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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{48}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{48}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{48}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 48$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 48$	=	$- 3 x^{2}$

$- 48$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 48$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$48$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 32 x - 14}{3 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 32 x - 14}{3 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 32 x - 14}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 3 \cdot 3 x$
$- 32 x - 14$	=	$3 x \cdot x - 9 x$

- 32 x - 14

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} - 23 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{23+19}{- 6}$ = $\frac{42}{- 6}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{23-19}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 23 x - 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x + \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - (\frac{14}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{42}{6}$ = -7

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 4 x}{2 x - 4} - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

$x$	=	$\frac{4 x}{2 x - 4} - 3$
$x$	=	$\frac{4 x}{2 (x - 2)} - 3$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$x$	=	$\frac{4 x}{2 (x - 2)} - 3$	\|⋅( $x - 2$ )
$x \cdot (x - 2)$	=	$\frac{4 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) - 3 \cdot (x - 2)$
$x (x - 2)$	=	$2 x - 3 x + 6$
$x \cdot x + x \cdot (- 2)$	=	$2 x - 3 x + 6$
$x \cdot x - 2 x$	=	$2 x - 3 x + 6$
$x^{2} - 2 x$	=	$- x + 6$

x^{2} - 2 x

=

- x + 6

|

+ x

- 6

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{2 x - 6} - \frac{73,5}{x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{2 x - 6} - \frac{73,5}{x - 3}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{73,5}{x - 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - \frac{73,5}{x - 3}$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$- 4 x \cdot (2 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) + \frac{- 73,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$
$- 8 x (x - 3)$	=	$- x - 147$
$- 8 x \cdot x - 8 x \cdot (- 3)$	=	$- x - 147$
$- 8 x \cdot x + 24 x$	=	$- x - 147$
$- 8 x^{2} + 24 x$	=	$- x - 147$

- 8 x^{2} + 24 x

=

- x - 147

|

+ x

+ 147

$- 8 x^{2} + 25 x + 147$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 147}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 4 704}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{5 329}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{5 329}}{- 16}$ = $\frac{- 25+73}{- 16}$ = $\frac{48}{- 16}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{5 329}}{- 16}$ = $\frac{- 25-73}{- 16}$ = $\frac{- 98}{- 16}$ = $6,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 25 x + 147$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{25}{8} x - \frac{147}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{147}{8})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{147}{8}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{4704}{256}$ = $\frac{5329}{256}$

x_1,2 = $\frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{5329}{256}}$

x₁ = $\frac{25}{16}$ - $\frac{73}{16}$ = $- \frac{48}{16}$ = -3

x₂ = $\frac{25}{16}$ + $\frac{73}{16}$ = $\frac{98}{16}$ = 6.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}} - \frac{6}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{6}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} + 5 x - 6$

0

=

- x^{2} + 5 x - 6

|

+ x^{2}

- 5 x

+ 6

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{18}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{18}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{18}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{18}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$18 + x^{2}$	=	$- a x$
$18 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):