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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{27}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{27}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{27}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 27$	=	$- 3 x^{2}$

$- 27$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 27$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$27$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 13 x - 6}{x + 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{- 13 x - 6}{x + 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{- 13 x - 6}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$3 x \cdot (x + 2)$
$- 13 x - 6$	=	$3 x (x + 2)$
$- 13 x - 6$	=	$3 x^{2} + 6 x$

- 13 x - 6

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} - 19 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{19+17}{- 6}$ = $\frac{36}{- 6}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{19-17}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 19 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{19}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $- \frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $- \frac{19}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{19}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 6 x}{x + 5} - x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

0

=

\frac{6 x}{x + 5} - x + 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

=	$\frac{6 x}{x + 5} - x + 2$	\|⋅( $x + 5$ )
=	$\frac{6 x}{x + 5} \cdot (x + 5) - x \cdot (x + 5) + 2 \cdot (x + 5)$
=	$6 x - x (x + 5) + 2 x + 10$
=	$- x^{2} + 3 x + 10$

0

=

- x^{2} + 3 x + 10

|

+ x^{2}

- 3 x

- 10

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3+7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{3-7}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 2} + \frac{- 26}{x - 1} + 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{2 x - 2} - \frac{26}{x - 1} + 2 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{26}{x - 1} + 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 1)} - \frac{26}{x - 1} + 2 x$	=	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$\frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{- 26}{x - 1} \cdot (2 (x - 1)) + 2 x \cdot (2 (x - 1))$	=
$x - 52 + 4 x (x - 1)$	=
$x - 52 + (4 x^{2} - 4 x)$	=
$4 x^{2} - 3 x - 52$	=

$4 x^{2} - 3 x - 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 52)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 832}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{3+29}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{3-29}{8}$ = $\frac{- 26}{8}$ = $- 3,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 3 x - 52$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{3}{4} x - 13$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{8})}^{2} - (- 13)$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $13$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{832}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $\frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $\frac{3}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $- \frac{26}{8}$ = -3.25

x₂ = $\frac{3}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,25$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{7}{x} - \frac{18}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{7}{x} - \frac{18}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{7}{x} \cdot x^{2} - \frac{18}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 7 x - 18$	=	$- x^{2}$

- 7 x - 18

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7+11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{7-11}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$12 + x^{2}$	=	$- a x$
$12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):