Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 6 m und b = 2 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (6 m)² + (2 m)² = 36 m² + 4 m² = 40 m²

d1 = $\sqrt{40}$ m ≈ 6.325 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{40}$ m)² + (5 m)² = 40 m² + 25 m² = 65 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 36 m² + 4 m² + 25 m² = 65 m²
berechnen.

d = $\sqrt{65}$ m ≈ 8.062 m

Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 4 m und b = 7 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (4 m)² + (7 m)² = 16 m² + 49 m² = 65 m²

d1 = $\sqrt{65}$ m ≈ 8.062 m

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{65}$ m)² + (8 m)² = 65 m² + 64 m² = 129 m²

d = $\sqrt{129}$ m ≈ 11.358 m

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 8.06 m + 11.36 m + 8 m ≈ 27.42 m

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$⋅8.06 m⋅ 8 m ≈ 32.25 m²

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 4 ² = 64 + 16 = 80

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{80}}$ cm ≈ 8,9 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,94² + 4² = 79,92 + 16 = 96

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{95.92}}$ cm ≈ 9,8 cm

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ($\frac{1}{2}$b)² = h_b ²

h_b² = 9,8² - 4² = 96,04 - 16 = 80,04

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{80.04}}$ mm ≈ 8,9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

($\frac{1}{2}$a)² = h_b² - h²

($\frac{1}{2}$a)² = 8,95² - 8² = 80,04 - 64 = 16,04

Also gilt $\frac{1}{2}$a = $\sqrt{\mathrm{16.04}}$ mm ≈ 4 mm

Somit gilt: a ≈ 8 mm

Es gilt:

25² + 45² =h²

625 +2025 = h²

2650 = h² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

51.48 ≈ h

Somit gilt für die gesuchte Hypotenuse:
h ≈ 51.48cm

Bestimmung der Mantelfläche M

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S=$\frac{1}{2}$a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$⋅8 cm⋅8,94 cm ≈ 35,78 cm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅35,78 cm² = 143,11 cm²

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 8,94 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 8 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,94² + 4² = 80 + 16 = 16

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{16}}$ cm ≈ 9,8 cm

Bestimmung des Volumen V

Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = $\frac{1}{3}$G ⋅ h

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 mm)² = 49 mm²

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,83 mm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 7,83² - 3,5² = 61,25 - 12,25 = 49

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{49}}$ mm ≈ 7 mm

somit gilt: V = $\frac{1}{3}$G ⋅ h = $\frac{1}{3}$⋅49 mm² ⋅ 7 mm ≈ 114,33 mm³

Bestimmung der Grundfläche G

Die Grundfläche G wurde ja bereits oben als G = 49 mm² berechnet.