$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$
= $\sqrt{\frac{18}{2}}$
= $\sqrt{9}$
= 3

$\sqrt{5}·\sqrt{\frac{1}{20}}$
= $\sqrt{5·\frac{1}{20}}$
= $\sqrt{1·\frac{1}{4}}$
= $\sqrt{\frac{1}{4}}$
= $\frac{1}{2}$

Wir können die $\sqrt{41}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$5\sqrt{41}-4\sqrt{41}$

= $\left(5-4\right)·\sqrt{41}$

= $\sqrt{41}$

$\left(\sqrt{90}+\sqrt{10}\right)·\sqrt{10}$
= $\sqrt{90}·\sqrt{10}+\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10·9}·\sqrt{10}+10$
= $\sqrt{9}·\sqrt{10}·\sqrt{10}+10$
= $3·10+10$
= $30+10$
= $40$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{2}+\sqrt{50}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·\sqrt{2}·\sqrt{50}+{\left(\sqrt{50}\right)}^2$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2·25}+50$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{25}+50$
= $2+2·2·5+50$
= $2+20+50$
= $72$

$\sqrt{18x}·\sqrt{2x}$
= $\sqrt{18}·\sqrt{x}·\sqrt{2}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{18}·\sqrt{2}·\sqrt{x}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{2·9}·\sqrt{2}·x$
= $\sqrt{9}·\sqrt{2}·\sqrt{2}·x$
= $3·2·x$
= $6x$

$\sqrt{16+16+49}$
= $\sqrt{81}$
= $9$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{16}$ + $\sqrt{49}$ = $4$ + $4$ + $7$ = 15 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $9$.