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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x^{2}$

$- 4$	=	$- x^{2}$	\| $+ 4$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 47 x - 21}{4 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 47 x - 21}{4 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 47 x - 21}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$
$- 47 x - 21$	=	$4 x \cdot x - 16 x$

- 47 x - 21

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

$- 4 x^{2} - 31 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 21)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 - 336}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{625}}{- 8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{31+25}{- 8}$ = $\frac{56}{- 8}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{31-25}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 31 x - 21$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{31}{4} x + \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{8})}^{2} - (\frac{21}{4})$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{961}{64}$ $-$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{31}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{56}{8}$ = -7

x₂ = $- \frac{31}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$5$ = $- \frac{2 x}{x - 2} - 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$5$	=	$- \frac{2 x}{x - 2} - 3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$5 \cdot (x - 2)$	=	$- \frac{2 x}{x - 2} \cdot (x - 2) - 3 x \cdot (x - 2)$
$5 (x - 2)$	=	$- 2 x - 3 x \cdot (x - 2)$
$5 x - 10$	=	$- 2 x - 3 x \cdot (x - 2)$
$5 x - 10$	=	$- 3 x^{2} + 4 x$

5 x - 10

=

- 3 x^{2} + 4 x

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

$3 x^{2} + x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 1+11}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 1-11}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + x - 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{10}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{1}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = 1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{5}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{- 8,2}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 15} + \frac{8,2}{x + 3}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} + \frac{8,2}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} + \frac{8,2}{x + 3}$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
$2 x \cdot (5 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) + \frac{8,2}{x + 3} \cdot (5 (x + 3))$
$10 x \cdot (x + 3)$	=	$- x + 41$
$10 x \cdot x + 10 x \cdot 3$	=	$- x + 41$
$10 x \cdot x + 30 x$	=	$- x + 41$
$10 x^{2} + 30 x$	=	$- x + 41$

10 x^{2} + 30 x

=

- x + 41

|

+ x

- 41

$10 x^{2} + 31 x - 41$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{31^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 41)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{961 + 1 640}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 31 \pm \sqrt{2 601}}{20}$

x₁ = $\frac{- 31 + \sqrt{2 601}}{20}$ = $\frac{- 31+51}{20}$ = $\frac{20}{20}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 31 - \sqrt{2 601}}{20}$ = $\frac{- 31-51}{20}$ = $\frac{- 82}{20}$ = $- 4,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 31 x - 41$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{31}{10} x - \frac{41}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{20})}^{2} - (- \frac{41}{10})$ = $\frac{961}{400}$ $+$ $\frac{41}{10}$ = $\frac{961}{400}$ $+$ $\frac{1640}{400}$ = $\frac{2601}{400}$

x_1,2 = $- \frac{31}{20}$ ± $\sqrt{\frac{2601}{400}}$

x₁ = $- \frac{31}{20}$ - $\frac{51}{20}$ = $- \frac{82}{20}$ = -4.1

x₂ = $- \frac{31}{20}$ + $\frac{51}{20}$ = $\frac{20}{20}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,1$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{3}{x^{2}} + \frac{54}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{3}{x^{2}} + \frac{54}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{54}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- 3 x + 54$

x^{2}

=

- 3 x + 54

|

+ 3 x

- 54

$x^{2} + 3 x - 54$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3+15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 3-15}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 54)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $54$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{216}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{30}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{30}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 30$
$x^{2} + a x + 30$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):