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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 3) \cdot (x - 1)$ ≥ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0 ist.

- (x + 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $- (- 4 + 3) \cdot (- 4 - 1)$ = $- 5$ < 0
Für -3 < x < 1: f(0) = $- (0 + 3) \cdot (0 - 1)$ = $3$ > 0
Für x > 1: f(2) = $- (2 + 3) \cdot (2 - 1)$ = $- 5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- (x + 3) \cdot (x - 1)$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -3 und x ≤ 1.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} - 5 x + 4$ ≤ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} - 5 x + 4$ = 0 ist.

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $x^{2} - 5 x + 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} - 5 x + 4$ = 0 (x₁ = 1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^{2} - 5 x + 4$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 1: f(0) = $0^{2} - 5 \cdot 0 + 4$ = $4$ > 0
Für 1 < x < 4: f(3) = $3^{2} - 5 \cdot 3 + 4$ = $- 2$ < 0
Für x > 4: f(5) = $5^{2} - 5 \cdot 5 + 4$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x^{2} - 5 x + 4$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $x^{2} - 5 x + 4$ ≤ 0 gehört, ist x₁=1 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ 1 und x ≤ 4.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} - 5 x - 1$ ≥ $- x - 5$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} - 5 x - 1$ = $- x - 5$ ist.

2 x^{2} - 5 x - 1

=

- x - 5

|

+ x

+ 5

2 x^{2} - 4 x + 4

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $2 x^{2} - 5 x - 1$ und $g(x) =$ $- x - 5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} - 5 x - 1$ = $- x - 5$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- x - 5$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- x - 5$ oder alle unter der Geraden y= $- x - 5$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $- x - 5$ liegen.
Die Ungleichung $2 x^{2} - 5 x - 1$ ≥ $- x - 5$ gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- x - 5$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $2 x^{2} - 5 x - 1$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0 - 1$ = $- 1$ > $- 5$ = $- 0 - 5$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2 x^{2} - 5 x - 1$ ≥ $- x - 5$ gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):