Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{2}{x - 2}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{2}{x - 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{2}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$2$	=	$- 2 x (x - 2)$
$2$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$

2

=

- 2 x^{2} + 4 x

|

+ 2 x^{2}

- 4 x

2 x^{2} - 4 x + 2

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $1$ ± 0 = $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 11 x - 3}{2 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $2 x$ weg!

$\frac{- 11 x - 3}{2 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $2 x$ )
$\frac{- 11 x - 3}{2 x} \cdot 2 x$	=	$x \cdot 2 x - 3 \cdot 2 x$
$- 11 x - 3$	=	$2 x \cdot x - 6 x$

- 11 x - 3

=

2 x^{2} - 6 x

|

- 2 x^{2}

+ 6 x

$- 2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{5+1}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{5-1}{- 4}$ = $\frac{4}{- 4}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,5$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 1}{3 x + 5} + 1$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{1}{3 x + 5} + 1

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{1}{3 x + 5} + 1$	=	$- x$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{1}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + 1 \cdot (3 x + 5)$	=	$- x \cdot (3 x + 5)$
$- 1 + 3 x + 5$	=	$- x (3 x + 5)$
$3 x + 4$	=	$- 3 x^{2} - 5 x$

3 x + 4

=

- 3 x^{2} - 5 x

|

+ 3 x^{2}

+ 5 x

$3 x^{2} + 8 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 8+4}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 8-4}{6}$ = $\frac{- 12}{6}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 8 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $- \frac{2}{3}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- \frac{2}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{x - 4}$ = $- \frac{x}{2 x - 8} - 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

- \frac{2}{x - 4}

=

- \frac{x}{2 (x - 4)} - 2 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$- \frac{2}{x - 4}$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} - 2 x$	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$- \frac{2}{x - 4} \cdot (2 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) - 2 x \cdot (2 (x - 4))$
$- 4$	=	$- x - 4 x (x - 4)$
$- 4$	=	$- 4 x^{2} + 15 x$

- 4

=

- 4 x^{2} + 15 x

|

+ 4 x^{2}

- 15 x

$4 x^{2} - 15 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{15+17}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{8}$ = $\frac{15-17}{8}$ = $\frac{- 2}{8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 15 x - 4$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{15}{4} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{8})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $1$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{64}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $\frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $\frac{15}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

x₂ = $\frac{15}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- 0,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{13 x + 30}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{13 x + 30}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{13 x + 30}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$13 x + 30$

- x^{2}

=

13 x + 30

|

- 13 x

- 30

$- x^{2} - 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{13+7}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{13-7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 13 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 13 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$10 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$10 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$10 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$10 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$10 x + a$	=	$- x^{2}$
$10 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):