Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x\left(x-3\right)$ = 0 ist.

$-x\left(x-3\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x\left(x-3\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x\left(x-3\right)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-x\left(x-3\right)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $-\left(-1\right)·\left(-1-3\right)$ = $-4$ < 0
Für 0 < x < 3: f(2) = $-2·\left(2-3\right)$ = $2$ > 0
Für x > 3: f(4) = $-4·\left(4-3\right)$ = $-4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-x\left(x-3\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-x\left(x-3\right)$ > 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 3.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2-16x-32$ = 0 ist.

$-2x^2-16x-32$ = 0 |:2

$-x^2-8x-16$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-2x^2-16x-32$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2-16x-32$ = 0 (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-2x^2-16x-32$ ≤ 0 für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $-2\cdot {\left(-5\right)}^2-16\cdot \left(-5\right)-32$ = $-2$ < 0
Für x > -4: f(0) = $-2\cdot 0^2-16\cdot 0-32$ = $-32$ < 0
Also gilt die Ungleichung $-2x^2-16x-32$ ≤ 0 in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $-2x^2-16x-32$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-2x^2-16x-32$ ≤ 0 gehört, ist x=-4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+14x-29$ = $-2x+5$ ist.

$-2x^2+14x-29$

=

$-2x+5$

| $+2x$ $-5$

$-2x^2+16x-34$ = 0 |:2

$-x^2+8x-17$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+14x-29$ und $\text{g(x)}=$ $-2x+5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+14x-29$ = $-2x+5$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-2x+5$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $-2x+5$ oder alle unter der Geraden y= $-2x+5$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $-2x+5$ liegen.
Die Ungleichung $-2x^2+14x-29$ < $-2x+5$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-2x+5$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+14x-29$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-2\cdot 0^2+14\cdot 0-29$ = $-29$ < $5$ = $-2\cdot 0+5$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-2x^2+14x-29$ < $-2x+5$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)