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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{2}{x}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{2}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{2}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$2$	=	$2 x \cdot x$
$2$	=	$2 x^{2}$

$2$	=	$2 x^{2}$	\| $- 2$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 2$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{11 x + 5}{x - 2}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{11 x + 5}{x - 2}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{11 x + 5}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$4 x \cdot (x - 2)$
$11 x + 5$	=	$4 x \cdot (x - 2)$
$11 x + 5$	=	$4 x^{2} - 8 x$

11 x + 5

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} + 19 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 5}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{441}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{- 19+21}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{441}}{- 8}$ = $\frac{- 19-21}{- 8}$ = $\frac{- 40}{- 8}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 19 x + 5$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x - \frac{5}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - (- \frac{5}{4})$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{5}{4}$ = $\frac{361}{64}$ $+$ $\frac{80}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{40}{8}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,25$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 20 x}{x - 4} - x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

0

=

\frac{20 x}{x - 4} - x - 5

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

=	$\frac{20 x}{x - 4} - x - 5$	\|⋅( $x - 4$ )
=	$\frac{20 x}{x - 4} \cdot (x - 4) - x \cdot (x - 4) - 5 \cdot (x - 4)$
=	$20 x - x \cdot (x - 4) - 5 x + 20$
=	$- x^{2} + 19 x + 20$

0

=

- x^{2} + 19 x + 20

|

+ x^{2}

- 19 x

- 20

$x^{2} - 19 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{441}}{2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{19+21}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = $20$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{441}}{2}$ = $\frac{19-21}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{361}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{441}{4}$

x_1,2 = $\frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{441}{4}}$

x₁ = $\frac{19}{2}$ - $\frac{21}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{19}{2}$ + $\frac{21}{2}$ = $\frac{40}{2}$ = 20

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $20$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x - 20} - \frac{- 47,6}{x - 4} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x - 20} + \frac{47,6}{x - 4} - 4 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{47,6}{x - 4} - 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{47,6}{x - 4} - 4 x$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) + \frac{47,6}{x - 4} \cdot (5 (x - 4)) - 4 x \cdot (5 (x - 4))$
=	$- x + 238 - 20 x \cdot (x - 4)$
=	$- 20 x^{2} + 79 x + 238$

0

=

- 20 x^{2} + 79 x + 238

|

+ 20 x^{2}

- 79 x

- 238

$20 x^{2} - 79 x - 238$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{{(- 79)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 238)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{6 241 + 19 040}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 79 \pm \sqrt{25 281}}{40}$

x₁ = $\frac{79 + \sqrt{25 281}}{40}$ = $\frac{79+159}{40}$ = $\frac{238}{40}$ = $5,95$

x₂ = $\frac{79 - \sqrt{25 281}}{40}$ = $\frac{79-159}{40}$ = $\frac{- 80}{40}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 79 x - 238$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{79}{20} x - \frac{119}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{79}{40})}^{2} - (- \frac{119}{10})$ = $\frac{6241}{1600}$ $+$ $\frac{119}{10}$ = $\frac{6241}{1600}$ $+$ $\frac{19040}{1600}$ = $\frac{25281}{1600}$

x_1,2 = $\frac{79}{40}$ ± $\sqrt{\frac{25281}{1600}}$

x₁ = $\frac{79}{40}$ - $\frac{159}{40}$ = $- \frac{80}{40}$ = -2

x₂ = $\frac{79}{40}$ + $\frac{159}{40}$ = $\frac{238}{40}$ = 5.95

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5,95$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{2}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- 2 x$	=	$- x^{2} - 1$

- 2 x

=

- x^{2} - 1

|

+ x^{2}

+ 1

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{30}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{30}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{30}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$30$
$x^{2} + a x - 30$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):