Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{16}{x - 2}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{16}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{16}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$16$	=	$2 x (x - 2)$
$16$	=	$2 x^{2} - 4 x$

16

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

- 2 x^{2} + 4 x + 16

= 0 |:2

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 8}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2+6}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 2-6}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 39 x + 8}{4 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 39 x + 8}{4 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 39 x + 8}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$
$- 39 x + 8$	=	$4 x \cdot x - 8 x$

- 39 x + 8

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} - 31 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 8}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 128}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{1 089}}{- 8}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{1 089}}{- 8}$ = $\frac{31+33}{- 8}$ = $\frac{64}{- 8}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{1 089}}{- 8}$ = $\frac{31-33}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 31 x + 8$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{31}{4} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{31}{8})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $2$ = $\frac{961}{64}$ $+$ $\frac{128}{64}$ = $\frac{1089}{64}$

x_1,2 = $- \frac{31}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1089}{64}}$

x₁ = $- \frac{31}{8}$ - $\frac{33}{8}$ = $- \frac{64}{8}$ = -8

x₂ = $- \frac{31}{8}$ + $\frac{33}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 7}{x - 5} + 2 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

- \frac{7}{x - 5} + 2 x

=

- 3

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{7}{x - 5} + 2 x$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{7}{x - 5} \cdot (x - 5) + 2 x \cdot (x - 5)$	=	$- 3 \cdot (x - 5)$
$- 7 + 2 x (x - 5)$	=	$- 3 (x - 5)$
$- 7 + (2 x^{2} - 10 x)$	=	$- 3 (x - 5)$
$2 x^{2} - 10 x - 7$	=	$- 3 x + 15$

2 x^{2} - 10 x - 7

=

- 3 x + 15

|

+ 3 x

- 15

$2 x^{2} - 7 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{7+15}{4}$ = $\frac{22}{4}$ = $5,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{7-15}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 22$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - 11$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- 11)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $11$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{176}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{22}{4}$ = 5.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $5,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4} - 2 x$ = $- \frac{50}{2 x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{4 (x + 1)} - 2 x

=

- \frac{50}{2 (x + 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)} - 2 x$	=	$- \frac{50}{2 (x + 1)}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) - 2 x \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{50}{2 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1))$
$x - 8 x (x + 1)$	=	$- 100$
$x + (- 8 x^{2} - 8 x)$	=	$- 100$
$- 8 x^{2} - 7 x$	=	$- 100$

- 8 x^{2} - 7 x

=

- 100

|

+ 100

$- 8 x^{2} - 7 x + 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 100}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 3 200}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{3 249}}{- 16}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{3 249}}{- 16}$ = $\frac{7+57}{- 16}$ = $\frac{64}{- 16}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{3 249}}{- 16}$ = $\frac{7-57}{- 16}$ = $\frac{- 50}{- 16}$ = $3,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 7 x + 100$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{7}{8} x - \frac{25}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{16})}^{2} - (- \frac{25}{2})$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{25}{2}$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{3200}{256}$ = $\frac{3249}{256}$

x_1,2 = $- \frac{7}{16}$ ± $\sqrt{\frac{3249}{256}}$

x₁ = $- \frac{7}{16}$ - $\frac{57}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{16}$ + $\frac{57}{16}$ = $\frac{50}{16}$ = 3.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2 x - 3}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 2 x - 3}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 2 x - 3}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 2 x - 3$	=	$- x^{2}$

- 2 x - 3

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 2$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 2$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 2$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 2 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 2 x$	=	$- x^{2}$
$a - 2 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):