Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$ = 0 ist.

$\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $\left(-2+1\right)·\left(-2-2\right)$ = $4$ > 0
Für -1 < x < 2: f(0) = $\left(0+1\right)·\left(0-2\right)$ = $-2$ < 0
Für x > 2: f(3) = $\left(3+1\right)·\left(3-2\right)$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x+1\right)\left(x-2\right)$ > 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -1 oder x > 2.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+8x$ = 0 ist.

$-2x^2+8x$	=	0
$2x\left(-x+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-2x^2+8x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+8x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-2x^2+8x$ ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $-2\cdot {\left(-1\right)}^2+8\cdot \left(-1\right)$ = $-10$ < 0
Für 0 < x < 4: f(3) = $-2\cdot 3^2+8\cdot 3$ = $6$ > 0
Für x > 4: f(5) = $-2\cdot 5^2+8\cdot 5$ = $-10$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-2x^2+8x$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-2x^2+8x$ ≥ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ 0 und x ≤ 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+14x-34$ = $-2x-2$ ist.

$-2x^2+14x-34$

=

$-2x-2$

| $+2x$ $+2$

$-2x^2+16x-32$ = 0 |:2

$-x^2+8x-16$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+14x-34$ und $\text{g(x)}=$ $-2x-2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+14x-34$ = $-2x-2$ (x = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-2x-2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $-2x-2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-2x^2+14x-34$ > $-2x-2$ für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-2x-2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 4: f(0) = $-2\cdot 0^2+14\cdot 0-34$ = $-34$ < $-2$ = $-2\cdot 0-2$ = g(0)
Für x > 4: f(5) = $-2\cdot 5^2+14\cdot 5-34$ = $-14$ < $-12$ = $-2\cdot 5-2$ = g(5)
Also gilt die Ungleichung $-2x^2+14x-34$ > $-2x-2$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $-2x^2+14x-34$ = $-2x-2$ nicht zur gesuchten Ungleichung $-2x^2+14x-34$ > $-2x-2$ gehört, ist x=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)