Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

2 x -2 = -2x

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 2

D=R\{ 2 }

Wir multiplizieren den Nenner x -2 weg!

2 x -2 = -2x |⋅( x -2 )
2 x -2 · ( x -2 ) = -2x · ( x -2 )
2 = -2 x ( x -2 )
2 = -2 x 2 +4x
2 = -2 x 2 +4x | +2 x 2 -4x
2 x 2 -4x +2 = 0 |:2

x 2 -2x +1 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · 1 21

x1,2 = +2 ± 4 -4 2

x1,2 = +2 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 1 ± 0 = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ 1 }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

-11x -3 2x = x -3

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner 2x weg!

-11x -3 2x = x -3 |⋅( 2x )
-11x -3 2x · 2x = x · 2x -3 · 2x
-11x -3 = 2 x · x -6x
-11x -3 = 2 x 2 -6x | -2 x 2 +6x

-2 x 2 -5x -3 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · ( -2 ) · ( -3 ) 2( -2 )

x1,2 = +5 ± 25 -24 -4

x1,2 = +5 ± 1 -4

x1 = 5 + 1 -4 = 5 +1 -4 = 6 -4 = -1,5

x2 = 5 - 1 -4 = 5 -1 -4 = 4 -4 = -1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-2 " teilen:

-2 x 2 -5x -3 = 0 |: -2

x 2 + 5 2 x + 3 2 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 5 4 ) 2 - ( 3 2 ) = 25 16 - 3 2 = 25 16 - 24 16 = 1 16

x1,2 = - 5 4 ± 1 16

x1 = - 5 4 - 1 4 = - 6 4 = -1.5

x2 = - 5 4 + 1 4 = - 4 4 = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -1,5 ; -1 }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

-1 3x +5 +1 = -x

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: - 5 3

D=R\{ - 5 3 }

- 1 3x +5 +1 = -x

Wir multiplizieren den Nenner 3x +5 weg!

- 1 3x +5 +1 = -x |⋅( 3x +5 )
- 1 3x +5 · ( 3x +5 ) + 1 · ( 3x +5 ) = -x · ( 3x +5 )
-1 +3x +5 = - x ( 3x +5 )
3x +4 = -3 x 2 -5x
3x +4 = -3 x 2 -5x | +3 x 2 +5x

3 x 2 +8x +4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -8 ± 8 2 -4 · 3 · 4 23

x1,2 = -8 ± 64 -48 6

x1,2 = -8 ± 16 6

x1 = -8 + 16 6 = -8 +4 6 = -4 6 = - 2 3 ≈ -0.67

x2 = -8 - 16 6 = -8 -4 6 = -12 6 = -2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "3 " teilen:

3 x 2 +8x +4 = 0 |: 3

x 2 + 8 3 x + 4 3 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 4 3 ) 2 - ( 4 3 ) = 16 9 - 4 3 = 16 9 - 12 9 = 4 9

x1,2 = - 4 3 ± 4 9

x1 = - 4 3 - 2 3 = - 6 3 = -2

x2 = - 4 3 + 2 3 = - 2 3 = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -2 ; - 2 3 }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

-2 x -4 = - x 2x -8 -2x

Lösung einblenden

D=R\{ 4 }

- 2 x -4 = - x 2( x -4 ) -2x |(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner 2( x -4 ) weg!

- 2 x -4 = - x 2( x -4 ) -2x |⋅( 2( x -4 ) )
- 2 x -4 · ( 2( x -4 ) ) = - x 2( x -4 ) · ( 2( x -4 ) ) -2x · ( 2( x -4 ) )
-4 = -x -4 x ( x -4 )
-4 = -4 x 2 +15x
-4 = -4 x 2 +15x | +4 x 2 -15x

4 x 2 -15x -4 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +15 ± ( -15 ) 2 -4 · 4 · ( -4 ) 24

x1,2 = +15 ± 225 +64 8

x1,2 = +15 ± 289 8

x1 = 15 + 289 8 = 15 +17 8 = 32 8 = 4

x2 = 15 - 289 8 = 15 -17 8 = -2 8 = -0,25

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "4 " teilen:

4 x 2 -15x -4 = 0 |: 4

x 2 - 15 4 x -1 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 15 8 ) 2 - ( -1 ) = 225 64 + 1 = 225 64 + 64 64 = 289 64

x1,2 = 15 8 ± 289 64

x1 = 15 8 - 17 8 = - 2 8 = -0.25

x2 = 15 8 + 17 8 = 32 8 = 4

Lösung x= 4 ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ -0,25 }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

- 1 x = 13x +30 x 3

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner x 3 weg!

- 1 x = 13x +30 x 3 |⋅( x 3 )
- 1 x · x 3 = 13x +30 x 3 · x 3
- x 2 = 13x +30
- x 2 = 13x +30 | -13x -30

- x 2 -13x -30 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +13 ± ( -13 ) 2 -4 · ( -1 ) · ( -30 ) 2( -1 )

x1,2 = +13 ± 169 -120 -2

x1,2 = +13 ± 49 -2

x1 = 13 + 49 -2 = 13 +7 -2 = 20 -2 = -10

x2 = 13 - 49 -2 = 13 -7 -2 = 6 -2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 -13x -30 = 0 |: -1

x 2 +13x +30 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( 13 2 ) 2 - 30 = 169 4 - 30 = 169 4 - 120 4 = 49 4

x1,2 = - 13 2 ± 49 4

x1 = - 13 2 - 7 2 = - 20 2 = -10

x2 = - 13 2 + 7 2 = - 6 2 = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ -10 ; -3 }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

10 + a x = -x

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

10 + a x = -x

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

10 + a x = -x |⋅x
10 · x + a x · x = -x · x
10x + a = - x 2
10x + a + x 2 = 0
x 2 +10x + a = 0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

x 2 +10x + a = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn -( 2 -12 ) = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = 2 · ( -12 ) = -24

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

x 2 +10x -24 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = -10 ± 10 2 -4 · 1 · ( -24 ) 21

x1,2 = -10 ± 100 +96 2

x1,2 = -10 ± 196 2

x1 = -10 + 196 2 = -10 +14 2 = 4 2 = 2

x2 = -10 - 196 2 = -10 -14 2 = -24 2 = -12

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 5 2 - ( -24 ) = 25+ 24 = 49

x1,2 = -5 ± 49

x1 = -5 - 7 = -12

x2 = -5 + 7 = 2

L={ -12 ; 2 }