P(0 mal 'blau')=1- $\frac{289}{576}$ = $\frac{287}{576}$

Ereignis	P
blau -> blau	$\frac{49}{576}$
blau -> nicht blau	$\frac{119}{576}$
nicht blau -> blau	$\frac{119}{576}$
nicht blau -> nicht blau	$\frac{289}{576}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{7}{24}$ ; P("nicht blau")= $\frac{17}{24}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{119}{576}$ )
'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{119}{576}$ )
'blau'-'blau' (P= $\frac{49}{576}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{119}{576}$ + $\frac{119}{576}$ + $\frac{49}{576}$ = $\frac{287}{576}$

Ziehen mit Zurücklegen

Beispiel:

In einer Urne sind 3 rote und 7 blaue Kugeln. Es wird 3 mal mit Zurücklegen eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für "mindestens 2 mal blau"?

Lösung einblenden

Da ja ausschließlich nach 'blau' gefragt ist, genügt es das Modell auf zwei Möglichkeiten zu beschränken: 'blau' und 'nicht blau'

Einzel-Wahrscheinlichkeiten :"blau": $\frac{7}{10}$ ; "nicht blau": $\frac{3}{10}$ ;

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{343}{1000}$
blau -> blau -> nicht blau	$\frac{147}{1000}$
blau -> nicht blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> blau -> blau	$\frac{147}{1000}$
nicht blau -> blau -> nicht blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> blau	$\frac{63}{1000}$
nicht blau -> nicht blau -> nicht blau	$\frac{27}{1000}$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("blau")= $\frac{7}{10}$ ; P("nicht blau")= $\frac{3}{10}$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'blau'-'blau'-'nicht blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'blau'-'nicht blau'-'blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'nicht blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{147}{1000}$ )
'blau'-'blau'-'blau' (P= $\frac{343}{1000}$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{147}{1000}$ + $\frac{343}{1000}$ = $\frac{98}{125}$