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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{18}{x}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{18}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{18}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$18$	=	$2 x \cdot x$
$18$	=	$2 x^{2}$

$18$	=	$2 x^{2}$	\| $- 18$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 29 x - 12}{3 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 29 x - 12}{3 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 29 x - 12}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 3 \cdot 3 x$
$- 29 x - 12$	=	$3 x \cdot x - 9 x$

- 29 x - 12

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} - 20 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{256}}{- 6}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{20+16}{- 6}$ = $\frac{36}{- 6}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{256}}{- 6}$ = $\frac{20-16}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 20 x - 12$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{20}{3} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{10}{3})}^{2} - 4$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $4$ = $\frac{100}{9}$ $-$ $\frac{36}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $- \frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $- \frac{10}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{18}{3}$ = -6

x₂ = $- \frac{10}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8 x}{x + 2} + 3 x - 4$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{8 x}{x + 2} + 3 x - 4$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{8 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2) - 4 \cdot (x + 2)$	=
$8 x + 3 x \cdot (x + 2) - 4 x - 8$	=
$8 x + (3 x^{2} + 6 x) - 4 x - 8$	=
$3 x^{2} + 10 x - 8$	=

$3 x^{2} + 10 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 10+14}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 10-14}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 10 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{2}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{2}{2 x + 8} - 4 x$ = $- \frac{x}{4 x + 16}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{2}{2 x + 8} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 x + 16}$
$\frac{2}{2 (x + 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{2}{2 (x + 4)} - 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)}$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{2}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) - 4 x \cdot (4 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$
$4 - 16 x \cdot (x + 4)$	=	$- x$
$4 + (- 16 x^{2} - 64 x)$	=	$- x$
$- 16 x^{2} - 64 x + 4$	=	$- x$

- 16 x^{2} - 64 x + 4

=

- x

|

+ x

$- 16 x^{2} - 63 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{{(- 63)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 4}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{3 969 + 256}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 63 \pm \sqrt{4 225}}{- 32}$

x₁ = $\frac{63 + \sqrt{4 225}}{- 32}$ = $\frac{63+65}{- 32}$ = $\frac{128}{- 32}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{63 - \sqrt{4 225}}{- 32}$ = $\frac{63-65}{- 32}$ = $\frac{- 2}{- 32}$ = $\frac{1}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 63 x + 4$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{63}{16} x - \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{63}{32})}^{2} - (- \frac{1}{4})$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{3969}{1024}$ $+$ $\frac{256}{1024}$ = $\frac{4225}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{63}{32}$ ± $\sqrt{\frac{4225}{1024}}$

x₁ = $- \frac{63}{32}$ - $\frac{65}{32}$ = $- \frac{128}{32}$ = -4

x₂ = $- \frac{63}{32}$ + $\frac{65}{32}$ = $\frac{2}{32}$ = 0.0625

Lösung x= $- 4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}$ = $\frac{7}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}$	=	$\frac{7}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{7}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 6 x$	=	$7$

x^{2} + 6 x

=

7

|

- 7

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{8}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{8}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{8}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{8}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$8 + x^{2}$	=	$- a x$
$8 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):