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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{15 x}{x + 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 15 x}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 15 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{15 x}{1}$	=	$- 3 x (x + 1)$
$- 15 x$	=	$- 3 x (x + 1)$
$- 15 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

$- 15 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 3 x)$
$3 x^{2} - 15 x + 3 x$	=	0
$3 x^{2} - 12 x$	=	0
$3 x (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 23 x - 10}{3 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 23 x - 10}{3 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 23 x - 10}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 2 \cdot 3 x$
$- 23 x - 10$	=	$3 x \cdot x - 6 x$

- 23 x - 10

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - 17 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{- 6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{17+13}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{17-13}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 17 x - 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{30}{6}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 63}{x - 5} + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

x

=

\frac{63}{x - 5} + 3

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$x$	=	$\frac{63}{x - 5} + 3$	\|⋅( $x - 5$ )
$x \cdot (x - 5)$	=	$\frac{63}{x - 5} \cdot (x - 5) + 3 \cdot (x - 5)$
$x (x - 5)$	=	$63 + 3 x - 15$
$x \cdot x + x \cdot (- 5)$	=	$63 + 3 x - 15$
$x \cdot x - 5 x$	=	$63 + 3 x - 15$
$x^{2} - 5 x$	=	$3 x + 48$

x^{2} - 5 x

=

3 x + 48

|

- 3 x

- 48

$x^{2} - 8 x - 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 48)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{256}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{8+16}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{256}}{2}$ = $\frac{8-16}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - (- 48)$ = $16$ $+$ $48$ = $64$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{64}$

x₁ = $4$ - $8$ = -4

x₂ = $4$ + $8$ = 12

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $12$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 48,8}{x + 2} + 2 x$ = $- \frac{x}{5 x + 10}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- \frac{48,8}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{5 x + 10}$
$- \frac{48,8}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$- \frac{48,8}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 2)}$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{- 48,8}{x + 2} \cdot (5 (x + 2)) + 2 x \cdot (5 (x + 2))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2))$
$- 244 + 10 x (x + 2)$	=	$- x$
$- 244 + (10 x^{2} + 20 x)$	=	$- x$
$10 x^{2} + 20 x - 244$	=	$- x$

10 x^{2} + 20 x - 244

=

- x

|

+ x

$10 x^{2} + 21 x - 244$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 10 \cdot (- 244)}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 + 9 760}}{20}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{10 201}}{20}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{10 201}}{20}$ = $\frac{- 21+101}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{10 201}}{20}$ = $\frac{- 21-101}{20}$ = $\frac{- 122}{20}$ = $- 6,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} + 21 x - 244$ = 0 |: $10$

$x^{2} + \frac{21}{10} x - \frac{122}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{20})}^{2} - (- \frac{122}{5})$ = $\frac{441}{400}$ $+$ $\frac{122}{5}$ = $\frac{441}{400}$ $+$ $\frac{9760}{400}$ = $\frac{10201}{400}$

x_1,2 = $- \frac{21}{20}$ ± $\sqrt{\frac{10201}{400}}$

x₁ = $- \frac{21}{20}$ - $\frac{101}{20}$ = $- \frac{122}{20}$ = -6.1

x₂ = $- \frac{21}{20}$ + $\frac{101}{20}$ = $\frac{80}{20}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,1$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{5}{x} + \frac{4}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{5}{x} \cdot x^{2} + \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$5 x + 4$	=	$- x^{2}$

5 x + 4

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{20}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{20}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{20}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 20$	=	$- x^{2}$
$a x + 20 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):