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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8 x}{x + 1}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{8 x}{x + 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{8 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$8 x$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$8 x$	=	$- 2 x^{2} - 2 x$

$8 x$	=	$- 2 x^{2} - 2 x$	\| $- (- 2 x^{2} - 2 x)$
$2 x^{2} + 8 x + 2 x$	=	0
$2 x^{2} + 10 x$	=	0
$2 x \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $\frac{31 x + 3}{4 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{31 x + 3}{4 x}$	\|⋅( $4 x$ )
$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$	=	$\frac{31 x + 3}{4 x} \cdot 4 x$
$4 x \cdot x + 20 x$	=	$31 x + 3$
$4 x^{2} + 20 x$	=	$31 x + 3$

4 x^{2} + 20 x

=

31 x + 3

|

- 31 x

- 3

$4 x^{2} - 11 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{11+13}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{11-13}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 11 x - 3$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{11}{4} x - \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{8})}^{2} - (- \frac{3}{4})$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{121}{64}$ $+$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{11}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{11}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{24}{8}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{2 x}{x - 2} + x + 1$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2 x}{x - 2} + x + 1$	=	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + x \cdot (x - 2) + 1 \cdot (x - 2)$	=
$2 x + x \cdot (x - 2) + x - 2$	=
$2 x + (x^{2} - 2 x) + x - 2$	=
$x^{2} + x - 2$	=

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 3}$ = $- \frac{236}{3 x + 3} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{3 x + 3}$	=	$- \frac{236}{3 x + 3} + 4 x$
$\frac{x}{3 (x + 1)}$	=	$- \frac{236}{3 (x + 1)} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 1)}$	=	$- \frac{236}{3 (x + 1)} + 4 x$	\|⋅( $3 (x + 1)$ )
$\frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1))$	=	$- \frac{236}{3 (x + 1)} \cdot (3 (x + 1)) + 4 x \cdot (3 (x + 1))$
$x$	=	$- 236 + 12 x \cdot (x + 1)$
$x$	=	$12 x^{2} + 12 x - 236$

x

=

12 x^{2} + 12 x - 236

|

- 12 x^{2}

- 12 x

+ 236

$- 12 x^{2} - 11 x + 236$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 236}}{2 \cdot (- 12)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 11 328}}{- 24}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{11 449}}{- 24}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{11 449}}{- 24}$ = $\frac{11+107}{- 24}$ = $\frac{118}{- 24}$ = $- \frac{59}{12}$ ≈ -4.92

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{11 449}}{- 24}$ = $\frac{11-107}{- 24}$ = $\frac{- 96}{- 24}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 12$ " teilen:

$- 12 x^{2} - 11 x + 236$ = 0 |: $- 12$

$x^{2} + \frac{11}{12} x - \frac{59}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{24})}^{2} - (- \frac{59}{3})$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{59}{3}$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{11328}{576}$ = $\frac{11449}{576}$

x_1,2 = $- \frac{11}{24}$ ± $\sqrt{\frac{11449}{576}}$

x₁ = $- \frac{11}{24}$ - $\frac{107}{24}$ = $- \frac{118}{24}$ = -4.9166666666667

x₂ = $- \frac{11}{24}$ + $\frac{107}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{59}{12}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13}{x}$ = $- 1 - \frac{40}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{13}{x}$	=	$- 1 - \frac{40}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{13}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{40}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$13 x$	=	$- x^{2} - 40$

13 x

=

- x^{2} - 40

|

+ x^{2}

+ 40

$x^{2} + 13 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13+3}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 13-3}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $40$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{160}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{16}{2}$ = -8

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 2$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 2$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 2$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 2 x$	=	$- a$
$x^{2} + 2 x + a$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):