Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ = 0 ist.

$\left(x+1\right)\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = $\left(-2+1\right)·\left(-2-4\right)$ = $6$ > 0
Für -1 < x < 4: f(0) = $\left(0+1\right)·\left(0-4\right)$ = $-4$ < 0
Für x > 4: f(5) = $\left(5+1\right)·\left(5-4\right)$ = $6$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $\left(x+1\right)\left(x-4\right)$ > 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=4 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -1 oder x > 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2-9x+4$ = 0 ist.

$2x^2-9x+4$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4·2·4}}{2\cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{81-32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+9\pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{9+\sqrt{49}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>+</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{9-\sqrt{49}}{4}$ = $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>9</mn></mrow>\; </math>\; <mo>-</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mn>7</mn></mrow></math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow><mrow><mn>4</mn></mrow>\; </mrow>\; </math>}}$ = $\frac{2}{4}$ = $\mathrm{0,5}$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $\text{f(x)}=$ $2x^2-9x+4$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2-9x+4$ = 0 (x₁ = 0.5 und x₂ = 4) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $2x^2-9x+4$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < 0.5: f(0) = $2\cdot 0^2-9\cdot 0+4$ = $4$ > 0
Für 0.5 < x < 4: f(3) = $2\cdot 3^2-9\cdot 3+4$ = $-5$ < 0
Für x > 4: f(5) = $2\cdot 5^2-9\cdot 5+4$ = $9$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $2x^2-9x+4$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $2x^2-9x+4$ ≥ 0 gehört, ist x₁=0.5 und x₂=4 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ 0.5 oder x ≥ 4.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2x^2+9x+9$ = $x-1$ ist.

$2x^2+9x+9$

=

$x-1$

| $-x$ $+1$

$2x^2+8x+10$ = 0 |:2

$x^2+4x+5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4·1·5}}{2\cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{16-20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{-4\pm \sqrt{\left(-4\right)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $\text{f(x)}=$ $2x^2+9x+9$ und $\text{g(x)}=$ $x-1$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2x^2+9x+9$ = $x-1$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $x-1$, es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $x-1$ oder alle unter der Geraden y= $x-1$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $x-1$ liegen.
Die Ungleichung $2x^2+9x+9$ < $x-1$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $x-1$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $\text{f(x)}=$ $2x^2+9x+9$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2\cdot 0^2+9\cdot 0+9$ = $9$ > $-1$ = $0-1$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2x^2+9x+9$ < $x-1$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)