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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3 x}{x - 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 3 x}{x - 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 3 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$- x (x - 1)$
$- 3 x$	=	$- x (x - 1)$
$- 3 x$	=	$- x^{2} + x$

$- 3 x$	=	$- x^{2} + x$	\| $- (- x^{2} + x)$
$x^{2} - 3 x - x$	=	0
$x^{2} - 4 x$	=	0
$x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 4$ = $\frac{3 x + 12}{2 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{3 x + 12}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x + 4 \cdot 2 x$	=	$\frac{3 x + 12}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x + 8 x$	=	$3 x + 12$
$2 x^{2} + 8 x$	=	$3 x + 12$

2 x^{2} + 8 x

=

3 x + 12

|

- 3 x

- 12

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5+11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{4}$ = $\frac{- 5-11}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 5 x - 12$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 5$ = $- \frac{2}{x - 5} - 2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

- 5

=

- \frac{2}{x - 5} - 2 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- 5$	=	$- \frac{2}{x - 5} - 2 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$- 5 \cdot (x - 5)$	=	$- \frac{2}{x - 5} \cdot (x - 5) - 2 x \cdot (x - 5)$
$- 5 (x - 5)$	=	$- 2 - 2 x (x - 5)$
$- 5 x + 25$	=	$- 2 - 2 x (x - 5)$
$- 5 x + 25$	=	$- 2 x^{2} + 10 x - 2$

- 5 x + 25

=

- 2 x^{2} + 10 x - 2

|

+ 2 x^{2}

- 10 x

+ 2

$2 x^{2} - 15 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 27}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{15+3}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{15-3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 15 x + 27$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{27}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (\frac{27}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{27}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{216}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $4,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- x$ = $- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{9}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$- x$	=	$- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{9}{x + 3}$
$- x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{9}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$- x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{9}{x + 3}$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$- x \cdot (2 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 9}{x + 3} \cdot (2 (x + 3))$
$- 2 x (x + 3)$	=	$- x - 18$
$- 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3$	=	$- x - 18$
$- 2 x \cdot x - 6 x$	=	$- x - 18$
$- 2 x^{2} - 6 x$	=	$- x - 18$

- 2 x^{2} - 6 x

=

- x - 18

|

+ x

+ 18

$- 2 x^{2} - 5 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 18}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{5+13}{- 4}$ = $\frac{18}{- 4}$ = $- 4,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{5-13}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 5 x + 18$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,5$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13}{x^{3}} + \frac{40}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{13}{x^{3}} + \frac{40}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{13}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{40}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$13 x + 40$	=	$- x^{2}$

13 x + 40

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13+3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13-3}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{8}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{8}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{8}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{8}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$8$
$a x + x^{2} - 8$	=	0
$x^{2} + a x - 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 4)$ = -8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 4)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

L={ $- 4$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):