$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{27}{3}}$
= $\sqrt{9}$
= 3

$\sqrt{\frac{1}{80}}·\sqrt{5}$
= $\sqrt{\frac{1}{80}·5}$
= $\sqrt{\frac{1}{16}·1}$
= $\sqrt{\frac{1}{16}}$
= $\frac{1}{4}$

Wir können die $\sqrt{31}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$\sqrt{31}+3\sqrt{31}$

= $\left(1+3\right)·\sqrt{31}$

= $4\sqrt{31}$

$\sqrt{2}·\left(\sqrt{8}+\sqrt{2}\right)$
= $\sqrt{2}·\sqrt{8}+\sqrt{2}·\sqrt{2}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2·4}+2$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{4}+2$
= $2·2+2$
= $4+2$
= $6$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{2}-\sqrt{50}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2-2·\sqrt{2}·\sqrt{50}+{\left(\sqrt{50}\right)}^2$
= $2-2·\sqrt{2}·\sqrt{2·25}+50$
= $2-2·\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{25}+50$
= $2-2·2·5+50$
= $2-20+50$
= $32$

$\sqrt{3x}·\sqrt{75x}$
= $\sqrt{3}·\sqrt{x}·\sqrt{75}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{3}·\sqrt{75}·\sqrt{x}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{3}·\sqrt{3·25}·x$
= $\sqrt{3}·\sqrt{3}·\sqrt{25}·x$
= $3·5·x$
= $15x$

$\sqrt{16+16+4}$
= $\sqrt{36}$
= $6$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{16}$ + $\sqrt{4}$ = $4$ + $4$ + $2$ = 10 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $6$.