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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4 x}{x - 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 4 x}{x - 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 4 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 4 x$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 4 x$	=	$- x^{2} + x$

$- 4 x$	=	$- x^{2} + x$	\| $- (- x^{2} + x)$
$x^{2} - 4 x - x$	=	0
$x^{2} - 5 x$	=	0
$x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 37 x + 16}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 37 x + 16}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 37 x + 16}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 37 x + 16$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 37 x + 16

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{{(- 22)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 16}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{484 + 192}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 22 \pm \sqrt{676}}{- 6}$

x₁ = $\frac{22 + \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22+26}{- 6}$ = $\frac{48}{- 6}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{22 - \sqrt{676}}{- 6}$ = $\frac{22-26}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 22 x + 16$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{22}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{169}{9}$

x_1,2 = $- \frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{169}{9}}$

x₁ = $- \frac{11}{3}$ - $\frac{13}{3}$ = $- \frac{24}{3}$ = -8

x₂ = $- \frac{11}{3}$ + $\frac{13}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 x$ = $- \frac{- 9 x}{x + 5} + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

2 x

=

\frac{9 x}{x + 5} + 4

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$2 x$	=	$\frac{9 x}{x + 5} + 4$	\|⋅( $x + 5$ )
$2 x \cdot (x + 5)$	=	$\frac{9 x}{x + 5} \cdot (x + 5) + 4 \cdot (x + 5)$
$2 x \cdot (x + 5)$	=	$9 x + 4 x + 20$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 5$	=	$9 x + 4 x + 20$
$2 x \cdot x + 10 x$	=	$9 x + 4 x + 20$
$2 x^{2} + 10 x$	=	$13 x + 20$

2 x^{2} + 10 x

=

13 x + 20

|

- 13 x

- 20

$2 x^{2} - 3 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3+13}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{3-13}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x - 20$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{16}$ $+$ $\frac{160}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5}{2 x - 6} - x$ = $- \frac{x}{4 x - 12}$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

$- \frac{5}{2 x - 6} - x$	=	$\frac{- x}{4 x - 12}$
$- \frac{5}{2 (x - 3)} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

$- \frac{5}{2 (x - 3)} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 3)}$	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
$\frac{- 5}{2 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) - x \cdot (4 (x - 3))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3))$
$- 10 - 4 x \cdot (x - 3)$	=	$- x$
$- 10 + (- 4 x^{2} + 12 x)$	=	$- x$
$- 4 x^{2} + 12 x - 10$	=	$- x$

- 4 x^{2} + 12 x - 10

=

- x

|

+ x

$- 4 x^{2} + 13 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 160}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{9}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 13+3}{- 8}$ = $\frac{- 10}{- 8}$ = $1,25$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{9}}{- 8}$ = $\frac{- 13-3}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 13 x - 10$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{9}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{9}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{3}{8}$ = $\frac{10}{8}$ = 1.25

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{3}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1,25$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- \frac{20}{x^{2}} - \frac{100}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- \frac{20}{x^{2}} - \frac{100}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{100}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$x^{2}$	=	$- 20 x - 100$

x^{2}

=

- 20 x - 100

|

+ 20 x

+ 100

$x^{2} + 20 x + 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 400}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 20 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $10^{2} - 100$ = $100$ $-$ $100$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 10$ ± 0 = $- 10$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{12}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{12}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{12}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 12$	=	$- x^{2}$
$a x + 12 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 6$ = 12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 6)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8+4}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{8-4}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

L={ $2$ ; $6$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):