$\sqrt{10}·\sqrt{90}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·9}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{9}$
= $10·3$
= $30$

$\sqrt{\frac{1}{45}}·\sqrt{5}$
= $\sqrt{\frac{1}{45}·5}$
= $\sqrt{\frac{1}{9}·1}$
= $\sqrt{\frac{1}{9}}$
= $\frac{1}{3}$

Wir können die $\sqrt{32}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-3\sqrt{32}+2\sqrt{32}$

= $\left(-3+2\right)·\sqrt{32}$

= $-\sqrt{32}$

$\sqrt{10}·\left(\sqrt{250}+\sqrt{10}\right)$
= $\sqrt{10}·\sqrt{250}+\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·25}+10$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{25}+10$
= $10·5+10$
= $50+10$
= $60$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{10}+\sqrt{160}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2+2·\sqrt{10}·\sqrt{160}+{\left(\sqrt{160}\right)}^2$
= $10+2·\sqrt{10}·\sqrt{10·16}+160$
= $10+2·\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{16}+160$
= $10+2·10·4+160$
= $10+80+160$
= $250$

$\frac{\sqrt{12x}}{\sqrt{3x}}$
= $\frac{\sqrt{12}·\sqrt{x}}{\sqrt{3}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{12}{3}}$
= $\sqrt{4}$
= $2$

$\sqrt{9+36+36}$
= $\sqrt{81}$
= $9$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{9}$ + $\sqrt{36}$ + $\sqrt{36}$ = $3$ + $6$ + $6$ = 15 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $9$.