$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$
= $\sqrt{\frac{50}{2}}$
= $\sqrt{25}$
= 5

$\frac{\sqrt{\frac{1}{10}}}{\sqrt{\frac{5}{2}}}$
= $\sqrt{\frac{\frac{1}{10}}{\frac{5}{2}}}$
= $\sqrt{\frac{1}{10}·\frac{2}{5}}$
= $\sqrt{\frac{1}{5}·\frac{1}{5}}$
= $\sqrt{\frac{1}{25}}$
= $\frac{1}{5}$

Wir können die $\sqrt{x}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$5\sqrt{x}-5\sqrt{x}$

= $\left(5-5\right)·\sqrt{x}$

= 0

$\sqrt{2}·\left(\sqrt{2}+\sqrt{18}\right)$
= $\sqrt{2}·\sqrt{2}+\sqrt{2}·\sqrt{18}$
= $2+\sqrt{2}·\sqrt{2·9}$
= $2+\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{9}$
= $2+2·3$
= $2+6$
= $8$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{5}-\sqrt{180}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{5}\right)}^2-2·\sqrt{5}·\sqrt{180}+{\left(\sqrt{180}\right)}^2$
= $5-2·\sqrt{5}·\sqrt{5·36}+180$
= $5-2·\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{36}+180$
= $5-2·5·6+180$
= $5-60+180$
= $125$

$5\sqrt{x}+\sqrt{25x}$
= $5\sqrt{x}+\sqrt{25}·\sqrt{x}$
= $5\sqrt{x}+5\sqrt{x}$
= $10\sqrt{x}$

$\sqrt{64+64+16}$
= $\sqrt{144}$
= $12$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{64}$ + $\sqrt{64}$ + $\sqrt{16}$ = $8$ + $8$ + $4$ = 20 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $12$.