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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{5 x}{x - 3}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{5 x}{x - 3}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{5 x}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$- x \cdot (x - 3)$
$5 x$	=	$- x \cdot (x - 3)$
$5 x$	=	$- x^{2} + 3 x$

$5 x$	=	$- x^{2} + 3 x$	\| $- (- x^{2} + 3 x)$
$x^{2} + 5 x - 3 x$	=	0
$x^{2} + 2 x$	=	0
$x \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 19 x + 4}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 19 x + 4}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 19 x + 4}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 19 x + 4$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 19 x + 4

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 4}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{- 6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{4+8}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{- 6}$ = $\frac{4-8}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 4 x + 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{4}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{2}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{6}{3}$ = -2

x₂ = $- \frac{2}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 5$ = $- \frac{36 x}{2 x - 4} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

- 5

=

- \frac{36 x}{2 (x - 2)} - x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- 5$	=	$- \frac{36 x}{2 (x - 2)} - x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- 5 \cdot (x - 2)$	=	$- \frac{36 x}{2 (x - 2)} \cdot (x - 2) - x \cdot (x - 2)$
$- 5 (x - 2)$	=	$- 18 x - x \cdot (x - 2)$
$- 5 x + 10$	=	$- 18 x - x \cdot (x - 2)$
$- 5 x + 10$	=	$- x^{2} - 16 x$

- 5 x + 10

=

- x^{2} - 16 x

|

+ x^{2}

+ 16 x

$x^{2} + 11 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11+9}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 11-9}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 0,25}{x - 1}$ = $- \frac{x}{4 x - 4} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

- \frac{0,25}{x - 1}

=

- \frac{x}{4 (x - 1)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$- \frac{0,25}{x - 1}$	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} - 3 x$	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$- \frac{0,25}{x - 1} \cdot (4 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) - 3 x \cdot (4 (x - 1))$
$- 1$	=	$- x - 12 x \cdot (x - 1)$
$- 1$	=	$- 12 x^{2} + 11 x$

- 1

=

- 12 x^{2} + 11 x

|

+ 12 x^{2}

- 11 x

$12 x^{2} - 11 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{24}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{24}$ = $\frac{11+13}{24}$ = $\frac{24}{24}$ = $1$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{24}$ = $\frac{11-13}{24}$ = $\frac{- 2}{24}$ = $- \frac{1}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 11 x - 1$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{11}{12} x - \frac{1}{12}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{24})}^{2} - (- \frac{1}{12})$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{1}{12}$ = $\frac{121}{576}$ $+$ $\frac{48}{576}$ = $\frac{169}{576}$

x_1,2 = $\frac{11}{24}$ ± $\sqrt{\frac{169}{576}}$

x₁ = $\frac{11}{24}$ - $\frac{13}{24}$ = $- \frac{2}{24}$ = -0.083333333333333

x₂ = $\frac{11}{24}$ + $\frac{13}{24}$ = $\frac{24}{24}$ = 1

Lösung x= $1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{5 x + 6}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{5 x + 6}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{5 x + 6}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$5 x + 6$

- x^{2}

=

5 x + 6

|

- 5 x

- 6

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5+1}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{5-1}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 5 x - 6$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 1$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- x$
$x^{2} + a + x$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):