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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x + 2) (x - 5)$ ≤ 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x + 2) (x - 5)$ = 0 ist.

(x + 2) (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x + 2) (x - 5)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x + 2) (x - 5)$ = 0 (x₁ = -2 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x + 2) (x - 5)$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -2: f(-3) = $(- 3 + 2) \cdot (- 3 - 5)$ = $8$ > 0
Für -2 < x < 5: f(0) = $(0 + 2) \cdot (0 - 5)$ = $- 10$ < 0
Für x > 5: f(6) = $(6 + 2) \cdot (6 - 5)$ = $8$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x + 2) (x - 5)$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $(x + 2) (x - 5)$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-2 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -2 und x ≤ 5.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} - 11 x + 5$ < 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} - 11 x + 5$ = 0 ist.

$2 x^{2} - 11 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{11+9}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = $5$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{11-9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 11 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{11}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{11}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{11}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $2 x^{2} - 11 x + 5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} - 11 x + 5$ = 0 (x₁ = 0.5 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2 x^{2} - 11 x + 5$ < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0.5: f(0) = $2 \cdot 0^{2} - 11 \cdot 0 + 5$ = $5$ > 0
Für 0.5 < x < 5: f(4) = $2 \cdot 4^{2} - 11 \cdot 4 + 5$ = $- 7$ < 0
Für x > 5: f(6) = $2 \cdot 6^{2} - 11 \cdot 6 + 5$ = $11$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) < 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2 x^{2} - 11 x + 5$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $2 x^{2} - 11 x + 5$ < 0 gehört, ist x₁=0.5 und x₂=5 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0.5 und x < 5.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} - 4 x + 11$ > $2 x + 2$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} - 4 x + 11$ = $2 x + 2$ ist.

x^{2} - 4 x + 11

=

2 x + 2

|

- 2 x

- 2

$x^{2} - 6 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 9$ = $9$ $-$ $9$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $3$ ± 0 = $3$

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $x^{2} - 4 x + 11$ und $g(x) =$ $2 x + 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} - 4 x + 11$ = $2 x + 2$ (x = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $2 x + 2$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel (außer dem Scheitel) oberhalb der Geraden y= $2 x + 2$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^{2} - 4 x + 11$ > $2 x + 2$ für alle x außer für x = 3.

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $2 x + 2$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 3: f(0) = $0^{2} - 4 \cdot 0 + 11$ = $11$ > $2$ = $2 \cdot 0 + 2$ = g(0)
Für x > 3: f(4) = $4^{2} - 4 \cdot 4 + 11$ = $11$ > $10$ = $2 \cdot 4 + 2$ = g(4)
Also gilt die Ungleichung $x^{2} - 4 x + 11$ > $2 x + 2$ in beiden Intervallen.

Da der Grenzfall $x^{2} - 4 x + 11$ = $2 x + 2$ nicht zur gesuchten Ungleichung $x^{2} - 4 x + 11$ > $2 x + 2$ gehört, ist x=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

ℝ\{3} (alle x außer x=3 erfüllen die Ungleichung)

Aufgabenbeispiele von Ungleichungen

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):