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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x^{2}$

$- 3$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{17 x - 7}{x + 1}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{17 x - 7}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{17 x - 7}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$17 x - 7$	=	$2 x (x + 1)$
$17 x - 7$	=	$2 x^{2} + 2 x$

17 x - 7

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

$- 2 x^{2} + 15 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 15+13}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 15-13}{- 4}$ = $\frac{- 28}{- 4}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 15 x - 7$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{14 x}{3 x + 2}$ = $- x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{2}{3}$

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$\frac{14 x}{3 x + 2}$	=	$- x + 3$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$\frac{14 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2)$	=	$- x \cdot (3 x + 2) + 3 \cdot (3 x + 2)$
$14 x$	=	$- x (3 x + 2) + 9 x + 6$
$14 x$	=	$- 3 x^{2} + 7 x + 6$

14 x

=

- 3 x^{2} + 7 x + 6

|

+ 3 x^{2}

- 7 x

- 6

$3 x^{2} + 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7+11}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 7-11}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x - 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{2}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{6,75}{x + 2} - 2 x$ = $- \frac{x}{4 x + 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{6,75}{x + 2} - 2 x$	=	$\frac{- x}{4 x + 8}$
$\frac{6,75}{x + 2} - 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

$\frac{6,75}{x + 2} - 2 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 2)}$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
$\frac{6,75}{x + 2} \cdot (4 (x + 2)) - 2 x \cdot (4 (x + 2))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2))$
$27 - 8 x (x + 2)$	=	$- x$
$27 + (- 8 x^{2} - 16 x)$	=	$- x$
$- 8 x^{2} - 16 x + 27$	=	$- x$

- 8 x^{2} - 16 x + 27

=

- x

|

+ x

$- 8 x^{2} - 15 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 27}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 864}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{1 089}}{- 16}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{1 089}}{- 16}$ = $\frac{15+33}{- 16}$ = $\frac{48}{- 16}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{1 089}}{- 16}$ = $\frac{15-33}{- 16}$ = $\frac{- 18}{- 16}$ = $1,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 15 x + 27$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{15}{8} x - \frac{27}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{16})}^{2} - (- \frac{27}{8})$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{27}{8}$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{864}{256}$ = $\frac{1089}{256}$

x_1,2 = $- \frac{15}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{256}}$

x₁ = $- \frac{15}{16}$ - $\frac{33}{16}$ = $- \frac{48}{16}$ = -3

x₂ = $- \frac{15}{16}$ + $\frac{33}{16}$ = $\frac{18}{16}$ = 1.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}} + \frac{10}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}} + \frac{10}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{9}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{10}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} + 9 x + 10$

0

=

- x^{2} + 9 x + 10

|

+ x^{2}

- 9 x

- 10

$x^{2} - 9 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9+11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{9-11}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{10}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{10}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{10}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 10$	=	$- x^{2}$
$a x - 10 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):