Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-x·\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$-x·\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-x·\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-x·\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-x·\left(x-4\right)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $-\left(-1\right)·\left(-1-4\right)$ = $-5$ < 0
Für 0 < x < 4: f(3) = $-3·\left(3-4\right)$ = $3$ > 0
Für x > 4: f(5) = $-5·\left(5-4\right)$ = $-5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-x·\left(x-4\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-x·\left(x-4\right)$ > 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > 0 und x < 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-6x$ = 0 ist.

$2x^2-6x$	=	0
$2x·\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $2x^2-6x$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-6x$ = 0 (x₁ = 0 und x₂ = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2x^2-6x$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0: f(-1) = $2\cdot {\left(-1\right)}^2-6\cdot \left(-1\right)$ = $8$ > 0
Für 0 < x < 3: f(2) = $2\cdot 2^2-6\cdot 2$ = $-4$ < 0
Für x > 3: f(4) = $2\cdot 4^2-6\cdot 4$ = $8$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2x^2-6x$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $2x^2-6x$ > 0 gehört, ist x₁=0 und x₂=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < 0 oder x > 3.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-2x^2+15x-29$ = $-x+5$ ist.

$-2x^2+15x-29$

=

$-x+5$

| $+x$ $-5$

$-2x^2+16x-34$ = 0 |:2

$-x^2+8x-17$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+15x-29$ und $\text{g(x)}=$ $-x+5$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-2x^2+15x-29$ = $-x+5$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-x+5$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $-x+5$ oder alle unter der Geraden y= $-x+5$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -2 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel unterhalb der Geraden y= $-x+5$ liegen.
Die Ungleichung $-2x^2+15x-29$ ≥ $-x+5$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-x+5$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $-2x^2+15x-29$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $-2\cdot 0^2+15\cdot 0-29$ = $-29$ < $5$ = $-0+5$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $-2x^2+15x-29$ ≥ $-x+5$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)