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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 43 x + 30$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} + 43 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{43^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 30}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 849 - 480}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 43 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{- 43 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 43+37}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 43 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 43-37}{8}$ = $\frac{- 80}{8}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 43 x + 30$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{43}{4} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{43}{8})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{1849}{64}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{1849}{64}$ $-$ $\frac{480}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $- \frac{43}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $- \frac{43}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{80}{8}$ = -10

x₂ = $- \frac{43}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

L={ $- 10$ ; $- 0,75$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + x - 6$ = 0

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L = { $- 3$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x^{2} + 25 - 20 x$ = 0

Lösung einblenden

$4 x^{2} - 20 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 25}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{8}$ = $\frac{5}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 20 x + 25$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (\frac{25}{4})$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{25}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{5}{2}$ ± 0 = $\frac{5}{2}$

L={ $\frac{5}{2}$ }

$\frac{5}{2}$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$6 x + x^{2}$ = $16$

Lösung einblenden

$6 x + x^{2}$ = $16$ | - ( $16$ )

$6 x + x^{2} - 16$ = 0

sortieren

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L = { $- 8$ ; $2$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13+3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{13-3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

L={ $5$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 8 x^{2} + 7 x + 6$ = $(- 9 x - 4) (x + 6) + 68 x + 40$

Lösung einblenden

$- 8 x^{2} + 7 x + 6$	=	$(- 9 x - 4) (x + 6) + 68 x + 40$
$- 8 x^{2} + 7 x + 6$	=	$- 9 x^{2} - 58 x - 24 + 68 x + 40$
$- 8 x^{2} + 7 x + 6$	=	$- 9 x^{2} + 10 x + 16$	\| $+ 9 x^{2}$ $- 10 x$ $- 16$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $- 2$ ; $5$ }

Nullprodukt (mit 2 Linearfaktoren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$9 (x + 5) \cdot (x + 2)$ = 0

Lösung einblenden

9 (x + 5) (x + 2)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₁	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

L={ $- 5$ ; $- 2$ }

Aufgabenbeispiele von Lösungsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullprodukt (mit 2 Linearfaktoren)