Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ = 0 ist.

$\left(x-1\right)\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0-5\right)$ = $5$ > 0
Für 1 < x < 5: f(4) = $\left(4-1\right)·\left(4-5\right)$ = $-3$ < 0
Für x > 5: f(6) = $\left(6-1\right)·\left(6-5\right)$ = $5$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x-1\right)\left(x-5\right)$ > 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < 1 oder x > 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2+3x-4$ = 0 ist.

$x^2+3x-4$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x^2+3x-4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2+3x-4$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^2+3x-4$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ${\left(-5\right)}^2+3\cdot \left(-5\right)-4$ = $6$ > 0
Für -4 < x < 1: f(0) = $0^2+3\cdot 0-4$ = $-4$ < 0
Für x > 1: f(2) = $2^2+3\cdot 2-4$ = $6$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x^2+3x-4$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $x^2+3x-4$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -4 oder x ≥ 1.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2-11x-15$ = $x+3$ ist.

$-2x^2-11x-15$

=

$x+3$

| $-x$ $-3$

$-2x^2-12x-18$ = 0 |:2

$-x^2-6x-9$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2-11x-15$ und $\text{g(x)}=$ $x+3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2-11x-15$ = $x+3$ (x = -3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $x+3$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $x+3$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-2x^2-11x-15$ > $x+3$ für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $x+3$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-2\cdot {\left(-4\right)}^2-11\cdot \left(-4\right)-15$ = $-3$ < $-1$ = $-4+3$ = g(-4)
Für x > -3: f(0) = $-2\cdot 0^2-11\cdot 0-15$ = $-15$ < $3$ = $0+3$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $-2x^2-11x-15$ > $x+3$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $-2x^2-11x-15$ = $x+3$ nicht zur gesuchten Ungleichung $-2x^2-11x-15$ > $x+3$ gehört, ist x=-3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)