Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+3\right)x$ = 0 ist.

$-\left(x+3\right)x$	=	0
$-x\left(x+3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+3\right)x$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 0) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+3\right)x$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-\left(-4+3\right)·\left(-4\right)$ = $-4$ < 0
Für -3 < x < 0: f(-1) = $-\left(-1+3\right)·\left(-1\right)$ = $2$ > 0
Für x > 0: f(1) = $-\left(1+3\right)·1$ = $-4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+3\right)x$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+3\right)x$ > 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=0 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -3 und x < 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2+2x+2$ = 0 ist.

$x^2+2x+2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4·1·2}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-2\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x^2+2x+2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2+2x+2$ = 0 (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der x-Achse oder alle unter der x-Achse liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der x-Achse liegen.
Die Ungleichung $x^2+2x+2$ < 0 gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $x^2+2x+2$ immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $0^2+2\cdot 0+2$ = $2$ > 0
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $x^2+2x+2$ < 0 gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-x-4$ = $x+4$ ist.

$x^2-x-4$

=

$x+4$

| $-x$ $-4$

$x^2-2x-8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-8\right)}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{4+32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+2\pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2+\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2-\sqrt{36}}{2}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>6</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>2</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{-4}{2}$ = $-2$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2-x-4$ und $\text{g(x)}=$ $x+4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-x-4$ = $x+4$ (x₁ = -2 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^2-x-4$ ≤ $x+4$ ist, zwischen den Schnittpunkten liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = ${\left(-3\right)}^2-\left(-3\right)-4$ = $8$ > $1$ = $-3+4$ = g(-3)
Für -2 < x < 4: f(0) = $0^2-0-4$ = $-4$ < $4$ = $0+4$ = g(0)
Für x > 4: f(5) = $5^2-5-4$ = $16$ > $9$ = $5+4$ = g(5)
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ g(x) ist, zwischen den Schnittpunkten liegen.

.

Da der Grenzfall $x^2-x-4$ = $x+4$ auch zur gesuchten Ungleichung $x^2-x-4$ ≤ $x+4$ gehört, ist x₁=-2 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -2 und x ≤ 4.