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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3 x}{x + 1}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 3 x}{x + 1}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 3 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$3 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$3 x \cdot (x + 1)$
$- 3 x$	=	$3 x \cdot (x + 1)$
$- 3 x$	=	$3 x^{2} + 3 x$

$- 3 x$	=	$3 x^{2} + 3 x$	\| $- (3 x^{2} + 3 x)$
$- 3 x^{2} - 3 x - 3 x$	=	0
$- 3 x^{2} - 6 x$	=	0
$- 3 x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 19 x + 6}{x + 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 19 x + 6}{x + 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 19 x + 6}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$- 19 x + 6$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$- 19 x + 6$	=	$4 x^{2} + 4 x$

- 19 x + 6

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} - 23 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{625}}{- 8}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{23+25}{- 8}$ = $\frac{48}{- 8}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{23-25}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 23 x + 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{23}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{23}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 4 x}{3 x - 4} + x$ = $2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{4}{3}$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

- \frac{4 x}{3 x - 4} + x

=

2

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$- \frac{4 x}{3 x - 4} + x$	=	$2$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$- \frac{4 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) + x \cdot (3 x - 4)$	=	$2 \cdot (3 x - 4)$
$- 4 x + x \cdot (3 x - 4)$	=	$2 (3 x - 4)$
$- 4 x + (3 x^{2} - 4 x)$	=	$2 (3 x - 4)$
$3 x^{2} - 8 x$	=	$6 x - 8$

3 x^{2} - 8 x

=

6 x - 8

|

- 6 x

+ 8

$3 x^{2} - 14 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{6}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{14+10}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{6}$ = $\frac{14-10}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 14 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{14}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{49}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $\frac{7}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $\frac{7}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{7}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x$ = $- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{2}{6 x + 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 3} - \frac{2}{6 x + 6}$
$- 3 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{2}{6 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} - \frac{2}{6 (x + 1)}$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$- 3 x \cdot (3 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + \frac{- 2}{6 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$
$- 9 x \cdot (x + 1)$	=	$- x - 1$
$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot 1$	=	$- x - 1$
$- 9 x \cdot x - 9 x$	=	$- x - 1$
$- 9 x^{2} - 9 x$	=	$- x - 1$

- 9 x^{2} - 9 x

=

- x - 1

|

+ x

+ 1

$- 9 x^{2} - 8 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 1}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{- 18}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{8+10}{- 18}$ = $\frac{18}{- 18}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{- 18}$ = $\frac{8-10}{- 18}$ = $\frac{- 2}{- 18}$ = $\frac{1}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 8 x + 1$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{8}{9} x - \frac{1}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{9})}^{2} - (- \frac{1}{9})$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{1}{9}$ = $\frac{16}{81}$ $+$ $\frac{9}{81}$ = $\frac{25}{81}$

x_1,2 = $- \frac{4}{9}$ ± $\sqrt{\frac{25}{81}}$

x₁ = $- \frac{4}{9}$ - $\frac{5}{9}$ = $- \frac{9}{9}$ = -1

x₂ = $- \frac{4}{9}$ + $\frac{5}{9}$ = $\frac{1}{9}$ = 0.11111111111111

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{17}{x} - \frac{70}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{17}{x} - \frac{70}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{17}{x} \cdot x^{2} - \frac{70}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 17 x - 70$

0

=

- x^{2} - 17 x - 70

|

+ x^{2}

+ 17 x

+ 70

$x^{2} + 17 x + 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 70}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 17+3}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 17-3}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{2})}^{2} - 70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $70$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{17}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{17}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{30}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{30}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{30}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 30$	=	$- x^{2}$
$a x - 30 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):