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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{32}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{32}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{32}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 32$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 32$	=	$- 2 x^{2}$

$- 32$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 32$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 25 x + 9}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 25 x + 9}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 25 x + 9}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 16 x$	=	$- 25 x + 9$
$4 x^{2} - 16 x$	=	$- 25 x + 9$

4 x^{2} - 16 x

=

- 25 x + 9

|

+ 25 x

- 9

$4 x^{2} + 9 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 144}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{225}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 9+15}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{225}}{8}$ = $\frac{- 9-15}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 9 x - 9$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x - \frac{9}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{9}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{9}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{144}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 12 x}{x - 5}$ = $- x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 12 x}{x - 5}$	=	$- x + 4$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 12 x}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- x \cdot (x - 5) + 4 \cdot (x - 5)$
$- \frac{12 x}{1}$	=	$- x (x - 5) + 4 x - 20$
$- 12 x$	=	$- x (x - 5) + 4 x - 20$
$- 12 x$	=	$- x^{2} + 9 x - 20$

- 12 x

=

- x^{2} + 9 x - 20

|

+ x^{2}

- 9 x

+ 20

$x^{2} - 21 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{21+19}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = $20$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{21-19}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{21}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{441}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $\frac{21}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $\frac{21}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{21}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = 20

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $20$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x + 10} - \frac{8,8}{x + 2} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x + 10} - \frac{8,8}{x + 2} + 3 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{8,8}{x + 2} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{8,8}{x + 2} + 3 x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + \frac{- 8,8}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) + 3 x \cdot (5 (x + 2))$
=	$- x - 44 + 15 x (x + 2)$
=	$15 x^{2} + 29 x - 44$

0

=

15 x^{2} + 29 x - 44

|

- 15 x^{2}

- 29 x

+ 44

$- 15 x^{2} - 29 x + 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 44}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 2 640}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{3 481}}{- 30}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{3 481}}{- 30}$ = $\frac{29+59}{- 30}$ = $\frac{88}{- 30}$ = $- \frac{44}{15}$ ≈ -2.93

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{3 481}}{- 30}$ = $\frac{29-59}{- 30}$ = $\frac{- 30}{- 30}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 29 x + 44$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{29}{15} x - \frac{44}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{30})}^{2} - (- \frac{44}{15})$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{44}{15}$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{2640}{900}$ = $\frac{3481}{900}$

x_1,2 = $- \frac{29}{30}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{900}}$

x₁ = $- \frac{29}{30}$ - $\frac{59}{30}$ = $- \frac{88}{30}$ = -2.9333333333333

x₂ = $- \frac{29}{30}$ + $\frac{59}{30}$ = $\frac{30}{30}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{44}{15}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{15}{x}$ = $- \frac{50}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{15}{x}$	=	$- \frac{50}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{15}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{50}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 15 x$	=	$- 50$

x^{2} + 15 x

=

- 50

|

+ 50

$x^{2} + 15 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 50}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15+5}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 15-5}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{2})}^{2} - 50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $50$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{15}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{15}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 7$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 7 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 7 x$	=	$- a$
$x^{2} + 7 x + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):