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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

0	=	$- x$
0	=	$- x$	\| $+ x$
$x$	=	0

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{5 x + 12}{x + 5}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{5 x + 12}{x + 5}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{5 x + 12}{x + 5} \cdot (x + 5)$	=	$2 x \cdot (x + 5)$
$5 x + 12$	=	$2 x \cdot (x + 5)$
$5 x + 12$	=	$2 x^{2} + 10 x$

5 x + 12

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} - 5 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 12}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{- 4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{5+11}{- 4}$ = $\frac{16}{- 4}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{- 4}$ = $\frac{5-11}{- 4}$ = $\frac{- 6}{- 4}$ = $1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 5 x + 12$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{96}{16}$ = $\frac{121}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{121}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{11}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{11}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{33}{3 x + 5} + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

x

=

- \frac{33}{3 x + 5} + 5

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$x$	=	$- \frac{33}{3 x + 5} + 5$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$x \cdot (3 x + 5)$	=	$- \frac{33}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + 5 \cdot (3 x + 5)$
$x \cdot (3 x + 5)$	=	$- 33 + 15 x + 25$
$x \cdot 3 x + x \cdot 5$	=	$- 33 + 15 x + 25$
$3 x \cdot x + 5 x$	=	$- 33 + 15 x + 25$
$3 x^{2} + 5 x$	=	$15 x - 8$

3 x^{2} + 5 x

=

15 x - 8

|

- 15 x

+ 8

$3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10+2}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{10-2}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 10 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{10}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{3})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{24}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{5}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{3}$ = 1.3333333333333

x₂ = $\frac{5}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{4}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4}$ = $- \frac{- 47}{2 x - 2} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{4 x - 4}$	=	$\frac{47}{2 x - 2} - 4 x$
$\frac{x}{4 (x - 1)}$	=	$\frac{47}{2 (x - 1)} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)}$	=	$\frac{47}{2 (x - 1)} - 4 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1))$	=	$\frac{47}{2 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) - 4 x \cdot (4 (x - 1))$
$x$	=	$94 - 16 x \cdot (x - 1)$
$x$	=	$- 16 x^{2} + 16 x + 94$

x

=

- 16 x^{2} + 16 x + 94

|

+ 16 x^{2}

- 16 x

- 94

$16 x^{2} - 15 x - 94$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 94)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 6 016}}{32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{6 241}}{32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{6 241}}{32}$ = $\frac{15+79}{32}$ = $\frac{94}{32}$ = $\frac{47}{16}$ ≈ 2.94

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{6 241}}{32}$ = $\frac{15-79}{32}$ = $\frac{- 64}{32}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} - 15 x - 94$ = 0 |: $16$

$x^{2} - \frac{15}{16} x - \frac{47}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{47}{8})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{47}{8}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{6016}{1024}$ = $\frac{6241}{1024}$

x_1,2 = $\frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{1024}}$

x₁ = $\frac{15}{32}$ - $\frac{79}{32}$ = $- \frac{64}{32}$ = -2

x₂ = $\frac{15}{32}$ + $\frac{79}{32}$ = $\frac{94}{32}$ = 2.9375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{47}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{4 x - 12}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{4 x - 12}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{4 x - 12}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$4 x - 12$

- x^{2}

=

4 x - 12

|

- 4 x

+ 12

$- x^{2} - 4 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{4+8}{- 2}$ = $\frac{12}{- 2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{4-8}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 4 x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$2 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$2 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$2 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$2 x + a$	=	$- x^{2}$
$2 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):