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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4 x}{x - 1}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 4 x}{x - 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 4 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 4 x$	=	$2 x \cdot (x - 1)$
$- 4 x$	=	$2 x^{2} - 2 x$

$- 4 x$	=	$2 x^{2} - 2 x$	\| $- (2 x^{2} - 2 x)$
$- 2 x^{2} - 4 x + 2 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 2 x$	=	0
$- 2 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 29 x - 10}{3 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 29 x - 10}{3 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 29 x - 10}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$
$- 29 x - 10$	=	$3 x \cdot x - 12 x$

- 29 x - 10

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} - 17 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{- 6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{17+13}{- 6}$ = $\frac{30}{- 6}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{- 6}$ = $\frac{17-13}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 17 x - 10$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{30}{6}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 5}{x - 3} + x$ = $- 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

- \frac{5}{x - 3} + x

=

- 1

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$- \frac{5}{x - 3} + x$	=	$- 1$	\|⋅( $x - 3$ )
$- \frac{5}{x - 3} \cdot (x - 3) + x \cdot (x - 3)$	=	$- 1 \cdot (x - 3)$
$- 5 + x \cdot (x - 3)$	=	$- (x - 3)$
$- 5 + (x^{2} - 3 x)$	=	$- (x - 3)$
$x^{2} - 3 x - 5$	=	$- x + 3$

x^{2} - 3 x - 5

=

- x + 3

|

+ x

- 3

$x^{2} - 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2+6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{2-6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $1$ - $3$ = -2

x₂ = $1$ + $3$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4} + \frac{- 21}{x + 1}$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{4 x + 4} - \frac{21}{x + 1}$	=	$- x$
$\frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{21}{x + 1}$	=	$- x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{21}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 21}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$	=	$- x \cdot (4 (x + 1))$
$x - 84$	=	$- 4 x \cdot (x + 1)$
$x - 84$	=	$- 4 x^{2} - 4 x$

x - 84

=

- 4 x^{2} - 4 x

|

+ 4 x^{2}

+ 4 x

$4 x^{2} + 5 x - 84$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 84)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 1 344}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1 369}}{8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 5+37}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1 369}}{8}$ = $\frac{- 5-37}{8}$ = $\frac{- 42}{8}$ = $- 5,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 5 x - 84$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{5}{4} x - 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{8})}^{2} - (- 21)$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $21$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{1344}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $- \frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $- \frac{5}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{42}{8}$ = -5.25

x₂ = $- \frac{5}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,25$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{16}{x} + \frac{63}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{16}{x} + \frac{63}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{16}{x} \cdot x^{2} + \frac{63}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$16 x + 63$	=	$- x^{2}$

16 x + 63

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 8$ - $1$ = -9

x₂ = $- 8$ + $1$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 12 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):