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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{3 x}{x - 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$3 x$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$3 x$	=	$- x^{2} + x$

$3 x$	=	$- x^{2} + x$	\| $- (- x^{2} + x)$
$x^{2} + 3 x - x$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{11}{2} - \frac{4}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{11}{2} - \frac{4}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{11}{2} \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$- \frac{11}{2} x - 4$	=	$x \cdot x + 3 x$

$- \frac{11}{2} x - 4$	=	$x^{2} + 3 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{11}{2} x - 4)$	=	$2 (x^{2} + 3 x)$
$- 11 x - 8$	=	$2 x^{2} + 6 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 6 x$

$- 2 x^{2} - 17 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{225}}{- 4}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{17+15}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{225}}{- 4}$ = $\frac{17-15}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 17 x - 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - 4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $4$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{5}{x + 5} - 1$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

\frac{5}{x + 5} - 1

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$\frac{5}{x + 5} - 1$	=	$- x$	\|⋅( $x + 5$ )
$\frac{5}{x + 5} \cdot (x + 5) - 1 \cdot (x + 5)$	=	$- x \cdot (x + 5)$
$5 - x - 5$	=	$- x \cdot (x + 5)$
$- x$	=	$- x^{2} - 5 x$

$- x$	=	$- x^{2} - 5 x$	\| $- (- x^{2} - 5 x)$
$x^{2} - x + 5 x$	=	0
$x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 9}$ = $- \frac{- 332}{3 x - 9} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$\frac{x}{3 x - 9}$	=	$\frac{332}{3 x - 9} - 4 x$
$\frac{x}{3 (x - 3)}$	=	$\frac{332}{3 (x - 3)} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 3)}$	=	$\frac{332}{3 (x - 3)} - 4 x$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$\frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3))$	=	$\frac{332}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - 4 x \cdot (3 (x - 3))$
$x$	=	$332 - 12 x \cdot (x - 3)$
$x$	=	$- 12 x^{2} + 36 x + 332$

x

=

- 12 x^{2} + 36 x + 332

|

+ 12 x^{2}

- 36 x

- 332

$12 x^{2} - 35 x - 332$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 332)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 + 15 936}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{17 161}}{24}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{17 161}}{24}$ = $\frac{35+131}{24}$ = $\frac{166}{24}$ = $\frac{83}{12}$ ≈ 6.92

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{17 161}}{24}$ = $\frac{35-131}{24}$ = $\frac{- 96}{24}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 35 x - 332$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{35}{12} x - \frac{83}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{35}{24})}^{2} - (- \frac{83}{3})$ = $\frac{1225}{576}$ $+$ $\frac{83}{3}$ = $\frac{1225}{576}$ $+$ $\frac{15936}{576}$ = $\frac{17161}{576}$

x_1,2 = $\frac{35}{24}$ ± $\sqrt{\frac{17161}{576}}$

x₁ = $\frac{35}{24}$ - $\frac{131}{24}$ = $- \frac{96}{24}$ = -4

x₂ = $\frac{35}{24}$ + $\frac{131}{24}$ = $\frac{166}{24}$ = 6.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{83}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{63}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{16}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{63}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{16}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{16}{x} \cdot x^{2}$
$63$	=	$- x^{2} - 16 x$

63

=

- x^{2} - 16 x

|

+ x^{2}

+ 16 x

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 8$ - $1$ = -9

x₂ = $- 8$ + $1$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{6}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{6}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{6}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{6}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 6 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 6 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 3)$ = -6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 3)$ = $1$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 1 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):