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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4 x}{x - 2}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{4 x}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{4 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$4 x$	=	$2 x (x - 2)$
$4 x$	=	$2 x^{2} - 4 x$

$4 x$	=	$2 x^{2} - 4 x$	\| $- (2 x^{2} - 4 x)$
$- 2 x^{2} + 4 x + 4 x$	=	0
$- 2 x^{2} + 8 x$	=	0
$2 x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 3$ = $\frac{29 x - 12}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{29 x - 12}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 3 \cdot 3 x$	=	$\frac{29 x - 12}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 9 x$	=	$29 x - 12$
$3 x^{2} + 9 x$	=	$29 x - 12$

3 x^{2} + 9 x

=

29 x - 12

|

- 29 x

+ 12

$3 x^{2} - 20 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 144}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{20+16}{6}$ = $\frac{36}{6}$ = $6$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{20-16}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 20 x + 12$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{20}{3} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{10}{3})}^{2} - 4$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $4$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $\frac{36}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{10}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{10}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{18}{3}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 7}{2 x + 1} + x$ = $2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{1}{2}$

D=R\{ $- \frac{1}{2}$ }

- \frac{7}{2 x + 1} + x

=

2

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 1$ weg!

$- \frac{7}{2 x + 1} + x$	=	$2$	\|⋅( $2 x + 1$ )
$- \frac{7}{2 x + 1} \cdot (2 x + 1) + x \cdot (2 x + 1)$	=	$2 \cdot (2 x + 1)$
$- 7 + x (2 x + 1)$	=	$2 (2 x + 1)$
$- 7 + (2 x^{2} + x)$	=	$2 (2 x + 1)$
$2 x^{2} + x - 7$	=	$4 x + 2$

2 x^{2} + x - 7

=

4 x + 2

|

- 4 x

- 2

$2 x^{2} - 3 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3+9}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3-9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 20} - 4 x$ = $- \frac{- 12,6}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{x}{5 (x - 4)} - 4 x

=

\frac{12,6}{x - 4}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 4)} - 4 x$	=	$\frac{12,6}{x - 4}$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) - 4 x \cdot (5 (x - 4))$	=	$\frac{12,6}{x - 4} \cdot (5 (x - 4))$
$x - 20 x (x - 4)$	=	$63$
$x + (- 20 x^{2} + 80 x)$	=	$63$
$- 20 x^{2} + 81 x$	=	$63$

- 20 x^{2} + 81 x

=

63

|

- 63

$- 20 x^{2} + 81 x - 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{81^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot (- 63)}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{6 561 - 5 040}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{- 81 \pm \sqrt{1 521}}{- 40}$

x₁ = $\frac{- 81 + \sqrt{1 521}}{- 40}$ = $\frac{- 81+39}{- 40}$ = $\frac{- 42}{- 40}$ = $1,05$

x₂ = $\frac{- 81 - \sqrt{1 521}}{- 40}$ = $\frac{- 81-39}{- 40}$ = $\frac{- 120}{- 40}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} + 81 x - 63$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} - \frac{81}{20} x + \frac{63}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{81}{40})}^{2} - (\frac{63}{20})$ = $\frac{6561}{1600}$ $-$ $\frac{63}{20}$ = $\frac{6561}{1600}$ $-$ $\frac{5040}{1600}$ = $\frac{1521}{1600}$

x_1,2 = $\frac{81}{40}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{1600}}$

x₁ = $\frac{81}{40}$ - $\frac{39}{40}$ = $\frac{42}{40}$ = 1.05

x₂ = $\frac{81}{40}$ + $\frac{39}{40}$ = $\frac{120}{40}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,05$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{15}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{2}{x^{2}} - \frac{15}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{2}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{15}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$2 x - 15$	=	$- x^{2}$

2 x - 15

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$8$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$8 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$8 x$
$a + x^{2} - 8 x$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):