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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 40 x + 100$ = 0

4 x^{2} + 40 x + 100

= 0 |:4

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 17 x + 72$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 17 x + 72$ = 0

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

L = { $- 9$ ; $- 8$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$12 x + 2 x^{2} - 54$ = 0

Lösung einblenden

2 x^{2} + 12 x - 54

= 0 |:2

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

L={ $- 9$ ; $3$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x + x^{2}$ = $90$

Lösung einblenden

$x + x^{2}$ = $90$ | - ( $90$ )

$x + x^{2} - 90$ = 0

sortieren

$x^{2} + x - 90$ = 0

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 90)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $90$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L = { $- 10$ ; $9$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + \frac{26}{5} x - \frac{63}{5}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + \frac{26}{5} x - \frac{63}{5}$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} + \frac{26}{5} x - \frac{63}{5})$	=	0

$5 x^{2} + 26 x - 63$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 63)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 + 1 260}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{1 936}}{10}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 26+44}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{1 936}}{10}$ = $\frac{- 26-44}{10}$ = $\frac{- 70}{10}$ = $- 7$

L={ $- 7$ ; $1,8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x^{2} + 8 x - 5$ = $(- 2 x + 5) (x + 9) + 21 x - 49$

Lösung einblenden

$- x^{2} + 8 x - 5$	=	$(- 2 x + 5) (x + 9) + 21 x - 49$
$- x^{2} + 8 x - 5$	=	$- 2 x^{2} - 13 x + 45 + 21 x - 49$
$- x^{2} + 8 x - 5$	=	$- 2 x^{2} + 8 x - 4$	\| $+ 5$
$- x^{2} + 8 x$	=	$- 2 x^{2} + 8 x + 1$	\| $+ 2 x^{2}$ $- 8 x$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

L={ $- 1$ ; $1$ }

Nullprodukt

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$3 x^{2}$ = $- \frac{6}{5} x$

Lösung einblenden

$3 x^{2}$	=	$- \frac{6}{5} x$	\| $+ \frac{6}{5} x$
$3 x^{2} + \frac{6}{5} x$	=	0
$\frac{3}{5} x (5 x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$5 x + 2$	=	0	\| $- 2$
$5 x$	=	$- 2$	\|: $5$
x₂	=	$- \frac{2}{5}$ = -0.4

L={ $- \frac{2}{5}$ ; 0}

Nullstellen mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) des Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu berechnen muss man einfach die Funktion gleich Null setzen, also

f(x)=0

$x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} + \frac{9}{2} x + \frac{9}{2})$	=	0

$2 x^{2} + 9 x + 9$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9+3}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 9-3}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 1,5$ }

Gesucht sind ja die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen), d.h. die gesuchten y-Werte sind immer jeweils 0.

Die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) sind also N₁( $- 3$ |0) und N₂( $- 1,5$ |0).

Schnittpunkte mit MNF

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Schaubilder von f und g mit
$f(x) =$ $3 x^{2} + 10$
und
$g(x) =$ $2 x^{2} - 5 x + 4$ .

Lösung einblenden

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

3 x^{2} + 10

=

2 x^{2} - 5 x + 4

|

- 2 x^{2}

+ 5 x

- 4

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 3$ ) = $2 \cdot {(- 3)}^{2} - 5 \cdot (- 3) + 4$ = $2 \cdot 9 + 15 + 4$ = $18 + 15 + 4$ = $37$

g( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2) + 4$ = $2 \cdot 4 + 10 + 4$ = $8 + 10 + 4$ = $22$

Die Schnittpunkte sind also S₁( $- 3$ | $37$ ) und S₂( $- 2$ | $22$ ).

Schnittpunkte mit MNF (Graph)

Beispiel:

Gezeichnet ist die Gerade der Funktion f.

Nicht abgebildet ist der Graph von g mit $g(x) =$ $- x^{2} - \frac{29}{3} x - 23$ .

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von f und g.

Lösung einblenden

Als erstes müssen wir den Funktionsterm des eingezeichneten Graphen von f bestimmen:

Man erkennt sofort, dass es sich um eine Gerade handelt, also gilt y = m⋅x + c .

Den y-Achsenabschnitt c = $2$ kann man dem Schaubild leicht entnehmen.

Etwas schwieriger ist das Ablesen der Steigung m. Wenn man sich jedoch ein Steigungsdreick eingezeichnet denkt und 3 Einheit(en) nach rechts geht, so muss man 1 nach oben gehen. Die Steigung ist also m= $\frac{1}{3}$ .

Der Term der abgebildeten Geraden ist also y= $\frac{1}{3} x + 2$ oder $f(x) =$ $\frac{1}{3} x + 2$ .

Um die Schnittpunkte zu berechnen muss man einfach die beiden Funktionen gleichsetzen, also

f(x)=g(x)

$\frac{1}{3} x + 2$	=	$- x^{2} - \frac{29}{3} x - 23$	\|⋅ 3
$3 (\frac{1}{3} x + 2)$	=	$3 (- x^{2} - \frac{29}{3} x - 23)$
$x + 6$	=	$- 3 x^{2} - 29 x - 69$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 29 x$ $+ 69$

3 x^{2} + 30 x + 75

= 0 |:3

$x^{2} + 10 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

L={ $- 5$ }

$- 5$ ist 2-fache Lösung!

Um die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, setzt man die x-Werte in eine der beiden (oder zur Probe in beide) Funktionen ein:

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{2} - \frac{29}{3} \cdot (- 5) - 23$ = $- 25 + \frac{145}{3} - 23$ = $\frac{1}{3}$

Der einzige Schnittpunkt ist also S( $- 5$ | $\frac{1}{3}$ ).

Aufgabenbeispiele von Lösungsformel

Mitternachtsformel (alles links)

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Nullprodukt

Nullstellen mit MNF

Schnittpunkte mit MNF

Schnittpunkte mit MNF (Graph)