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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{6}{x - 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{6}{x - 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{6}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 6$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 6$	=	$- x^{2} + x$

- 6

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 13 x - 8}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 13 x - 8}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 13 x - 8}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$- 13 x - 8$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

- 13 x - 8

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} - 33 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{{(- 33)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{1 089 - 128}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 33 \pm \sqrt{961}}{- 8}$

x₁ = $\frac{33 + \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{33+31}{- 8}$ = $\frac{64}{- 8}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{33 - \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{33-31}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 33 x - 8$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{33}{4} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{33}{8})}^{2} - 2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $2$ = $\frac{1089}{64}$ $-$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $- \frac{33}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $- \frac{33}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{33}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 50}{x - 2} - 3 x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

0

=

\frac{50}{x - 2} - 3 x + 1

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

=	$\frac{50}{x - 2} - 3 x + 1$	\|⋅( $x - 2$ )
=	$\frac{50}{x - 2} \cdot (x - 2) - 3 x \cdot (x - 2) + 1 \cdot (x - 2)$
=	$50 - 3 x \cdot (x - 2) + x - 2$
=	$- 3 x^{2} + 7 x + 48$

0

=

- 3 x^{2} + 7 x + 48

|

+ 3 x^{2}

- 7 x

- 48

$3 x^{2} - 7 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{625}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{7+25}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{7-25}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x - 48$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- 16)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $16$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{576}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{16}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 20}$ = $- \frac{64,8}{x - 4} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{5 x - 20}$	=	$- \frac{64,8}{x - 4} + 2 x$
$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$- \frac{64,8}{x - 4} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 4)}$	=	$- \frac{64,8}{x - 4} + 2 x$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4))$	=	$\frac{- 64,8}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) + 2 x \cdot (5 (x - 4))$
$x$	=	$- 324 + 10 x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$10 x^{2} - 40 x - 324$

x

=

10 x^{2} - 40 x - 324

|

- 10 x^{2}

+ 40 x

+ 324

$- 10 x^{2} + 41 x + 324$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{41^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 324}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{1 681 + 12 960}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{- 41 \pm \sqrt{14 641}}{- 20}$

x₁ = $\frac{- 41 + \sqrt{14 641}}{- 20}$ = $\frac{- 41+121}{- 20}$ = $\frac{80}{- 20}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 41 - \sqrt{14 641}}{- 20}$ = $\frac{- 41-121}{- 20}$ = $\frac{- 162}{- 20}$ = $8,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} + 41 x + 324$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} - \frac{41}{10} x - \frac{162}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{41}{20})}^{2} - (- \frac{162}{5})$ = $\frac{1681}{400}$ $+$ $\frac{162}{5}$ = $\frac{1681}{400}$ $+$ $\frac{12960}{400}$ = $\frac{14641}{400}$

x_1,2 = $\frac{41}{20}$ ± $\sqrt{\frac{14641}{400}}$

x₁ = $\frac{41}{20}$ - $\frac{121}{20}$ = $- \frac{80}{20}$ = -4

x₂ = $\frac{41}{20}$ + $\frac{121}{20}$ = $\frac{162}{20}$ = 8.1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $8,1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{40}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{14}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{40}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{14}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{40}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{14}{x} \cdot x^{2}$
$40$	=	$- x^{2} + 14 x$

40

=

- x^{2} + 14 x

|

+ x^{2}

- 14 x

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14+6}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14-6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{10}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{10}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{10}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 10$	=	$- x^{2}$
$a x + 10 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):