Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{50}{x}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{50}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{50}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$50$	=	$2 x \cdot x$
$50$	=	$2 x^{2}$

$50$	=	$2 x^{2}$	\| $- 50$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 50$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{23 x - 12}{x + 1}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{23 x - 12}{x + 1}$	=	$4 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{23 x - 12}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$23 x - 12$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$23 x - 12$	=	$4 x^{2} + 4 x$

23 x - 12

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19+13}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19-13}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - 3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{18 x}{x - 2} + 2 x$ = $5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{18 x}{x - 2} + 2 x$	=	$5$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{18 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 2 x \cdot (x - 2)$	=	$5 \cdot (x - 2)$
$18 x + 2 x \cdot (x - 2)$	=	$5 (x - 2)$
$18 x + (2 x^{2} - 4 x)$	=	$5 (x - 2)$
$2 x^{2} + 14 x$	=	$5 x - 10$

2 x^{2} + 14 x

=

5 x - 10

|

- 5 x

+ 10

$2 x^{2} + 9 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 9+1}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{- 9-1}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - 5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4} + 3 x$ = $- \frac{- 5,5}{x + 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{4 (x + 1)} + 3 x

=

\frac{5,5}{x + 1}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)} + 3 x$	=	$\frac{5,5}{x + 1}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + 3 x \cdot (4 (x + 1))$	=	$\frac{5,5}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$
$x + 12 x \cdot (x + 1)$	=	$22$
$x + (12 x^{2} + 12 x)$	=	$22$
$12 x^{2} + 13 x$	=	$22$

12 x^{2} + 13 x

=

22

|

- 22

$12 x^{2} + 13 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 056}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 225}}{24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 225}}{24}$ = $\frac{- 13+35}{24}$ = $\frac{22}{24}$ = $\frac{11}{12}$ ≈ 0.92

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 225}}{24}$ = $\frac{- 13-35}{24}$ = $\frac{- 48}{24}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 13 x - 22$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{13}{12} x - \frac{11}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{11}{6})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{11}{6}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{1056}{576}$ = $\frac{1225}{576}$

x_1,2 = $- \frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{576}}$

x₁ = $- \frac{13}{24}$ - $\frac{35}{24}$ = $- \frac{48}{24}$ = -2

x₂ = $- \frac{13}{24}$ + $\frac{35}{24}$ = $\frac{22}{24}$ = 0.91666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{11}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{56}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + \frac{56}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{56}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} + x + 56$

0

=

- x^{2} + x + 56

|

+ x^{2}

- x

- 56

$x^{2} - x - 56$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1+15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{1-15}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 56)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $56$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{224}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 7$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 7 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 7 x$
$a + x^{2} + 7 x$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):