Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+1\right)\left(x-5\right)$ = 0 ist.

$-\left(x+1\right)\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+1\right)\left(x-5\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+1\right)\left(x-5\right)$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+1\right)\left(x-5\right)$ ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $-\left(-2+1\right)·\left(-2-5\right)$ = $-7$ < 0
Für -1 < x < 5: f(0) = $-\left(0+1\right)·\left(0-5\right)$ = $5$ > 0
Für x > 5: f(6) = $-\left(6+1\right)·\left(6-5\right)$ = $-7$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+1\right)\left(x-5\right)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+1\right)\left(x-5\right)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -1 oder x ≥ 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+8x-10$ = 0 ist.

$-2x^2+8x-10$ = 0 |:2

$-x^2+4x-5$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-2x^2+8x-10$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+8x-10$ = 0 (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der x-Achse oder alle unter der x-Achse liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der x-Achse liegen.
Die Ungleichung $-2x^2+8x-10$ ≤ 0 gilt somit für alle x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+8x-10$ immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-2\cdot 0^2+8\cdot 0-10$ = $-10$ < 0
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-2x^2+8x-10$ ≤ 0 gilt für alle x.

Die Lösung ist also: ℝ (alle x erfüllen die Ungleichung)

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2+5x+12$ = $-x+2$ ist.

$x^2+5x+12$

=

$-x+2$

| $+x$ $-2$

$x^2+6x+10$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2+5x+12$ und $\text{g(x)}=$ $-x+2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2+5x+12$ = $-x+2$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x+2$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $-x+2$ oder alle unter der Geraden y= $-x+2$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $-x+2$ liegen.
Die Ungleichung $x^2+5x+12$ ≤ $-x+2$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x+2$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $x^2+5x+12$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $0^2+5\cdot 0+12$ = $12$ > $2$ = $-0+2$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $x^2+5x+12$ ≤ $-x+2$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)