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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{25}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{25}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{25}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x \cdot x$
$25$	=	$x^{2}$

$25$	=	$x^{2}$	\| $- 25$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 25$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9 x - 6}{2 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{9 x - 6}{2 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{9 x - 6}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 2 \cdot 2 x$
$9 x - 6$	=	$2 x \cdot x - 4 x$

9 x - 6

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13+11}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{- 13-11}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 13 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{13}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{169}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $\frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $\frac{13}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{13}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4}{3 x - 5}$ = $- x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{3}$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$\frac{4}{3 x - 5}$	=	$- x + 4$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$\frac{4}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$	=	$- x \cdot (3 x - 5) + 4 \cdot (3 x - 5)$
$4$	=	$- x \cdot (3 x - 5) + 12 x - 20$
$4$	=	$- 3 x^{2} + 17 x - 20$

4

=

- 3 x^{2} + 17 x - 20

|

+ 3 x^{2}

- 17 x

+ 20

$3 x^{2} - 17 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 24}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{17+1}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{17-1}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = $\frac{8}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 17 x + 24$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{17}{3} x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{6})}^{2} - 8$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $8$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{288}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $\frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $\frac{17}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $\frac{16}{6}$ = 2.6666666666667

x₂ = $\frac{17}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{8}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 12} + \frac{128}{2 x - 8}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{3 x - 12} + \frac{128}{2 x - 8}$	=	$3 x$
$\frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{128}{2 (x - 4)}$	=	$3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{128}{2 (x - 4)}$	=	$3 x$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
$\frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + \frac{128}{2 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4))$	=	$3 x \cdot (3 (x - 4))$
$x + 192$	=	$9 x \cdot (x - 4)$
$x + 192$	=	$9 x^{2} - 36 x$

x + 192

=

9 x^{2} - 36 x

|

- 9 x^{2}

+ 36 x

$- 9 x^{2} + 37 x + 192$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 192}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 6 912}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{8 281}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{8 281}}{- 18}$ = $\frac{- 37+91}{- 18}$ = $\frac{54}{- 18}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{8 281}}{- 18}$ = $\frac{- 37-91}{- 18}$ = $\frac{- 128}{- 18}$ = $\frac{64}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 37 x + 192$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{37}{9} x - \frac{64}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{37}{18})}^{2} - (- \frac{64}{3})$ = $\frac{1369}{324}$ $+$ $\frac{64}{3}$ = $\frac{1369}{324}$ $+$ $\frac{6912}{324}$ = $\frac{8281}{324}$

x_1,2 = $\frac{37}{18}$ ± $\sqrt{\frac{8281}{324}}$

x₁ = $\frac{37}{18}$ - $\frac{91}{18}$ = $- \frac{54}{18}$ = -3

x₂ = $\frac{37}{18}$ + $\frac{91}{18}$ = $\frac{128}{18}$ = 7.1111111111111

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{64}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x + 12}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{8 x + 12}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{8 x + 12}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$8 x + 12$	=	$- x^{2}$

8 x + 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8+4}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 8-4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 4$ - $2$ = -6

x₂ = $- 4$ + $2$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{15}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{15}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{15}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{15}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$15 + a x$	=	$- x^{2}$
$15 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):