Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{0}{x - 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{0}{x - 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{0}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
0	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
0	=	$- 3 x^{2} + 3 x$

0	=	$- 3 x^{2} + 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 3 x)$
$3 x^{2} - 3 x$	=	0
$3 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 + \frac{18}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 + \frac{18}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x + \frac{18}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$2 x + 18$	=	$x \cdot x + 5 x$

2 x + 18

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} - 3 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 18}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{3+9}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{3-9}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{3}{x - 1} + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

x

=

- \frac{3}{x - 1} + 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$x$	=	$- \frac{3}{x - 1} + 5$	\|⋅( $x - 1$ )
$x \cdot (x - 1)$	=	$- \frac{3}{x - 1} \cdot (x - 1) + 5 \cdot (x - 1)$
$x \cdot (x - 1)$	=	$- 3 + 5 x - 5$
$x \cdot x + x \cdot (- 1)$	=	$- 3 + 5 x - 5$
$x \cdot x - x$	=	$- 3 + 5 x - 5$
$x^{2} - x$	=	$5 x - 8$

x^{2} - x

=

5 x - 8

|

- 5 x

+ 8

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 4} - \frac{- 94}{x - 2} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 4} + \frac{94}{x - 2} - 4 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{94}{x - 2} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} + \frac{94}{x - 2} - 4 x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{94}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) - 4 x \cdot (2 (x - 2))$
=	$- x + 188 - 8 x \cdot (x - 2)$
=	$- 8 x^{2} + 15 x + 188$

0

=

- 8 x^{2} + 15 x + 188

|

+ 8 x^{2}

- 15 x

- 188

$8 x^{2} - 15 x - 188$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 188)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 6 016}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{6 241}}{16}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{6 241}}{16}$ = $\frac{15+79}{16}$ = $\frac{94}{16}$ = $5,875$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{6 241}}{16}$ = $\frac{15-79}{16}$ = $\frac{- 64}{16}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 15 x - 188$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{15}{8} x - \frac{47}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{16})}^{2} - (- \frac{47}{2})$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{47}{2}$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{6016}{256}$ = $\frac{6241}{256}$

x_1,2 = $\frac{15}{16}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{256}}$

x₁ = $\frac{15}{16}$ - $\frac{79}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $\frac{15}{16}$ + $\frac{79}{16}$ = $\frac{94}{16}$ = 5.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{36}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{13}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{36}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{13}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{13}{x} \cdot x^{2}$
$36$	=	$- x^{2} - 13 x$

36

=

- x^{2} - 13 x

|

+ x^{2}

+ 13 x

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13+5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13-5}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 10$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 10$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 10$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 10 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 10 x$	=	$- a$
$x^{2} - 10 x + a$	=	0
$x^{2} - 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 8 würde es funktionieren, denn $- (2 + 8)$ = -10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 8$ = $16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):