$\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{10}}$
= $\sqrt{\frac{90}{10}}$
= $\sqrt{9}$
= 3

$\sqrt{6}·\sqrt{\frac{3}{2}}$
= $\sqrt{6·\frac{3}{2}}$
= $\sqrt{3·3}$
= $\sqrt{9}$
= $3$

Wir können die $\sqrt{21}$ wie Einheiten behandeln und ausklammern, bzw. einfach verrechnen.

$-6\sqrt{21}+4\sqrt{21}$

= $\left(-6+4\right)·\sqrt{21}$

= $-2\sqrt{21}$

$\left(\sqrt{3}+\sqrt{75}\right)·\sqrt{3}$
= $\sqrt{3}·\sqrt{3}+\sqrt{75}·\sqrt{3}$
= $3+\sqrt{3·25}·\sqrt{3}$
= $3+\sqrt{25}·\sqrt{3}·\sqrt{3}$
= $3+5·3$
= $3+15$
= $18$

Nach der 2. binomischen Formel ((a-b)²=a²-2ab+b²) gilt:

${\left(\sqrt{3}-\sqrt{48}\right)}^2$ = ${\left(\sqrt{3}\right)}^2-2·\sqrt{3}·\sqrt{48}+{\left(\sqrt{48}\right)}^2$
= $3-2·\sqrt{3}·\sqrt{3·16}+48$
= $3-2·\sqrt{3}·\sqrt{3}·\sqrt{16}+48$
= $3-2·3·4+48$
= $3-24+48$
= $27$

$\frac{\sqrt{40x}}{\sqrt{10x}}$
= $\frac{\sqrt{40}·\sqrt{x}}{\sqrt{10}·\sqrt{x}}$
= $\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{10}}$
= $\sqrt{\frac{40}{10}}$
= $\sqrt{4}$
= $2$

Wir können die $\sqrt{38}$ wie Einheiten behandeln und einfach verrechnen.

$-9\sqrt{38}-6\sqrt{38}$
= $-15\sqrt{38}$