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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{2}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{2}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{2}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 2$	=	$- 2 x^{2}$

$- 2$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$2$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{25 x - 4}{4 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{25 x - 4}{4 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{25 x - 4}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 2 \cdot 4 x$
$25 x - 4$	=	$4 x \cdot x + 8 x$

25 x - 4

=

4 x^{2} + 8 x

|

- 4 x^{2}

- 8 x

$- 4 x^{2} + 17 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{225}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 17+15}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{225}}{- 8}$ = $\frac{- 17-15}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 17 x - 4$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{17}{4} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{8})}^{2} - 1$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $1$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{64}{64}$ = $\frac{225}{64}$

x_1,2 = $\frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{225}{64}}$

x₁ = $\frac{17}{8}$ - $\frac{15}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

x₂ = $\frac{17}{8}$ + $\frac{15}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,25$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 33}{3 x - 5} - 1$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{3}$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

- \frac{33}{3 x - 5} - 1

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$- \frac{33}{3 x - 5} - 1$	=	$- x$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$- \frac{33}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - 1 \cdot (3 x - 5)$	=	$- x \cdot (3 x - 5)$
$- 33 - 3 x + 5$	=	$- x \cdot (3 x - 5)$
$- 3 x - 28$	=	$- 3 x^{2} + 5 x$

- 3 x - 28

=

- 3 x^{2} + 5 x

|

+ 3 x^{2}

- 5 x

$3 x^{2} - 8 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 336}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{8+20}{6}$ = $\frac{28}{6}$ = $\frac{14}{3}$ ≈ 4.67

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{8-20}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x - 28$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (- \frac{28}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{84}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{14}{3}$ = 4.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{14}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 6}$ = $- \frac{104}{6 x + 12} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{3 x + 6}$	=	$- \frac{104}{6 x + 12} + 2 x$
$\frac{x}{3 (x + 2)}$	=	$- \frac{104}{6 (x + 2)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 2)}$	=	$- \frac{104}{6 (x + 2)} + 2 x$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$\frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$	=	$\frac{- 104}{6 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + 2 x \cdot (3 (x + 2))$
$x$	=	$- 52 + 6 x \cdot (x + 2)$
$x$	=	$6 x^{2} + 12 x - 52$

x

=

6 x^{2} + 12 x - 52

|

- 6 x^{2}

- 12 x

+ 52

$- 6 x^{2} - 11 x + 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 52}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 1 248}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{1 369}}{- 12}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{1 369}}{- 12}$ = $\frac{11+37}{- 12}$ = $\frac{48}{- 12}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{1 369}}{- 12}$ = $\frac{11-37}{- 12}$ = $\frac{- 26}{- 12}$ = $\frac{13}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} - 11 x + 52$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} + \frac{11}{6} x - \frac{26}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{12})}^{2} - (- \frac{26}{3})$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{26}{3}$ = $\frac{121}{144}$ $+$ $\frac{1248}{144}$ = $\frac{1369}{144}$

x_1,2 = $- \frac{11}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{144}}$

x₁ = $- \frac{11}{12}$ - $\frac{37}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{12}$ + $\frac{37}{12}$ = $\frac{26}{12}$ = 2.1666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{13}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 13 x + 30}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 13 x + 30}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 13 x + 30}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 13 x + 30$	=	$- x^{2}$

- 13 x + 30

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 13 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13+7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13-7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$9$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$9 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$9 x$
$a + x^{2} - 9 x$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):