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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x (x - 3)$ < 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x (x - 3)$ = 0 ist.

- x (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x (x - 3)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x (x - 3)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- x (x - 3)$ < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $- (- 1) \cdot (- 1 - 3)$ = $- 4$ < 0
Für 0 < x < 3: f(2) = $- 2 \cdot (2 - 3)$ = $2$ > 0
Für x > 3: f(4) = $- 4 \cdot (4 - 3)$ = $- 4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- x (x - 3)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- x (x - 3)$ < 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < 0 oder x > 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- 2 x^{2} + 2 x + 4$ ≤ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0 ist.

- 2 x^{2} + 2 x + 4

= 0 |:2

$- x^{2} + x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1+3}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 1-3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- 2 x^{2} + 2 x + 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- 2 x^{2} + 2 x + 4$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $- 2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 4$ = $- 8$ < 0
Für -1 < x < 2: f(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 4$ = $4$ > 0
Für x > 2: f(3) = $- 2 \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 4$ = $- 8$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- 2 x^{2} + 2 x + 4$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- 2 x^{2} + 2 x + 4$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -1 oder x ≥ 2.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} - 5 x - 6$ ≥ $- x - 2$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} - 5 x - 6$ = $- x - 2$ ist.

- x^{2} - 5 x - 6

=

- x - 2

|

+ x

+ 2

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 2$ ± 0 = $- 2$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- x^{2} - 5 x - 6$ und $g(x) =$ $- x - 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} - 5 x - 6$ = $- x - 2$ (x = -2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- x - 2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y= $- x - 2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $- x^{2} - 5 x - 6$ ≥ $- x - 2$ für kein x außer für x = -2.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- x - 2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $- {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3) - 6$ = 0 < $1$ = $- (- 3) - 2$ = g(-3)
Für x > -2: f(0) = $- 0^{2} - 5 \cdot 0 - 6$ = $- 6$ < $- 2$ = $- 0 - 2$ = g(0)
Also gilt die Ungleichung $- x^{2} - 5 x - 6$ ≥ $- x - 2$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $- x^{2} - 5 x - 6$ = $- x - 2$ auch zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} - 5 x - 6$ ≥ $- x - 2$ gehört, ist x=-2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{-2}

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):