$\sqrt{5}·\sqrt{20}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5·4}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{4}$
= $5·2$
= $10$

$\sqrt{\frac{25}{3}}·\sqrt{3}$
= $\sqrt{\frac{25}{3}·3}$
= $\sqrt{25·1}$
= $\sqrt{25}$
= $5$

Wir können die $\sqrt{x}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-6\sqrt{x}-\sqrt{x}$

= $\left(-6-1\right)·\sqrt{x}$

= $-7\sqrt{x}$

$\left(\sqrt{5}+\sqrt{180}\right)·\sqrt{5}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}+\sqrt{180}·\sqrt{5}$
= $5+\sqrt{5·36}·\sqrt{5}$
= $5+\sqrt{36}·\sqrt{5}·\sqrt{5}$
= $5+6·5$
= $5+30$
= $35$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt{90}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2-2·\sqrt{10}·\sqrt{90}+{\left(\sqrt{90}\right)}^2$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10·9}+90$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{9}+90$
= $10-2·10·3+90$
= $10-60+90$
= $40$

$2\sqrt{x}+\sqrt{81x}$
= $2\sqrt{x}+\sqrt{81}·\sqrt{x}$
= $2\sqrt{x}+9\sqrt{x}$
= $11\sqrt{x}$

$\sqrt{1+4+4}$
= $\sqrt{9}$
= $3$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{1}$ + $\sqrt{4}$ + $\sqrt{4}$ = $1$ + $2$ + $2$ = 5 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $3$.