Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+3\right)\left(x-5\right)$ = 0 ist.

$\left(x+3\right)\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+3\right)\left(x-5\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+3\right)\left(x-5\right)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+3\right)\left(x-5\right)$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $\left(-4+3\right)·\left(-4-5\right)$ = $9$ > 0
Für -3 < x < 5: f(0) = $\left(0+3\right)·\left(0-5\right)$ = $-15$ < 0
Für x > 5: f(6) = $\left(6+3\right)·\left(6-5\right)$ = $9$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+3\right)\left(x-5\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $\left(x+3\right)\left(x-5\right)$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -3 oder x ≥ 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x^2-2x+3$ = 0 ist.

$-x^2-2x+3$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x^2-2x+3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x^2-2x+3$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-x^2-2x+3$ ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-{\left(-4\right)}^2-2\cdot \left(-4\right)+3$ = $-5$ < 0
Für -3 < x < 1: f(0) = $-0^2-2\cdot 0+3$ = $3$ > 0
Für x > 1: f(2) = $-2^2-2\cdot 2+3$ = $-5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-x^2-2x+3$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-x^2-2x+3$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -3 und x ≤ 1.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2+10x+18$ = $2x+2$ ist.

$x^2+10x+18$

=

$2x+2$

| $-2x$ $-2$

$x^2+8x+16$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2+10x+18$ und $\text{g(x)}=$ $2x+2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2+10x+18$ = $2x+2$ (x = -4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2x+2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der Geraden y= $2x+2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2+10x+18$ ≤ $2x+2$ für kein x außer für x = -4.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2x+2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = ${\left(-5\right)}^2+10\cdot \left(-5\right)+18$ = $-7$ > $-8$ = $2\cdot \left(-5\right)+2$ = g(-5)
Für x > -4: f(0) = $0^2+10\cdot 0+18$ = $18$ > $2$ = $2\cdot 0+2$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $x^2+10x+18$ ≤ $2x+2$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $x^2+10x+18$ = $2x+2$ auch zur gesuchten Ungleichung $x^2+10x+18$ ≤ $2x+2$ gehört, ist x=-4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{-4}