Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+2\right)\left(x-5\right)$ = 0 ist.

$\left(x+2\right)\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)\left(x-5\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+2\right)\left(x-5\right)$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+2\right)\left(x-5\right)$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $\left(-3+2\right)·\left(-3-5\right)$ = $8$ > 0
Für -2 < x < 5: f(0) = $\left(0+2\right)·\left(0-5\right)$ = $-10$ < 0
Für x > 5: f(6) = $\left(6+2\right)·\left(6-5\right)$ = $8$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+2\right)\left(x-5\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $\left(x+2\right)\left(x-5\right)$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -2 oder x ≥ 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-9x+4$ = 0 ist.

$2x^2-9x+4$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $2x^2-9x+4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-9x+4$ = 0 (x₁ = 0.5 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2x^2-9x+4$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0.5: f(0) = $2\cdot 0^2-9\cdot 0+4$ = $4$ > 0
Für 0.5 < x < 4: f(3) = $2\cdot 3^2-9\cdot 3+4$ = $-5$ < 0
Für x > 4: f(5) = $2\cdot 5^2-9\cdot 5+4$ = $9$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2x^2-9x+4$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $2x^2-9x+4$ > 0 gehört, ist x₁=0.5 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < 0.5 oder x > 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2+17x+34$ = $x+2$ ist.

$2x^2+17x+34$

=

$x+2$

| $-x$ $-2$

$2x^2+16x+32$ = 0 |:2

$x^2+8x+16$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $2x^2+17x+34$ und $\text{g(x)}=$ $x+2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2+17x+34$ = $x+2$ (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $x+2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $x+2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $2x^2+17x+34$ < $x+2$ für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $x+2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $2\cdot {\left(-5\right)}^2+17\cdot \left(-5\right)+34$ = $-1$ > $-3$ = $-5+2$ = g(-5)
Für x > -4: f(0) = $2\cdot 0^2+17\cdot 0+34$ = $34$ > $2$ = $0+2$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $2x^2+17x+34$ < $x+2$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $2x^2+17x+34$ = $x+2$ nicht zur gesuchten Ungleichung $2x^2+17x+34$ < $x+2$ gehört, ist x=-4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)