$\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{10}}$
= $\sqrt{\frac{40}{10}}$
= $\sqrt{4}$
= 2

$\sqrt{\frac{1}{20}}·\sqrt{45}$
= $\sqrt{\frac{1}{20}·45}$
= $\sqrt{\frac{1}{4}·9}$
= $\sqrt{\frac{9}{4}}$
= $\frac{3}{2}$

Wir können die $\sqrt{44}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$7\sqrt{44}+3\sqrt{44}$

= $\left(7+3\right)·\sqrt{44}$

= $10\sqrt{44}$

$\left(\sqrt{3}+\sqrt{12}\right)·\sqrt{3}$
= $\sqrt{3}·\sqrt{3}+\sqrt{12}·\sqrt{3}$
= $3+\sqrt{3·4}·\sqrt{3}$
= $3+\sqrt{4}·\sqrt{3}·\sqrt{3}$
= $3+2·3$
= $3+6$
= $9$

Nach der 1. binomischen Formel ((a+b)²=a²+2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{2}+\sqrt{18}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{2}\right)}^2+2·\sqrt{2}·\sqrt{18}+{\left(\sqrt{18}\right)}^2$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2·9}+18$
= $2+2·\sqrt{2}·\sqrt{2}·\sqrt{9}+18$
= $2+2·2·3+18$
= $2+12+18$
= $32$

$\sqrt{10x}·\sqrt{360x}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{x}·\sqrt{360}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{360}·\sqrt{x}·\sqrt{x}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·36}·x$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{36}·x$
= $10·6·x$
= $60x$

$\sqrt{16+1+64}$
= $\sqrt{81}$
= $9$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{1}$ + $\sqrt{64}$ = $4$ + $1$ + $8$ = 13 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $9$.