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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8}{x - 3}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{8}{x - 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{8}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$2 x \cdot (x - 3)$
$8$	=	$2 x \cdot (x - 3)$
$8$	=	$2 x^{2} - 6 x$

8

=

2 x^{2} - 6 x

|

- 2 x^{2}

+ 6 x

- 2 x^{2} + 6 x + 8

= 0 |:2

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 26 x + 8}{3 x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 26 x + 8}{3 x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 26 x + 8}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 1 \cdot 3 x$
$- 26 x + 8$	=	$3 x \cdot x - 3 x$

- 26 x + 8

=

3 x^{2} - 3 x

|

- 3 x^{2}

+ 3 x

$- 3 x^{2} - 23 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 8}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{625}}{- 6}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{23+25}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{625}}{- 6}$ = $\frac{23-25}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 23 x + 8$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{23}{3} x - \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{6})}^{2} - (- \frac{8}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $+$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{625}{36}$

x_1,2 = $- \frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{625}{36}}$

x₁ = $- \frac{23}{6}$ - $\frac{25}{6}$ = $- \frac{48}{6}$ = -8

x₂ = $- \frac{23}{6}$ + $\frac{25}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 30}{x - 2} + 3$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

- \frac{30}{x - 2} + 3

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{30}{x - 2} + 3$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{30}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 \cdot (x - 2)$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
$- 30 + 3 x - 6$	=	$- 3 x \cdot (x - 2)$
$3 x - 36$	=	$- 3 x^{2} + 6 x$

3 x - 36

=

- 3 x^{2} + 6 x

|

+ 3 x^{2}

- 6 x

3 x^{2} - 3 x - 36

= 0 |:3

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{5,8}{x - 4}$ = $- \frac{x}{5 x - 20} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

\frac{5,8}{x - 4}

=

- \frac{x}{5 (x - 4)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$\frac{5,8}{x - 4}$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} - 2 x$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$\frac{5,8}{x - 4} \cdot (5 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) - 2 x \cdot (5 (x - 4))$
$29$	=	$- x - 10 x \cdot (x - 4)$
$29$	=	$- 10 x^{2} + 39 x$

29

=

- 10 x^{2} + 39 x

|

+ 10 x^{2}

- 39 x

$10 x^{2} - 39 x + 29$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{{(- 39)}^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 29}}{2 \cdot 10}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{1 521 - 1 160}}{20}$

x_1,2 = $\frac{+ 39 \pm \sqrt{361}}{20}$

x₁ = $\frac{39 + \sqrt{361}}{20}$ = $\frac{39+19}{20}$ = $\frac{58}{20}$ = $2,9$

x₂ = $\frac{39 - \sqrt{361}}{20}$ = $\frac{39-19}{20}$ = $\frac{20}{20}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $10$ " teilen:

$10 x^{2} - 39 x + 29$ = 0 |: $10$

$x^{2} - \frac{39}{10} x + \frac{29}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{39}{20})}^{2} - (\frac{29}{10})$ = $\frac{1521}{400}$ $-$ $\frac{29}{10}$ = $\frac{1521}{400}$ $-$ $\frac{1160}{400}$ = $\frac{361}{400}$

x_1,2 = $\frac{39}{20}$ ± $\sqrt{\frac{361}{400}}$

x₁ = $\frac{39}{20}$ - $\frac{19}{20}$ = $\frac{20}{20}$ = 1

x₂ = $\frac{39}{20}$ + $\frac{19}{20}$ = $\frac{58}{20}$ = 2.9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2,9$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{16}{x} + \frac{63}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{16}{x} + \frac{63}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{16}{x} \cdot x^{2} + \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} - 16 x + 63$	=

$x^{2} - 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16+2}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{16-2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 8)}^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $8$ - $1$ = 7

x₂ = $8$ + $1$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$9 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$9 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$9 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$9 x + x^{2}$	=	$- a$
$9 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):