$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}}$
= $\sqrt{\frac{27}{3}}$
= $\sqrt{9}$
= 3

$\sqrt{3}·\sqrt{12}$
= $\sqrt{3·12}$
= $\sqrt{36}$
= $6$

Wir können die $\sqrt{x}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-2\sqrt{x}+3\sqrt{x}$

= $\left(-2+3\right)·\sqrt{x}$

= $\sqrt{x}$

$\sqrt{5}·\left(\sqrt{5}+\sqrt{125}\right)$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}+\sqrt{5}·\sqrt{125}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5·25}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{25}$
= $5+5·5$
= $5+25$
= $30$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{2}+\sqrt{50}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·\sqrt{2}·\sqrt{50}+{\left(\sqrt{50}\right)}^2$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2·25}+50$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{25}+50$
= $2+2·2·5+50$
= $2+20+50$
= $72$

$\sqrt{2x}·\sqrt{72x}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{x}·\sqrt{72}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{72}·\sqrt{x}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2·36}·x$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{36}·x$
= $2·6·x$
= $12x$

$\sqrt{16+16+4}$
= $\sqrt{36}$
= $6$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{16}$ + $\sqrt{4}$ = $4$ + $4$ + $2$ = 10 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $6$.