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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3 x}{x - 5}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 3 x}{x - 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 3 x}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$3 x (x - 5)$
$- 3 x$	=	$3 x (x - 5)$
$- 3 x$	=	$3 x^{2} - 15 x$

$- 3 x$	=	$3 x^{2} - 15 x$	\| $- (3 x^{2} - 15 x)$
$- 3 x^{2} - 3 x + 15 x$	=	0
$- 3 x^{2} + 12 x$	=	0
$3 x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 2$ = $\frac{- 17 x + 8}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 2$	=	$\frac{- 17 x + 8}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 17 x + 8}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 6 x$	=	$- 17 x + 8$
$3 x^{2} + 6 x$	=	$- 17 x + 8$

3 x^{2} + 6 x

=

- 17 x + 8

|

+ 17 x

- 8

$3 x^{2} + 23 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{625}}{6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{- 23+25}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{625}}{6}$ = $\frac{- 23-25}{6}$ = $\frac{- 48}{6}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 23 x - 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{48}{6}$ = -8

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 5}{x + 2} + x$ = $2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{5}{x + 2} + x

=

2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{5}{x + 2} + x$	=	$2$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{5}{x + 2} \cdot (x + 2) + x \cdot (x + 2)$	=	$2 \cdot (x + 2)$
$- 5 + x (x + 2)$	=	$2 (x + 2)$
$- 5 + (x^{2} + 2 x)$	=	$2 (x + 2)$
$x^{2} + 2 x - 5$	=	$2 x + 4$

$x^{2} + 2 x - 5$	=	$2 x + 4$	\| $+ 5$
$x^{2} + 2 x$	=	$2 x + 9$	\| $- 2 x$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 70,5}{x - 3}$ = $- \frac{x}{2 x - 6} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{70,5}{x - 3}

=

- \frac{x}{2 (x - 3)} - 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 3)$ weg!

$- \frac{70,5}{x - 3}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} - 4 x$	\|⋅( $2 (x - 3)$ )
$- \frac{70,5}{x - 3} \cdot (2 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 3)} \cdot (2 (x - 3)) - 4 x \cdot (2 (x - 3))$
$- 141$	=	$- x - 8 x (x - 3)$
$- 141$	=	$- 8 x^{2} + 23 x$

- 141

=

- 8 x^{2} + 23 x

|

+ 8 x^{2}

- 23 x

$8 x^{2} - 23 x - 141$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 141)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 4 512}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{5 041}}{16}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{5 041}}{16}$ = $\frac{23+71}{16}$ = $\frac{94}{16}$ = $5,875$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{5 041}}{16}$ = $\frac{23-71}{16}$ = $\frac{- 48}{16}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 23 x - 141$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{23}{8} x - \frac{141}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{16})}^{2} - (- \frac{141}{8})$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{141}{8}$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{4512}{256}$ = $\frac{5041}{256}$

x_1,2 = $\frac{23}{16}$ ± $\sqrt{\frac{5041}{256}}$

x₁ = $\frac{23}{16}$ - $\frac{71}{16}$ = $- \frac{48}{16}$ = -3

x₂ = $\frac{23}{16}$ + $\frac{71}{16}$ = $\frac{94}{16}$ = 5.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $5,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 12 x + 35}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 12 x + 35}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 12 x + 35}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 12 x + 35$	=	$- x^{2}$

- 12 x + 35

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 12 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$12 + a x$	=	$- x^{2}$
$12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):