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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x^{2}$

$- 1$	=	$- x^{2}$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 21 x - 24}{2 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 21 x - 24}{2 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 21 x - 24}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 1 \cdot 2 x$
$- 21 x - 24$	=	$2 x \cdot x - 2 x$

- 21 x - 24

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 24)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19+13}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{19-13}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 19 x - 24$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{19}{2} x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{4})}^{2} - 12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $12$ = $\frac{361}{16}$ $-$ $\frac{192}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{19}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{19}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{19}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 4 x}{x + 4} + 2$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{4 x}{x + 4} + 2

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{4 x}{x + 4} + 2$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{4 x}{x + 4} \cdot (x + 4) + 2 \cdot (x + 4)$	=	$- 3 x \cdot (x + 4)$
$- 4 x + 2 x + 8$	=	$- 3 x (x + 4)$
$- 2 x + 8$	=	$- 3 x^{2} - 12 x$

- 2 x + 8

=

- 3 x^{2} - 12 x

|

+ 3 x^{2}

+ 12 x

$3 x^{2} + 10 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 10+2}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$ ≈ -1.33

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{- 10-2}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 10 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = -1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{4}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 8}$ = $- \frac{- 91,5}{2 x + 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{4 x + 8}$	=	$\frac{91,5}{2 x + 4} - 3 x$
$\frac{x}{4 (x + 2)}$	=	$\frac{91,5}{2 (x + 2)} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 2)}$	=	$\frac{91,5}{2 (x + 2)} - 3 x$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2))$	=	$\frac{91,5}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) - 3 x \cdot (4 (x + 2))$
$x$	=	$183 - 12 x (x + 2)$
$x$	=	$- 12 x^{2} - 24 x + 183$

x

=

- 12 x^{2} - 24 x + 183

|

+ 12 x^{2}

+ 24 x

- 183

$12 x^{2} + 25 x - 183$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 183)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 8 784}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{9 409}}{24}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{9 409}}{24}$ = $\frac{- 25+97}{24}$ = $\frac{72}{24}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{9 409}}{24}$ = $\frac{- 25-97}{24}$ = $\frac{- 122}{24}$ = $- \frac{61}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 25 x - 183$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{25}{12} x - \frac{61}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{24})}^{2} - (- \frac{61}{4})$ = $\frac{625}{576}$ $+$ $\frac{61}{4}$ = $\frac{625}{576}$ $+$ $\frac{8784}{576}$ = $\frac{9409}{576}$

x_1,2 = $- \frac{25}{24}$ ± $\sqrt{\frac{9409}{576}}$

x₁ = $- \frac{25}{24}$ - $\frac{97}{24}$ = $- \frac{122}{24}$ = -5.0833333333333

x₂ = $- \frac{25}{24}$ + $\frac{97}{24}$ = $\frac{72}{24}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{61}{12}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{3 x - 70}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{3 x - 70}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{3 x - 70}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$3 x - 70$

- x^{2}

=

3 x - 70

|

- 3 x

+ 70

$- x^{2} - 3 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 70}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{- 2}$ = $\frac{3+17}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{- 2}$ = $\frac{3-17}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 70$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 70$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$7 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$7 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$7 x + x^{2}$	=	$- a$
$7 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):