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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 3) (x - 4)$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 3) (x - 4)$ = 0 ist.

- (x + 3) (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 3) (x - 4)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 3) (x - 4)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 3) (x - 4)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $- (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 4)$ = $- 8$ < 0
Für -3 < x < 4: f(0) = $- (0 + 3) \cdot (0 - 4)$ = $12$ > 0
Für x > 4: f(5) = $- (5 + 3) \cdot (5 - 4)$ = $- 8$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 3) (x - 4)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- (x + 3) (x - 4)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -3 oder x ≥ 4.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} - 4 x$ < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} - 4 x$ = 0 ist.

$2 x^{2} - 4 x$	=	0
$2 x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} - 4 x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} - 4 x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2 x^{2} - 4 x$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $2 \cdot {(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1)$ = $6$ > 0
Für 0 < x < 2: f(1) = $2 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1$ = $- 2$ < 0
Für x > 2: f(3) = $2 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3$ = $6$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2 x^{2} - 4 x$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} - 4 x$ < 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 2.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 6 x - 2$ ≤ $2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 6 x - 2$ = $2 x + 2$ ist.

- 2 x^{2} + 6 x - 2

=

2 x + 2

|

- 2 x

- 2

- 2 x^{2} + 4 x - 4

= 0 |:2

$- x^{2} + 2 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 6 x - 2$ und $g(x) =$ $2 x + 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 6 x - 2$ = $2 x + 2$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2 x + 2$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $2 x + 2$ oder alle unter der Geraden y= $2 x + 2$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $2 x + 2$ liegen.
Die Ungleichung $- 2 x^{2} + 6 x - 2$ ≤ $2 x + 2$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2 x + 2$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 6 x - 2$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 6 \cdot 0 - 2$ = $- 2$ < $2$ = $2 \cdot 0 + 2$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $- 2 x^{2} + 6 x - 2$ ≤ $2 x + 2$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):