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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x^{2}$

$- 1$	=	$- x^{2}$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 17 x - 7}{x - 1}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 17 x - 7}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 17 x - 7}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 17 x - 7$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 17 x - 7$	=	$2 x^{2} - 2 x$

- 17 x - 7

=

2 x^{2} - 2 x

|

- 2 x^{2}

+ 2 x

$- 2 x^{2} - 15 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{15+13}{- 4}$ = $\frac{28}{- 4}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{15-13}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 15 x - 7$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{28}{4}$ = -7

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 4}{x - 2}$ = $- 2 x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{4}{x - 2}$	=	$- 2 x + 2$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{4}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 x \cdot (x - 2) + 2 \cdot (x - 2)$
$- 4$	=	$- 2 x \cdot (x - 2) + 2 x - 4$
$- 4$	=	$- 2 x^{2} + 6 x - 4$

$- 4$	=	$- 2 x^{2} + 6 x - 4$	\| $- (- 2 x^{2} + 6 x - 4)$
$2 x^{2} - 6 x - 4 + 4$	=	0
$2 x^{2} - 6 x$	=	0
$2 x \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4} + \frac{2,5}{x + 1}$ = $x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{4 x + 4} + \frac{2,5}{x + 1}$	=	$x$
$\frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{2,5}{x + 1}$	=	$x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{2,5}{x + 1}$	=	$x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{2,5}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$	=	$x \cdot (4 (x + 1))$
$x + 10$	=	$4 x \cdot (x + 1)$
$x + 10$	=	$4 x^{2} + 4 x$

x + 10

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} - 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 10}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{3+13}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{3-13}{- 8}$ = $\frac{- 10}{- 8}$ = $1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 3 x + 10$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{8}{x^{2}}$ = $\frac{2}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{8}{x^{2}}$	=	$\frac{2}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{2}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 8$	=	$2 x$

x^{2} - 8

=

2 x

|

- 2 x

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{12}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{12}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 12$	=	$- a x$
$x^{2} - 12 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):