$\sqrt{250}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10·25}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{25}·\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $5·10$
= $50$

$\sqrt{\frac{1}{27}}·\sqrt{3}$
= $\sqrt{\frac{1}{27}·3}$
= $\sqrt{\frac{1}{9}·1}$
= $\sqrt{\frac{1}{9}}$
= $\frac{1}{3}$

Wir können die $\sqrt{35}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$6\sqrt{35}+3\sqrt{35}$

= $\left(6+3\right)·\sqrt{35}$

= $9\sqrt{35}$

$\sqrt{5}·\left(\sqrt{5}+\sqrt{180}\right)$
= $\sqrt{5}·\sqrt{5}+\sqrt{5}·\sqrt{180}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5·36}$
= $5+\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{36}$
= $5+5·6$
= $5+30$
= $35$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{5}-\sqrt{125}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{5}\right)}^2-2·\sqrt{5}·\sqrt{125}+{\left(\sqrt{125}\right)}^2$
= $5-2·\sqrt{5}·\sqrt{5·25}+125$
= $5-2·\sqrt{5}·\sqrt{5}·\sqrt{25}+125$
= $5-2·5·5+125$
= $5-50+125$
= $80$

$\frac{\sqrt{180x}}{\sqrt{5x}}$
= $\frac{\sqrt{180}·\sqrt{x}}{\sqrt{5}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{180}}{\sqrt{5}}$
= $\sqrt{\frac{180}{5}}$
= $\sqrt{36}$
= $6$

$\sqrt{64+0+36}$
= $\sqrt{100}$
= $10$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{64}$ + $\sqrt{0}$ + $\sqrt{36}$ = $8$ + 0 + $6$ = 14 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $10$.