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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{1}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{1}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x \cdot x$
$1$	=	$x^{2}$

$1$	=	$x^{2}$	\| $- 1$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 1$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{5}{2} + \frac{2}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{5}{2} + \frac{2}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$\frac{5}{2} \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$\frac{5}{2} x + 2$	=	$x \cdot x - x$

$\frac{5}{2} x + 2$	=	$x^{2} - x$	\|⋅ 2
$2 (\frac{5}{2} x + 2)$	=	$2 (x^{2} - x)$
$5 x + 4$	=	$2 x^{2} - 2 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 2 x$

$- 2 x^{2} + 7 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 7+9}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{- 4}$ = $\frac{- 7-9}{- 4}$ = $\frac{- 16}{- 4}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 7 x + 4$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 3$ = $- \frac{- 14}{x + 2} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

- 3

=

\frac{14}{x + 2} - x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- 3$	=	$\frac{14}{x + 2} - x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- 3 \cdot (x + 2)$	=	$\frac{14}{x + 2} \cdot (x + 2) - x \cdot (x + 2)$
$- 3 (x + 2)$	=	$14 - x \cdot (x + 2)$
$- 3 x - 6$	=	$14 - x \cdot (x + 2)$
$- 3 x - 6$	=	$- x^{2} - 2 x + 14$

- 3 x - 6

=

- x^{2} - 2 x + 14

|

+ x^{2}

+ 2 x

- 14

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 0,6}{x - 3}$ = $- \frac{x}{5 x - 15} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{0,6}{x - 3}

=

- \frac{x}{5 (x - 3)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 3)$ weg!

$- \frac{0,6}{x - 3}$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} + 3 x$	\|⋅( $5 (x - 3)$ )
$- \frac{0,6}{x - 3} \cdot (5 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 3)} \cdot (5 (x - 3)) + 3 x \cdot (5 (x - 3))$
$- 3$	=	$- x + 15 x \cdot (x - 3)$
$- 3$	=	$15 x^{2} - 46 x$

- 3

=

15 x^{2} - 46 x

|

- 15 x^{2}

+ 46 x

$- 15 x^{2} + 46 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{46^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 116 - 180}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{1 936}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 46 + \sqrt{1 936}}{- 30}$ = $\frac{- 46+44}{- 30}$ = $\frac{- 2}{- 30}$ = $\frac{1}{15}$ ≈ 0.07

x₂ = $\frac{- 46 - \sqrt{1 936}}{- 30}$ = $\frac{- 46-44}{- 30}$ = $\frac{- 90}{- 30}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 46 x - 3$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{46}{15} x + \frac{1}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{15})}^{2} - (\frac{1}{5})$ = $\frac{529}{225}$ $-$ $\frac{1}{5}$ = $\frac{529}{225}$ $-$ $\frac{45}{225}$ = $\frac{484}{225}$

x_1,2 = $\frac{23}{15}$ ± $\sqrt{\frac{484}{225}}$

x₁ = $\frac{23}{15}$ - $\frac{22}{15}$ = $\frac{1}{15}$ = 0.066666666666667

x₂ = $\frac{23}{15}$ + $\frac{22}{15}$ = $\frac{45}{15}$ = 3

Lösung x= $3$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1$ = $\frac{5}{x} + \frac{24}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1$	=	$\frac{5}{x} + \frac{24}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2}$	=	$\frac{5}{x} \cdot x^{2} + \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2}$	=	$5 x + 24$

x^{2}

=

5 x + 24

|

- 5 x

- 24

$x^{2} - 5 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5+11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{5-11}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 24)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $24$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{96}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{15}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{15}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{15}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 15$	=	$- a x$
$x^{2} - 15 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):