Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ = 0 ist.

$\left(x+3\right)\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $\left(-4+3\right)·\left(-4-1\right)$ = $5$ > 0
Für -3 < x < 1: f(0) = $\left(0+3\right)·\left(0-1\right)$ = $-3$ < 0
Für x > 1: f(2) = $\left(2+3\right)·\left(2-1\right)$ = $5$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ < 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -3 und x < 1.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-6x+9$ = 0 ist.

$x^2-6x+9$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x^2-6x+9$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-6x+9$ = 0 (x = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2-6x+9$ > 0 für alle x außer für x = 3.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 3: f(0) = $0^2-6\cdot 0+9$ = $9$ > 0
Für x > 3: f(4) = $4^2-6\cdot 4+9$ = $1$ > 0
Also gilt die Ungleichung $x^2-6x+9$ > 0 in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $x^2-6x+9$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $x^2-6x+9$ > 0 gehört, ist x=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{3} (alle x außer x=3 erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-14x+38$ = $2x+4$ ist.

$2x^2-14x+38$

=

$2x+4$

| $-2x$ $-4$

$2x^2-16x+34$ = 0 |:2

$x^2-8x+17$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $2x^2-14x+38$ und $\text{g(x)}=$ $2x+4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-14x+38$ = $2x+4$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2x+4$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $2x+4$ oder alle unter der Geraden y= $2x+4$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $2x+4$ liegen.
Die Ungleichung $2x^2-14x+38$ ≤ $2x+4$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2x+4$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $2x^2-14x+38$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2\cdot 0^2-14\cdot 0+38$ = $38$ > $4$ = $2\cdot 0+4$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2x^2-14x+38$ ≤ $2x+4$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)