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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{15}{x - 4}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{15}{x - 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{15}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
$15$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
$15$	=	$3 x^{2} - 12 x$

15

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

- 3 x^{2} + 12 x + 15

= 0 |:3

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$11 + \frac{7}{x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$11 + \frac{7}{x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $x$ )
$11 \cdot x + \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 5 \cdot x$
$11 x + 7$	=	$x \cdot x + 5 x$

11 x + 7

=

x^{2} + 5 x

|

- x^{2}

- 5 x

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{20 x}{x - 5} + 2 x + 3$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{20 x}{x - 5} + 2 x + 3$	=	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{20 x}{x - 5} \cdot (x - 5) + 2 x \cdot (x - 5) + 3 \cdot (x - 5)$	=
$20 x + 2 x \cdot (x - 5) + 3 x - 15$	=
$20 x + (2 x^{2} - 10 x) + 3 x - 15$	=
$2 x^{2} + 13 x - 15$	=

$2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{4}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 13+17}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{4}$ = $\frac{- 13-17}{4}$ = $\frac{- 30}{4}$ = $- 7,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 13 x - 15$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{13}{2} x - \frac{15}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{4})}^{2} - (- \frac{15}{2})$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{15}{2}$ = $\frac{169}{16}$ $+$ $\frac{120}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{13}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{13}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{30}{4}$ = -7.5

x₂ = $- \frac{13}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7,5$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{8,5}{x + 1} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{8,5}{x + 1} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{8,5}{x + 1} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{8,5}{x + 1} + 4 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 8,5}{x + 1} \cdot (4 (x + 1)) + 4 x \cdot (4 (x + 1))$
=	$- x - 34 + 16 x \cdot (x + 1)$
=	$16 x^{2} + 15 x - 34$

0

=

16 x^{2} + 15 x - 34

|

- 16 x^{2}

- 15 x

+ 34

$- 16 x^{2} - 15 x + 34$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 34}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 2 176}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{2 401}}{- 32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{2 401}}{- 32}$ = $\frac{15+49}{- 32}$ = $\frac{64}{- 32}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{2 401}}{- 32}$ = $\frac{15-49}{- 32}$ = $\frac{- 34}{- 32}$ = $\frac{17}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 15 x + 34$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{15}{16} x - \frac{17}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{17}{8})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{17}{8}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{2176}{1024}$ = $\frac{2401}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{1024}}$

x₁ = $- \frac{15}{32}$ - $\frac{49}{32}$ = $- \frac{64}{32}$ = -2

x₂ = $- \frac{15}{32}$ + $\frac{49}{32}$ = $\frac{34}{32}$ = 1.0625

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{17}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{80}{x^{2}}$ = $\frac{18}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{80}{x^{2}}$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{80}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$\frac{18}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 80$	=	$18 x$

x^{2} + 80

=

18 x

|

- 18 x

$x^{2} - 18 x + 80$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{324 - 320}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 18 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{18 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18+2}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{18 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{18-2}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 9)}^{2} - 80$ = $81$ $-$ $80$ = $1$

x_1,2 = $9$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $9$ - $1$ = 8

x₂ = $9$ + $1$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 8 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 8 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 8 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 8 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 8 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 8 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 8 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -8 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $- (2 + 6)$ = -8

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 6$ = $12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):