Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{8 x}{x + 3}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 8 x}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 8 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 2 x \cdot (x + 3)$
$- \frac{8 x}{1}$	=	$- 2 x \cdot (x + 3)$
$- 8 x$	=	$- 2 x \cdot (x + 3)$
$- 8 x$	=	$- 2 x^{2} - 6 x$

$- 8 x$	=	$- 2 x^{2} - 6 x$	\| $- (- 2 x^{2} - 6 x)$
$2 x^{2} - 8 x + 6 x$	=	0
$2 x^{2} - 2 x$	=	0
$2 x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$1 + \frac{8}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$1 + \frac{8}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$1 \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$x + 8$	=	$x \cdot x + 3 x$

x + 8

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2+6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{2-6}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 35}{x - 4} + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

x

=

\frac{35}{x - 4} + 2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$x$	=	$\frac{35}{x - 4} + 2$	\|⋅( $x - 4$ )
$x \cdot (x - 4)$	=	$\frac{35}{x - 4} \cdot (x - 4) + 2 \cdot (x - 4)$
$x \cdot (x - 4)$	=	$35 + 2 x - 8$
$x \cdot x + x \cdot (- 4)$	=	$35 + 2 x - 8$
$x \cdot x - 4 x$	=	$35 + 2 x - 8$
$x^{2} - 4 x$	=	$2 x + 27$

x^{2} - 4 x

=

2 x + 27

|

- 2 x

- 27

$x^{2} - 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 43,5}{2 x + 8} + x$ = $- \frac{x}{4 x + 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$- \frac{43,5}{2 x + 8} + x$	=	$\frac{- x}{4 x + 16}$
$- \frac{43,5}{2 (x + 4)} + x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$- \frac{43,5}{2 (x + 4)} + x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{- 43,5}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + x \cdot (4 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$
$- 87 + 4 x \cdot (x + 4)$	=	$- x$
$- 87 + (4 x^{2} + 16 x)$	=	$- x$
$4 x^{2} + 16 x - 87$	=	$- x$

4 x^{2} + 16 x - 87

=

- x

|

+ x

$4 x^{2} + 17 x - 87$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 87)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 1 392}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1 681}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{- 17+41}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{- 17-41}{8}$ = $\frac{- 58}{8}$ = $- 7,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 17 x - 87$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x - \frac{87}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - (- \frac{87}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{87}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $+$ $\frac{1392}{64}$ = $\frac{1681}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{41}{8}$ = $- \frac{58}{8}$ = -7.25

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{41}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,25$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{27}{x^{4}}$ = $\frac{6}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{27}{x^{4}}$	=	$\frac{6}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{27}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} - 27$	=	$6 x$

x^{2} - 27

=

6 x

|

- 6 x

$x^{2} - 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{24}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{24}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{24}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{24}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$24 + a x$	=	$- x^{2}$
$24 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):