Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+3\right)·\left(x-2\right)$ = 0 ist.

$-\left(x+3\right)·\left(x-2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)·\left(x-2\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+3\right)·\left(x-2\right)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+3\right)·\left(x-2\right)$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-\left(-4+3\right)·\left(-4-2\right)$ = $-6$ < 0
Für -3 < x < 2: f(0) = $-\left(0+3\right)·\left(0-2\right)$ = $6$ > 0
Für x > 2: f(3) = $-\left(3+3\right)·\left(3-2\right)$ = $-6$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+3\right)·\left(x-2\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+3\right)·\left(x-2\right)$ < 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -3 oder x > 2.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-x-20$ = 0 ist.

$x^2-x-20$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x^2-x-20$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-x-20$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^2-x-20$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ${\left(-5\right)}^2-\left(-5\right)-20$ = $10$ > 0
Für -4 < x < 5: f(0) = $0^2-0-20$ = $-20$ < 0
Für x > 5: f(6) = $6^2-6-20$ = $10$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x^2-x-20$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $x^2-x-20$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -4 oder x ≥ 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2+7x+14$ = $-x-2$ ist.

$x^2+7x+14$

=

$-x-2$

| $+x$ $+2$

$x^2+8x+16$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2+7x+14$ und $\text{g(x)}=$ $-x-2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2+7x+14$ = $-x-2$ (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x-2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $-x-2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2+7x+14$ < $-x-2$ für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x-2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ${\left(-5\right)}^2+7\cdot \left(-5\right)+14$ = $4$ > $3$ = $-\left(-5\right)-2$ = g(-5)
Für x > -4: f(0) = $0^2+7\cdot 0+14$ = $14$ > $-2$ = $-0-2$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $x^2+7x+14$ < $-x-2$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $x^2+7x+14$ = $-x-2$ nicht zur gesuchten Ungleichung $x^2+7x+14$ < $-x-2$ gehört, ist x=-4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)