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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{30}{x + 3}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{30}{x + 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{30}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$30$	=	$3 x \cdot (x + 3)$
$30$	=	$3 x^{2} + 9 x$

30

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

- 3 x^{2} - 9 x + 30

= 0 |:3

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3+7}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{3-7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9 x - 15}{x - 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{9 x - 15}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{9 x - 15}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$9 x - 15$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$9 x - 15$	=	$2 x^{2} - 4 x$

9 x - 15

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 15)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 13+7}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 13-7}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (\frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{20}{4}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 8}{x + 2} - 3 x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

0

=

\frac{8}{x + 2} - 3 x - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

=	$\frac{8}{x + 2} - 3 x - 1$	\|⋅( $x + 2$ )
=	$\frac{8}{x + 2} \cdot (x + 2) - 3 x \cdot (x + 2) - 1 \cdot (x + 2)$
=	$8 - 3 x \cdot (x + 2) - x - 2$
=	$- 3 x^{2} - 7 x + 6$

0

=

- 3 x^{2} - 7 x + 6

|

+ 3 x^{2}

+ 7 x

- 6

$3 x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7+11}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7-11}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x - 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{2}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{11,5}{x - 4} + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{11,5}{x - 4} + 4 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{11,5}{x - 4} + 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)} + \frac{11,5}{x - 4} + 4 x$	=	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{11,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) + 4 x \cdot (2 (x - 4))$	=
$x + 23 + 8 x \cdot (x - 4)$	=
$x + 23 + (8 x^{2} - 32 x)$	=
$8 x^{2} - 31 x + 23$	=

$8 x^{2} - 31 x + 23$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot 23}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 736}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{225}}{16}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{225}}{16}$ = $\frac{31+15}{16}$ = $\frac{46}{16}$ = $2,875$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{225}}{16}$ = $\frac{31-15}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 31 x + 23$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{31}{8} x + \frac{23}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{16})}^{2} - (\frac{23}{8})$ = $\frac{961}{256}$ $-$ $\frac{23}{8}$ = $\frac{961}{256}$ $-$ $\frac{736}{256}$ = $\frac{225}{256}$

x_1,2 = $\frac{31}{16}$ ± $\sqrt{\frac{225}{256}}$

x₁ = $\frac{31}{16}$ - $\frac{15}{16}$ = $\frac{16}{16}$ = 1

x₂ = $\frac{31}{16}$ + $\frac{15}{16}$ = $\frac{46}{16}$ = 2.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{11}{x} - \frac{30}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{11}{x} - \frac{30}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{11}{x} \cdot x^{2} - \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$11 x - 30$

x^{2}

=

11 x - 30

|

- 11 x

+ 30

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11+1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{11-1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 8$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 8$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 8 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 8 x$
$x^{2} + a + 8 x$	=	0
$x^{2} + 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $- (2 - 10)$ = 8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 10)$ = $- 20$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -20 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):