Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

16 + 3² = A

16 + 9 = A

25 = A

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = 25 cm².

Als erstes berechnen wir die Länge der anderen Kathete:

Im vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind eine Kathete und die Hypotenuse (längste Seite gegenüber dem rechten Winkel) gegeben.

Somit kann man ganz einfach den Satz des Pythagoras anwenden:

56² + a² = 65²

3136 + a² = 4225 | - 3136

a² = 1089 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

a = 33

Da im rechtwinkligen Dreieck ja immer die eine Kathete gleichzeitig die Höhe auf der andere Kathete ist, kann man den Flächeninhalt ganz einfach berechnen als:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 33 cm ⋅ 56 cm

also A = 924 cm²

Im vorliegenden gleichschenkligen Dreieck teilt die Höhe das Dreieck in zwei kongruente Hälften. Bei diesen beiden Teildreiecken ist demnach also jeweils die untere waagrechte Seite 2 mm lang.

In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke a berechnen.

2² + 8² = a²

4 + 64 = a²

68 = a² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

a = $\sqrt{\mathrm{68}}$ ≈ 8.25

Die gesuchte Länge ist somit a ≈ 8.25 mm.

Im vorliegenden Rechteck sind teilt die rote Diagonale das Rechteck in zwei (kongruente) Dreiecke. In einem dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die fehlende Strecke b berechnen.

3² + b² = 10²

9 + b² = 100 | - 9

b² = 91 | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

b = $\sqrt{\mathrm{91}}$ ≈ 9.54

Die gesuchte Länge ist somit b ≈ 9.54 mm.

Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras können wir die Höhe im gleichseitigen Dreieck in Abhängigkeit von der Seitenlänge a ausdrücken. Dabei gilt:

${\left(\frac{1}{2}a\right)}^2$ + h² = a²

$\frac{\mathrm{a²}}{4}$ + h² = a² | -$\frac{\mathrm{a²}}{4}$

h² = $\frac{3}{4}$a² | $\sqrt[\mathrm{}]{\cdot }$

h = $\sqrt{\frac{3}{4}\mathrm{a²}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$a |⋅

oder eben a = h

Somit gilt in unserem Fall:

a = ⋅ 7 mm ≈ 8.08 mm

Wenn wir die beiden Seitenlängen des Rechtecks a und b nennen, gilt für den Umfang:

I: U=2⋅a + 2⋅b

Außerdem können wir mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Länge der Diagonalen eines Rechtecks in Abhängigkeit von a und b ausdrücken. Dabei gilt:

II: a² + b² = d²

Konkret in dieser Aufgabe bedeutet das:

I: 196=2⋅a + 2⋅b | :2

II: a² + b² = 82²

vereinfacht

I: 98=a + b

II: a² + b² = 6724

Wenn wir nun die erste Gleichung nach b auflösen erhalten wir

I: b = 98 - a

II: a² + b² = 6724

Jetzt setzen wir das b in Gleichung I in die Gleichung II ein:

II: a² + (98 - a)² = 6724

Durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel erhalten wir:

$a^2+a^2-196a+9604$	=	$6724$
$2a^2-196a+9604$	=	$6724$	| $-6724$

$2a^2-196a+2880$ = 0 |:2

$a^2-98a+1440$ = 0

Man kann erkennen, dass die Summe der beiden Lösungen gerade wieder den halben Umfang ergibt (vergleiche Gleichung I oben)

(I) 98 = 80 + 18

Das bedeutet, dass die beiden Lösungen gerade die beiden gesuchten Seitenlängen des Rechtecks sind.

Jetzt ist der Flächeninhalt des Rechtecks leicht zu berechnnen:

A = a ⋅ b = 80 mm ⋅ 18 mm = 1440 mm²

Wie man in der Skizze rechts gut erkennen kann, lässt sich der Abstand zwischen zwei Punkten als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

Dabei ist die Länge der waagrechten Kathete gerade die Differenz der x-Werte der beiden Punkte:
dx = 5 - 1 = 4

Und die Länge der senkrechten Kathete ist die Differenz der y-Werte der beiden Punkte:
dy = 2 - ( - 3 ) = 5

Jetzt können wir den Satz des Pythagoras anwenden:

d² = 4² + 5²

d² = 16 + 25

d² = 41

d = $\sqrt{\mathrm{41}}$ ≈ 6.4

Für den Abstand der beiden Punkte gilt also: d ≈ 6.4