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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{36}{x - 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{36}{x - 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{36}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
$- 36$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
$- 36$	=	$- 3 x^{2} + 3 x$

- 36

=

- 3 x^{2} + 3 x

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

3 x^{2} - 3 x - 36

= 0 |:3

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 2 x - 6}{3 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 2 x - 6}{3 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 2 x - 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 3 \cdot 3 x$
$- 2 x - 6$	=	$3 x \cdot x + 9 x$

- 2 x - 6

=

3 x^{2} + 9 x

|

- 3 x^{2}

- 9 x

$- 3 x^{2} - 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{11+7}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{11-7}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 11 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 x + 3$ = $- \frac{- 22}{x - 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$2 x + 3$	=	$\frac{22}{x - 2}$	\|⋅( $x - 2$ )
$2 x \cdot (x - 2) + 3 \cdot (x - 2)$	=	$\frac{22}{x - 2} \cdot (x - 2)$
$2 x \cdot (x - 2) + 3 x - 6$	=	$22$
$2 x^{2} - 4 x + 3 x - 6$	=	$22$
$2 x^{2} - x - 6$	=	$22$

2 x^{2} - x - 6

=

22

|

- 22

$2 x^{2} - x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{1+15}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{1-15}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 28$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $14$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{224}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x$ = $- \frac{x}{2 x + 4} - \frac{34}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{2 x + 4} - \frac{34}{x + 2}$
$- 4 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} - \frac{34}{x + 2}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$- 4 x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} - \frac{34}{x + 2}$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$- 4 x \cdot (2 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) + \frac{- 34}{x + 2} \cdot (2 (x + 2))$
$- 8 x \cdot (x + 2)$	=	$- x - 68$
$- 8 x \cdot x - 8 x \cdot 2$	=	$- x - 68$
$- 8 x \cdot x - 16 x$	=	$- x - 68$
$- 8 x^{2} - 16 x$	=	$- x - 68$

- 8 x^{2} - 16 x

=

- x - 68

|

+ x

+ 68

$- 8 x^{2} - 15 x + 68$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 68}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 2 176}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{2 401}}{- 16}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{2 401}}{- 16}$ = $\frac{15+49}{- 16}$ = $\frac{64}{- 16}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{2 401}}{- 16}$ = $\frac{15-49}{- 16}$ = $\frac{- 34}{- 16}$ = $2,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 15 x + 68$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{15}{8} x - \frac{17}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{16})}^{2} - (- \frac{17}{2})$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{17}{2}$ = $\frac{225}{256}$ $+$ $\frac{2176}{256}$ = $\frac{2401}{256}$

x_1,2 = $- \frac{15}{16}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{256}}$

x₁ = $- \frac{15}{16}$ - $\frac{49}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $- \frac{15}{16}$ + $\frac{49}{16}$ = $\frac{34}{16}$ = 2.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $2,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{45}{x^{3}}$ = $\frac{4}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{45}{x^{3}}$	=	$\frac{4}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{45}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$\frac{4}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} - 45$	=	$4 x$

x^{2} - 45

=

4 x

|

- 4 x

$x^{2} - 4 x - 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 45)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4+14}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{4-14}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 45)$ = $4$ $+$ $45$ = $49$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $2$ - $7$ = -5

x₂ = $2$ + $7$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{18}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{18}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{18}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 18$	=	$- x^{2}$
$a x + 18 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):