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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x \cdot (x - 3)$ > 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x \cdot (x - 3)$ = 0 ist.

- x \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x \cdot (x - 3)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x \cdot (x - 3)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x \cdot (x - 3)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $- (- 1) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 4$ < 0
Für 0 < x < 3: f(2) = $- 2 \cdot (2 - 3)$ = $2$ > 0
Für x > 3: f(4) = $- 4 \cdot (4 - 3)$ = $- 4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x \cdot (x - 3)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- x \cdot (x - 3)$ > 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 8 x$ ≤ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 8 x$ = 0 ist.

$- 2 x^{2} + 8 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 8 x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 8 x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- 2 x^{2} + 8 x$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} + 8 \cdot (- 1)$ = $- 10$ < 0
Für 0 < x < 4: f(3) = $- 2 \cdot 3^{2} + 8 \cdot 3$ = $6$ > 0
Für x > 4: f(5) = $- 2 \cdot 5^{2} + 8 \cdot 5$ = $- 10$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} + 8 x$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} + 8 x$ ≤ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 0 oder x ≥ 4.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} + 1$ ≤ $- 2 x + 3$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} + 1$ = $- 2 x + 3$ ist.

- x^{2} + 1

=

- 2 x + 3

|

+ 2 x

- 3

$- x^{2} + 2 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{- 2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- x^{2} + 1$ und $g(x) =$ $- 2 x + 3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} + 1$ = $- 2 x + 3$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 2 x + 3$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- 2 x + 3$ oder alle unter der Geraden y= $- 2 x + 3$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $- 2 x + 3$ liegen.
Die Ungleichung $- x^{2} + 1$ ≤ $- 2 x + 3$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 2 x + 3$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $- x^{2} + 1$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $- 0^{2} + 1$ = $1$ < $3$ = $- 2 \cdot 0 + 3$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $- x^{2} + 1$ ≤ $- 2 x + 3$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):