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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4}{x - 3}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{4}{x - 3}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{4}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- x \cdot (x - 3)$
$- 4$	=	$- x \cdot (x - 3)$
$- 4$	=	$- x^{2} + 3 x$

- 4

=

- x^{2} + 3 x

|

+ x^{2}

- 3 x

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{17 x - 18}{x + 1}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{17 x - 18}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{17 x - 18}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$17 x - 18$	=	$2 x \cdot (x + 1)$
$17 x - 18$	=	$2 x^{2} + 2 x$

17 x - 18

=

2 x^{2} + 2 x

|

- 2 x^{2}

- 2 x

$- 2 x^{2} + 15 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 144}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 15+9}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 15-9}{- 4}$ = $\frac{- 24}{- 4}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 15 x - 18$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - 9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $9$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{24}{4}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,5$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 22}{x + 1} + 2 x$ = $5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

- \frac{22}{x + 1} + 2 x

=

5

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{22}{x + 1} + 2 x$	=	$5$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{22}{x + 1} \cdot (x + 1) + 2 x \cdot (x + 1)$	=	$5 \cdot (x + 1)$
$- 22 + 2 x \cdot (x + 1)$	=	$5 (x + 1)$
$- 22 + (2 x^{2} + 2 x)$	=	$5 (x + 1)$
$2 x^{2} + 2 x - 22$	=	$5 x + 5$

2 x^{2} + 2 x - 22

=

5 x + 5

|

- 5 x

- 5

$2 x^{2} - 3 x - 27$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 27)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{3+15}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{3-15}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 27$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{27}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{27}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{27}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{216}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12,2}{x - 3} - 3 x$ = $- \frac{x}{5 x - 15}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{12,2}{x - 3} - 3 x$	=	$\frac{- x}{5 x - 15}$
$\frac{12,2}{x - 3} - 3 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$\frac{12,2}{x - 3} - 3 x$	=	$\frac{- x}{5 (x - 3)}$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$\frac{12,2}{x - 3} \cdot (5 (x - 3)) - 3 x \cdot (5 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3))$
$61 - 15 x \cdot (x - 3)$	=	$- x$
$61 + (- 15 x^{2} + 45 x)$	=	$- x$
$- 15 x^{2} + 45 x + 61$	=	$- x$

- 15 x^{2} + 45 x + 61

=

- x

|

+ x

$- 15 x^{2} + 46 x + 61$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{46^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 61}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 116 + 3 660}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{5 776}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 46 + \sqrt{5 776}}{- 30}$ = $\frac{- 46+76}{- 30}$ = $\frac{30}{- 30}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 46 - \sqrt{5 776}}{- 30}$ = $\frac{- 46-76}{- 30}$ = $\frac{- 122}{- 30}$ = $\frac{61}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 46 x + 61$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{46}{15} x - \frac{61}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{15})}^{2} - (- \frac{61}{15})$ = $\frac{529}{225}$ $+$ $\frac{61}{15}$ = $\frac{529}{225}$ $+$ $\frac{915}{225}$ = $\frac{1444}{225}$

x_1,2 = $\frac{23}{15}$ ± $\sqrt{\frac{1444}{225}}$

x₁ = $\frac{23}{15}$ - $\frac{38}{15}$ = $- \frac{15}{15}$ = -1

x₂ = $\frac{23}{15}$ + $\frac{38}{15}$ = $\frac{61}{15}$ = 4.0666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{61}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{16}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{16}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{16}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 16$	=

$x^{2} - 16$	=	0	\| $+ 16$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{24}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{24}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{24}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$\frac{24}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$24 + x^{2}$	=	$- a x$
$24 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 12$ = 24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 12)$ = $- 14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 14 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14+10}{2}$ = $\frac{24}{2}$ = $12$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{14-10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 24$ = $49$ $-$ $24$ = $25$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $7$ - $5$ = 2

x₂ = $7$ + $5$ = 12

L={ $2$ ; $12$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):