Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+2\right)·\left(x-1\right)$ = 0 ist.

$\left(x+2\right)·\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+2\right)·\left(x-1\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+2\right)·\left(x-1\right)$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+2\right)·\left(x-1\right)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $\left(-3+2\right)·\left(-3-1\right)$ = $4$ > 0
Für -2 < x < 1: f(0) = $\left(0+2\right)·\left(0-1\right)$ = $-2$ < 0
Für x > 1: f(2) = $\left(2+2\right)·\left(2-1\right)$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+2\right)·\left(x-1\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x+2\right)·\left(x-1\right)$ < 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -2 und x < 1.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-8x+10$ = 0 ist.

$2x^2-8x+10$ = 0 |:2

$x^2-4x+5$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $2x^2-8x+10$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-8x+10$ = 0 (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der x-Achse oder alle unter der x-Achse liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der x-Achse liegen.
Die Ungleichung $2x^2-8x+10$ > 0 gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $2x^2-8x+10$ immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2\cdot 0^2-8\cdot 0+10$ = $10$ > 0
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2x^2-8x+10$ > 0 gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2+10x+12$ = $2x-4$ ist.

$x^2+10x+12$

=

$2x-4$

| $-2x$ $+4$

$x^2+8x+16$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2+10x+12$ und $\text{g(x)}=$ $2x-4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2+10x+12$ = $2x-4$ (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2x-4$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $2x-4$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2+10x+12$ ≥ $2x-4$ für alle x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2x-4$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)+12$ = $-13$ > $-14$ = $2\cdot \left(-5\right)-4$ = g(-5)
Für x > -4: f(0) = $0^2+10\cdot 0+12$ = $12$ > $-4$ = $2\cdot 0-4$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $x^2+10x+12$ ≥ $2x-4$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $x^2+10x+12$ = $2x-4$ auch zur gesuchten Ungleichung $x^2+10x+12$ ≥ $2x-4$ gehört, ist x=-4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)