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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{6 x}{x + 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{6 x}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$6 x$	=	$- 3 x (x + 1)$
$6 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

$6 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 3 x)$
$3 x^{2} + 6 x + 3 x$	=	0
$3 x^{2} + 9 x$	=	0
$3 x (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{15}{2} + \frac{7}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{15}{2} + \frac{7}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{15}{2} \cdot x + \frac{7}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$- \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$	=	$x \cdot x - x$

$- \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$	=	$x^{2} - x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{15}{2} x + \frac{7}{2})$	=	$2 (x^{2} - x)$
$- 15 x + 7$	=	$2 x^{2} - 2 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 2 x$

$- 2 x^{2} - 13 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 7}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 + 56}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{13+15}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{13-15}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 13 x + 7$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{7}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 3}{x - 3} + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

x

=

\frac{3}{x - 3} + 1

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$x$	=	$\frac{3}{x - 3} + 1$	\|⋅( $x - 3$ )
$x \cdot (x - 3)$	=	$\frac{3}{x - 3} \cdot (x - 3) + 1 \cdot (x - 3)$
$x (x - 3)$	=	$3 + x - 3$
$x \cdot x + x \cdot (- 3)$	=	$3 + x - 3$
$x \cdot x - 3 x$	=	$3 + x - 3$
$x^{2} - 3 x$	=	$x$

$x^{2} - 3 x$	=	$x$	\| $- x$
$x^{2} - 3 x - x$	=	0
$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 6} - x$ = $- \frac{4,5}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

\frac{x}{2 (x - 3)} - x

=

- \frac{4,5}{x - 3}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 3)} - x$	=	$- \frac{4,5}{x - 3}$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$\frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) - x \cdot (2 (x - 3))$	=	$- \frac{4,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$
$x - 2 x (x - 3)$	=	$- 9$
$x + (- 2 x^{2} + 6 x)$	=	$- 9$
$- 2 x^{2} + 7 x$	=	$- 9$

- 2 x^{2} + 7 x

=

- 9

|

+ 9

$- 2 x^{2} + 7 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 9}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 7+11}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 7-11}{- 4}$ = $\frac{- 18}{- 4}$ = $4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x + 9$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2 x - 3}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{2 x - 3}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{2 x - 3}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$2 x - 3$	=	$- x^{2}$

2 x - 3

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$7$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$7 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$7 x$
$x^{2} + a - 7 x$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):