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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{3}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{3}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{3}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$3$	=	$3 x \cdot x$
$3$	=	$3 x^{2}$

$3$	=	$3 x^{2}$	\| $- 3$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 3$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 x$ = $\frac{- 14 x + 12}{x - 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$2 x$	=	$\frac{- 14 x + 12}{x - 2}$	\|⋅( $x - 2$ )
$2 x \cdot (x - 2)$	=	$\frac{- 14 x + 12}{x - 2} \cdot (x - 2)$
$2 x \cdot (x - 2)$	=	$- 14 x + 12$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot (- 2)$	=	$- 14 x + 12$
$2 x \cdot x - 4 x$	=	$- 14 x + 12$
$2 x^{2} - 4 x$	=	$- 14 x + 12$

2 x^{2} - 4 x

=

- 14 x + 12

|

+ 14 x

- 12

2 x^{2} + 10 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 7}{3 x - 5} - x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{3}$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

0

=

\frac{7}{3 x - 5} - x - 5

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

=	$\frac{7}{3 x - 5} - x - 5$	\|⋅( $3 x - 5$ )
=	$\frac{7}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - x \cdot (3 x - 5) - 5 \cdot (3 x - 5)$
=	$7 - x \cdot (3 x - 5) - 15 x + 25$
=	$- 3 x^{2} - 10 x + 32$

0

=

- 3 x^{2} - 10 x + 32

|

+ 3 x^{2}

+ 10 x

- 32

$3 x^{2} + 10 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 384}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 10+22}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{- 10-22}{6}$ = $\frac{- 32}{6}$ = $- \frac{16}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 10 x - 32$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{32}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{32}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{32}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{96}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{16}{3}$ = -5.3333333333333

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{16}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{5 x - 20} - \frac{84,6}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 x - 20} - \frac{84,6}{x - 4}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} - \frac{84,6}{x - 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} - \frac{84,6}{x - 4}$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$- 4 x \cdot (5 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) + \frac{- 84,6}{x - 4} \cdot (5 (x - 4))$
$- 20 x \cdot (x - 4)$	=	$- x - 423$
$- 20 x \cdot x - 20 x \cdot (- 4)$	=	$- x - 423$
$- 20 x \cdot x + 80 x$	=	$- x - 423$
$- 20 x^{2} + 80 x$	=	$- x - 423$

- 20 x^{2} + 80 x

=

- x - 423

|

+ x

+ 423

$- 20 x^{2} + 81 x + 423$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{81^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 423}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{6 561 + 33 840}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{40 401}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 81 + \sqrt{40 401}}{- 40}$ = $\frac{- 81+201}{- 40}$ = $\frac{120}{- 40}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 81 - \sqrt{40 401}}{- 40}$ = $\frac{- 81-201}{- 40}$ = $\frac{- 282}{- 40}$ = $7,05$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 81 x + 423$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{81}{20} x - \frac{423}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{81}{40})}^{2} - (- \frac{423}{20})$ = $\frac{6561}{1600}$ $+$ $\frac{423}{20}$ = $\frac{6561}{1600}$ $+$ $\frac{33840}{1600}$ = $\frac{40401}{1600}$

x_1,2 = $\frac{81}{40}$ ± $\sqrt{\frac{40401}{1600}}$

x₁ = $\frac{81}{40}$ - $\frac{201}{40}$ = $- \frac{120}{40}$ = -3

x₂ = $\frac{81}{40}$ + $\frac{201}{40}$ = $\frac{282}{40}$ = 7.05

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $7,05$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{10}{x^{3}} - \frac{24}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$- \frac{10}{x^{3}} - \frac{24}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{24}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$- 10 x - 24$

x^{2}

=

- 10 x - 24

|

+ 10 x

+ 24

$x^{2} + 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10+2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 10-2}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 5$ - $1$ = -6

x₂ = $- 5$ + $1$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- x + x^{2}$	=	$- a$
$- x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):