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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x (x - 3)$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x (x - 3)$ = 0 ist.

x (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $x (x - 3)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x (x - 3)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x (x - 3)$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $- 1 \cdot (- 1 - 3)$ = $4$ > 0
Für 0 < x < 3: f(2) = $2 \cdot (2 - 3)$ = $- 2$ < 0
Für x > 3: f(4) = $4 \cdot (4 - 3)$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x (x - 3)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $x (x - 3)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ 0 und x ≤ 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} - 7 x - 15$ < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} - 7 x - 15$ = 0 ist.

$2 x^{2} - 7 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{7+13}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{7-13}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} - 7 x - 15$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} - 7 x - 15$ = 0 (x₁ = -1.5 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2 x^{2} - 7 x - 15$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1.5: f(-2) = $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 7 \cdot (- 2) - 15$ = $7$ > 0
Für -1.5 < x < 5: f(0) = $2 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 - 15$ = $- 15$ < 0
Für x > 5: f(6) = $2 \cdot 6^{2} - 7 \cdot 6 - 15$ = $15$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2 x^{2} - 7 x - 15$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} - 7 x - 15$ < 0 gehört, ist x₁=-1.5 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -1.5 und x < 5.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} - 7 x - 12$ < $x - 2$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} - 7 x - 12$ = $x - 2$ ist.

- 2 x^{2} - 7 x - 12

=

x - 2

|

- x

+ 2

- 2 x^{2} - 8 x - 10

= 0 |:2

$- x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 5$ = $4$ $-$ $5$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 7 x - 12$ und $g(x) =$ $x - 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} - 7 x - 12$ = $x - 2$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $x - 2$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $x - 2$ oder alle unter der Geraden y= $x - 2$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $x - 2$ liegen.
Die Ungleichung $- 2 x^{2} - 7 x - 12$ < $x - 2$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $x - 2$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $- 2 x^{2} - 7 x - 12$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} - 7 \cdot 0 - 12$ = $- 12$ < $- 2$ = $0 - 2$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $- 2 x^{2} - 7 x - 12$ < $x - 2$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):