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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{4}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x \cdot x$
$4$	=	$x^{2}$

$4$	=	$x^{2}$	\| $- 4$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 4$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 9 x - 1}{2 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 9 x - 1}{2 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 9 x - 1}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$
$- 9 x - 1$	=	$2 x \cdot x - 6 x$

- 9 x - 1

=

2 x^{2} - 6 x

|

- 2 x^{2}

+ 6 x

$- 2 x^{2} - 3 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{3+1}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{3-1}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 3 x - 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

x₂ = $- \frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $- \frac{- 21 x}{2 x + 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

x + 5

=

\frac{21 x}{2 (x + 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{21 x}{2 (x + 1)}$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$x \cdot (2 (x + 1)) + 5 \cdot (2 (x + 1))$	=	$\frac{21 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$
$2 x \cdot (x + 1) + 10 x + 10$	=	$21 x$
$2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10$	=	$21 x$
$2 x^{2} + 12 x + 10$	=	$21 x$

2 x^{2} + 12 x + 10

=

21 x

|

- 21 x

$2 x^{2} - 9 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 10}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 80}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{9+1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = $2,5$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{9-1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 9 x + 10$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{9}{2} x + 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{4})}^{2} - 5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $5$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{80}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{9}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $2,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 9}$ = $- \frac{88}{3 x + 9} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{3 x + 9}$	=	$- \frac{88}{3 x + 9} + 3 x$
$\frac{x}{3 (x + 3)}$	=	$- \frac{88}{3 (x + 3)} + 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 3)}$	=	$- \frac{88}{3 (x + 3)} + 3 x$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$	=	$- \frac{88}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + 3 x \cdot (3 (x + 3))$
$x$	=	$- 88 + 9 x \cdot (x + 3)$
$x$	=	$9 x^{2} + 27 x - 88$

x

=

9 x^{2} + 27 x - 88

|

- 9 x^{2}

- 27 x

+ 88

$- 9 x^{2} - 26 x + 88$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 88}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 + 3 168}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{3 844}}{- 18}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{3 844}}{- 18}$ = $\frac{26+62}{- 18}$ = $\frac{88}{- 18}$ = $- \frac{44}{9}$ ≈ -4.89

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{3 844}}{- 18}$ = $\frac{26-62}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} - 26 x + 88$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} + \frac{26}{9} x - \frac{88}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{9})}^{2} - (- \frac{88}{9})$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{88}{9}$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{792}{81}$ = $\frac{961}{81}$

x_1,2 = $- \frac{13}{9}$ ± $\sqrt{\frac{961}{81}}$

x₁ = $- \frac{13}{9}$ - $\frac{31}{9}$ = $- \frac{44}{9}$ = -4.8888888888889

x₂ = $- \frac{13}{9}$ + $\frac{31}{9}$ = $\frac{18}{9}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{44}{9}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{10}{x} + \frac{24}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{10}{x} + \frac{24}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{10}{x} \cdot x^{2} + \frac{24}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$- 10 x + 24$	=	$- x^{2}$

- 10 x + 24

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 4$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 4$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 4$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 4 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 4 x$
$x^{2} + a + 4 x$	=	0
$x^{2} + 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -7 würde es funktionieren, denn $- (3 - 7)$ = 4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 7)$ = $- 21$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -21 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

L={ $- 7$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):