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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x - 1) (x - 5)$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x - 1) (x - 5)$ = 0 ist.

- (x - 1) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₁	=	$1$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x - 1) (x - 5)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x - 1) (x - 5)$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x - 1) (x - 5)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $- (0 - 1) \cdot (0 - 5)$ = $- 5$ < 0
Für 1 < x < 5: f(4) = $- (4 - 1) \cdot (4 - 5)$ = $3$ > 0
Für x > 5: f(6) = $- (6 - 1) \cdot (6 - 5)$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x - 1) (x - 5)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- (x - 1) (x - 5)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 1 oder x ≥ 5.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} + 4 x$ ≥ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} + 4 x$ = 0 ist.

$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x^{2} + 4 x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} + 4 x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x^{2} + 4 x$ ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $- {(- 1)}^{2} + 4 \cdot (- 1)$ = $- 5$ < 0
Für 0 < x < 4: f(3) = $- 3^{2} + 4 \cdot 3$ = $3$ > 0
Für x > 4: f(5) = $- 5^{2} + 4 \cdot 5$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x^{2} + 4 x$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} + 4 x$ ≥ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ 0 und x ≤ 4.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} + 3 x - 1$ > $- x - 5$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} + 3 x - 1$ = $- x - 5$ ist.

2 x^{2} + 3 x - 1

=

- x - 5

|

+ x

+ 5

2 x^{2} + 4 x + 4

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $2 x^{2} + 3 x - 1$ und $g(x) =$ $- x - 5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} + 3 x - 1$ = $- x - 5$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- x - 5$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- x - 5$ oder alle unter der Geraden y= $- x - 5$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $- x - 5$ liegen.
Die Ungleichung $2 x^{2} + 3 x - 1$ > $- x - 5$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- x - 5$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $2 x^{2} + 3 x - 1$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 - 1$ = $- 1$ > $- 5$ = $- 0 - 5$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2 x^{2} + 3 x - 1$ > $- x - 5$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):