$\sqrt{160}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10·16}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{16}·\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $4·10$
= $40$

$\sqrt{\frac{1}{90}}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{\frac{1}{90}·10}$
= $\sqrt{\frac{1}{9}·1}$
= $\sqrt{\frac{1}{9}}$
= $\frac{1}{3}$

Wir können die $\sqrt{x}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-9\sqrt{x}-2\sqrt{x}$

= $\left(-9-2\right)·\sqrt{x}$

= $-11\sqrt{x}$

$\sqrt{10}·\left(\sqrt{90}+\sqrt{10}\right)$
= $\sqrt{10}·\sqrt{90}+\sqrt{10}·\sqrt{10}$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10·9}+10$
= $\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{9}+10$
= $10·3+10$
= $30+10$
= $40$

Nach der 3. binomischen Formel ((a+b)(a-b)=a²-b²) gilt:

$\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)·\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$ = ${\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2$
= $3-2$
= $1$

$\frac{\sqrt{32x}}{\sqrt{2x}}$
= $\frac{\sqrt{32}·\sqrt{x}}{\sqrt{2}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}}$
= $\sqrt{\frac{32}{2}}$
= $\sqrt{16}$
= $4$

Wir können die $\sqrt{12}$ wie Einheiten behandeln und einfach verrechnen.

$-7\sqrt{12}+3\sqrt{12}$
= $-4\sqrt{12}$