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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{75}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{75}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{75}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 75$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 75$	=	$- 3 x^{2}$

$- 75$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 75$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$75$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 3$ = $\frac{13 x + 21}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{13 x + 21}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$	=	$\frac{13 x + 21}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 12 x$	=	$13 x + 21$
$4 x^{2} - 12 x$	=	$13 x + 21$

4 x^{2} - 12 x

=

13 x + 21

|

- 13 x

- 21

$4 x^{2} - 25 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{{(- 25)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{625 + 336}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 25 \pm \sqrt{961}}{8}$

x₁ = $\frac{25 + \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{25+31}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = $7$

x₂ = $\frac{25 - \sqrt{961}}{8}$ = $\frac{25-31}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 25 x - 21$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{25}{4} x - \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{8})}^{2} - (- \frac{21}{4})$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $\frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $\frac{25}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{25}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $- \frac{- 28 x}{3 x - 4}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{4}{3}$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{28 x}{3 x - 4}$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$x \cdot (3 x - 4) + 5 \cdot (3 x - 4)$	=	$\frac{28 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4)$
$x \cdot (3 x - 4) + 15 x - 20$	=	$28 x$
$3 x^{2} - 4 x + 15 x - 20$	=	$28 x$
$3 x^{2} + 11 x - 20$	=	$28 x$

3 x^{2} + 11 x - 20

=

28 x

|

- 28 x

$3 x^{2} - 17 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{17+23}{6}$ = $\frac{40}{6}$ = $\frac{20}{3}$ ≈ 6.67

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{17-23}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 17 x - 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{17}{3} x - \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{6})}^{2} - (- \frac{20}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{17}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $\frac{17}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{40}{6}$ = 6.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{20}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4} + \frac{0,25}{x + 1}$ = $- 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{4 x + 4} + \frac{0,25}{x + 1}$	=	$- 4 x$
$\frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{0,25}{x + 1}$	=	$- 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{0,25}{x + 1}$	=	$- 4 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{0,25}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$	=	$- 4 x \cdot (4 (x + 1))$
$x + 1$	=	$- 16 x \cdot (x + 1)$
$x + 1$	=	$- 16 x^{2} - 16 x$

x + 1

=

- 16 x^{2} - 16 x

|

+ 16 x^{2}

+ 16 x

$16 x^{2} + 17 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{32}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{32}$ = $\frac{- 17+15}{32}$ = $\frac{- 2}{32}$ = $- \frac{1}{16}$ ≈ -0.06

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{32}$ = $\frac{- 17-15}{32}$ = $\frac{- 32}{32}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 17 x + 1$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{17}{16} x + \frac{1}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{32})}^{2} - (\frac{1}{16})$ = $\frac{289}{1024}$ $-$ $\frac{1}{16}$ = $\frac{289}{1024}$ $-$ $\frac{64}{1024}$ = $\frac{225}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{17}{32}$ ± $\sqrt{\frac{225}{1024}}$

x₁ = $- \frac{17}{32}$ - $\frac{15}{32}$ = $- \frac{32}{32}$ = -1

x₂ = $- \frac{17}{32}$ + $\frac{15}{32}$ = $- \frac{2}{32}$ = -0.0625

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $- \frac{6}{x} + \frac{40}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$- \frac{6}{x} + \frac{40}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$- \frac{6}{x} \cdot x^{2} + \frac{40}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$- 6 x + 40$

x^{2}

=

- 6 x + 40

|

+ 6 x

- 40

$x^{2} + 6 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6+14}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 6-14}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 40)$ = $9$ $+$ $40$ = $49$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 3$ - $7$ = -10

x₂ = $- 3$ + $7$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$6 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$6 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$6 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$6 x + a$	=	$- x^{2}$
$6 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):