$\sqrt{160}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10·16}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{16}·\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $4·10$
= $40$

$\frac{\sqrt{\frac{1}{30}}}{\sqrt{\frac{2}{15}}}$
= $\sqrt{\frac{\frac{1}{30}}{\frac{2}{15}}}$
= $\sqrt{\frac{1}{30}·\frac{15}{2}}$
= $\sqrt{\frac{1}{2}·\frac{1}{2}}$
= $\sqrt{\frac{1}{4}}$
= $\frac{1}{2}$

Wir können die $\sqrt{x}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$3\sqrt{x}-5\sqrt{x}$

= $\left(3-5\right)·\sqrt{x}$

= $-2\sqrt{x}$

$\left(\sqrt{10}+\sqrt{250}\right)·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}+\sqrt{250}·\sqrt{10}$
= $10+\sqrt{10·25}·\sqrt{10}$
= $10+\sqrt{25}·\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $10+5·10$
= $10+50$
= $60$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt{160}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2-2·\sqrt{10}·\sqrt{160}+{\left(\sqrt{160}\right)}^2$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10·16}+160$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{16}+160$
= $10-2·10·4+160$
= $10-80+160$
= $90$

$\frac{\sqrt{72x}}{\sqrt{2x}}$
= $\frac{\sqrt{72}·\sqrt{x}}{\sqrt{2}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$
= $\sqrt{\frac{72}{2}}$
= $\sqrt{36}$
= $6$

Wir können die $\sqrt{33}$ wie Einheiten behandeln und einfach verrechnen.

$5\sqrt{33}+3\sqrt{33}$
= $8\sqrt{33}$