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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x (x - 5)$ > 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x (x - 5)$ = 0 ist.

- x (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x (x - 5)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x (x - 5)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x (x - 5)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $- (- 1) \cdot (- 1 - 5)$ = $- 6$ < 0
Für 0 < x < 5: f(4) = $- 4 \cdot (4 - 5)$ = $4$ > 0
Für x > 5: f(6) = $- 6 \cdot (6 - 5)$ = $- 6$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x (x - 5)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- x (x - 5)$ > 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 5.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 5 x + 12$ < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 5 x + 12$ = 0 ist.

$- 2 x^{2} + 5 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 12}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 5+11}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 5-11}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x + 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 5 x + 12$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 5 x + 12$ = 0 (x₁ = -1.5 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- 2 x^{2} + 5 x + 12$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1.5: f(-2) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 5 \cdot (- 2) + 12$ = $- 6$ < 0
Für -1.5 < x < 4: f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 5 \cdot 0 + 12$ = $12$ > 0
Für x > 4: f(5) = $- 2 \cdot 5^{2} + 5 \cdot 5 + 12$ = $- 13$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} + 5 x + 12$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} + 5 x + 12$ < 0 gehört, ist x₁=-1.5 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -1.5 oder x > 4.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 14 x - 36$ ≥ $- 2 x - 2$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 14 x - 36$ = $- 2 x - 2$ ist.

- 2 x^{2} + 14 x - 36

=

- 2 x - 2

|

+ 2 x

+ 2

- 2 x^{2} + 16 x - 34

= 0 |:2

$- x^{2} + 8 x - 17$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 17)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 68}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 17$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 17$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 17$ = $16$ $-$ $17$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 14 x - 36$ und $g(x) =$ $- 2 x - 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 14 x - 36$ = $- 2 x - 2$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 2 x - 2$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- 2 x - 2$ oder alle unter der Geraden y= $- 2 x - 2$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $- 2 x - 2$ liegen.
Die Ungleichung $- 2 x^{2} + 14 x - 36$ ≥ $- 2 x - 2$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 2 x - 2$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 14 x - 36$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 14 \cdot 0 - 36$ = $- 36$ < $- 2$ = $- 2 \cdot 0 - 2$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $- 2 x^{2} + 14 x - 36$ ≥ $- 2 x - 2$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):