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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{12}{x - 3}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{12}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{12}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$12$	=	$3 x (x - 3)$
$12$	=	$3 x^{2} - 9 x$

12

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

- 3 x^{2} + 9 x + 12

= 0 |:3

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 3$ = $\frac{- 35 x - 15}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x - 3$	=	$\frac{- 35 x - 15}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x - 3 \cdot 4 x$	=	$\frac{- 35 x - 15}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x - 12 x$	=	$- 35 x - 15$
$4 x^{2} - 12 x$	=	$- 35 x - 15$

4 x^{2} - 12 x

=

- 35 x - 15

|

+ 35 x

+ 15

$4 x^{2} + 23 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 15}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{- 23+17}{8}$ = $\frac{- 6}{8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{- 23-17}{8}$ = $\frac{- 40}{8}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 23 x + 15$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{23}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{529}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $- \frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $- \frac{23}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{40}{8}$ = -5

x₂ = $- \frac{23}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$1$ = $- \frac{- 40}{x - 2} - 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

1

=

\frac{40}{x - 2} - 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$1$	=	$\frac{40}{x - 2} - 3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$1 \cdot (x - 2)$	=	$\frac{40}{x - 2} \cdot (x - 2) - 3 x \cdot (x - 2)$
$x - 2$	=	$40 - 3 x (x - 2)$
$x - 2$	=	$- 3 x^{2} + 6 x + 40$

x - 2

=

- 3 x^{2} + 6 x + 40

|

+ 3 x^{2}

- 6 x

- 40

$3 x^{2} - 5 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 504}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{5+23}{6}$ = $\frac{28}{6}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{5-23}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 5 x - 42$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{504}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{28}{6}$ = 4.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{14}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 12}$ = $- \frac{- 36,75}{x + 3} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{4 x + 12}$	=	$\frac{36,75}{x + 3} - 2 x$
$\frac{x}{4 (x + 3)}$	=	$\frac{36,75}{x + 3} - 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 3)}$	=	$\frac{36,75}{x + 3} - 2 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$\frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3))$	=	$\frac{36,75}{x + 3} \cdot (4 (x + 3)) - 2 x \cdot (4 (x + 3))$
$x$	=	$147 - 8 x (x + 3)$
$x$	=	$- 8 x^{2} - 24 x + 147$

x

=

- 8 x^{2} - 24 x + 147

|

+ 8 x^{2}

+ 24 x

- 147

$8 x^{2} + 25 x - 147$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 147)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 4 704}}{16}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{5 329}}{16}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{5 329}}{16}$ = $\frac{- 25+73}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{5 329}}{16}$ = $\frac{- 25-73}{16}$ = $\frac{- 98}{16}$ = $- 6,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} + 25 x - 147$ = 0 |: $8$

$x^{2} + \frac{25}{8} x - \frac{147}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{25}{16})}^{2} - (- \frac{147}{8})$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{147}{8}$ = $\frac{625}{256}$ $+$ $\frac{4704}{256}$ = $\frac{5329}{256}$

x_1,2 = $- \frac{25}{16}$ ± $\sqrt{\frac{5329}{256}}$

x₁ = $- \frac{25}{16}$ - $\frac{73}{16}$ = $- \frac{98}{16}$ = -6.125

x₂ = $- \frac{25}{16}$ + $\frac{73}{16}$ = $\frac{48}{16}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,125$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{6}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{27}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{6}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{27}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{27}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- 6 x$	=	$- x^{2} + 27$

- 6 x

=

- x^{2} + 27

|

+ x^{2}

- 27

$x^{2} - 6 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6+12}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{6-12}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 27)$ = $9$ $+$ $27$ = $36$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $3$ - $6$ = -3

x₂ = $3$ + $6$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):