Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+2\right)\left(x-1\right)$ = 0 ist.

$-\left(x+2\right)\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+2\right)\left(x-1\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+2\right)\left(x-1\right)$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+2\right)\left(x-1\right)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $-\left(-3+2\right)·\left(-3-1\right)$ = $-4$ < 0
Für -2 < x < 1: f(0) = $-\left(0+2\right)·\left(0-1\right)$ = $2$ > 0
Für x > 1: f(2) = $-\left(2+2\right)·\left(2-1\right)$ = $-4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+2\right)\left(x-1\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+2\right)\left(x-1\right)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -2 oder x ≥ 1.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+x+6$ = 0 ist.

$-2x^2+x+6$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-2x^2+x+6$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+x+6$ = 0 (x₁ = -1.5 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-2x^2+x+6$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1.5: f(-2) = $-2\cdot {\left(-2\right)}^2-2+6$ = $-4$ < 0
Für -1.5 < x < 2: f(0) = $-2\cdot 0^2+0+6$ = $6$ > 0
Für x > 2: f(3) = $-2\cdot 3^2+3+6$ = $-9$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-2x^2+x+6$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-2x^2+x+6$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-1.5 und x₂=2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -1.5 oder x ≥ 2.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2+15x+23$ = $3x+3$ ist.

$2x^2+15x+23$

=

$3x+3$

| $-3x$ $-3$

$2x^2+12x+20$ = 0 |:2

$x^2+6x+10$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $2x^2+15x+23$ und $\text{g(x)}=$ $3x+3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2+15x+23$ = $3x+3$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $3x+3$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $3x+3$ oder alle unter der Geraden y= $3x+3$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $3x+3$ liegen.
Die Ungleichung $2x^2+15x+23$ > $3x+3$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $3x+3$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $2x^2+15x+23$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2\cdot 0^2+15\cdot 0+23$ = $23$ > $3$ = $3\cdot 0+3$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2x^2+15x+23$ > $3x+3$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)