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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{0}{x - 5}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{0}{x - 5}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{0}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- x \cdot (x - 5)$
0	=	$- x \cdot (x - 5)$
0	=	$- x^{2} + 5 x$

0	=	$- x^{2} + 5 x$	\| $- (- x^{2} + 5 x)$
$x^{2} - 5 x$	=	0
$x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

Lösung x= $5$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 1$ = $- 4 - \frac{4}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 1$	=	$- 4 - \frac{4}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- 4 \cdot x - \frac{4}{x} \cdot x$
$x \cdot x + x$	=	$- 4 x - 4$
$x^{2} + x$	=	$- 4 x - 4$

x^{2} + x

=

- 4 x - 4

|

+ 4 x

+ 4

$x^{2} + 5 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5+3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 5-3}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 1$ = $- \frac{- 6 x}{2 x + 3}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{3}{2}$

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$x - 1$	=	$\frac{6 x}{2 x + 3}$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$x \cdot (2 x + 3) - 1 \cdot (2 x + 3)$	=	$\frac{6 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3)$
$x \cdot (2 x + 3) - 2 x - 3$	=	$6 x$
$2 x^{2} + 3 x - 2 x - 3$	=	$6 x$
$2 x^{2} + x - 3$	=	$6 x$

2 x^{2} + x - 3

=

6 x

|

- 6 x

$2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{5+7}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{5-7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16} + \frac{- 1}{x - 4} + 3 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16} - \frac{1}{x - 4} + 3 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x - 4)} - \frac{1}{x - 4} + 3 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)} - \frac{1}{x - 4} + 3 x$	=	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) + \frac{- 1}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) + 3 x \cdot (4 (x - 4))$	=
$x - 4 + 12 x \cdot (x - 4)$	=
$x - 4 + (12 x^{2} - 48 x)$	=
$12 x^{2} - 47 x - 4$	=

$12 x^{2} - 47 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{{(- 47)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 209 + 192}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 47 \pm \sqrt{2 401}}{24}$

x₁ = $\frac{47 + \sqrt{2 401}}{24}$ = $\frac{47+49}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = $4$

x₂ = $\frac{47 - \sqrt{2 401}}{24}$ = $\frac{47-49}{24}$ = $\frac{- 2}{24}$ = $- \frac{1}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 47 x - 4$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{47}{12} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{47}{24})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{2209}{576}$ $+$ $\frac{192}{576}$ = $\frac{2401}{576}$

x_1,2 = $\frac{47}{24}$ ± $\sqrt{\frac{2401}{576}}$

x₁ = $\frac{47}{24}$ - $\frac{49}{24}$ = $- \frac{2}{24}$ = -0.083333333333333

x₂ = $\frac{47}{24}$ + $\frac{49}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = 4

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $- \frac{1}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 20 x + 100}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{- 20 x + 100}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{- 20 x + 100}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$- 20 x + 100$	=	$- x^{2}$

- 20 x + 100

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 20 x + 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{20}{2}$ = $10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 10)}^{2} - 100$ = $100$ $-$ $100$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $10$ ± 0 = $10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{10}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{10}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$10$
$x^{2} + a x - 10$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):