$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$
= $\sqrt{\frac{45}{5}}$
= $\sqrt{9}$
= 3

$\sqrt{\frac{1}{12}}·\sqrt{3}$
= $\sqrt{\frac{1}{12}·3}$
= $\sqrt{\frac{1}{4}·1}$
= $\sqrt{\frac{1}{4}}$
= $\frac{1}{2}$

Wir können die $\sqrt{x}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-6\sqrt{x}+4\sqrt{x}$

= $\left(-6+4\right)·\sqrt{x}$

= $-2\sqrt{x}$

$\left(\sqrt{10}+\sqrt{160}\right)·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}+\sqrt{160}·\sqrt{10}$
= $10+\sqrt{10·16}·\sqrt{10}$
= $10+\sqrt{16}·\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $10+4·10$
= $10+40$
= $50$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{2}+\sqrt{32}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·\sqrt{2}·\sqrt{32}+{\left(\sqrt{32}\right)}^2$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2·16}+32$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{16}+32$
= $2+2·2·4+32$
= $2+16+32$
= $50$

$\sqrt{20x}·\sqrt{5x}$
= $\sqrt{20}·\sqrt{x}·\sqrt{5}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{20}·\sqrt{5}·\sqrt{x}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{5·4}·\sqrt{5}·x$
= $\sqrt{4}·\sqrt{5}·\sqrt{5}·x$
= $2·5·x$
= $10x$

$\sqrt{0+16+9}$
= $\sqrt{25}$
= $5$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{0}$ + $\sqrt{16}$ + $\sqrt{9}$ = 0 + $4$ + $3$ = 7 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $5$.