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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{48}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{48}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{48}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 48$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 48$	=	$- 3 x^{2}$

$- 48$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 48$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$48$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 13 x + 1}{x - 4}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 13 x + 1}{x - 4}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 13 x + 1}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$4 x \cdot (x - 4)$
$- 13 x + 1$	=	$4 x (x - 4)$
$- 13 x + 1$	=	$4 x^{2} - 16 x$

- 13 x + 1

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

$- 4 x^{2} + 3 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 1}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 3+5}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{- 3-5}{- 8}$ = $\frac{- 8}{- 8}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 3 x + 1$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{1}{4})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $\frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $\frac{3}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{3}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 4$ = $- \frac{- 28}{3 x + 5} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- 4

=

\frac{28}{3 x + 5} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- 4$	=	$\frac{28}{3 x + 5} - x$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- 4 \cdot (3 x + 5)$	=	$\frac{28}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) - x \cdot (3 x + 5)$
$- 4 (3 x + 5)$	=	$28 - x (3 x + 5)$
$- 12 x - 20$	=	$28 - x (3 x + 5)$
$- 12 x - 20$	=	$- 3 x^{2} - 5 x + 28$

- 12 x - 20

=

- 3 x^{2} - 5 x + 28

|

+ 3 x^{2}

+ 5 x

- 28

$3 x^{2} - 7 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 576}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{625}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{7+25}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{7-25}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x - 48$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- 16)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $16$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{576}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{16}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 7,5}{2 x - 6} + x$ = $- \frac{x}{4 x - 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- \frac{7,5}{2 x - 6} + x$	=	$\frac{- x}{4 x - 12}$
$- \frac{7,5}{2 (x - 3)} + x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$- \frac{7,5}{2 (x - 3)} + x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 3)}$	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$\frac{- 7,5}{2 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + x \cdot (4 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3))$
$- 15 + 4 x (x - 3)$	=	$- x$
$- 15 + (4 x^{2} - 12 x)$	=	$- x$
$4 x^{2} - 12 x - 15$	=	$- x$

4 x^{2} - 12 x - 15

=

- x

|

+ x

$4 x^{2} - 11 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{361}}{8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{11+19}{8}$ = $\frac{30}{8}$ = $3,75$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{361}}{8}$ = $\frac{11-19}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 11 x - 15$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{11}{4} x - \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{8})}^{2} - (- \frac{15}{4})$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{361}{64}$

x_1,2 = $\frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{361}{64}}$

x₁ = $\frac{11}{8}$ - $\frac{19}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $\frac{11}{8}$ + $\frac{19}{8}$ = $\frac{30}{8}$ = 3.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3,75$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 2 x - 48}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 2 x - 48}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 2 x - 48}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 2 x - 48$

- x^{2}

=

- 2 x - 48

|

+ 2 x

+ 48

$- x^{2} + 2 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 48}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{- 2+14}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{- 2}$ = $\frac{- 2-14}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 48$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 48$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 48)$ = $1$ $+$ $48$ = $49$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $1$ - $7$ = -6

x₂ = $1$ + $7$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 10$
$x^{2} + a x + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):