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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$2$	=	$2 x$	\| $- 2$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$- 2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$1$

L={ $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{13 x - 1}{2 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{13 x - 1}{2 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{13 x - 1}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x + 5 \cdot 2 x$
$13 x - 1$	=	$2 x \cdot x + 10 x$

13 x - 1

=

2 x^{2} + 10 x

|

- 2 x^{2}

- 10 x

$- 2 x^{2} + 3 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 3+1}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{- 3-1}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 3 x - 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 16 x}{x + 1} - 3 x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

0

=

\frac{16 x}{x + 1} - 3 x - 5

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

=	$\frac{16 x}{x + 1} - 3 x - 5$	\|⋅( $x + 1$ )
=	$\frac{16 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 3 x \cdot (x + 1) - 5 \cdot (x + 1)$
=	$16 x - 3 x \cdot (x + 1) - 5 x - 5$
=	$- 3 x^{2} + 8 x - 5$

0

=

- 3 x^{2} + 8 x - 5

|

+ 3 x^{2}

- 8 x

+ 5

$3 x^{2} - 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{8+2}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{8-2}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{5}{3}$ = 1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{5}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $- \frac{x}{3 x + 12} - \frac{100}{6 x + 24}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$4 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 12} - \frac{100}{6 x + 24}$
$4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} - \frac{100}{6 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$4 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} - \frac{100}{6 (x + 4)}$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$4 x \cdot (3 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + \frac{- 100}{6 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4))$
$12 x \cdot (x + 4)$	=	$- x - 50$
$12 x \cdot x + 12 x \cdot 4$	=	$- x - 50$
$12 x \cdot x + 48 x$	=	$- x - 50$
$12 x^{2} + 48 x$	=	$- x - 50$

12 x^{2} + 48 x

=

- x - 50

|

+ x

+ 50

$12 x^{2} + 49 x + 50$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 50}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 2 400}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{1}}{24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{1}}{24}$ = $\frac{- 49+1}{24}$ = $\frac{- 48}{24}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{1}}{24}$ = $\frac{- 49-1}{24}$ = $\frac{- 50}{24}$ = $- \frac{25}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 49 x + 50$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{49}{12} x + \frac{25}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{24})}^{2} - (\frac{25}{6})$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{25}{6}$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{2400}{576}$ = $\frac{1}{576}$

x_1,2 = $- \frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{1}{576}}$

x₁ = $- \frac{49}{24}$ - $\frac{1}{24}$ = $- \frac{50}{24}$ = -2.0833333333333

x₂ = $- \frac{49}{24}$ + $\frac{1}{24}$ = $- \frac{48}{24}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{25}{12}$ ; $- 2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{70}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{3}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{70}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{3}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{70}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$3 x$	=	$- x^{2} + 70$

3 x

=

- x^{2} + 70

|

+ x^{2}

- 70

$x^{2} + 3 x - 70$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 70)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 3+17}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 3-17}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 70)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $70$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{280}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{20}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{20}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$20$
$a x + x^{2} - 20$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):