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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 3) \cdot (x - 1)$ < 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0 ist.

- (x + 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $- (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 1)$ = $- 5$ < 0
Für -3 < x < 1: f(0) = $- (0 + 3) \cdot (0 - 1)$ = $3$ > 0
Für x > 1: f(2) = $- (2 + 3) \cdot (2 - 1)$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ < 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -3 oder x > 1.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} - 16 x + 32$ ≤ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} - 16 x + 32$ = 0 ist.

2 x^{2} - 16 x + 32

= 0 |:2

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} - 16 x + 32$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} - 16 x + 32$ = 0 (x = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $2 x^{2} - 16 x + 32$ ≤ 0 für kein x außer für x = 4.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 4: f(0) = $2 \cdot 0^{2} - 16 \cdot 0 + 32$ = $32$ > 0
Für x > 4: f(5) = $2 \cdot 5^{2} - 16 \cdot 5 + 32$ = $2$ > 0
Also gilt die Ungleichung $2 x^{2} - 16 x + 32$ ≤ 0 in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $2 x^{2} - 16 x + 32$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} - 16 x + 32$ ≤ 0 gehört, ist x=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{4}

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} - 5 x - 3$ ≥ $- 3 x - 1$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} - 5 x - 3$ = $- 3 x - 1$ ist.

- x^{2} - 5 x - 3

=

- 3 x - 1

|

+ 3 x

+ 1

$- x^{2} - 2 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- x^{2} - 5 x - 3$ und $g(x) =$ $- 3 x - 1$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} - 5 x - 3$ = $- 3 x - 1$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 3 x - 1$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- 3 x - 1$ oder alle unter der Geraden y= $- 3 x - 1$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $- 3 x - 1$ liegen.
Die Ungleichung $- x^{2} - 5 x - 3$ ≥ $- 3 x - 1$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 3 x - 1$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $- x^{2} - 5 x - 3$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $- 0^{2} - 5 \cdot 0 - 3$ = $- 3$ < $- 1$ = $- 3 \cdot 0 - 1$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $- x^{2} - 5 x - 3$ ≥ $- 3 x - 1$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):