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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{8}{x + 3}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{8}{x + 3}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{8}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- 2 x \cdot (x + 3)$
$- 8$	=	$- 2 x (x + 3)$
$- 8$	=	$- 2 x^{2} - 6 x$

- 8

=

- 2 x^{2} - 6 x

|

+ 2 x^{2}

+ 6 x

2 x^{2} + 6 x - 8

= 0 |:2

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 9 x + 18}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 9 x + 18}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 9 x + 18}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$- 9 x + 18$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

- 9 x + 18

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} - 21 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{{(- 21)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 18}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{441 + 288}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 21 \pm \sqrt{729}}{- 8}$

x₁ = $\frac{21 + \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{21+27}{- 8}$ = $\frac{48}{- 8}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{21 - \sqrt{729}}{- 8}$ = $\frac{21-27}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 21 x + 18$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{21}{4} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{8})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{441}{64}$ $+$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{729}{64}$

x_1,2 = $- \frac{21}{8}$ ± $\sqrt{\frac{729}{64}}$

x₁ = $- \frac{21}{8}$ - $\frac{27}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{21}{8}$ + $\frac{27}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 5$ = $- \frac{24 x}{x + 5}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$x - 5$	=	$\frac{- 24 x}{x + 5}$	\|⋅( $x + 5$ )
$x \cdot (x + 5) - 5 \cdot (x + 5)$	=	$\frac{- 24 x}{x + 5} \cdot (x + 5)$
$x (x + 5) - 5 x - 25$	=	$- \frac{24 x}{1}$
$x (x + 5) - 5 x - 25$	=	$- 24 x$
$x^{2} + 5 x - 5 x - 25$	=	$- 24 x$
$x^{2} - 25$	=	$- 24 x$

x^{2} - 25

=

- 24 x

|

+ 24 x

$x^{2} + 24 x - 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{24^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 25)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{576 + 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 24 \pm \sqrt{676}}{2}$

x₁ = $\frac{- 24 + \sqrt{676}}{2}$ = $\frac{- 24+26}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 24 - \sqrt{676}}{2}$ = $\frac{- 24-26}{2}$ = $\frac{- 50}{2}$ = $- 25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $12^{2} - (- 25)$ = $144$ $+$ $25$ = $169$

x_1,2 = $- 12$ ± $\sqrt{169}$

x₁ = $- 12$ - $13$ = -25

x₂ = $- 12$ + $13$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 25$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{2 x - 4} - \frac{30}{x - 2} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

0	=	$- \frac{x}{2 x - 4} - \frac{30}{x - 2} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} - \frac{30}{x - 2} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} - \frac{30}{x - 2} + 4 x$	\|⋅( $2 (x - 2)$ )
=	$- \frac{x}{2 (x - 2)} \cdot (2 (x - 2)) + \frac{- 30}{x - 2} \cdot (2 (x - 2)) + 4 x \cdot (2 (x - 2))$
=	$- x - 60 + 8 x (x - 2)$
=	$8 x^{2} - 17 x - 60$

0

=

8 x^{2} - 17 x - 60

|

- 8 x^{2}

+ 17 x

+ 60

$- 8 x^{2} + 17 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 60}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 1 920}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{2 209}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{2 209}}{- 16}$ = $\frac{- 17+47}{- 16}$ = $\frac{30}{- 16}$ = $- 1,875$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{2 209}}{- 16}$ = $\frac{- 17-47}{- 16}$ = $\frac{- 64}{- 16}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 17 x + 60$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{17}{8} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{16})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{289}{256}$ $+$ $\frac{1920}{256}$ = $\frac{2209}{256}$

x_1,2 = $\frac{17}{16}$ ± $\sqrt{\frac{2209}{256}}$

x₁ = $\frac{17}{16}$ - $\frac{47}{16}$ = $- \frac{30}{16}$ = -1.875

x₂ = $\frac{17}{16}$ + $\frac{47}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,875$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}} + \frac{27}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{27}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} + 12 x + 27$	=

$x^{2} + 12 x + 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12+6}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 12-6}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 27$ = $36$ $-$ $27$ = $9$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 6$ - $3$ = -9

x₂ = $- 6$ + $3$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{10}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{10}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{10}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 10$	=	$- x^{2}$
$a x + 10 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):