$\frac{\sqrt{360}}{\sqrt{10}}$
= $\sqrt{\frac{360}{10}}$
= $\sqrt{36}$
= 6

$\sqrt{3}·\sqrt{\frac{1}{108}}$
= $\sqrt{3·\frac{1}{108}}$
= $\sqrt{1·\frac{1}{36}}$
= $\sqrt{\frac{1}{36}}$
= $\frac{1}{6}$

Wir können die $\sqrt{42}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-8\sqrt{42}-\sqrt{42}$

= $\left(-8-1\right)·\sqrt{42}$

= $-9\sqrt{42}$

$\left(\sqrt{3}+\sqrt{48}\right)·\sqrt{3}$
= $\sqrt{3}·\sqrt{3}+\sqrt{48}·\sqrt{3}$
= $3+\sqrt{3·16}·\sqrt{3}$
= $3+\sqrt{16}·\sqrt{3}·\sqrt{3}$
= $3+4·3$
= $3+12$
= $15$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{2}+\sqrt{32}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·\sqrt{2}·\sqrt{32}+{\left(\sqrt{32}\right)}^2$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2·16}+32$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{16}+32$
= $2+2·2·4+32$
= $2+16+32$
= $50$

$\frac{\sqrt{75x}}{\sqrt{3x}}$
= $\frac{\sqrt{75}·\sqrt{x}}{\sqrt{3}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{75}{3}}$
= $\sqrt{25}$
= $5$

$\sqrt{1+64+16}$
= $\sqrt{81}$
= $9$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{1}$ + $\sqrt{64}$ + $\sqrt{16}$ = $1$ + $8$ + $4$ = 13 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $9$.