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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 3) (x - 5)$ > 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 3) (x - 5)$ = 0 ist.

- (x + 3) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 3) (x - 5)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 3) (x - 5)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 3) (x - 5)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $- (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 5)$ = $- 9$ < 0
Für -3 < x < 5: f(0) = $- (0 + 3) \cdot (0 - 5)$ = $15$ > 0
Für x > 5: f(6) = $- (6 + 3) \cdot (6 - 5)$ = $- 9$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 3) (x - 5)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- (x + 3) (x - 5)$ > 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -3 und x < 5.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} + 5 x - 4$ > 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 ist.

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x^{2} + 5 x - 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x^{2} + 5 x - 4$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $- 0^{2} + 5 \cdot 0 - 4$ = $- 4$ < 0
Für 1 < x < 4: f(3) = $- 3^{2} + 5 \cdot 3 - 4$ = $2$ > 0
Für x > 4: f(5) = $- 5^{2} + 5 \cdot 5 - 4$ = $- 4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} + 5 x - 4$ > 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 1 und x < 4.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} - 9 x - 7$ ≥ $- 3 x + 2$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} - 9 x - 7$ = $- 3 x + 2$ ist.

- x^{2} - 9 x - 7

=

- 3 x + 2

|

+ 3 x

- 2

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 3$ ± 0 = $- 3$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- x^{2} - 9 x - 7$ und $g(x) =$ $- 3 x + 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} - 9 x - 7$ = $- 3 x + 2$ (x = -3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 3 x + 2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y= $- 3 x + 2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $- x^{2} - 9 x - 7$ ≥ $- 3 x + 2$ für kein x außer für x = -3.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 3 x + 2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $- {(- 4)}^{2} - 9 \cdot (- 4) - 7$ = $13$ < $14$ = $- 3 \cdot (- 4) + 2$ = g(-4)
Für x > -3: f(0) = $- 0^{2} - 9 \cdot 0 - 7$ = $- 7$ < $2$ = $- 3 \cdot 0 + 2$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $- x^{2} - 9 x - 7$ ≥ $- 3 x + 2$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $- x^{2} - 9 x - 7$ = $- 3 x + 2$ auch zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} - 9 x - 7$ ≥ $- 3 x + 2$ gehört, ist x=-3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{-3}

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):