Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{15}{x + 2}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{15}{x + 2}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{15}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- x \cdot (x + 2)$
$- 15$	=	$- x (x + 2)$
$- 15$	=	$- x^{2} - 2 x$

- 15

=

- x^{2} - 2 x

|

+ x^{2}

+ 2 x

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{41 x + 21}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{41 x + 21}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{41 x + 21}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$41 x + 21$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

41 x + 21

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} + 25 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 21}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 + 336}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{961}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{- 25+31}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{- 25-31}{- 8}$ = $\frac{- 56}{- 8}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 25 x + 21$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{25}{4} x - \frac{21}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{8})}^{2} - (- \frac{21}{4})$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $\frac{21}{4}$ = $\frac{625}{64}$ $+$ $\frac{336}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $\frac{25}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $\frac{25}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{25}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $\frac{56}{8}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 11}{x + 2} + 3 x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

- \frac{11}{x + 2} + 3 x - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{11}{x + 2} + 3 x - 2$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{11}{x + 2} \cdot (x + 2) + 3 x \cdot (x + 2) - 2 \cdot (x + 2)$	=
$- 11 + 3 x (x + 2) - 2 x - 4$	=
$- 11 + (3 x^{2} + 6 x) - 2 x - 4$	=
$3 x^{2} + 4 x - 15$	=

$3 x^{2} + 4 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 4+14}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 4-14}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 4 x - 15$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- 5)$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $5$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{45}{9}$ = $\frac{49}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{49}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{7}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{7}{3}$ = $\frac{5}{3}$ = 1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{5}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 10} + \frac{23,6}{x + 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$\frac{x}{5 x + 10} + \frac{23,6}{x + 2}$	=	$3 x$
$\frac{x}{5 (x + 2)} + \frac{23,6}{x + 2}$	=	$3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 2)} + \frac{23,6}{x + 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$\frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + \frac{23,6}{x + 2} \cdot (5 (x + 2))$	=	$3 x \cdot (5 (x + 2))$
$x + 118$	=	$15 x (x + 2)$
$x + 118$	=	$15 x^{2} + 30 x$

x + 118

=

15 x^{2} + 30 x

|

- 15 x^{2}

- 30 x

$- 15 x^{2} - 29 x + 118$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 118}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 7 080}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{7 921}}{- 30}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{7 921}}{- 30}$ = $\frac{29+89}{- 30}$ = $\frac{118}{- 30}$ = $- \frac{59}{15}$ ≈ -3.93

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{7 921}}{- 30}$ = $\frac{29-89}{- 30}$ = $\frac{- 60}{- 30}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 29 x + 118$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{29}{15} x - \frac{118}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{30})}^{2} - (- \frac{118}{15})$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{118}{15}$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{7080}{900}$ = $\frac{7921}{900}$

x_1,2 = $- \frac{29}{30}$ ± $\sqrt{\frac{7921}{900}}$

x₁ = $- \frac{29}{30}$ - $\frac{89}{30}$ = $- \frac{118}{30}$ = -3.9333333333333

x₂ = $- \frac{29}{30}$ + $\frac{89}{30}$ = $\frac{60}{30}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{59}{15}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{14}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{48}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{14}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{48}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{14}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{48}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 14 x$	=	$- x^{2} - 48$

- 14 x

=

- x^{2} - 48

|

+ x^{2}

+ 48

$x^{2} - 14 x + 48$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 192}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14+2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{14-2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 48$ = $49$ $-$ $48$ = $1$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $7$ - $1$ = 6

x₂ = $7$ + $1$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $6$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$12 + a x$	=	$- x^{2}$
$12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):