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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{12}{x - 1}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{12}{x - 1}$	=	$x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{12}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$x \cdot (x - 1)$
$12$	=	$x \cdot (x - 1)$
$12$	=	$x^{2} - x$

12

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} + x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 12}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1+7}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 1-7}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + x + 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - x - 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{11 x - 18}{x + 2}$ = $x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{11 x - 18}{x + 2}$	=	$x$	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{11 x - 18}{x + 2} \cdot (x + 2)$	=	$x \cdot (x + 2)$
$11 x - 18$	=	$x \cdot (x + 2)$
$11 x - 18$	=	$x^{2} + 2 x$

11 x - 18

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9+3}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9-3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{- 16 x}{3 x - 4} - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{4}{3}$

D=R\{ $\frac{4}{3}$ }

x

=

\frac{16 x}{3 x - 4} - 4

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 4$ weg!

$x$	=	$\frac{16 x}{3 x - 4} - 4$	\|⋅( $3 x - 4$ )
$x \cdot (3 x - 4)$	=	$\frac{16 x}{3 x - 4} \cdot (3 x - 4) - 4 \cdot (3 x - 4)$
$x \cdot (3 x - 4)$	=	$16 x - 12 x + 16$
$x \cdot 3 x + x \cdot (- 4)$	=	$16 x - 12 x + 16$
$3 x \cdot x - 4 x$	=	$16 x - 12 x + 16$
$3 x^{2} - 4 x$	=	$4 x + 16$

3 x^{2} - 4 x

=

4 x + 16

|

- 4 x

- 16

$3 x^{2} - 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{8+16}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{8-16}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 8 x - 16$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x - \frac{16}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (- \frac{16}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{16}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{48}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{4}{3}$ = -1.3333333333333

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x + 6} + \frac{- 11}{x + 3} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{2 x + 6} - \frac{11}{x + 3} + x$	=	0
$\frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{11}{x + 3} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{11}{x + 3} + x$	=	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$\frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 11}{x + 3} \cdot (2 (x + 3)) + x \cdot (2 (x + 3))$	=
$x - 22 + 2 x \cdot (x + 3)$	=
$x - 22 + (2 x^{2} + 6 x)$	=
$2 x^{2} + 7 x - 22$	=

$2 x^{2} + 7 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 176}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 7+15}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{- 7-15}{4}$ = $\frac{- 22}{4}$ = $- 5,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 22$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - 11$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- 11)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $11$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{176}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{22}{4}$ = -5.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{8}{4}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,5$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{40}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{14}{x^{3}} + \frac{40}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{14}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{40}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 14 x + 40$	=

$x^{2} - 14 x + 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 40}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14+6}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{14-6}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $7$ - $3$ = 4

x₂ = $7$ + $3$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 6$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 6$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 6$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 6 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 6 x$
$a + x^{2} + 6 x$	=	0
$x^{2} + 6 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 6 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -8 würde es funktionieren, denn $- (2 - 8)$ = 6

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 8)$ = $- 16$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -16 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 6 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6+10}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 6-10}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 3$ - $5$ = -8

x₂ = $- 3$ + $5$ = 2

L={ $- 8$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):