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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} - 12 x + 16$ = 0

2 x^{2} - 12 x + 16

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 4 x - 32$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 4 x - 32$ = 0

D = $2^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 2$ - $6$ = -8

x₂ = $- 2$ + $6$ = 4

L = { $- 8$ ; $4$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$16 x + 5 x^{2} - 45$ = 0

Lösung einblenden

$5 x^{2} + 16 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 900}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{1 156}}{10}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{- 16+34}{10}$ = $\frac{18}{10}$ = $1,8$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{1 156}}{10}$ = $\frac{- 16-34}{10}$ = $\frac{- 50}{10}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 16 x - 45$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{16}{5} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{5})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{64}{25}$ $+$ $9$ = $\frac{64}{25}$ $+$ $\frac{225}{25}$ = $\frac{289}{25}$

x_1,2 = $- \frac{8}{5}$ ± $\sqrt{\frac{289}{25}}$

x₁ = $- \frac{8}{5}$ - $\frac{17}{5}$ = $- \frac{25}{5}$ = -5

x₂ = $- \frac{8}{5}$ + $\frac{17}{5}$ = $\frac{9}{5}$ = 1.8

L={ $- 5$ ; $1,8$ }

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$7 x + x^{2}$ = $30$

Lösung einblenden

$7 x + x^{2}$ = $30$ | - ( $30$ )

$7 x + x^{2} - 30$ = 0

sortieren

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L = { $- 10$ ; $3$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$	=	0	\|⋅ 4
$4 (x^{2} - 3 x + \frac{9}{4})$	=	0

$4 x^{2} - 12 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{8}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{8}$ = $\frac{3}{2}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 12 x + 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (\frac{9}{4})$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{0}{4}$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $\frac{3}{2}$ ± 0 = $\frac{3}{2}$

L={ $\frac{3}{2}$ }

$\frac{3}{2}$ ist 2-fache Lösung!

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} + 6 x - 7$ = $(- 3 x - 9) (x - 1) + 11 x - 16$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} + 6 x - 7$	=	$(- 3 x - 9) (x - 1) + 11 x - 16$
$- 2 x^{2} + 6 x - 7$	=	$- 3 x^{2} - 6 x + 9 + 11 x - 16$
$- 2 x^{2} + 6 x - 7$	=	$- 3 x^{2} + 5 x - 7$	\| $+ 7$
$- 2 x^{2} + 6 x$	=	$- 3 x^{2} + 5 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 5 x)$
$- 2 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x - 5 x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

L={ $- 1$ ; 0}

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

sortieren

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

L = { $4$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von Lösungsformel

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)