Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+4\right)·\left(x-2\right)$ = 0 ist.

$\left(x+4\right)·\left(x-2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+4\right)·\left(x-2\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+4\right)·\left(x-2\right)$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+4\right)·\left(x-2\right)$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $\left(-5+4\right)·\left(-5-2\right)$ = $7$ > 0
Für -4 < x < 2: f(0) = $\left(0+4\right)·\left(0-2\right)$ = $-8$ < 0
Für x > 2: f(3) = $\left(3+4\right)·\left(3-2\right)$ = $7$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+4\right)·\left(x-2\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x+4\right)·\left(x-2\right)$ < 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -4 und x < 2.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-10x$ = 0 ist.

$2x^2-10x$	=	0
$2x·\left(x-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $2x^2-10x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-10x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2x^2-10x$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $2\cdot {\left(-1\right)}^2-10\cdot \left(-1\right)$ = $12$ > 0
Für 0 < x < 5: f(4) = $2\cdot 4^2-10\cdot 4$ = $-8$ < 0
Für x > 5: f(6) = $2\cdot 6^2-10\cdot 6$ = $12$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2x^2-10x$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2x^2-10x$ ≤ 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ 0 und x ≤ 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-5x+2$ = $-x-2$ ist.

$x^2-5x+2$

=

$-x-2$

| $+x$ $+2$

$x^2-4x+4$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2-5x+2$ und $\text{g(x)}=$ $-x-2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-5x+2$ = $-x-2$ (x = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x-2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der Geraden y= $-x-2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2-5x+2$ > $-x-2$ für alle x außer für x = 2.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x-2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 2: f(0) = $0^2-5\cdot 0+2$ = $2$ > $-2$ = $-0-2$ = g(0)
Für x > 2: f(3) = $3^2-5\cdot 3+2$ = $-4$ > $-5$ = $-3-2$ = g(3)
Also gilt die Ungleichung $x^2-5x+2$ > $-x-2$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $x^2-5x+2$ = $-x-2$ nicht zur gesuchten Ungleichung $x^2-5x+2$ > $-x-2$ gehört, ist x=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{2} (alle x außer x=2 erfüllen die Ungleichung)