Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x^{2}$

$- 4$	=	$- x^{2}$	\| $+ 4$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4 + \frac{4}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$4 + \frac{4}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$4 \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$4 x + 4$	=	$x \cdot x + x$

4 x + 4

=

x^{2} + x

|

- x^{2}

- x

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 30}{x + 1} - 3 x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

0

=

\frac{30}{x + 1} - 3 x - 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

=	$\frac{30}{x + 1} - 3 x - 2$	\|⋅( $x + 1$ )
=	$\frac{30}{x + 1} \cdot (x + 1) - 3 x \cdot (x + 1) - 2 \cdot (x + 1)$
=	$30 - 3 x (x + 1) - 2 x - 2$
=	$- 3 x^{2} - 5 x + 28$

0

=

- 3 x^{2} - 5 x + 28

|

+ 3 x^{2}

+ 5 x

- 28

$3 x^{2} + 5 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 336}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{361}}{6}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{- 5+19}{6}$ = $\frac{14}{6}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.33

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{361}}{6}$ = $\frac{- 5-19}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 5 x - 28$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{5}{3} x - \frac{28}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{6})}^{2} - (- \frac{28}{3})$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{28}{3}$ = $\frac{25}{36}$ $+$ $\frac{336}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $- \frac{5}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $- \frac{5}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{14}{6}$ = 2.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{7}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 8} + \frac{7,5}{x + 4} + 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{2 x + 8} + \frac{7,5}{x + 4} + 2 x$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 4)} + \frac{7,5}{x + 4} + 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 4)} + \frac{7,5}{x + 4} + 2 x$	=	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$\frac{x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4)) + \frac{7,5}{x + 4} \cdot (2 (x + 4)) + 2 x \cdot (2 (x + 4))$	=
$x + 15 + 4 x (x + 4)$	=
$x + 15 + (4 x^{2} + 16 x)$	=
$4 x^{2} + 17 x + 15$	=

$4 x^{2} + 17 x + 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 15}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 240}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{49}}{8}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 17+7}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{49}}{8}$ = $\frac{- 17-7}{8}$ = $\frac{- 24}{8}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 17 x + 15$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{17}{4} x + \frac{15}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{8})}^{2} - (\frac{15}{4})$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{15}{4}$ = $\frac{289}{64}$ $-$ $\frac{240}{64}$ = $\frac{49}{64}$

x_1,2 = $- \frac{17}{8}$ ± $\sqrt{\frac{49}{64}}$

x₁ = $- \frac{17}{8}$ - $\frac{7}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{17}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 6 x + 5}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 6 x + 5}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 6 x + 5}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 6 x + 5$	=	$- x^{2}$

- 6 x + 5

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{8}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{8}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{8}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} + 8$	=	$- a x$
$x^{2} + 8 + a x$	=	0
$x^{2} + a x + 8$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 8$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 4 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 4$ = 8

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 4)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

L={ $2$ ; $4$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):