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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{2 x}{x + 4}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{- 2 x}{x + 4}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{- 2 x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$2 x \cdot (x + 4)$
$- \frac{2 x}{1}$	=	$2 x \cdot (x + 4)$
$- 2 x$	=	$2 x \cdot (x + 4)$
$- 2 x$	=	$2 x^{2} + 8 x$

$- 2 x$	=	$2 x^{2} + 8 x$	\| $- (2 x^{2} + 8 x)$
$- 2 x^{2} - 2 x - 8 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 2 x \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{16 x - 8}{x - 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{16 x - 8}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{16 x - 8}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$16 x - 8$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$16 x - 8$	=	$3 x^{2} - 9 x$

16 x - 8

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} + 25 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{529}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 25+23}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{529}}{- 6}$ = $\frac{- 25-23}{- 6}$ = $\frac{- 48}{- 6}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 25 x - 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{25}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{6})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{625}{36}$ $-$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{25}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{25}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{25}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{48}{6}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $8$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 28}{x + 1} + x + 4$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{28}{x + 1} + x + 4

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{28}{x + 1} + x + 4$	=	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{28}{x + 1} \cdot (x + 1) + x \cdot (x + 1) + 4 \cdot (x + 1)$	=
$- 28 + x \cdot (x + 1) + 4 x + 4$	=
$- 28 + (x^{2} + x) + 4 x + 4$	=
$x^{2} + 5 x - 24$	=

$x^{2} + 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5+11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 5-11}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 20} + \frac{12,4}{x - 4} - x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{5 x - 20} + \frac{12,4}{x - 4} - x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{12,4}{x - 4} - x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{12,4}{x - 4} - x$	=	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) + \frac{12,4}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) - x \cdot (5 (x - 4))$	=
$x + 62 - 5 x \cdot (x - 4)$	=
$x + 62 + (- 5 x^{2} + 20 x)$	=
$- 5 x^{2} + 21 x + 62$	=

$- 5 x^{2} + 21 x + 62$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot (- 5) \cdot 62}}{2 \cdot (- 5)}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 1 240}}{- 10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{1 681}}{- 10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{1 681}}{- 10}$ = $\frac{- 21+41}{- 10}$ = $\frac{20}{- 10}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{1 681}}{- 10}$ = $\frac{- 21-41}{- 10}$ = $\frac{- 62}{- 10}$ = $6,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 5$ " teilen:

$- 5 x^{2} + 21 x + 62$ = 0 |: $- 5$

$x^{2} - \frac{21}{5} x - \frac{62}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{10})}^{2} - (- \frac{62}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{62}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $+$ $\frac{1240}{100}$ = $\frac{1681}{100}$

x_1,2 = $\frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{100}}$

x₁ = $\frac{21}{10}$ - $\frac{41}{10}$ = $- \frac{20}{10}$ = -2

x₂ = $\frac{21}{10}$ + $\frac{41}{10}$ = $\frac{62}{10}$ = 6.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $6,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{9}{x} + \frac{10}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{9}{x} + \frac{10}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{9}{x} \cdot x^{2} + \frac{10}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 9 x + 10$

0

=

- x^{2} - 9 x + 10

|

+ x^{2}

+ 9 x

- 10

$x^{2} + 9 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 9+11}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 9-11}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 10$
$a x + x^{2} + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):