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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{6 x}{x - 1}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 6 x}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 6 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$2 x (x - 1)$
$- 6 x$	=	$2 x (x - 1)$
$- 6 x$	=	$2 x^{2} - 2 x$

$- 6 x$	=	$2 x^{2} - 2 x$	\| $- (2 x^{2} - 2 x)$
$- 2 x^{2} - 6 x + 2 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 4 x$	=	0
$- 2 x (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 3 x + 3}{2 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 3 x + 3}{2 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 3 x + 3}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$
$- 3 x + 3$	=	$2 x \cdot x - 4 x$

- 3 x + 3

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} + x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 1+5}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{- 4}$ = $\frac{- 1-5}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + x + 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{25}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{25}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{5}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{5}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{1}{2 x - 5}$ = $- x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{2}$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$\frac{1}{2 x - 5}$	=	$- x + 4$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$\frac{1}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5)$	=	$- x \cdot (2 x - 5) + 4 \cdot (2 x - 5)$
$1$	=	$- x (2 x - 5) + 8 x - 20$
$1$	=	$- 2 x^{2} + 13 x - 20$

1

=

- 2 x^{2} + 13 x - 20

|

+ 2 x^{2}

- 13 x

+ 20

$2 x^{2} - 13 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 21}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{13+1}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{13-1}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 13 x + 21$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - (\frac{21}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $3,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 8} + \frac{66}{2 x + 4} - 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{4 x + 8} + \frac{66}{2 x + 4} - 4 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{66}{2 (x + 2)} - 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{66}{2 (x + 2)} - 4 x$	=	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{66}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) - 4 x \cdot (4 (x + 2))$	=
$x + 132 - 16 x (x + 2)$	=
$x + 132 + (- 16 x^{2} - 32 x)$	=
$- 16 x^{2} - 31 x + 132$	=

$- 16 x^{2} - 31 x + 132$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 132}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 8 448}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{9 409}}{- 32}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{9 409}}{- 32}$ = $\frac{31+97}{- 32}$ = $\frac{128}{- 32}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{9 409}}{- 32}$ = $\frac{31-97}{- 32}$ = $\frac{- 66}{- 32}$ = $\frac{33}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 31 x + 132$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{31}{16} x - \frac{33}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{32})}^{2} - (- \frac{33}{4})$ = $\frac{961}{1024}$ $+$ $\frac{33}{4}$ = $\frac{961}{1024}$ $+$ $\frac{8448}{1024}$ = $\frac{9409}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{31}{32}$ ± $\sqrt{\frac{9409}{1024}}$

x₁ = $- \frac{31}{32}$ - $\frac{97}{32}$ = $- \frac{128}{32}$ = -4

x₂ = $- \frac{31}{32}$ + $\frac{97}{32}$ = $\frac{66}{32}$ = 2.0625

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{33}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{15}{x^{3}} + \frac{56}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{15}{x^{3}} + \frac{56}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{15}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{56}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 15 x + 56$	=

$x^{2} - 15 x + 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{15+1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{15-1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $56$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 12$	=	$- a x$
$x^{2} + 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):