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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{9}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{9}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{9}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 9$	=	$- x \cdot x$
$- 9$	=	$- x^{2}$

$- 9$	=	$- x^{2}$	\| $+ 9$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{1}{2} + \frac{5}{2 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{2} + \frac{5}{2 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{2} \cdot x + \frac{5}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 5 \cdot x$
$- \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$	=	$x \cdot x - 5 x$

$- \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$	=	$x^{2} - 5 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{1}{2} x + \frac{5}{2})$	=	$2 (x^{2} - 5 x)$
$- x + 5$	=	$2 x^{2} - 10 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 10 x$

$- 2 x^{2} + 9 x + 5$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 5}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9+11}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 9-11}{- 4}$ = $\frac{- 20}{- 4}$ = $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 48 x}{3 x + 5} + x + 5$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{48 x}{3 x + 5} + x + 5

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{48 x}{3 x + 5} + x + 5$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{48 x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5) + 5 \cdot (3 x + 5)$	=
$- 48 x + x (3 x + 5) + 15 x + 25$	=
$- 48 x + (3 x^{2} + 5 x) + 15 x + 25$	=
$3 x^{2} - 28 x + 25$	=

$3 x^{2} - 28 x + 25$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 25}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{784 - 300}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 28 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{28 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{28+22}{6}$ = $\frac{50}{6}$ = $\frac{25}{3}$ ≈ 8.33

x₂ = $\frac{28 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{28-22}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{25}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{- 36,8}{x - 1} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5} - \frac{36,8}{x - 1} + 3 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{36,8}{x - 1} + 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{36,8}{x - 1} + 3 x$	=	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{- 36,8}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + 3 x \cdot (5 (x - 1))$	=
$x - 184 + 15 x (x - 1)$	=
$x - 184 + (15 x^{2} - 15 x)$	=
$15 x^{2} - 14 x - 184$	=

$15 x^{2} - 14 x - 184$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 184)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 + 11 040}}{30}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{11 236}}{30}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{11 236}}{30}$ = $\frac{14+106}{30}$ = $\frac{120}{30}$ = $4$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{11 236}}{30}$ = $\frac{14-106}{30}$ = $\frac{- 92}{30}$ = $- \frac{46}{15}$ ≈ -3.07

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{46}{15}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{11}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{24}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{11}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{24}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{11}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{24}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 11 x$	=	$- x^{2} - 24$

- 11 x

=

- x^{2} - 24

|

+ x^{2}

+ 24

$x^{2} - 11 x + 24$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11+5}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{11-5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{30}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{30}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{30}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 30$	=	$- x^{2}$
$a x - 30 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter