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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- (x + 3) x$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- (x + 3) x$ = 0 ist.

$- (x + 3) x$	=	0
$- x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- (x + 3) x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- (x + 3) x$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 0) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $- (x + 3) x$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $- (- 4 + 3) \cdot (- 4)$ = $- 4$ < 0
Für -3 < x < 0: f(-1) = $- (- 1 + 3) \cdot (- 1)$ = $2$ > 0
Für x > 0: f(1) = $- (1 + 3) \cdot 1$ = $- 4$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $- (x + 3) x$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $- (x + 3) x$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=0 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -3 oder x ≥ 0.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} + 2 x - 4$ ≥ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0 ist.

2 x^{2} + 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} + 2 x - 4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2 x^{2} + 2 x - 4$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} + 2 \cdot (- 3) - 4$ = $8$ > 0
Für -2 < x < 1: f(0) = $2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 - 4$ = $- 4$ < 0
Für x > 1: f(2) = $2 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 - 4$ = $8$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2 x^{2} + 2 x - 4$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} + 2 x - 4$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=1 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -2 oder x ≥ 1.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} + x - 7$ < $- 3 x - 3$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} + x - 7$ = $- 3 x - 3$ ist.

- x^{2} + x - 7

=

- 3 x - 3

|

+ 3 x

+ 3

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- x^{2} + x - 7$ und $g(x) =$ $- 3 x - 3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} + x - 7$ = $- 3 x - 3$ (x = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 3 x - 3$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y= $- 3 x - 3$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $- x^{2} + x - 7$ < $- 3 x - 3$ für alle x außer für x = 2.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 3 x - 3$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 2: f(0) = $- 0^{2} + 0 - 7$ = $- 7$ < $- 3$ = $- 3 \cdot 0 - 3$ = g(0)
Für x > 2: f(3) = $- 3^{2} + 3 - 7$ = $- 13$ < $- 12$ = $- 3 \cdot 3 - 3$ = g(3)
Also gilt die Ungleichung $- x^{2} + x - 7$ < $- 3 x - 3$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $- x^{2} + x - 7$ = $- 3 x - 3$ nicht zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} + x - 7$ < $- 3 x - 3$ gehört, ist x=2 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{2} (alle x außer x=2 erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):