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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x^{2}$

$- 3$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- x + 18}{x - 4}$ = $x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- x + 18}{x - 4}$	=	$x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- x + 18}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$x \cdot (x - 4)$
$- x + 18$	=	$x \cdot (x - 4)$
$- x + 18$	=	$x^{2} - 4 x$

- x + 18

=

x^{2} - 4 x

|

- x^{2}

+ 4 x

$- x^{2} + 3 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 18}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3+9}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 3-9}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4 x}{x + 1} - 3$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{4 x}{x + 1} - 3$	=	$- x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{4 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 3 \cdot (x + 1)$	=	$- x \cdot (x + 1)$
$4 x - 3 x - 3$	=	$- x \cdot (x + 1)$
$x - 3$	=	$- x^{2} - x$

x - 3

=

- x^{2} - x

|

+ x^{2}

+ x

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2+4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 2-4}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 3} + 3 x$ = $- \frac{- 352}{6 x - 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

\frac{x}{3 (x - 1)} + 3 x

=

\frac{352}{6 (x - 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 1)} + 3 x$	=	$\frac{352}{6 (x - 1)}$	\|⋅( $6 (x - 1)$ )
$\frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (6 (x - 1)) + 3 x \cdot (6 (x - 1))$	=	$\frac{352}{6 (x - 1)} \cdot (6 (x - 1))$
$2 x + 18 x \cdot (x - 1)$	=	$352$
$2 x + (18 x^{2} - 18 x)$	=	$352$
$18 x^{2} - 16 x$	=	$352$

18 x^{2} - 16 x

=

352

|

- 352

18 x^{2} - 16 x - 352

= 0 |:2

$9 x^{2} - 8 x - 176$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 176)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 6 336}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{6 400}}{18}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{6 400}}{18}$ = $\frac{8+80}{18}$ = $\frac{88}{18}$ = $\frac{44}{9}$ ≈ 4.89

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{6 400}}{18}$ = $\frac{8-80}{18}$ = $\frac{- 72}{18}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 8 x - 176$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{8}{9} x - \frac{176}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{9})}^{2} - (- \frac{176}{9})$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{176}{9}$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{1584}{81}$ = $\frac{1600}{81}$

x_1,2 = $\frac{4}{9}$ ± $\sqrt{\frac{1600}{81}}$

x₁ = $\frac{4}{9}$ - $\frac{40}{9}$ = $- \frac{36}{9}$ = -4

x₂ = $\frac{4}{9}$ + $\frac{40}{9}$ = $\frac{44}{9}$ = 4.8888888888889

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{44}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}} + \frac{9}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{8}{x^{3}} + \frac{9}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{8}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{9}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} - 8 x + 9$

0

=

- x^{2} - 8 x + 9

|

+ x^{2}

+ 8 x

- 9

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 4$ - $5$ = -9

x₂ = $- 4$ + $5$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{24}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{24}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{24}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{24}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 24 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 24 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):