Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 m und b = 4 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (4 m)² + (4 m)² = 16 m² + 16 m² = 32 m²

d1 = $\sqrt{32}$ m ≈ 5.657 m

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{32}$ m)² + (5 m)² = 32 m² + 25 m² = 57 m²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 16 m² + 16 m² + 25 m² = 57 m²
berechnen.

d = $\sqrt{57}$ m ≈ 7.55 m

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 3 mm und b = 9 mm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (3 mm)² + (9 mm)² = 9 mm² + 81 mm² = 90 mm²

d1 = $\sqrt{90}$ mm ≈ 9.487 mm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{90}$ mm)² + (2 mm)² = 90 mm² + 4 mm² = 94 mm²

d = $\sqrt{94}$ mm ≈ 9.695 mm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 9.49 mm + 9.7 mm + 2 mm ≈ 21.18 mm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 2:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$⋅9.49 mm⋅ 2 mm ≈ 9.49 mm²

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 2,5 ² = 64 + 6,25 = 70,25

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{70.25}}$ mm ≈ 8,4 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,38² + 2² = 70,22 + 4 = 74

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{74.22}}$ mm ≈ 8,6 mm

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

($\frac{1}{2}$a)² = h_b² - h²

($\frac{1}{2}$a)² = 5,8² - 5² = 33,64 - 25 = 8,64

Also gilt $\frac{1}{2}$a = $\sqrt{\mathrm{8.64}}$ mm ≈ 2,9 mm

Somit gilt: a ≈ 5,9 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

($\frac{1}{2}$b)² = s² - h_b²

($\frac{1}{2}$b)² = 6,5² - 5,8² = 42,25 - 33,64 = 8,61

Also gilt $\frac{1}{2}$b = $\sqrt{\mathrm{8.61}}$ mm ≈ 2,94 mm

Somit gilt: b ≈ 5,9 mm

Im ersten Dreieck gilt:

9² + k1² = 13²

81 + k1² = 169 |-81

k1² = 88 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

k1 ≈ 9.38

Im zweiten Dreieck gilt:

9² + k2² = 23²

81 + k2² = 529 |-81

k2² = 448 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

k2 ≈ 21.17

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 30.55m

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

h_a ist ja die Höhe der Seitenfläche. Und da die Mantelfläche aus 4 solchen gleichen Seitenflächen besteht und die Mantelfläche M ja mit M = 65 m² bereits bekannt ist, gilt für eine solche Seitenfläche A_S = $\frac{1}{4}$⋅ 65 m² = 16.25 m².

Zum anderen gilt aber auch
A_S = $\frac{1}{2}$a⋅h_a, also: 16.25 m² = $\frac{1}{2}$a⋅h_a oder eben

h_a = $\frac{\mathrm{2\cdot 16.25}}{a}$

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

somit gilt: h_a = $\frac{\mathrm{32.5}}{5}$ m ≈ 6,5 m

Bestimmung der Pyramidenhöhe h

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 6,5 m bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 m bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_a² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 6,5² - 2,5² = 42,25 - 6,25 = 36

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{36}}$ m ≈ 6 m

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 m² bereits bekannt.

Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:

a = $\sqrt{G}$ = $\sqrt{\mathrm{49}}$ m = 7 m

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Grundflächenlänge a ist ja mit a = 7 m bereits bekannt.

Die Höhe einer Seitenfläche dieser Pyramide bestimmen wir über das rechtwinklige Dreieck der halben Seitenfläche:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h_a suchen, stellen wir nach h_a um:

s² - ($\frac{1}{2}$a)² = h_a ²

h_a² = 7,78² - 3,5² = 60,5 - 12,25 = 48,25

Also gilt h_a = $\sqrt{\mathrm{48.25}}$ m ≈ 6,95 m