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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{12}{x + 1}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{12}{x + 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{12}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$- 12$	=	$- 2 x \cdot (x + 1)$
$- 12$	=	$- 2 x^{2} - 2 x$

- 12

=

- 2 x^{2} - 2 x

|

+ 2 x^{2}

+ 2 x

2 x^{2} + 2 x - 12

= 0 |:2

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 5 x + 9}{2 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 5 x + 9}{2 x}$	\|⋅( $2 x$ )
$x \cdot 2 x - 4 \cdot 2 x$	=	$\frac{- 5 x + 9}{2 x} \cdot 2 x$
$2 x \cdot x - 8 x$	=	$- 5 x + 9$
$2 x^{2} - 8 x$	=	$- 5 x + 9$

2 x^{2} - 8 x

=

- 5 x + 9

|

+ 5 x

- 9

$2 x^{2} - 3 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3+9}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{3-9}{4}$ = $\frac{- 6}{4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2$ = $- \frac{6 x}{x - 1} - 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$2$	=	$- \frac{6 x}{x - 1} - 3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$2 \cdot (x - 1)$	=	$- \frac{6 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 3 x \cdot (x - 1)$
$2 (x - 1)$	=	$- 6 x - 3 x \cdot (x - 1)$
$2 x - 2$	=	$- 6 x - 3 x \cdot (x - 1)$
$2 x - 2$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

2 x - 2

=

- 3 x^{2} - 3 x

|

+ 3 x^{2}

+ 3 x

$3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 5+7}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{- 5-7}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x - \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (- \frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{12}{6}$ = -2

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 16} + \frac{19,5}{2 x + 8} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{4 x + 16} + \frac{19,5}{2 x + 8} + 3 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x + 4)} + \frac{19,5}{2 (x + 4)} + 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 4)} + \frac{19,5}{2 (x + 4)} + 3 x$	=	\|⋅( $4 (x + 4)$ )
$\frac{x}{4 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + \frac{19,5}{2 (x + 4)} \cdot (4 (x + 4)) + 3 x \cdot (4 (x + 4))$	=
$x + 39 + 12 x \cdot (x + 4)$	=
$x + 39 + (12 x^{2} + 48 x)$	=
$12 x^{2} + 49 x + 39$	=

$12 x^{2} + 49 x + 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 39}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 - 1 872}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{529}}{24}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{529}}{24}$ = $\frac{- 49+23}{24}$ = $\frac{- 26}{24}$ = $- \frac{13}{12}$ ≈ -1.08

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{529}}{24}$ = $\frac{- 49-23}{24}$ = $\frac{- 72}{24}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 49 x + 39$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{49}{12} x + \frac{13}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{24})}^{2} - (\frac{13}{4})$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{13}{4}$ = $\frac{2401}{576}$ $-$ $\frac{1872}{576}$ = $\frac{529}{576}$

x_1,2 = $- \frac{49}{24}$ ± $\sqrt{\frac{529}{576}}$

x₁ = $- \frac{49}{24}$ - $\frac{23}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $- \frac{49}{24}$ + $\frac{23}{24}$ = $- \frac{26}{24}$ = -1.0833333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{13}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{36}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{13}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{36}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{13}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{36}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{13}{x} \cdot x^{2}$
$36$	=	$- x^{2} - 13 x$

36

=

- x^{2} - 13 x

|

+ x^{2}

+ 13 x

$x^{2} + 13 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13+5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 13-5}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{12}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{12}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{12}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$12 + a x$	=	$- x^{2}$
$12 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):