$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$
= $\sqrt{\frac{45}{5}}$
= $\sqrt{9}$
= 3

$\sqrt{\frac{9}{5}}·\sqrt{5}$
= $\sqrt{\frac{9}{5}·5}$
= $\sqrt{9·1}$
= $\sqrt{9}$
= $3$

Wir können die $\sqrt{19}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-12\sqrt{19}-4\sqrt{19}$

= $\left(-12-4\right)·\sqrt{19}$

= $-16\sqrt{19}$

$\left(\sqrt{8}+\sqrt{2}\right)·\sqrt{2}$
= $\sqrt{8}·\sqrt{2}+\sqrt{2}·\sqrt{2}$
= $\sqrt{2·4}·\sqrt{2}+2$
= $\sqrt{4}·\sqrt{2}·\sqrt{2}+2$
= $2·2+2$
= $4+2$
= $6$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{10}-\sqrt{40}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{10}\right)}^2-2·\sqrt{10}·\sqrt{40}+{\left(\sqrt{40}\right)}^2$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10·4}+40$
= $10-2·\sqrt{10}·\sqrt{10}·\sqrt{4}+40$
= $10-2·10·2+40$
= $10-40+40$
= $10$

$\frac{\sqrt{250x}}{\sqrt{10x}}$
= $\frac{\sqrt{250}·\sqrt{x}}{\sqrt{10}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{250}}{\sqrt{10}}$
= $\sqrt{\frac{250}{10}}$
= $\sqrt{25}$
= $5$

$\sqrt{16+16+4}$
= $\sqrt{36}$
= $6$

Man kann hier gut erkennen, dass man aus Summen nicht die Wurzeln aus den Summanden ziehen darf,
denn $\sqrt{16}$ + $\sqrt{16}$ + $\sqrt{4}$ = $4$ + $4$ + $2$ = 10 ist ja deutlich mehr als das richtige Ergebnis $6$.