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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{45}{x + 2}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{45}{x + 2}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{45}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 3 x \cdot (x + 2)$
$- 45$	=	$- 3 x (x + 2)$
$- 45$	=	$- 3 x^{2} - 6 x$

- 45

=

- 3 x^{2} - 6 x

|

+ 3 x^{2}

+ 6 x

3 x^{2} + 6 x - 45

= 0 |:3

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 3$ = $\frac{9 x + 1}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 3$	=	$\frac{9 x + 1}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$	=	$\frac{9 x + 1}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 12 x$	=	$9 x + 1$
$4 x^{2} + 12 x$	=	$9 x + 1$

4 x^{2} + 12 x

=

9 x + 1

|

- 9 x

- 1

$4 x^{2} + 3 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{8}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 3+5}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{8}$ = $\frac{- 3-5}{8}$ = $\frac{- 8}{8}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 3 x - 1$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{1}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{1}{4})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{1}{4}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{16}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{8}{8}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{18 x}{x + 5} + x$ = $4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{18 x}{x + 5} + x$	=	$4$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{18 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + x \cdot (x + 5)$	=	$4 \cdot (x + 5)$
$18 x + x (x + 5)$	=	$4 (x + 5)$
$18 x + (x^{2} + 5 x)$	=	$4 (x + 5)$
$x^{2} + 23 x$	=	$4 x + 20$

x^{2} + 23 x

=

4 x + 20

|

- 4 x

- 20

$x^{2} + 19 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{- 19+21}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{- 19-21}{2}$ = $\frac{- 40}{2}$ = $- 20$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{441}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{441}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{21}{2}$ = $- \frac{40}{2}$ = -20

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{21}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 20$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x + 8} - \frac{2}{x + 4} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x + 8} - \frac{2}{x + 4} - x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} - \frac{2}{x + 4} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} - \frac{2}{x + 4} - x$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4)) + \frac{- 2}{x + 4} \cdot (2 (x + 4)) - x \cdot (2 (x + 4))$
=	$- x - 4 - 2 x (x + 4)$
=	$- 2 x^{2} - 9 x - 4$

0

=

- 2 x^{2} - 9 x - 4

|

+ 2 x^{2}

+ 9 x

+ 4

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9+7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9-7}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

Lösung x= $- 4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{2}{x} + \frac{15}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{2}{x} + \frac{15}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{2}{x} \cdot x^{2} + \frac{15}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - 2 x + 15$

0

=

- x^{2} - 2 x + 15

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 15

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 12 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):