Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Um die graue Bodendiagonale d_B als Ankathete von α zu bestimmen, müssen wir diese erst mit dem Satz des Pythagoras in dem rechtwinkligen Bodendreieck berechnen:

d_B² = a² + b² = 9² + 5² = 81 + 25 = 106

d_B = $\sqrt{106}$ ≈ 10.296

Die Länge der Ankathete vom Winkel α ist d_B = 10.296 cm und die Länge der Gegenkathete c = 8 cm.

Mit dem Tangens können wir so also recht schnell die Weite des Winkels α berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{GK}}{\mathrm{AK}}$ = $\frac{8}{10.296}$

α = arctan($\frac{8}{10.296}$) ≈ 37.8°

Auch wenn es bei der 3-dimensionalen Darstellung vielleicht im ersten Moment nicht so aussieht, ist dennoch die eingezeichnete Diagonale die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks.

Aus dem Schaubild lässt sich herauslesen, dass die Länge der Ankathete (vom gegebenen Winkel 38°) a = 9 cm ist.

Somit lässt sich folgende Gleichung aufstellen:

cos(38°) = $\frac{\mathrm{9\; cm}}{d}$ | ⋅ d :cos(38°)

d = $\frac{\mathrm{9\; cm}}{\mathrm{cos(38°)}}$ ≈ 11.42 cm

Das Volumen eines Quaders berechnet sich als V = a ⋅ b ⋅ c. Dummerweise ist aber nur eine der Kantenlängen bekannt und zwei unbekannt. Dafür kennen wir aber den Winkel in dem rechtwinkligen Dreieck, in dem die beiden fehlenen Kantenlängen die Katheten sind.

Dadurch können wir diese beiden fehlenden Kantenlängen a und c in Abhängigkeit von der gleichen Diagonalenlänge d bestimmen:

sin(45°) = $\frac{a}{d}$ ; also gilt a = d ⋅ sin(45°) ≈ 0,7071 d

cos(45°) = $\frac{c}{d}$ ; also gilt c = d ⋅ cos(45°) ≈ 0,7071 d

Somit gilt für das Volumen V des Quaders:

V = 5 ⋅ 0,7071 d ⋅ 0,707 d = 122.5

2.5 d² = 122.5 | :2.5

d² ≈ 49

d ≈ 7

Um nun die gesuchte Kantenlänge a zu erhalten, nutzen wir wieder die Gleichung von oben:

sin(45°) = $\frac{a}{d}$ ;
also gilt
a = d ⋅ sin(45°) ≈ 7 ⋅ 0,7071 ≈ 4,9

Die gesuchte Breite a (von links nach rechts) ist somit a ≈ 4.95 cm

Wir sehen, dass der gesuchte Winkel α in einem rechtwinkligen Dreieck liegt, so dass wir den Sinus, Kosinus oder Tangens anwenden zu können:

In dem Dreieck mit dem Winkel α gilt:

sin(α) = $\frac{\mathrm{GK}}{\mathrm{Hyp}}$ = = $\frac{5}{\mathrm{6.1}}$ ≈ 0.82

Somit gilt: α ≈ 55.1°