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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x^{2}$

$- 3$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 1$ = $\frac{- 9 x + 12}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{- 9 x + 12}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 1 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 9 x + 12}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 4 x$	=	$- 9 x + 12$
$4 x^{2} + 4 x$	=	$- 9 x + 12$

4 x^{2} + 4 x

=

- 9 x + 12

|

+ 9 x

- 12

$4 x^{2} + 13 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 192}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 13+19}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{- 13-19}{8}$ = $\frac{- 32}{8}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x - 12$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (- 3)$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $3$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 55}{3 x + 2} - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{2}{3}$

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

x

=

\frac{55}{3 x + 2} - 2

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$x$	=	$\frac{55}{3 x + 2} - 2$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$x \cdot (3 x + 2)$	=	$\frac{55}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2) - 2 \cdot (3 x + 2)$
$x \cdot (3 x + 2)$	=	$55 - 6 x - 4$
$x \cdot 3 x + x \cdot 2$	=	$55 - 6 x - 4$
$3 x \cdot x + 2 x$	=	$55 - 6 x - 4$
$3 x^{2} + 2 x$	=	$- 6 x + 51$

3 x^{2} + 2 x

=

- 6 x + 51

|

+ 6 x

- 51

$3 x^{2} + 8 x - 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 51)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 612}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{676}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 8+26}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{676}}{6}$ = $\frac{- 8-26}{6}$ = $\frac{- 34}{6}$ = $- \frac{17}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x - 51$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x - 17$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (- 17)$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $17$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{153}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{17}{3}$ = -5.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{17}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 15} + \frac{- 53,4}{x - 3}$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{5 x - 15} - \frac{53,4}{x - 3}$	=	$- 3 x$
$\frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{53,4}{x - 3}$	=	$- 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 3)} - \frac{53,4}{x - 3}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + \frac{- 53,4}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$	=	$- 3 x \cdot (5 (x - 3))$
$x - 267$	=	$- 15 x \cdot (x - 3)$
$x - 267$	=	$- 15 x^{2} + 45 x$

x - 267

=

- 15 x^{2} + 45 x

|

+ 15 x^{2}

- 45 x

$15 x^{2} - 44 x - 267$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 267)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{1 936 + 16 020}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 44 \pm \sqrt{17 956}}{30}$

x₁ = $\frac{44 + \sqrt{17 956}}{30}$ = $\frac{44+134}{30}$ = $\frac{178}{30}$ = $\frac{89}{15}$ ≈ 5.93

x₂ = $\frac{44 - \sqrt{17 956}}{30}$ = $\frac{44-134}{30}$ = $\frac{- 90}{30}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} - 44 x - 267$ = 0 |: $15$

$x^{2} - \frac{44}{15} x - \frac{89}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{22}{15})}^{2} - (- \frac{89}{5})$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{89}{5}$ = $\frac{484}{225}$ $+$ $\frac{4005}{225}$ = $\frac{4489}{225}$

x_1,2 = $\frac{22}{15}$ ± $\sqrt{\frac{4489}{225}}$

x₁ = $\frac{22}{15}$ - $\frac{67}{15}$ = $- \frac{45}{15}$ = -3

x₂ = $\frac{22}{15}$ + $\frac{67}{15}$ = $\frac{89}{15}$ = 5.9333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{89}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6}{x}$ = $- 1 - \frac{8}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{6}{x}$	=	$- 1 - \frac{8}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{6}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$6 x$	=	$- x^{2} - 8$

6 x

=

- x^{2} - 8

|

+ x^{2}

+ 8

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 10$
$a x + x^{2} + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):