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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{10 x}{x - 1}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{10 x}{x - 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{10 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$10 x$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$10 x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

$10 x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 2 x)$
$2 x^{2} + 10 x - 2 x$	=	0
$2 x^{2} + 8 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 32 x + 6}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 32 x + 6}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 32 x + 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 32 x + 6$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 32 x + 6

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 17 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 6}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{17+19}{- 6}$ = $\frac{36}{- 6}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{17-19}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 17 x + 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 x - 4$ = $- \frac{9 x}{x + 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$2 x - 4$	=	$\frac{- 9 x}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$2 x \cdot (x + 1) - 4 \cdot (x + 1)$	=	$\frac{- 9 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$2 x \cdot (x + 1) - 4 x - 4$	=	$- \frac{9 x}{1}$
$2 x \cdot (x + 1) - 4 x - 4$	=	$- 9 x$
$2 x^{2} + 2 x - 4 x - 4$	=	$- 9 x$
$2 x^{2} - 2 x - 4$	=	$- 9 x$

2 x^{2} - 2 x - 4

=

- 9 x

|

+ 9 x

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7+9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7-9}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8}$ = $- \frac{7,5}{x - 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{2 x - 8}$	=	$- \frac{7,5}{x - 4} - 3 x$
$\frac{x}{2 (x - 4)}$	=	$- \frac{7,5}{x - 4} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)}$	=	$- \frac{7,5}{x - 4} - 3 x$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4))$	=	$\frac{- 7,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) - 3 x \cdot (2 (x - 4))$
$x$	=	$- 15 - 6 x \cdot (x - 4)$
$x$	=	$- 6 x^{2} + 24 x - 15$

x

=

- 6 x^{2} + 24 x - 15

|

+ 6 x^{2}

- 24 x

+ 15

$6 x^{2} - 23 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot 6 \cdot 15}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 - 360}}{12}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{169}}{12}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{169}}{12}$ = $\frac{23+13}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = $3$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{169}}{12}$ = $\frac{23-13}{12}$ = $\frac{10}{12}$ = $\frac{5}{6}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} - 23 x + 15$ = 0 |: $6$

$x^{2} - \frac{23}{6} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{12})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{529}{144}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{529}{144}$ $-$ $\frac{360}{144}$ = $\frac{169}{144}$

x_1,2 = $\frac{23}{12}$ ± $\sqrt{\frac{169}{144}}$

x₁ = $\frac{23}{12}$ - $\frac{13}{12}$ = $\frac{10}{12}$ = 0.83333333333333

x₂ = $\frac{23}{12}$ + $\frac{13}{12}$ = $\frac{36}{12}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{5}{6}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}} - \frac{70}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}} - \frac{70}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{70}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 3 x - 70$	=

$x^{2} - 3 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3+17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{3-17}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$9$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$9 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$9 x$
$a + x^{2} - 9 x$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):