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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 3$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$- 3$	=	$x$	\| $+ 3$ $- x$
$- x$	=	$3$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 3$

L={ $- 3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$7 - \frac{1}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$7 - \frac{1}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$7 \cdot x - \frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$7 x - 1$	=	$x \cdot x + 5 x$

7 x - 1

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 2 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x - 1$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x$ = $- \frac{- 15}{x + 1} + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

3 x

=

\frac{15}{x + 1} + 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$3 x$	=	$\frac{15}{x + 1} + 1$	\|⋅( $x + 1$ )
$3 x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{15}{x + 1} \cdot (x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$
$3 x \cdot (x + 1)$	=	$15 + x + 1$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 1$	=	$15 + x + 1$
$3 x \cdot x + 3 x$	=	$15 + x + 1$
$3 x^{2} + 3 x$	=	$x + 16$

3 x^{2} + 3 x

=

x + 16

|

- x

- 16

$3 x^{2} + 2 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 2+14}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 2-14}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 2 x - 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $- \frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $- \frac{1}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{8}{3}$ = -2.6666666666667

x₂ = $- \frac{1}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 24,8}{x + 2}$ = $- \frac{x}{5 x + 10} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{24,8}{x + 2}

=

- \frac{x}{5 (x + 2)} - x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$- \frac{24,8}{x + 2}$	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} - x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$- \frac{24,8}{x + 2} \cdot (5 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) - x \cdot (5 (x + 2))$
$- 124$	=	$- x - 5 x \cdot (x + 2)$
$- 124$	=	$- 5 x^{2} - 11 x$

- 124

=

- 5 x^{2} - 11 x

|

+ 5 x^{2}

+ 11 x

$5 x^{2} + 11 x - 124$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 124)}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 2 480}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{2 601}}{10}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{2 601}}{10}$ = $\frac{- 11+51}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{2 601}}{10}$ = $\frac{- 11-51}{10}$ = $\frac{- 62}{10}$ = $- 6,2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 11 x - 124$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{11}{5} x - \frac{124}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{10})}^{2} - (- \frac{124}{5})$ = $\frac{121}{100}$ $+$ $\frac{124}{5}$ = $\frac{121}{100}$ $+$ $\frac{2480}{100}$ = $\frac{2601}{100}$

x_1,2 = $- \frac{11}{10}$ ± $\sqrt{\frac{2601}{100}}$

x₁ = $- \frac{11}{10}$ - $\frac{51}{10}$ = $- \frac{62}{10}$ = -6.2

x₂ = $- \frac{11}{10}$ + $\frac{51}{10}$ = $\frac{40}{10}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,2$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6 x - 27}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{6 x - 27}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{6 x - 27}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$6 x - 27$	=	$- x^{2}$

6 x - 27

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6+12}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 6-12}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 3$ - $6$ = -9

x₂ = $- 3$ + $6$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{6}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{6}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{6}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{6}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 6$	=	$- a x$
$x^{2} - 6 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):