Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9}{x - 2}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$9$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$9$	=	$3 x^{2} - 6 x$

9

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

- 3 x^{2} + 6 x + 9

= 0 |:3

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 5$ = $\frac{- 2 x - 4}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 2 x - 4}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 2 x - 4}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 15 x$	=	$- 2 x - 4$
$3 x^{2} - 15 x$	=	$- 2 x - 4$

3 x^{2} - 15 x

=

- 2 x - 4

|

+ 2 x

+ 4

$3 x^{2} - 13 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{13+11}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{13-11}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 13 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 1$ = $- \frac{14 x}{3 x - 4} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{4}{3}$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- 1$	=	$- \frac{14 x}{3 x - 4} - x$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- 1 \cdot (3 x - 4)$	=	$- \frac{14 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - x \cdot (3 x - 4)$
$- (3 x - 4)$	=	$- 14 x - x \cdot (3 x - 4)$
$- 3 x + 4$	=	$- 14 x - x \cdot (3 x - 4)$
$- 3 x + 4$	=	$- 3 x^{2} - 10 x$

- 3 x + 4

=

- 3 x^{2} - 10 x

|

+ 3 x^{2}

+ 10 x

$3 x^{2} + 7 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 7+1}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 7-1}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{8}{6}$ = -1.3333333333333

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6}$ = $- \frac{31}{x - 3} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{2 x - 6}$	=	$- \frac{31}{x - 3} + 3 x$
$\frac{x}{2 (x - 3)}$	=	$- \frac{31}{x - 3} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)}$	=	$- \frac{31}{x - 3} + 3 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3))$	=	$\frac{- 31}{x - 3} \cdot (2 (x - 3)) + 3 x \cdot (2 (x - 3))$
$x$	=	$- 62 + 6 x \cdot (x - 3)$
$x$	=	$6 x^{2} - 18 x - 62$

x

=

6 x^{2} - 18 x - 62

|

- 6 x^{2}

+ 18 x

+ 62

$- 6 x^{2} + 19 x + 62$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 62}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 1 488}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1 849}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1 849}}{- 12}$ = $\frac{- 19+43}{- 12}$ = $\frac{24}{- 12}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1 849}}{- 12}$ = $\frac{- 19-43}{- 12}$ = $\frac{- 62}{- 12}$ = $\frac{31}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 19 x + 62$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{19}{6} x - \frac{31}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{12})}^{2} - (- \frac{31}{3})$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{31}{3}$ = $\frac{361}{144}$ $+$ $\frac{1488}{144}$ = $\frac{1849}{144}$

x_1,2 = $\frac{19}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1849}{144}}$

x₁ = $\frac{19}{12}$ - $\frac{43}{12}$ = $- \frac{24}{12}$ = -2

x₂ = $\frac{19}{12}$ + $\frac{43}{12}$ = $\frac{62}{12}$ = 5.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{31}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x}$ = $- 1 + \frac{21}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$- 1 + \frac{21}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{4}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{21}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$4 x$	=	$- x^{2} + 21$

4 x

=

- x^{2} + 21

|

+ x^{2}

- 21

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{24}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{24}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{24}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{24}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$24 + a x$	=	$- x^{2}$
$24 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):