Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 3 mm und b = 8 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (3 mm)² + (8 mm)² = 9 mm² + 64 mm² = 73 mm²

d1 = $\sqrt{73}$ mm ≈ 8.544 mm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{73}$ mm)² + (2 mm)² = 73 mm² + 4 mm² = 77 mm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 9 mm² + 64 mm² + 4 mm² = 77 mm²
berechnen.

d = $\sqrt{77}$ mm ≈ 8.775 mm

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (6 mm)² + (9 mm)² = 36 mm² + 81 mm² = 117 mm²

d1 = $\sqrt{117}$ mm ≈ 10.817 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{117}$ mm)² + (7 mm)² = 117 mm² + 49 mm² = 166 mm²

d = $\sqrt{166}$ mm ≈ 12.884 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 10.82 mm + 12.88 mm + 7 mm ≈ 30.7 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 7:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$⋅10.82 mm⋅ 7 mm ≈ 37.86 mm²

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3 ² = 64 + 9 = 73

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{73}}$ mm ≈ 8,5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,54² + 3² = 72,93 + 9 = 82

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{81.93}}$ mm ≈ 9 mm

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

($\frac{1}{2}$a)² = h_b² - h²

($\frac{1}{2}$a)² = 6,9² - 6² = 47,61 - 36 = 11,61

Also gilt $\frac{1}{2}$a = $\sqrt{\mathrm{11.61}}$ m ≈ 3,4 m

Somit gilt: a ≈ 6,8 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

($\frac{1}{2}$b)² = s² - h_b²

($\frac{1}{2}$b)² = 7,5² - 6,9² = 56,25 - 47,61 = 8,64

Also gilt $\frac{1}{2}$b = $\sqrt{\mathrm{8.64}}$ m ≈ 2,94 m

Somit gilt: b ≈ 5,9 m

Es gilt:

2.5² + 5² =h²

6.25 +25 = h²

31.25 = h² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

5.59 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 15m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 83.85m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 167.71m²

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

($\frac{1}{2}$a)² = h_a² - h²

($\frac{1}{2}$a)² = 6,1² - 5² = 37,25 - 25 = 12,25

Also gilt $\frac{1}{2}$a = $\sqrt{\mathrm{12.25}}$ mm ≈ 3,5 mm

Somit gilt: a ≈ 7 mm

somit gilt: G = a² = (7 mm)² = 49 mm²

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S=$\frac{1}{2}$a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$⋅7 mm⋅6,1 mm ≈ 21,36 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅21,36 mm² = 85,45 mm²

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseite G berechnen:

Da sich ja das Volumen V = $\frac{1}{3}$ G ⋅ h zusammensetzt, können wir diese Formel nach h umstellen und erhalten
h = $\frac{\mathrm{3\cdot V}}{G}$:

Das Volumen V ist ja mit V = 96 m³ bereits bekannt.

somit gilt: h = $\frac{\mathrm{3\cdot V}}{G}$ = $\frac{\mathrm{3\cdot 96\; m³}}{\mathrm{36\; m²}}$ ≈ 8 m

Bestimmung der Kantenlänge s

Um s zu berechnen, müssen wir zuerst die Seitenhöhe h_a berechnen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 6 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,54² + 3² = 72,93 + 9 = 82

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{81.93}}$ m ≈ 9,06 m