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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8}{x}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{8}{x}$	=	$2 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{8}{x} \cdot x$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x \cdot x$
$8$	=	$2 x^{2}$

$8$	=	$2 x^{2}$	\| $- 8$ $- 2 x^{2}$
$- 2 x^{2}$	=	$- 8$	\|: $(- 2)$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 10 x + 8}{x - 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 10 x + 8}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 10 x + 8}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- 10 x + 8$	=	$2 x (x - 2)$
$- 10 x + 8$	=	$2 x^{2} - 4 x$

- 10 x + 8

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

- 2 x^{2} - 6 x + 8

= 0 |:2

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 2$ = $- \frac{- 14}{3 x - 5} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{3}$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

- 2

=

\frac{14}{3 x - 5} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$- 2$	=	$\frac{14}{3 x - 5} - x$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$- 2 \cdot (3 x - 5)$	=	$\frac{14}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - x \cdot (3 x - 5)$
$- 2 (3 x - 5)$	=	$14 - x (3 x - 5)$
$- 6 x + 10$	=	$14 - x (3 x - 5)$
$- 6 x + 10$	=	$- 3 x^{2} + 5 x + 14$

- 6 x + 10

=

- 3 x^{2} + 5 x + 14

|

+ 3 x^{2}

- 5 x

- 14

$3 x^{2} - 11 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{11+13}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{11-13}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 11 x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 12} - 4 x$ = $- \frac{222}{2 x + 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{x}{4 (x + 3)} - 4 x

=

- \frac{222}{2 (x + 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 3)} - 4 x$	=	$- \frac{222}{2 (x + 3)}$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$\frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) - 4 x \cdot (4 (x + 3))$	=	$- \frac{222}{2 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3))$
$x - 16 x (x + 3)$	=	$- 444$
$x + (- 16 x^{2} - 48 x)$	=	$- 444$
$- 16 x^{2} - 47 x$	=	$- 444$

- 16 x^{2} - 47 x

=

- 444

|

+ 444

$- 16 x^{2} - 47 x + 444$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 444}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 28 416}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{30 625}}{- 32}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{30 625}}{- 32}$ = $\frac{47+175}{- 32}$ = $\frac{222}{- 32}$ = $- \frac{111}{16}$ ≈ -6.94

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{30 625}}{- 32}$ = $\frac{47-175}{- 32}$ = $\frac{- 128}{- 32}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 47 x + 444$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{47}{16} x - \frac{111}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{47}{32})}^{2} - (- \frac{111}{4})$ = $\frac{2209}{1024}$ $+$ $\frac{111}{4}$ = $\frac{2209}{1024}$ $+$ $\frac{28416}{1024}$ = $\frac{30625}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{47}{32}$ ± $\sqrt{\frac{30625}{1024}}$

x₁ = $- \frac{47}{32}$ - $\frac{175}{32}$ = $- \frac{222}{32}$ = -6.9375

x₂ = $- \frac{47}{32}$ + $\frac{175}{32}$ = $\frac{128}{32}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{111}{16}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{1}{x} - \frac{90}{x^{2}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{1}{x} - \frac{90}{x^{2}}$	=	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{1}{x} \cdot x^{2} - \frac{90}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=
$x^{2} + x - 90$	=

$x^{2} + x - 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 90)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{361}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1+19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{361}}{2}$ = $\frac{- 1-19}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 90)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $90$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{361}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{361}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{19}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{19}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 1$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 1$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + x$	=	$- a$
$x^{2} + x + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):