$\sqrt{5}·\sqrt{80}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5·16}$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{16}$
= $5·4$
= $20$

$\sqrt{2}·\sqrt{\frac{1}{50}}$
= $\sqrt{2·\frac{1}{50}}$
= $\sqrt{1·\frac{1}{25}}$
= $\sqrt{\frac{1}{25}}$
= $\frac{1}{5}$

Wir können die $\sqrt{x}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$2\sqrt{x}+3\sqrt{x}$

= $\left(2+3\right)·\sqrt{x}$

= $5\sqrt{x}$

$\sqrt{10}·\left(\sqrt{250}+\sqrt{10}\right)$
= $\sqrt{10}·\sqrt{250}+\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·25}+10$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{25}+10$
= $10·5+10$
= $50+10$
= $60$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt{40}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2-2·\sqrt{10}·\sqrt{40}+{\left(\sqrt{40}\right)}^2$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10·4}+40$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{4}+40$
= $10-2·10·2+40$
= $10-40+40$
= $10$

$\frac{\sqrt{27x}}{\sqrt{3x}}$
= $\frac{\sqrt{27}·\sqrt{x}}{\sqrt{3}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{27}{3}}$
= $\sqrt{9}$
= $3$

Wir können die $\sqrt{23}$ wie Einheiten behandeln und einfach verrechnen.

$-14\sqrt{23}-7\sqrt{23}$
= $-21\sqrt{23}$