Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $\left(0-1\right)·\left(0-4\right)$ = $4$ > 0
Für 1 < x < 4: f(3) = $\left(3-1\right)·\left(3-4\right)$ = $-2$ < 0
Für x > 4: f(5) = $\left(5-1\right)·\left(5-4\right)$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x-1\right)·\left(x-4\right)$ > 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < 1 oder x > 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2+16x+32$ = 0 ist.

$2x^2+16x+32$ = 0 |:2

$x^2+8x+16$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $2x^2+16x+32$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2+16x+32$ = 0 (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $2x^2+16x+32$ ≥ 0 für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $2\cdot {\left(-5\right)}^2+16\cdot \left(-5\right)+32$ = $2$ > 0
Für x > -4: f(0) = $2\cdot 0^2+16\cdot 0+32$ = $32$ > 0
Also gilt die Ungleichung $2x^2+16x+32$ ≥ 0 in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $2x^2+16x+32$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2x^2+16x+32$ ≥ 0 gehört, ist x=-4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2+x-8$ = $-3x-4$ ist.

$-x^2+x-8$

=

$-3x-4$

| $+3x$ $+4$

$-x^2+4x-4$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-x^2+x-8$ und $\text{g(x)}=$ $-3x-4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2+x-8$ = $-3x-4$ (x = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-3x-4$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y= $-3x-4$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $-x^2+x-8$ ≥ $-3x-4$ für kein x außer für x = 2.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-3x-4$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 2: f(0) = $-0^2+0-8$ = $-8$ < $-4$ = $-3\cdot 0-4$ = g(0)
Für x > 2: f(3) = $-3^2+3-8$ = $-14$ < $-13$ = $-3\cdot 3-4$ = g(3)
Also gilt die Ungleichung $-x^2+x-8$ ≥ $-3x-4$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $-x^2+x-8$ = $-3x-4$ auch zur gesuchten Ungleichung $-x^2+x-8$ ≥ $-3x-4$ gehört, ist x=2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{2}