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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{5 x}{x - 4}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 5 x}{x - 4}$	=	$x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 5 x}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$x \cdot (x - 4)$
$- \frac{5 x}{1}$	=	$x \cdot (x - 4)$
$- 5 x$	=	$x \cdot (x - 4)$
$- 5 x$	=	$x^{2} - 4 x$

$- 5 x$	=	$x^{2} - 4 x$	\| $- (x^{2} - 4 x)$
$- x^{2} - 5 x + 4 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{2} - \frac{2}{x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{2} \cdot x - \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$\frac{1}{2} x - 2$	=	$x \cdot x - 4 x$

$\frac{1}{2} x - 2$	=	$x^{2} - 4 x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{1}{2} x - 2)$	=	$2 (x^{2} - 4 x)$
$x - 4$	=	$2 x^{2} - 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 8 x$

$- 2 x^{2} + 9 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 9+7}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{- 9-7}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 9 x - 4$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 5$ = $- \frac{2 x}{x + 4} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- 5$	=	$- \frac{2 x}{x + 4} - x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- 5 \cdot (x + 4)$	=	$- \frac{2 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - x \cdot (x + 4)$
$- 5 (x + 4)$	=	$- 2 x - x \cdot (x + 4)$
$- 5 x - 20$	=	$- 2 x - x \cdot (x + 4)$
$- 5 x - 20$	=	$- x^{2} - 6 x$

- 5 x - 20

=

- x^{2} - 6 x

|

+ x^{2}

+ 6 x

$x^{2} + x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1+9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 1-9}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{3 x + 6} - \frac{- 88}{6 x + 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{3 x + 6} + \frac{88}{6 x + 12}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{88}{6 (x + 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 2)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} + \frac{88}{6 (x + 2)}$	\|⋅( $3 (x + 2)$ )
$2 x \cdot (3 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2)) + \frac{88}{6 (x + 2)} \cdot (3 (x + 2))$
$6 x \cdot (x + 2)$	=	$- x + 44$
$6 x \cdot x + 6 x \cdot 2$	=	$- x + 44$
$6 x \cdot x + 12 x$	=	$- x + 44$
$6 x^{2} + 12 x$	=	$- x + 44$

6 x^{2} + 12 x

=

- x + 44

|

+ x

- 44

$6 x^{2} + 13 x - 44$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 44)}}{2 \cdot 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 056}}{12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 225}}{12}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 225}}{12}$ = $\frac{- 13+35}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = $\frac{11}{6}$ ≈ 1.83

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 225}}{12}$ = $\frac{- 13-35}{12}$ = $\frac{- 48}{12}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $6$ " teilen:

$6 x^{2} + 13 x - 44$ = 0 |: $6$

$x^{2} + \frac{13}{6} x - \frac{22}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{12})}^{2} - (- \frac{22}{3})$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{22}{3}$ = $\frac{169}{144}$ $+$ $\frac{1056}{144}$ = $\frac{1225}{144}$

x_1,2 = $- \frac{13}{12}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{144}}$

x₁ = $- \frac{13}{12}$ - $\frac{35}{12}$ = $- \frac{48}{12}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{12}$ + $\frac{35}{12}$ = $\frac{22}{12}$ = 1.8333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{11}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 + \frac{36}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 + \frac{36}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} + 36$

0	=	$- x^{2} + 36$	\|0 $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$x + a$	=	$- x^{2}$
$x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):