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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{x}{x - 3}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{x}{x - 3}$	=	$x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$x \cdot (x - 3)$
$x$	=	$x (x - 3)$
$x$	=	$x^{2} - 3 x$

$x$	=	$x^{2} - 3 x$	\| $- (x^{2} - 3 x)$
$- x^{2} + x + 3 x$	=	0
$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 4$ = $\frac{31 x + 14}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 4$	=	$\frac{31 x + 14}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 4 \cdot 3 x$	=	$\frac{31 x + 14}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 12 x$	=	$31 x + 14$
$3 x^{2} + 12 x$	=	$31 x + 14$

3 x^{2} + 12 x

=

31 x + 14

|

- 31 x

- 14

$3 x^{2} - 19 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 168}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{19+23}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = $7$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{19-23}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 19 x - 14$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x - \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (- \frac{14}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 1$ = $- \frac{8 x}{x - 5} - 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- 1$	=	$- \frac{8 x}{x - 5} - 3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$- 1 \cdot (x - 5)$	=	$- \frac{8 x}{x - 5} \cdot (x - 5) - 3 x \cdot (x - 5)$
$- (x - 5)$	=	$- 8 x - 3 x (x - 5)$
$- x + 5$	=	$- 8 x - 3 x (x - 5)$
$- x + 5$	=	$- 3 x^{2} + 7 x$

- x + 5

=

- 3 x^{2} + 7 x

|

+ 3 x^{2}

- 7 x

$3 x^{2} - 8 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{8+2}{6}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$ ≈ 1.67

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{6}$ = $\frac{8-2}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x + 5$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{5}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{15}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{5}{3}$ = 1.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{5}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 16}$ = $- \frac{- 36,5}{x + 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{4 x + 16}$	=	$\frac{36,5}{x + 4} - 3 x$
$\frac{x}{4 (x + 4)}$	=	$\frac{36,5}{x + 4} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 4)}$	=	$\frac{36,5}{x + 4} - 3 x$	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4))$	=	$\frac{36,5}{x + 4} \cdot (4 (x + 4)) - 3 x \cdot (4 (x + 4))$
$x$	=	$146 - 12 x (x + 4)$
$x$	=	$- 12 x^{2} - 48 x + 146$

x

=

- 12 x^{2} - 48 x + 146

|

+ 12 x^{2}

+ 48 x

- 146

$12 x^{2} + 49 x - 146$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 146)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 + 7 008}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{9 409}}{24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{9 409}}{24}$ = $\frac{- 49+97}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{9 409}}{24}$ = $\frac{- 49-97}{24}$ = $\frac{- 146}{24}$ = $- \frac{73}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 49 x - 146$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{49}{12} x - \frac{73}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{24})}^{2} - (- \frac{73}{6})$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{73}{6}$ = $\frac{2401}{576}$ $+$ $\frac{7008}{576}$ = $\frac{9409}{576}$

x_1,2 = $- \frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{9409}{576}}$

x₁ = $- \frac{49}{24}$ - $\frac{97}{24}$ = $- \frac{146}{24}$ = -6.0833333333333

x₂ = $- \frac{49}{24}$ + $\frac{97}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{73}{12}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{40}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{14}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{40}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{14}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{40}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{14}{x} \cdot x^{2}$
$40$	=	$- x^{2} + 14 x$

40

=

- x^{2} + 14 x

|

+ x^{2}

- 14 x

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14+6}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14-6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{10}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{10}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 10$
$x^{2} + a x + 10$	=	0
$x^{2} + a x + 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 5$ = 10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 5)$ = $- 7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):