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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{45}{x + 2}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$- \frac{45}{x + 2}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 2$ )
$- \frac{45}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$- 3 x \cdot (x + 2)$
$- 45$	=	$- 3 x (x + 2)$
$- 45$	=	$- 3 x^{2} - 6 x$

- 45

=

- 3 x^{2} - 6 x

|

+ 3 x^{2}

+ 6 x

3 x^{2} + 6 x - 45

= 0 |:3

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{11 x - 2}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x - 2}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x - 2}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$11 x - 2$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

11 x - 2

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{- 6}$ = $\frac{- 5+1}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{- 6}$ = $\frac{- 5-1}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{6})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $-$ $\frac{24}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $\frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $\frac{5}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 42}{x - 3} - x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

0

=

\frac{42}{x - 3} - x + 2

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

=	$\frac{42}{x - 3} - x + 2$	\|⋅( $x - 3$ )
=	$\frac{42}{x - 3} \cdot (x - 3) - x \cdot (x - 3) + 2 \cdot (x - 3)$
=	$42 - x (x - 3) + 2 x - 6$
=	$- x^{2} + 5 x + 36$

0

=

- x^{2} + 5 x + 36

|

+ x^{2}

- 5 x

- 36

$x^{2} - 5 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 36)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5+13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{5-13}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 36)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $36$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $9$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 12} + \frac{- 61}{2 x + 6}$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{4 x + 12} - \frac{61}{2 x + 6}$	=	$- 3 x$
$\frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{61}{2 (x + 3)}$	=	$- 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{61}{2 (x + 3)}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$\frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{- 61}{2 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3))$	=	$- 3 x \cdot (4 (x + 3))$
$x - 122$	=	$- 12 x (x + 3)$
$x - 122$	=	$- 12 x^{2} - 36 x$

x - 122

=

- 12 x^{2} - 36 x

|

+ 12 x^{2}

+ 36 x

$12 x^{2} + 37 x - 122$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 122)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 + 5 856}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{7 225}}{24}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{7 225}}{24}$ = $\frac{- 37+85}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{7 225}}{24}$ = $\frac{- 37-85}{24}$ = $\frac{- 122}{24}$ = $- \frac{61}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 37 x - 122$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{37}{12} x - \frac{61}{6}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{24})}^{2} - (- \frac{61}{6})$ = $\frac{1369}{576}$ $+$ $\frac{61}{6}$ = $\frac{1369}{576}$ $+$ $\frac{5856}{576}$ = $\frac{7225}{576}$

x_1,2 = $- \frac{37}{24}$ ± $\sqrt{\frac{7225}{576}}$

x₁ = $- \frac{37}{24}$ - $\frac{85}{24}$ = $- \frac{122}{24}$ = -5.0833333333333

x₂ = $- \frac{37}{24}$ + $\frac{85}{24}$ = $\frac{48}{24}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{61}{12}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} + \frac{8}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}} + \frac{8}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{8}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} + 6 x + 8$	=

$x^{2} + 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6+2}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 6-2}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 3$ - $1$ = -4

x₂ = $- 3$ + $1$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$9 x$
$x^{2} + a - 9 x$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):