Aufgabenbeispiele von in Körpern
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Raumdiagonale
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 m, b = 4 m und c = 5 m.
Berechne die Länge der Raumdiagonale.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a = 6 m und b = 4 m, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² +b² = (6 m)2 + (4 m)2 = 36 m² + 16 m² = 52 m²
d1 = m ≈ 7.211 m
Die gesuchte Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( m)2 + (5 m)2 = 52 m² + 25 m² = 77 m²
Da d12 = a2 +b2 gilt, kann man die Raumdiagonale auch schneller mit der Formel
d2 = a2 + b2 + c2 = 36 m² + 16 m² +
25 m² = 77 m²
berechnen.
d = m ≈ 8.775 m
Dreiecke im Quader
Beispiel:
Ein Quader hat die Kantenlängen a = 6 cm, b = 4 cm und c = 9 cm.
Berechne den Umfang U und den Flächeninhalt A des abgebildeten (grünen) Dreiecks.
Die Bodendiagonale d1 ist die Hypotenuse eines rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten a= 6 cm und b = 4 cm, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d12 = a² + b² = (6 cm)2 + (4 cm)2 = 36 cm² + 16 cm² = 52 cm²
d1 = cm ≈ 7.211 cm
Die Raumdiagonale ist d ist die Hypotenuse des rechtwinklingen Dreiecks mit den Katheten d1 und c, folglich gilt nach dem Satz des Pythagoras:
d2 = d1² + c² = ( cm)2 + (9 cm)2 = 52 cm² + 81 cm² = 133 cm²
d = cm ≈ 11.533 cm
Für den Umfang U gilt somit:
U = d1 + d + c ≈ 7.21 cm +
11.53 cm + 9 cm ≈ 27.74 cm
Für den Flächeninhalt A gilt dann wegen des rechten Winkels zwischen d1 und 9:
A = d1 ⋅c ≈ ⋅7.21 cm⋅
9 cm ≈ 32.45 cm²
Kanten bei einer Pyramide nur vorwärts
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 4 m, b = 4 m, h = 6 m.
Berechne hb und s.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 62 + 2 2 = 36 + 4 = 40
Also gilt hb = m ≈ 6,3 m
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Da ja hb und b gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 6,322 + 22 = 39,94 + 4 = 44
Also gilt s = m ≈ 6,6 m
Kanten bei einer Pyramide
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine rechteckige Grundfläche mit den folgenden Längen: a = 9 mm, h = 7 mm, s = 9.4 mm.
Berechne hb und b.
Wir suchen nach rechtwinkligen Dreiecken in der Pyramide um den Satz des Pythagoras anwenden zu können:
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse hb, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
hb2 = h2 + (a)2
Da ja h und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
hb2 = 72 + 4,5 2 = 49 + 20,25 = 69,25
Also gilt hb = mm ≈ 8,3 mm
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete hb und der anderen Kathete b (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = hb2 + (b)2
Weil wir b suchen, stellen wir nach b um:
(b)2 = s2 - hb2
(b)2 = 9,42 - 8,322 = 88,36 - 69,22 = 19,14
Also gilt b = mm ≈ 4,38 mm
Somit gilt: b ≈ 8,8 mm
Anwendungen Pythagoras
Beispiel:
Ein 8m hoher Mast wird von der einen Seite mit einem 15m langen Seil und von der gegenüberliegenden Seite mit einem 10m langen Seil abgespannt. Wie weit sind die Verankerungen der Spannseile von einander entfernt?
Im ersten Dreieck gilt:
82 + k12 = 152
64 + k12 = 225 |-64
k12 = 161 |
k1 ≈ 12.69
Im zweiten Dreieck gilt:
82 + k22 = 102
64 + k22 = 100 |-64
k22 = 36 |
k2 ≈ 6
Beide Strecken zusammen ergeben somit:
d = k1 + k2 ≈ 18.69m
Pyramide (Oberflächenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Grundfläche G = 49 cm² und Höhe der Seitenfläche ha = 6,95 cm.
Berechne die Pyramidenhöhe h und die Grundflächenlänge a.
Bestimmung der Pyramidenhöhe h
Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit ha = 6,95 cm bereits bekannt.
Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:
Die Grundfläche G ist ja mit G = 49 cm² bereits bekannt.
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = cm = 7 cm
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
ha2 = h2 + (a)2
Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:
ha2 - (a)2 = h2
h2 = 6,952 - 3,52 = 48,25 - 12,25 = 36
Also gilt h = cm ≈ 6 cm
Bestimmung der Grundflächenlänge a
Die Grundflächenlänge a wurde ja bereits oben als a = 7 cm berechnet.
Pyramide (Volumenberechnung)
Beispiel:
Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit den folgenden Größen:
Höhe der Seitenfläche ha = 7,43 cm und Grundfläche G = 25 cm².
Berechne das Volumen V und die Kantenlänge s.
Bestimmung des Volumen V
Um das Volumen dieser Pyramide zu bestimmen, müssen wir die Volumenformel einer Pyramide anwenden: V = G ⋅ h
Die Grundfläche G ist ja mit G = 25 cm² bereits bekannt.
Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit ha = 7,43 cm bereits bekannt.
Um h zu berechnen, müssen wir zuerst die Grundseitenlänge a berechnen:
Die Grundfläche G ist ja mit G = 25 cm² bereits bekannt.
Und da diese Grundfläche ja ein Quadrat mit Seitenlänge a ist, gilt: G = a² oder eben:
a = = cm = 5 cm
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse ha, einer Kathete h und der anderen Kathete a (gestrichelt dargestellt auf der Bodenfläche). Also gilt:
ha2 = h2 + (a)2
Weil wir h suchen, stellen wir nach h um:
ha2 - (a)2 = h2
h2 = 7,432 - 2,52 = 55,25 - 6,25 = 49
Also gilt h = cm ≈ 7 cm
somit gilt: V = G ⋅ h = ⋅25 cm² ⋅ 7 cm ≈ 58,33 cm³
Bestimmung der Kantenlänge s
Die Höhe einer Seitenfläche ist ja mit ha = 7,43 cm bereits bekannt.
Die Grundflächelänge a ist ja mit a = 5 cm bereits bekannt.
Wir erkennen in der Skizze ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse s, einer Kathete ha und der anderen Kathete a (rechts nach hinten auf der Bodenfläche dargestellt). Also gilt:
s2 = ha2 + (a)2
Da ja ha und a gegeben sind, können wir einfach einsetzen:
s = 7,432 + 2,52 = 55,25 + 6,25 = 62
Also gilt s = cm ≈ 7,84 cm