Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

- 8 x -2 = -x

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 2

D=R\{ 2 }

Wir multiplizieren den Nenner x -2 weg!

- 8 x -2 = -x |⋅( x -2 )
- 8 x -2 · ( x -2 ) = -x · ( x -2 )
-8 = - x ( x -2 )
-8 = - x 2 +2x
-8 = - x 2 +2x | + x 2 -2x

x 2 -2x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -8 ) 21

x1,2 = +2 ± 4 +32 2

x1,2 = +2 ± 36 2

x1 = 2 + 36 2 = 2 +6 2 = 8 2 = 4

x2 = 2 - 36 2 = 2 -6 2 = -4 2 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = 1 ± 9

x1 = 1 - 3 = -2

x2 = 1 + 3 = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 4 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

x -2 = -8x +1 3x

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 3x weg!

x -2 = -8x +1 3x |⋅( 3x )
x · 3x -2 · 3x = -8x +1 3x · 3x
3 x · x -6x = -8x +1
3 x 2 -6x = -8x +1
3 x 2 -6x = -8x +1 | +8x -1

3 x 2 +2x -1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -2 ± 2 2 -4 · 3 · ( -1 ) 23

x1,2 = -2 ± 4 +12 6

x1,2 = -2 ± 16 6

x1 = -2 + 16 6 = -2 +4 6 = 2 6 = 1 3 ≈ 0.33

x2 = -2 - 16 6 = -2 -4 6 = -6 6 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "3 " teilen:

3 x 2 +2x -1 = 0 |: 3

x 2 + 2 3 x - 1 3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 1 3 ) 2 - ( - 1 3 ) = 1 9 + 1 3 = 1 9 + 3 9 = 4 9

x1,2 = - 1 3 ± 4 9

x1 = - 1 3 - 2 3 = - 3 3 = -1

x2 = - 1 3 + 2 3 = 1 3 = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1 ; 1 3 }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

-3 3x -5 + x = -1

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 5 3

D=R\{ 5 3 }

- 3 3x -5 + x = -1

Wir multiplizieren den Nenner 3x -5 weg!

- 3 3x -5 + x = -1 |⋅( 3x -5 )
- 3 3x -5 · ( 3x -5 ) + x · ( 3x -5 ) = -1 · ( 3x -5 )
-3 + x ( 3x -5 ) = -( 3x -5 )
-3 + ( 3 x 2 -5x ) = -( 3x -5 )
3 x 2 -5x -3 = -3x +5
3 x 2 -5x -3 = -3x +5 | +3x -5

3 x 2 -2x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 3 · ( -8 ) 23

x1,2 = +2 ± 4 +96 6

x1,2 = +2 ± 100 6

x1 = 2 + 100 6 = 2 +10 6 = 12 6 = 2

x2 = 2 - 100 6 = 2 -10 6 = -8 6 = - 4 3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "3 " teilen:

3 x 2 -2x -8 = 0 |: 3

x 2 - 2 3 x - 8 3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 1 3 ) 2 - ( - 8 3 ) = 1 9 + 8 3 = 1 9 + 24 9 = 25 9

x1,2 = 1 3 ± 25 9

x1 = 1 3 - 5 3 = - 4 3 = -1.3333333333333

x2 = 1 3 + 5 3 = 6 3 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ - 4 3 ; 2 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

8,5 x +3 +4x = - x 2x +6

Lösung einblenden

D=R\{ -3 }

8,5 x +3 +4x = -x 2x +6
8,5 x +3 +4x = -x 2( x +3 ) |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 2( x +3 ) weg!

8,5 x +3 +4x = -x 2( x +3 ) |⋅( 2( x +3 ) )
8,5 x +3 · ( 2( x +3 ) ) + 4x · ( 2( x +3 ) ) = -x 2( x +3 ) · ( 2( x +3 ) )
17 +8 x ( x +3 ) = -x
17 + ( 8 x 2 +24x ) = -x
8 x 2 +24x +17 = -x
8 x 2 +24x +17 = -x | + x

8 x 2 +25x +17 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -25 ± 25 2 -4 · 8 · 17 28

x1,2 = -25 ± 625 -544 16

x1,2 = -25 ± 81 16

x1 = -25 + 81 16 = -25 +9 16 = -16 16 = -1

x2 = -25 - 81 16 = -25 -9 16 = -34 16 = -2,125

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "8 " teilen:

8 x 2 +25x +17 = 0 |: 8

x 2 + 25 8 x + 17 8 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 25 16 ) 2 - ( 17 8 ) = 625 256 - 17 8 = 625 256 - 544 256 = 81 256

x1,2 = - 25 16 ± 81 256

x1 = - 25 16 - 9 16 = - 34 16 = -2.125

x2 = - 25 16 + 9 16 = - 16 16 = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2,125 ; -1 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

1 - 4 x 2 = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 2 weg!

1 - 4 x 2 = 0 |⋅( x 2 )
1 · x 2 - 4 x 2 · x 2 = 0
x 2 -4 = 0
x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x1 = - 4 = -2
x2 = 4 = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; 2 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

a + x = - 10 x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

a + x = - 10 x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

a + x = - 10 x |⋅x
a · x + x · x = - 10 x · x
a x + x 2 = -10
a x + x 2 +10 = 0
x 2 + a x +10 = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 + a x +10 = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn 2 · 5 = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = -( 2 +5 ) = -7

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 -7x +10 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +7 ± ( -7 ) 2 -4 · 1 · 10 21

x1,2 = +7 ± 49 -40 2

x1,2 = +7 ± 9 2

x1 = 7 + 9 2 = 7 +3 2 = 10 2 = 5

x2 = 7 - 9 2 = 7 -3 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 7 2 ) 2 - 10 = 49 4 - 10 = 49 4 - 40 4 = 9 4

x1,2 = 7 2 ± 9 4

x1 = 7 2 - 3 2 = 4 2 = 2

x2 = 7 2 + 3 2 = 10 2 = 5

L={ 2 ; 5 }