Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 4 cm und b = 9 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (4 cm)² + (9 cm)² = 16 cm² + 81 cm² = 97 cm²

d1 = $\sqrt{97}$ cm ≈ 9.849 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{97}$ cm)² + (3 cm)² = 97 cm² + 9 cm² = 106 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 16 cm² + 81 cm² + 9 cm² = 106 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{106}$ cm ≈ 10.296 cm

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 3 cm und b = 7 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (3 cm)² + (7 cm)² = 9 cm² + 49 cm² = 58 cm²

d1 = $\sqrt{58}$ cm ≈ 7.616 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{58}$ cm)² + (6 cm)² = 58 cm² + 36 cm² = 94 cm²

d = $\sqrt{94}$ cm ≈ 9.695 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 7.62 cm + 9.7 cm + 6 cm ≈ 23.31 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 6:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$⋅7.62 cm⋅ 6 cm ≈ 22.85 cm²

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 5² + 3 ² = 25 + 9 = 34

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{34}}$ mm ≈ 5,8 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 5,83² + 3² = 33,99 + 9 = 43

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{42.99}}$ mm ≈ 6,5 mm

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Weil wir h_b suchen, stellen wir nach h_b um:

s² - ($\frac{1}{2}$b)² = h_b ²

h_b² = 9,4² - 3,5² = 88,36 - 12,25 = 76,11

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{76.11}}$ m ≈ 8,7 m

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

($\frac{1}{2}$a)² = h_b² - h²

($\frac{1}{2}$a)² = 8,72² - 8² = 76,11 - 64 = 12,11

Also gilt $\frac{1}{2}$a = $\sqrt{\mathrm{12.11}}$ m ≈ 3,5 m

Somit gilt: a ≈ 7 m

Es gilt:

4.5² + 5² =h²

20.25 +25 = h²

45.25 = h² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

6.73 ≈ h

Um die gesuchte Fläche zu berechnen, muss nun zunächst diese Hypotenuse mit 7m multipliziert werden.

Somit erhalten wir für eine Hälfte der gesuchten Fläche: A_H ≈ 47.09m²

Für die Gesamtfläche gilt dann:
A ≈ 94.18m²

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Wir berechnen die Seitenhöhe h_a:

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S=$\frac{1}{2}$a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$⋅7 mm⋅7,83 mm ≈ 27,39 mm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅27,39 mm² = 109,57 mm²

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 7 mm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (7 mm)² = 49 mm²

somit gilt: O = M + G = 109,57 mm² + 49 mm² = 158,57 mm²

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Die Höhe der Seitenfläche ha wurde ja bereits oben als ha = 7,83 mm berechnet.

Bestimmung der Grundfläche G

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

($\frac{1}{2}$a)² = h_a² - h²

($\frac{1}{2}$a)² = 6,4² - 5² = 41 - 25 = 16

Also gilt $\frac{1}{2}$a = $\sqrt{\mathrm{16}}$ mm ≈ 4 mm

Somit gilt: a ≈ 8 mm

somit gilt: G = a² = (8 mm)² = 64 mm²

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 8 mm berechnet.