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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{48}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{48}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{48}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x^{2}$

$48$	=	$3 x^{2}$	\| $- 48$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 48$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 20 x - 10}{3 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 20 x - 10}{3 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 20 x - 10}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$
$- 20 x - 10$	=	$3 x \cdot x - 3 x$

- 20 x - 10

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} - 17 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{- 6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{17+13}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{17-13}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 17 x - 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{30}{6}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 4}{3 x + 5} - x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

0

=

\frac{4}{3 x + 5} - x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

=	$\frac{4}{3 x + 5} - x - 2$	\|⋅( $3 x + 5$ )
=	$\frac{4}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) - x \cdot (3 x + 5) - 2 \cdot (3 x + 5)$
=	$4 - x \cdot (3 x + 5) - 6 x - 10$
=	$- 3 x^{2} - 11 x - 6$

0

=

- 3 x^{2} - 11 x - 6

|

+ 3 x^{2}

+ 11 x

+ 6

$3 x^{2} + 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 11+7}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 11-7}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{3 x - 6} - x$ = $- \frac{x}{3 x - 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$- \frac{2}{3 x - 6} - x$	=	$\frac{- x}{3 x - 6}$
$- \frac{2}{3 (x - 2)} - x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$- \frac{2}{3 (x - 2)} - x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 2)}$	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$- \frac{2}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) - x \cdot (3 (x - 2))$	=	$\frac{- x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2))$
$- 2 - 3 x \cdot (x - 2)$	=	$- x$
$- 2 + (- 3 x^{2} + 6 x)$	=	$- x$
$- 3 x^{2} + 6 x - 2$	=	$- x$

- 3 x^{2} + 6 x - 2

=

- x

|

+ x

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7+5}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{- 6}$ = $\frac{- 7-5}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 7 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

Lösung x= $2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{3}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}}$ = $\frac{60}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{3}}$	=	$\frac{60}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{4}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{60}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 4 x$	=	$60$

x^{2} - 4 x

=

60

|

- 60

$x^{2} - 4 x - 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 60)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{4+16}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{4-16}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 60)$ = $4$ $+$ $60$ = $64$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $2$ - $8$ = -6

x₂ = $2$ + $8$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 2 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 2 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 2 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 2 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 2 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):