Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $-\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ = 0 ist.

$-\left(x+3\right)\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $-\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $-\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = -1 < 0 erkennen wir, dass die Parabel nach unten geöffnet ist, also dass der Scheitel der höchste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $-\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = $-\left(-4+3\right)·\left(-4-1\right)$ = $-5$ < 0
Für -3 < x < 1: f(0) = $-\left(0+3\right)·\left(0-1\right)$ = $3$ > 0
Für x > 1: f(2) = $-\left(2+3\right)·\left(2-1\right)$ = $-5$ < 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $-\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $-\left(x+3\right)\left(x-1\right)$ > 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x > -3 und x < 1.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-2x-15$ = 0 ist.

$x^2-2x-15$ = 0

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $x^2-2x-15$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-2x-15$ = 0 (x₁ = -3 und x₂ = 5) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^2-2x-15$ ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -3: f(-4) = ${\left(-4\right)}^2-2\cdot \left(-4\right)-15$ = $9$ > 0
Für -3 < x < 5: f(0) = $0^2-2\cdot 0-15$ = $-15$ < 0
Für x > 5: f(6) = $6^2-2\cdot 6-15$ = $9$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≤ 0 ist, zwischen den Schnittpunkten mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x^2-2x-15$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $x^2-2x-15$ ≤ 0 gehört, ist x₁=-3 und x₂=5 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≥ -3 und x ≤ 5.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^2-8x+13$ = $-2x+4$ ist.

$x^2-8x+13$

=

$-2x+4$

| $+2x$ $-4$

$x^2-6x+9$ = 0

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $x^2-8x+13$ und $\text{g(x)}=$ $-2x+4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^2-8x+13$ = $-2x+4$ (x = 3) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Da wir bei dieser Parabel nur einen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $-2x+4$ haben, muss dieser gemeinsame Punkt ein Berührpunkt sein!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $-2x+4$ liegen.
Somit gilt die Ungleichung $x^2-8x+13$ < $-2x+4$ für kein x .

2.Weg
Da es ja nur diesen einen Schnittpunkt mit der Geraden y= $-2x+4$ gibt, müssen die Funktionswerte von f(x) innerhalb eines dieser beiden Intervalle immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 3: f(0) = $0^2-8\cdot 0+13$ = $13$ > $4$ = $-2\cdot 0+4$ = g(0)
Für x > 3: f(4) = $4^2-8\cdot 4+13$ = $-3$ > $-4$ = $-2\cdot 4+4$ = g(4)
Also gilt die Ungleichung $x^2-8x+13$ < $-2x+4$ in keinem der Intervalle.

Da der Grenzfall $x^2-8x+13$ = $-2x+4$ nicht zur gesuchten Ungleichung $x^2-8x+13$ < $-2x+4$ gehört, ist x=3 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

{} (kein x erfüllt die Ungleichung)