Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{50}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{50}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{50}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x^{2}$

$- 50$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 50$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$50$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 1$ = $5 - \frac{5}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x - 1$	=	$5 - \frac{5}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x - 1 \cdot x$	=	$5 \cdot x - \frac{5}{x} \cdot x$
$x \cdot x - x$	=	$5 x - 5$
$x^{2} - x$	=	$5 x - 5$

x^{2} - x

=

5 x - 5

|

- 5 x

+ 5

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 24 x}{x + 3} + 3 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{24 x}{x + 3} + 3 x + 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{24 x}{x + 3} + 3 x + 3$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{24 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + 3 x \cdot (x + 3) + 3 \cdot (x + 3)$	=
$- 24 x + 3 x (x + 3) + 3 x + 9$	=
$- 24 x + (3 x^{2} + 9 x) + 3 x + 9$	=
$3 x^{2} - 12 x + 9$	=

3 x^{2} - 12 x + 9

= 0 |:3

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{0,2}{x + 1}$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{0,2}{x + 1}$	=	$- x$
$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{0,2}{x + 1}$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{0,2}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{0,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1))$	=	$- x \cdot (5 (x + 1))$
$x + 1$	=	$- 5 x (x + 1)$
$x + 1$	=	$- 5 x^{2} - 5 x$

x + 1

=

- 5 x^{2} - 5 x

|

+ 5 x^{2}

+ 5 x

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{16}}{10}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6+4}{10}$ = $\frac{- 2}{10}$ = $- 0,2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{16}}{10}$ = $\frac{- 6-4}{10}$ = $\frac{- 10}{10}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 6 x + 1$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{6}{5} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{5})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{9}{25}$ $-$ $\frac{5}{25}$ = $\frac{4}{25}$

x_1,2 = $- \frac{3}{5}$ ± $\sqrt{\frac{4}{25}}$

x₁ = $- \frac{3}{5}$ - $\frac{2}{5}$ = $- \frac{5}{5}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{5}$ + $\frac{2}{5}$ = $- \frac{1}{5}$ = -0.2

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 15 x + 54}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 15 x + 54}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 15 x + 54}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 15 x + 54$

- x^{2}

=

- 15 x + 54

|

+ 15 x

- 54

$- x^{2} + 15 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 54)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 15+3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 15-3}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 15 x - 54$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 15 x + 54$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{2})}^{2} - 54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $54$ = $\frac{225}{4}$ $-$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{15}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{15}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{15}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$3 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$3 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$3 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$3 x + x^{2}$	=	$- a$
$3 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 3 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 3 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 3 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (2 - 5)$ = 3

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 5)$ = $- 10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):