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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4}{x - 1}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{4}{x - 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{4}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$- 4$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$- 4$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

- 4

=

- 2 x^{2} + 2 x

|

+ 2 x^{2}

- 2 x

2 x^{2} - 2 x - 4

= 0 |:2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 6 x - 4}{x - 4}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 6 x - 4}{x - 4}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 6 x - 4}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$4 x \cdot (x - 4)$
$- 6 x - 4$	=	$4 x \cdot (x - 4)$
$- 6 x - 4$	=	$4 x^{2} - 16 x$

- 6 x - 4

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

- 4 x^{2} + 10 x - 4

= 0 |:2

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5+3}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 5-3}{- 4}$ = $\frac{- 8}{- 4}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 5 x - 2$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{16}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 49}{3 x + 5} + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

x

=

\frac{49}{3 x + 5} + 3

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$x$	=	$\frac{49}{3 x + 5} + 3$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$x \cdot (3 x + 5)$	=	$\frac{49}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + 3 \cdot (3 x + 5)$
$x \cdot (3 x + 5)$	=	$49 + 9 x + 15$
$x \cdot 3 x + x \cdot 5$	=	$49 + 9 x + 15$
$3 x \cdot x + 5 x$	=	$49 + 9 x + 15$
$3 x^{2} + 5 x$	=	$9 x + 64$

3 x^{2} + 5 x

=

9 x + 64

|

- 9 x

- 64

$3 x^{2} - 4 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 64)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 768}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{784}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{4+28}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{4-28}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 64$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{64}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{64}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{64}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{192}{9}$ = $\frac{196}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{196}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{14}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{14}{3}$ = $\frac{16}{3}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{16}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x - 16} - \frac{- 1}{x - 4} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x - 16} + \frac{1}{x - 4} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} + \frac{1}{x - 4} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} + \frac{1}{x - 4} + 2 x$	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) + \frac{1}{x - 4} \cdot (4 (x - 4)) + 2 x \cdot (4 (x - 4))$
=	$- x + 4 + 8 x \cdot (x - 4)$
=	$8 x^{2} - 33 x + 4$

0

=

8 x^{2} - 33 x + 4

|

- 8 x^{2}

+ 33 x

- 4

$- 8 x^{2} + 33 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{1 089 - 128}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{- 33 \pm \sqrt{961}}{- 16}$

x₁ = $\frac{- 33 + \sqrt{961}}{- 16}$ = $\frac{- 33+31}{- 16}$ = $\frac{- 2}{- 16}$ = $0,125$

x₂ = $\frac{- 33 - \sqrt{961}}{- 16}$ = $\frac{- 33-31}{- 16}$ = $\frac{- 64}{- 16}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} + 33 x - 4$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} - \frac{33}{8} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{33}{16})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1089}{256}$ $-$ $\frac{128}{256}$ = $\frac{961}{256}$

x_1,2 = $\frac{33}{16}$ ± $\sqrt{\frac{961}{256}}$

x₁ = $\frac{33}{16}$ - $\frac{31}{16}$ = $\frac{2}{16}$ = 0.125

x₂ = $\frac{33}{16}$ + $\frac{31}{16}$ = $\frac{64}{16}$ = 4

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $0,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16}{x} + \frac{60}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{16}{x} + \frac{60}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{16}{x} \cdot x^{2} + \frac{60}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$16 x + 60$	=	$- x^{2}$

16 x + 60

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 16 x + 60$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 60}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16+4}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 16-4}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 60$ = $64$ $-$ $60$ = $4$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 8$ - $2$ = -10

x₂ = $- 8$ + $2$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{18}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{18}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{18}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 18$	=	$- a x$
$x^{2} - 18 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):