Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 5 cm und b = 4 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² +b² = (5 cm)² + (4 cm)² = 25 cm² + 16 cm² = 41 cm²

d1 = $\sqrt{41}$ cm ≈ 6.403 cm

Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{41}$ cm)² + (6 cm)² = 41 cm² + 36 cm² = 77 cm²

Da d1² = a² +b² gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d² = a² + b² + c² = 25 cm² + 16 cm² + 36 cm² = 77 cm²
berechnen.

d = $\sqrt{77}$ cm ≈ 8.775 cm

Die Deckendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 9 cm und b = 3 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d1² = a² + b² = (9 cm)² + (3 cm)² = 81 cm² + 9 cm² = 90 cm²

d1 = $\sqrt{90}$ cm ≈ 9.487 cm

Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:

d² = d1² + c² = ( $\sqrt{90}$ cm)² + (8 cm)² = 90 cm² + 64 cm² = 154 cm²

d = $\sqrt{154}$ cm ≈ 12.41 cm

Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 9.49 cm + 12.41 cm + 8 cm ≈ 29.9 cm

Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 8:
A = $\frac{1}{2}$ d1 ⋅c ≈ $\frac{1}{2}$⋅9.49 cm⋅ 8 cm ≈ 37.95 cm²

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_b² = 8² + 3 ² = 64 + 9 = 73

Also gilt h_b = $\sqrt{\mathrm{73}}$ mm ≈ 8,5 mm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Da ja h_b und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 8,54² + 3² = 72,93 + 9 = 82

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{81.93}}$ mm ≈ 9 mm

Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_b, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_b² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:

h_b² - ($\frac{1}{2}$a)² = h²

h² = 7,5² - 4,5² = 56,25 - 20,25 = 36

Also gilt h = $\sqrt{\mathrm{36}}$ cm ≈ 6 cm

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_b und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_b² + ($\frac{1}{2}$b)²

Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:

($\frac{1}{2}$b)² = s² - h_b²

($\frac{1}{2}$b)² = 8,7² - 7,5² = 75,69 - 56,25 = 19,44

Also gilt $\frac{1}{2}$b = $\sqrt{\mathrm{19.44}}$ cm ≈ 4,41 cm

Somit gilt: b ≈ 8,8 cm

Im ersten Dreieck gilt:

9² + k1² = 11²

81 + k1² = 121 |-81

k1² = 40 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

k1 ≈ 6.32

Im zweiten Dreieck gilt:

9² + k2² = 16²

81 + k2² = 256 |-81

k2² = 175 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

k2 ≈ 13.23

Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 19.55m

Bestimmung der Grundflächenlänge a

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Weil wir a suchen, stellen wir nach a um:

($\frac{1}{2}$a)² = h_a² - h²

($\frac{1}{2}$a)² = 8,38² - 8² = 70,25 - 64 = 6,25

Also gilt $\frac{1}{2}$a = $\sqrt{\mathrm{6.25}}$ cm ≈ 2,5 cm

Somit gilt: a ≈ 5 cm

Bestimmung der Oberfläche O

Um die Oberfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach den Mantel und die Grundfläche addieren:

Die Mantelfläche M besteht aus den 4 gleich großen Flächeninhalten der Seitenflächen dieser Pyramide. Diese soll nun berechnet werden:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 cm bereits bekannt.

Den Flächeninhalt einer Seitenfläche können wir ja einfach mit der Formel A_S=$\frac{1}{2}$a⋅h_a berechen:

A_S = $\frac{1}{2}$⋅5 cm⋅8,38 cm ≈ 20,95 cm²

Für die Mantelfläche müssen wir nun diese 4 Flächeninhalte noch zusammenzählen:

M = 4⋅20,95 cm² = 83,82 cm²

Um die Grundfläche dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir einfach die Grundflächenlänge a zum Quadrat nehmen:

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 cm bereits bekannt.

somit gilt: G = a² = (5 cm)² = 25 cm²

somit gilt: O = M + G = 83,82 cm² + 25 cm² = 108,82 cm²

Bestimmung der Höhe der Seitenfläche ha

Um h_a zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:

Die Pyramindenhöhe h ist ja mit h = 7 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse h_a, einer Kathete h und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:

h_a² = h² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

h_a² = 7² + 2,5 ² = 49 + 6,25 = 55,25

Also gilt h_a = $\sqrt{\mathrm{55.25}}$ cm ≈ 7,43 cm

Bestimmung der Kantenlänge s

Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit h_a = 7,43 cm bereits bekannt.

Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 cm bereits bekannt.

Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete h_a und der anderen Kathete $\frac{1}{2}$a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:

s² = h_a² + ($\frac{1}{2}$a)²

Da ja h_a und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:

s = 7,43² + 2,5² = 55,2 + 6,25 = 61

Also gilt s = $\sqrt{\mathrm{61.45}}$ cm ≈ 7,84 cm