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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{50}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{50}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{50}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x^{2}$

$- 50$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 50$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$50$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 34 x + 16}{x - 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 34 x + 16}{x - 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 34 x + 16}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
$- 34 x + 16$	=	$3 x (x - 4)$
$- 34 x + 16$	=	$3 x^{2} - 12 x$

- 34 x + 16

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 16}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{676}}{- 6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22+26}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22-26}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{22}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{11}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{24}{3}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2$ = $- \frac{- 4}{x - 1} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

2

=

\frac{4}{x - 1} - x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$2$	=	$\frac{4}{x - 1} - x$	\|⋅( $x - 1$ )
$2 \cdot (x - 1)$	=	$\frac{4}{x - 1} \cdot (x - 1) - x \cdot (x - 1)$
$2 (x - 1)$	=	$4 - x (x - 1)$
$2 x - 2$	=	$4 - x (x - 1)$
$2 x - 2$	=	$- x^{2} + x + 4$

2 x - 2

=

- x^{2} + x + 4

|

+ x^{2}

- x

- 4

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{4,5}{x - 1}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{4,5}{x - 1}$	=	$2 x$
$\frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{4,5}{x - 1}$	=	$2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{4,5}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{4,5}{x - 1} \cdot (2 (x - 1))$	=	$2 x \cdot (2 (x - 1))$
$x + 9$	=	$4 x (x - 1)$
$x + 9$	=	$4 x^{2} - 4 x$

x + 9

=

4 x^{2} - 4 x

|

- 4 x^{2}

+ 4 x

$- 4 x^{2} + 5 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 9}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 5+13}{- 8}$ = $\frac{8}{- 8}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 5-13}{- 8}$ = $\frac{- 18}{- 8}$ = $2,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x + 9$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{18}{8}$ = 2.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{1}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{1}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 1$	=

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{18}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{18}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{18}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{18}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$18 + x^{2}$	=	$- a x$
$18 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):