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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9 x}{x + 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{9 x}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{9 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$9 x$	=	$- 3 x (x + 1)$
$9 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

$9 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 3 x)$
$3 x^{2} + 9 x + 3 x$	=	0
$3 x^{2} + 12 x$	=	0
$3 x (x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{39 x - 12}{4 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{39 x - 12}{4 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{39 x - 12}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 5 \cdot 4 x$
$39 x - 12$	=	$4 x \cdot x + 20 x$

39 x - 12

=

4 x^{2} + 20 x

|

- 4 x^{2}

- 20 x

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 192}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{169}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19+13}{- 8}$ = $\frac{- 6}{- 8}$ = $0,75$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{169}}{- 8}$ = $\frac{- 19-13}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 19 x - 12$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{19}{4} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{8})}^{2} - 3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $3$ = $\frac{361}{64}$ $-$ $\frac{192}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{19}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{19}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{19}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{10 x}{x - 1} - 4$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{10 x}{x - 1} - 4$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{10 x}{x - 1} \cdot (x - 1) - 4 \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$10 x - 4 x + 4$	=	$- x (x - 1)$
$6 x + 4$	=	$- x^{2} + x$

6 x + 4

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 8} - \frac{- 6,5}{2 x + 4} - x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 8} + \frac{6,5}{2 x + 4} - x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{6,5}{2 (x + 2)} - x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 2)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} + \frac{6,5}{2 (x + 2)} - x$	\|⋅( $4 (x + 2)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) + \frac{6,5}{2 (x + 2)} \cdot (4 (x + 2)) - x \cdot (4 (x + 2))$
=	$- x + 13 - 4 x (x + 2)$
=	$- 4 x^{2} - 9 x + 13$

0

=

- 4 x^{2} - 9 x + 13

|

+ 4 x^{2}

+ 9 x

- 13

$4 x^{2} + 9 x - 13$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 13)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 208}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{- 9+17}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{- 9-17}{8}$ = $\frac{- 26}{8}$ = $- 3,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 9 x - 13$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x - \frac{13}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (- \frac{13}{4})$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{13}{4}$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{208}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{26}{8}$ = -3.25

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{8}{8}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,25$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{40}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{40}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{14}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{40}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$14 x + 40$	=	$- x^{2}$

14 x + 40

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 14+6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 14-6}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 7$ - $3$ = -10

x₂ = $- 7$ + $3$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{15}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{15}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 15$
$a x + x^{2} + 15$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 15$ = $16$ $-$ $15$ = $1$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $4$ - $1$ = 3

x₂ = $4$ + $1$ = 5

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):