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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{0}{x - 2}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{0}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{0}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
0	=	$2 x \cdot (x - 2)$
0	=	$2 x^{2} - 4 x$

0	=	$2 x^{2} - 4 x$	\| $- (2 x^{2} - 4 x)$
$- 2 x^{2} + 4 x$	=	0
$2 x \cdot (- x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 2$	=	0	\| $- 2$
$- x$	=	$- 2$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$2$

Lösung x= $2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 5 x - 1}{x - 3}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 5 x - 1}{x - 3}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 5 x - 1}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 5 x - 1$	=	$3 x \cdot (x - 3)$
$- 5 x - 1$	=	$3 x^{2} - 9 x$

- 5 x - 1

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} + 4 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4+2}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4-2}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 4 x - 1$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{16 x}{2 x + 2}$ = $- x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

\frac{16 x}{2 (x + 1)}

=

- x + 5

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 1)$ weg!

$\frac{16 x}{2 (x + 1)}$	=	$- x + 5$	\|⋅( $2 (x + 1)$ )
$\frac{16 x}{2 (x + 1)} \cdot (2 (x + 1))$	=	$- x \cdot (2 (x + 1)) + 5 \cdot (2 (x + 1))$
$2 \frac{8 x}{1}$	=	$- 2 x \cdot (x + 1) + 10 x + 10$
$16 x$	=	$- 2 x \cdot (x + 1) + 10 x + 10$
$16 x$	=	$- 2 x^{2} + 8 x + 10$

16 x

=

- 2 x^{2} + 8 x + 10

|

+ 2 x^{2}

- 8 x

- 10

2 x^{2} + 8 x - 10

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4+6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 4-6}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 2$ - $3$ = -5

x₂ = $- 2$ + $3$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13}{x + 1}$ = $- \frac{x}{4 x + 4} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{13}{x + 1}

=

- \frac{x}{4 (x + 1)} + x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{13}{x + 1}$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} + x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{13}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + x \cdot (4 (x + 1))$
$52$	=	$- x + 4 x \cdot (x + 1)$
$52$	=	$4 x^{2} + 3 x$

52

=

4 x^{2} + 3 x

|

- 4 x^{2}

- 3 x

$- 4 x^{2} - 3 x + 52$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 52}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 832}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{841}}{- 8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{3+29}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{841}}{- 8}$ = $\frac{3-29}{- 8}$ = $\frac{- 26}{- 8}$ = $3,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 3 x + 52$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{3}{4} x - 13$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{8})}^{2} - (- 13)$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $13$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{832}{64}$ = $\frac{841}{64}$

x_1,2 = $- \frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{841}{64}}$

x₁ = $- \frac{3}{8}$ - $\frac{29}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{8}$ + $\frac{29}{8}$ = $\frac{26}{8}$ = 3.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{35}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{35}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{35}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$35$	=	$- x^{2} + 12 x$

35

=

- x^{2} + 12 x

|

+ x^{2}

- 12 x

$x^{2} - 12 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12+2}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{12-2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $6$ - $1$ = 5

x₂ = $6$ + $1$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $5$ ; $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 7$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 7$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 7 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 7 x$	=	$- a$
$x^{2} + 7 x + a$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):