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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x + 3) (x - 3)$ > 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x + 3) (x - 3)$ = 0 ist.

(x + 3) (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₁	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x + 3) (x - 3)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x + 3) (x - 3)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x + 3) (x - 3)$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $(- 4 + 3) \cdot (- 4 - 3)$ = $7$ > 0
Für -3 < x < 3: f(0) = $(0 + 3) \cdot (0 - 3)$ = $- 9$ < 0
Für x > 3: f(4) = $(4 + 3) \cdot (4 - 3)$ = $7$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x + 3) (x - 3)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $(x + 3) (x - 3)$ > 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -3 oder x > 3.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} + 6 x - 9$ > 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} + 6 x - 9$ = 0 ist.

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $- x^{2} + 6 x - 9$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} + 6 x - 9$ = 0 (x = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der x-Achse haben, muss dieser gemeinsame Punkt der Scheitel sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der x-Achse liegen.
Somit gilt die Ungleichung $- x^{2} + 6 x - 9$ > 0 für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 3: f(0) = $- 0^{2} + 6 \cdot 0 - 9$ = $- 9$ < 0
Für x > 3: f(4) = $- 4^{2} + 6 \cdot 4 - 9$ = $- 1$ < 0
Also gilt die Ungleichung $- x^{2} + 6 x - 9$ > 0 in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $- x^{2} + 6 x - 9$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} + 6 x - 9$ > 0 gehört, ist x=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$- x^{2} + 9 x - 6$ < $3 x + 3$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $- x^{2} + 9 x - 6$ = $3 x + 3$ ist.

- x^{2} + 9 x - 6

=

3 x + 3

|

- 3 x

- 3

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 9)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x - 9$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $- x^{2} + 9 x - 6$ und $g(x) =$ $3 x + 3$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $- x^{2} + 9 x - 6$ = $3 x + 3$ (x = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $3 x + 3$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) unterhalb der Geraden y= $3 x + 3$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $- x^{2} + 9 x - 6$ < $3 x + 3$ für alle x außer für x = 3.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $3 x + 3$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 3: f(0) = $- 0^{2} + 9 \cdot 0 - 6$ = $- 6$ < $3$ = $3 \cdot 0 + 3$ = g(0)
Für x > 3: f(4) = $- 4^{2} + 9 \cdot 4 - 6$ = $14$ < $15$ = $3 \cdot 4 + 3$ = g(4)
Also gilt die Ungleichung $- x^{2} + 9 x - 6$ < $3 x + 3$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $- x^{2} + 9 x - 6$ = $3 x + 3$ nicht zur gesuchten Ungleichung $- x^{2} + 9 x - 6$ < $3 x + 3$ gehört, ist x=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{3} (alle x außer x=3 erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):