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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{12 x}{x + 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{12 x}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{12 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$12 x$	=	$- 3 x (x + 1)$
$12 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

$12 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 3 x)$
$3 x^{2} + 12 x + 3 x$	=	0
$3 x^{2} + 15 x$	=	0
$3 x (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{43 x - 18}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{43 x - 18}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{43 x - 18}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$43 x - 18$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

43 x - 18

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} + 27 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{27^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{729 - 288}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 27 \pm \sqrt{441}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 27 + \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{- 27+21}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 27 - \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{- 27-21}{- 8}$ = $\frac{- 48}{- 8}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 27 x - 18$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{8})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $\frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $\frac{27}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{27}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{18 x}{x - 4} + x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{18 x}{x - 4} + x - 5$	=	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{18 x}{x - 4} \cdot (x - 4) + x \cdot (x - 4) - 5 \cdot (x - 4)$	=
$18 x + x (x - 4) - 5 x + 20$	=
$18 x + (x^{2} - 4 x) - 5 x + 20$	=
$x^{2} + 9 x + 20$	=

$x^{2} + 9 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9+1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 9-1}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $20$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4} + \frac{97,5}{2 x - 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{4 x - 4} + \frac{97,5}{2 x - 2}$	=	$4 x$
$\frac{x}{4 (x - 1)} + \frac{97,5}{2 (x - 1)}$	=	$4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)} + \frac{97,5}{2 (x - 1)}$	=	$4 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{97,5}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1))$	=	$4 x \cdot (4 (x - 1))$
$x + 195$	=	$16 x (x - 1)$
$x + 195$	=	$16 x^{2} - 16 x$

x + 195

=

16 x^{2} - 16 x

|

- 16 x^{2}

+ 16 x

$- 16 x^{2} + 17 x + 195$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 195}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 12 480}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{12 769}}{- 32}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{12 769}}{- 32}$ = $\frac{- 17+113}{- 32}$ = $\frac{96}{- 32}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{12 769}}{- 32}$ = $\frac{- 17-113}{- 32}$ = $\frac{- 130}{- 32}$ = $\frac{65}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} + 17 x + 195$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} - \frac{17}{16} x - \frac{195}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{32})}^{2} - (- \frac{195}{16})$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{195}{16}$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{12480}{1024}$ = $\frac{12769}{1024}$

x_1,2 = $\frac{17}{32}$ ± $\sqrt{\frac{12769}{1024}}$

x₁ = $\frac{17}{32}$ - $\frac{113}{32}$ = $- \frac{96}{32}$ = -3

x₂ = $\frac{17}{32}$ + $\frac{113}{32}$ = $\frac{130}{32}$ = 4.0625

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{65}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5}{x}$ = $- 1 + \frac{50}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{5}{x}$	=	$- 1 + \frac{50}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{5}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{50}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$5 x$	=	$- x^{2} + 50$

5 x

=

- x^{2} + 50

|

+ x^{2}

- 50

$x^{2} + 5 x - 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 50)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 200}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5+15}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 5-15}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 50)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $50$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{200}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{24}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{24}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 24$	=	$- a x$
$x^{2} + 24 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):