Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 4$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$- 4$	=	$x$	\| $+ 4$ $- x$
$- x$	=	$4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 15 x + 5}{2 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 15 x + 5}{2 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 15 x + 5}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$
$- 15 x + 5$	=	$2 x \cdot x - 6 x$

- 15 x + 5

=

2 x^{2} - 6 x

|

- 2 x^{2}

+ 6 x

$- 2 x^{2} - 9 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{9+11}{- 4}$ = $\frac{20}{- 4}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{9-11}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 9 x + 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{81}{16}$ $+$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8}{x - 5} + x + 1$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

\frac{8}{x - 5} + x + 1

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{8}{x - 5} + x + 1$	=	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{8}{x - 5} \cdot (x - 5) + x \cdot (x - 5) + 1 \cdot (x - 5)$	=
$8 + x \cdot (x - 5) + x - 5$	=
$8 + (x^{2} - 5 x) + x - 5$	=
$x^{2} - 4 x + 3$	=

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2,5}{x + 4} - x$ = $- \frac{x}{2 x + 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$- \frac{2,5}{x + 4} - x$	=	$\frac{- x}{2 x + 8}$
$- \frac{2,5}{x + 4} - x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$- \frac{2,5}{x + 4} - x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 4)}$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$\frac{- 2,5}{x + 4} \cdot (2 (x + 4)) - x \cdot (2 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4))$
$- 5 - 2 x \cdot (x + 4)$	=	$- x$
$- 5 + (- 2 x^{2} - 8 x)$	=	$- x$
$- 2 x^{2} - 8 x - 5$	=	$- x$

- 2 x^{2} - 8 x - 5

=

- x

|

+ x

$- 2 x^{2} - 7 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{7+3}{- 4}$ = $\frac{10}{- 4}$ = $- 2,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{7-3}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 5$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 16}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{8 x + 16}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{8 x + 16}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$8 x + 16$	=	$- x^{2}$

8 x + 16

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 4$ ± 0 = $- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- x + a$	=	$- x^{2}$
$- x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):