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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x^{2}$

$- 1$	=	$- x^{2}$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{7}{2} - \frac{1}{2 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{7}{2} - \frac{1}{2 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$\frac{7}{2} \cdot x - \frac{1}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$\frac{7}{2} x - \frac{1}{2}$	=	$x \cdot x + 5 x$

$\frac{7}{2} x - \frac{1}{2}$	=	$x^{2} + 5 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{7}{2} x - \frac{1}{2})$	=	$2 (x^{2} + 5 x)$
$7 x - 1$	=	$2 x^{2} + 10 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 10 x$

$- 2 x^{2} - 3 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{3+1}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{3-1}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 3 x - 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$5$ = $- \frac{18 x}{2 x - 5} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{2}$

D=R\{ $\frac{5}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 5$ weg!

$5$	=	$- \frac{18 x}{2 x - 5} - x$	\|⋅( $2 x - 5$ )
$5 \cdot (2 x - 5)$	=	$- \frac{18 x}{2 x - 5} \cdot (2 x - 5) - x \cdot (2 x - 5)$
$5 (2 x - 5)$	=	$- 18 x - x \cdot (2 x - 5)$
$10 x - 25$	=	$- 18 x - x \cdot (2 x - 5)$
$10 x - 25$	=	$- 2 x^{2} - 13 x$

10 x - 25

=

- 2 x^{2} - 13 x

|

+ 2 x^{2}

+ 13 x

$2 x^{2} + 23 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 + 200}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{729}}{4}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 23+27}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{729}}{4}$ = $\frac{- 23-27}{4}$ = $\frac{- 50}{4}$ = $- 12,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 23 x - 25$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{23}{2} x - \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{4})}^{2} - (- \frac{25}{2})$ = $\frac{529}{16}$ $+$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{529}{16}$ $+$ $\frac{200}{16}$ = $\frac{729}{16}$

x_1,2 = $- \frac{23}{4}$ ± $\sqrt{\frac{729}{16}}$

x₁ = $- \frac{23}{4}$ - $\frac{27}{4}$ = $- \frac{50}{4}$ = -12.5

x₂ = $- \frac{23}{4}$ + $\frac{27}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 12,5$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{- 10,5}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$x$	=	$- \frac{x}{4 x + 12} + \frac{10,5}{x + 3}$
$x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{10,5}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{10,5}{x + 3}$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$x \cdot (4 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{10,5}{x + 3} \cdot (4 (x + 3))$
$4 x \cdot (x + 3)$	=	$- x + 42$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3$	=	$- x + 42$
$4 x \cdot x + 12 x$	=	$- x + 42$
$4 x^{2} + 12 x$	=	$- x + 42$

4 x^{2} + 12 x

=

- x + 42

|

+ x

- 42

$4 x^{2} + 13 x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 672}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{841}}{8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 13+29}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{841}}{8}$ = $\frac{- 13-29}{8}$ = $\frac{- 42}{8}$ = $- 5,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 13 x - 42$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{672}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $- \frac{42}{8}$ = -5.25

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,25$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{7}{x^{2}}$ = $- \frac{8}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{7}{x^{2}}$	=	$- \frac{8}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{7}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{8}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 7$	=	$- 8 x$

x^{2} + 7

=

- 8 x

|

+ 8 x

$x^{2} + 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8+6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 8-6}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 4$ - $3$ = -7

x₂ = $- 4$ + $3$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{30}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{30}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{30}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 30$	=	$- x^{2}$
$a x + 30 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):