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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{32}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{32}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{32}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 32$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 32$	=	$- 2 x^{2}$

$- 32$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 32$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 8 x - 10}{x + 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 8 x - 10}{x + 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 8 x - 10}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$2 x \cdot (x + 2)$
$- 8 x - 10$	=	$2 x (x + 2)$
$- 8 x - 10$	=	$2 x^{2} + 4 x$

- 8 x - 10

=

2 x^{2} + 4 x

|

- 2 x^{2}

- 4 x

- 2 x^{2} - 12 x - 10

= 0 |:2

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6+4}{- 2}$ = $\frac{10}{- 2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{6-4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 6 x - 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 6 x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 3$ - $2$ = -5

x₂ = $- 3$ + $2$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 6 x}{2 x - 4} + 2$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

$- \frac{6 x}{2 x - 4} + 2$	=	$- x$
$- \frac{6 x}{2 (x - 2)} + 2$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{6 x}{2 (x - 2)} + 2$	=	$- x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{6 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2)$	=	$- x \cdot (x - 2)$
$- 3 x + 2 x - 4$	=	$- x (x - 2)$
$- x - 4$	=	$- x^{2} + 2 x$

- x - 4

=

- x^{2} + 2 x

|

+ x^{2}

- 2 x

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 9}$ = $- \frac{34}{2 x + 6} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{3 x + 9}$	=	$- \frac{34}{2 x + 6} + x$
$\frac{x}{3 (x + 3)}$	=	$- \frac{34}{2 (x + 3)} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 3)}$	=	$- \frac{34}{2 (x + 3)} + x$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$	=	$\frac{- 34}{2 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + x \cdot (3 (x + 3))$
$x$	=	$- 51 + 3 x (x + 3)$
$x$	=	$3 x^{2} + 9 x - 51$

x

=

3 x^{2} + 9 x - 51

|

- 3 x^{2}

- 9 x

+ 51

$- 3 x^{2} - 8 x + 51$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 51}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 612}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{676}}{- 6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{8+26}{- 6}$ = $\frac{34}{- 6}$ = $- \frac{17}{3}$ ≈ -5.67

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{8-26}{- 6}$ = $\frac{- 18}{- 6}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 8 x + 51$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x - 17$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (- 17)$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $17$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{153}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{17}{3}$ = -5.6666666666667

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{9}{3}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{17}{3}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{3}{x}$ = $\frac{28}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{3}{x}$	=	$\frac{28}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{3}{x} \cdot x^{2}$	=	$\frac{28}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 3 x$	=	$28$

x^{2} - 3 x

=

28

|

- 28

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 10$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 10$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 10$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 10 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 10 x$	=	$- a$
$x^{2} - 10 x + a$	=	0
$x^{2} - 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 8 würde es funktionieren, denn $- (2 + 8)$ = -10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 8$ = $16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10+6}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{10-6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $5$ - $3$ = 2

x₂ = $5$ + $3$ = 8

L={ $2$ ; $8$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):