$\sqrt{10}·\sqrt{250}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·25}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{25}$
= $10·5$
= $50$

$\sqrt{\frac{1}{3}}·\sqrt{\frac{16}{3}}$
= $\sqrt{\frac{1}{3}·\frac{16}{3}}$
= $\sqrt{\frac{16}{9}}$
= $\frac{4}{3}$

Wir können die $\sqrt{x}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-7\sqrt{x}+\sqrt{x}$

= $\left(-7+1\right)·\sqrt{x}$

= $-6\sqrt{x}$

$\sqrt{2}·\left(\sqrt{32}+\sqrt{2}\right)$
= $\sqrt{2}·\sqrt{32}+\sqrt{2}·\sqrt{2}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2·16}+2$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{16}+2$
= $2·4+2$
= $8+2$
= $10$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{3}+\sqrt{12}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{3}\right)}^2+2·\sqrt{3}·\sqrt{12}+{\left(\sqrt{12}\right)}^2$
= $3+2·\sqrt{3}·\sqrt{3·4}+12$
= $3+2·\sqrt{3}·\sqrt{3}·\sqrt{4}+12$
= $3+2·3·2+12$
= $3+12+12$
= $27$

$\sqrt{81x}-4\sqrt{x}$
= $\sqrt{81}·\sqrt{x}-4\sqrt{x}$
= $9\sqrt{x}-4\sqrt{x}$
= $5\sqrt{x}$

Wir können die $\sqrt{40}$ wie Einheiten behandeln und einfach verrechnen.

$2\sqrt{40}-8\sqrt{40}$
= $-6\sqrt{40}$