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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 5$ = $4$ $-$ $5$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

L={}

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 15 x + 50$ = 0

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

L = { $5$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 19 x$ = $- 42$

Lösung einblenden

2 x^{2} + 19 x

=

- 42

|

+ 42

$2 x^{2} + 19 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 42}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 336}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{25}}{4}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 19+5}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{25}}{4}$ = $\frac{- 19-5}{4}$ = $\frac{- 24}{4}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 19 x + 42$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - 21$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $21$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{336}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{24}{4}$ = -6

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 6$ ; $- 3,5$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 15 x + 56$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$- 15 x + 56$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$- 15 x + 56 + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} - 15 x + 56$ = 0

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

L = { $7$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{52}{5} x + 4$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{52}{5} x + 4$	=	0	\|⋅ 5
$5 (x^{2} - \frac{52}{5} x + 4)$	=	0

$5 x^{2} - 52 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 52 \pm \sqrt{{(- 52)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 20}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{+ 52 \pm \sqrt{2 704 - 400}}{10}$

x_1,2 = $\frac{+ 52 \pm \sqrt{2 304}}{10}$

x₁ = $\frac{52 + \sqrt{2 304}}{10}$ = $\frac{52+48}{10}$ = $\frac{100}{10}$ = $10$

x₂ = $\frac{52 - \sqrt{2 304}}{10}$ = $\frac{52-48}{10}$ = $\frac{4}{10}$ = $0,4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} - 52 x + 20$ = 0 |: $5$

$x^{2} - \frac{52}{5} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{26}{5})}^{2} - 4$ = $\frac{676}{25}$ $-$ $4$ = $\frac{676}{25}$ $-$ $\frac{100}{25}$ = $\frac{576}{25}$

x_1,2 = $\frac{26}{5}$ ± $\sqrt{\frac{576}{25}}$

x₁ = $\frac{26}{5}$ - $\frac{24}{5}$ = $\frac{2}{5}$ = 0.4

x₂ = $\frac{26}{5}$ + $\frac{24}{5}$ = $\frac{50}{5}$ = 10

L={ $0,4$ ; $10$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x^{2} - 6 x + 4$ = $(6 x + 8) \cdot (x - 2) + 3 x + 16$

Lösung einblenden

$7 x^{2} - 6 x + 4$	=	$(6 x + 8) \cdot (x - 2) + 3 x + 16$
$7 x^{2} - 6 x + 4$	=	$6 x^{2} - 4 x - 16 + 3 x + 16$
$7 x^{2} - 6 x + 4$	=	$6 x^{2} - x$	\| $- 6 x^{2}$ $+ x$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5+3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{5-3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

L={ $1$ ; $4$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$8 - 9 x$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$8 - 9 x$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$8 - 9 x + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

L = { $1$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von Lösungsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)