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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{2 x}{x + 3}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 2 x}{x + 3}$	=	$x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 2 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$x \cdot (x + 3)$
$- \frac{2 x}{1}$	=	$x \cdot (x + 3)$
$- 2 x$	=	$x \cdot (x + 3)$
$- 2 x$	=	$x^{2} + 3 x$

$- 2 x$	=	$x^{2} + 3 x$	\| $- (x^{2} + 3 x)$
$- x^{2} - 2 x - 3 x$	=	0
$- x^{2} - 5 x$	=	0
$- x \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 5$ = $- 8 - \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 5$	=	$- 8 - \frac{2}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 5 \cdot x$	=	$- 8 \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$
$x \cdot x - 5 x$	=	$- 8 x - 2$
$x^{2} - 5 x$	=	$- 8 x - 2$

x^{2} - 5 x

=

- 8 x - 2

|

+ 8 x

+ 2

$x^{2} + 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3+1}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 3-1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- x}{x + 4} + 5$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{x}{x + 4} + 5

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{x}{x + 4} + 5$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) + 5 \cdot (x + 4)$	=	$- 3 x \cdot (x + 4)$
$- x + 5 x + 20$	=	$- 3 x \cdot (x + 4)$
$4 x + 20$	=	$- 3 x^{2} - 12 x$

4 x + 20

=

- 3 x^{2} - 12 x

|

+ 3 x^{2}

+ 12 x

$3 x^{2} + 16 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 20}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 16+4}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 16-4}{6}$ = $\frac{- 20}{6}$ = $- \frac{10}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 16 x + 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x + \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (\frac{20}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $-$ $\frac{60}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{10}{3}$ = -3.3333333333333

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{3}$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7,6}{x + 3}$ = $- \frac{x}{5 x + 15} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{7,6}{x + 3}

=

- \frac{x}{5 (x + 3)} + 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$- \frac{7,6}{x + 3}$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} + 4 x$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$- \frac{7,6}{x + 3} \cdot (5 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) + 4 x \cdot (5 (x + 3))$
$- 38$	=	$- x + 20 x \cdot (x + 3)$
$- 38$	=	$20 x^{2} + 59 x$

- 38

=

20 x^{2} + 59 x

|

- 20 x^{2}

- 59 x

$- 20 x^{2} - 59 x - 38$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{{(- 59)}^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot (- 38)}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{3 481 - 3 040}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{+ 59 \pm \sqrt{441}}{- 40}$

x₁ = $\frac{59 + \sqrt{441}}{- 40}$ = $\frac{59+21}{- 40}$ = $\frac{80}{- 40}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{59 - \sqrt{441}}{- 40}$ = $\frac{59-21}{- 40}$ = $\frac{38}{- 40}$ = $- 0,95$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} - 59 x - 38$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} + \frac{59}{20} x + \frac{19}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{59}{40})}^{2} - (\frac{19}{10})$ = $\frac{3481}{1600}$ $-$ $\frac{19}{10}$ = $\frac{3481}{1600}$ $-$ $\frac{3040}{1600}$ = $\frac{441}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{59}{40}$ ± $\sqrt{\frac{441}{1600}}$

x₁ = $- \frac{59}{40}$ - $\frac{21}{40}$ = $- \frac{80}{40}$ = -2

x₂ = $- \frac{59}{40}$ + $\frac{21}{40}$ = $- \frac{38}{40}$ = -0.95

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,95$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{90}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{19}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{90}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{19}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{90}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{19}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$90$	=	$- x^{2} - 19 x$

90

=

- x^{2} - 19 x

|

+ x^{2}

+ 19 x

$x^{2} + 19 x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 19+1}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 19-1}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 10 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 10 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 10 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 10 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 10 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 10 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 8 würde es funktionieren, denn $- (2 + 8)$ = -10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 8$ = $16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):