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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x - 1) \cdot (x - 5)$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = 0 ist.

- (x - 1) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $- (0 - 1) \cdot (0 - 5)$ = $- 5$ < 0
Für 1 < x < 5: f(4) = $- (4 - 1) \cdot (4 - 5)$ = $3$ > 0
Für x > 5: f(6) = $- (6 - 1) \cdot (6 - 5)$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- (x - 1) \cdot (x - 5)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 1 oder x ≥ 5.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} - 12 x + 18$ ≥ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} - 12 x + 18$ = 0 ist.

2 x^{2} - 12 x + 18

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} - 12 x + 18$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} - 12 x + 18$ = 0 (x = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $2 x^{2} - 12 x + 18$ ≥ 0 für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 3: f(0) = $2 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0 + 18$ = $18$ > 0
Für x > 3: f(4) = $2 \cdot 4^{2} - 12 \cdot 4 + 18$ = $2$ > 0
Also gilt die Ungleichung $2 x^{2} - 12 x + 18$ ≥ 0 in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $2 x^{2} - 12 x + 18$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} - 12 x + 18$ ≥ 0 gehört, ist x=3 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 9 x - 16$ > $- 3 x + 2$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 9 x - 16$ = $- 3 x + 2$ ist.

- 2 x^{2} + 9 x - 16

=

- 3 x + 2

|

+ 3 x

- 2

- 2 x^{2} + 12 x - 18

= 0 |:2

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 9 x - 16$ und $g(x) =$ $- 3 x + 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 9 x - 16$ = $- 3 x + 2$ (x = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 3 x + 2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $- 3 x + 2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $- 2 x^{2} + 9 x - 16$ > $- 3 x + 2$ für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 3 x + 2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 3: f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 9 \cdot 0 - 16$ = $- 16$ < $2$ = $- 3 \cdot 0 + 2$ = g(0)
Für x > 3: f(4) = $- 2 \cdot 4^{2} + 9 \cdot 4 - 16$ = $- 12$ < $- 10$ = $- 3 \cdot 4 + 2$ = g(4)
Also gilt die Ungleichung $- 2 x^{2} + 9 x - 16$ > $- 3 x + 2$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} + 9 x - 16$ = $- 3 x + 2$ nicht zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} + 9 x - 16$ > $- 3 x + 2$ gehört, ist x=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):