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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

0	=	$- 3 x$
0	=	$- 3 x$	\| $+ 3 x$
$3 x$	=	0	\|: $3$
$x$	=	0

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 7 x - 6}{4 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 7 x - 6}{4 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 7 x - 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 1 \cdot 4 x$
$- 7 x - 6$	=	$4 x \cdot x + 4 x$

- 7 x - 6

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} - 11 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{25}}{- 8}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{11+5}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{25}}{- 8}$ = $\frac{11-5}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 11 x - 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{11}{4} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{8})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{121}{64}$ $-$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{25}{64}$

x_1,2 = $- \frac{11}{8}$ ± $\sqrt{\frac{25}{64}}$

x₁ = $- \frac{11}{8}$ - $\frac{5}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{11}{8}$ + $\frac{5}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 0,75$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 1$ = $- \frac{3 x}{x - 4} - 2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- 1$	=	$- \frac{3 x}{x - 4} - 2 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$- 1 \cdot (x - 4)$	=	$- \frac{3 x}{x - 4} \cdot (x - 4) - 2 x \cdot (x - 4)$
$- (x - 4)$	=	$- 3 x - 2 x \cdot (x - 4)$
$- x + 4$	=	$- 3 x - 2 x \cdot (x - 4)$
$- x + 4$	=	$- 2 x^{2} + 5 x$

- x + 4

=

- 2 x^{2} + 5 x

|

+ 2 x^{2}

- 5 x

2 x^{2} - 6 x + 4

= 0 |:2

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{3 x - 9} - \frac{- 176}{6 x - 18} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0	=	$- \frac{x}{3 x - 9} + \frac{176}{6 x - 18} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{176}{6 (x - 3)} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} + \frac{176}{6 (x - 3)} - 3 x$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) + \frac{176}{6 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - 3 x \cdot (3 (x - 3))$
=	$- x + 88 - 9 x \cdot (x - 3)$
=	$- 9 x^{2} + 26 x + 88$

0

=

- 9 x^{2} + 26 x + 88

|

+ 9 x^{2}

- 26 x

- 88

$9 x^{2} - 26 x - 88$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{{(- 26)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 88)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{676 + 3 168}}{18}$

x_1,2 = $\frac{+ 26 \pm \sqrt{3 844}}{18}$

x₁ = $\frac{26 + \sqrt{3 844}}{18}$ = $\frac{26+62}{18}$ = $\frac{88}{18}$ = $\frac{44}{9}$ ≈ 4.89

x₂ = $\frac{26 - \sqrt{3 844}}{18}$ = $\frac{26-62}{18}$ = $\frac{- 36}{18}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} - 26 x - 88$ = 0 |: $9$

$x^{2} - \frac{26}{9} x - \frac{88}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{9})}^{2} - (- \frac{88}{9})$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{88}{9}$ = $\frac{169}{81}$ $+$ $\frac{792}{81}$ = $\frac{961}{81}$

x_1,2 = $\frac{13}{9}$ ± $\sqrt{\frac{961}{81}}$

x₁ = $\frac{13}{9}$ - $\frac{31}{9}$ = $- \frac{18}{9}$ = -2

x₂ = $\frac{13}{9}$ + $\frac{31}{9}$ = $\frac{44}{9}$ = 4.8888888888889

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{44}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{12}{x^{2}} + \frac{35}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{12}{x^{2}} + \frac{35}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3} + \frac{35}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$12 x + 35$	=	$- x^{2}$

12 x + 35

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 12 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 12+2}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 12-2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 35$ = $36$ $-$ $35$ = $1$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 6$ - $1$ = -7

x₂ = $- 6$ + $1$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- x + a$	=	$- x^{2}$
$- x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):