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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$12$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$12$	=	$- 3 x$	\| $- 12$ $+ 3 x$
$3 x$	=	$- 12$	\|: $3$
$x$	=	$- 4$

L={ $- 4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 12 x - 14}{x - 3}$ = $x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 12 x - 14}{x - 3}$	=	$x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 12 x - 14}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$x \cdot (x - 3)$
$- 12 x - 14$	=	$x (x - 3)$
$- 12 x - 14$	=	$x^{2} - 3 x$

- 12 x - 14

=

x^{2} - 3 x

|

- x^{2}

+ 3 x

$- x^{2} - 9 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{9+5}{- 2}$ = $\frac{14}{- 2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{9-5}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 9 x - 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 9 x + 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 1$ = $- \frac{- 4 x}{3 x + 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{2}{3}$

D=R\{ $- \frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 2$ weg!

$x - 1$	=	$\frac{4 x}{3 x + 2}$	\|⋅( $3 x + 2$ )
$x \cdot (3 x + 2) - 1 \cdot (3 x + 2)$	=	$\frac{4 x}{3 x + 2} \cdot (3 x + 2)$
$x (3 x + 2) - 3 x - 2$	=	$4 x$
$3 x^{2} + 2 x - 3 x - 2$	=	$4 x$
$3 x^{2} - x - 2$	=	$4 x$

3 x^{2} - x - 2

=

4 x

|

- 4 x

$3 x^{2} - 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{5+7}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{5-7}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 5 x - 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 9} + 3 x$ = $- \frac{- 74}{6 x + 18}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{x}{3 (x + 3)} + 3 x

=

\frac{74}{6 (x + 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 3)} + 3 x$	=	$\frac{74}{6 (x + 3)}$	\|⋅( $6 (x + 3)$ )
$\frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (6 (x + 3)) + 3 x \cdot (6 (x + 3))$	=	$\frac{74}{6 (x + 3)} \cdot (6 (x + 3))$
$2 x + 18 x (x + 3)$	=	$74$
$2 x + (18 x^{2} + 54 x)$	=	$74$
$18 x^{2} + 56 x$	=	$74$

18 x^{2} + 56 x

=

74

|

- 74

18 x^{2} + 56 x - 74

= 0 |:2

$9 x^{2} + 28 x - 37$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 37)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 + 1 332}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{2 116}}{18}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{2 116}}{18}$ = $\frac{- 28+46}{18}$ = $\frac{18}{18}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{2 116}}{18}$ = $\frac{- 28-46}{18}$ = $\frac{- 74}{18}$ = $- \frac{37}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 28 x - 37$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{28}{9} x - \frac{37}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{14}{9})}^{2} - (- \frac{37}{9})$ = $\frac{196}{81}$ $+$ $\frac{37}{9}$ = $\frac{196}{81}$ $+$ $\frac{333}{81}$ = $\frac{529}{81}$

x_1,2 = $- \frac{14}{9}$ ± $\sqrt{\frac{529}{81}}$

x₁ = $- \frac{14}{9}$ - $\frac{23}{9}$ = $- \frac{37}{9}$ = -4.1111111111111

x₂ = $- \frac{14}{9}$ + $\frac{23}{9}$ = $\frac{9}{9}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{37}{9}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{35}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{35}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} + \frac{12}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{35}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$35$	=	$- x^{2} + 12 x$

35

=

- x^{2} + 12 x

|

+ x^{2}

- 12 x

$x^{2} - 12 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{10}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{10}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{10}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{10}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 10$	=	$- a x$
$x^{2} + 10 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):