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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 10$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$- 10$	=	$2 x$	\| $+ 10$ $- 2 x$
$- 2 x$	=	$10$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 5$

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 4 + \frac{4}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 4 + \frac{4}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$- 4 \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$- 4 x + 4$	=	$x \cdot x - x$

- 4 x + 4

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3+5}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{3-5}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{2 x}{x + 3} + x + 2$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{2 x}{x + 3} + x + 2$	=	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{2 x}{x + 3} \cdot (x + 3) + x \cdot (x + 3) + 2 \cdot (x + 3)$	=
$2 x + x \cdot (x + 3) + 2 x + 6$	=
$2 x + (x^{2} + 3 x) + 2 x + 6$	=
$x^{2} + 7 x + 6$	=

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x$ = $- \frac{x}{5 x - 20} - \frac{- 9,2}{x - 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{5 x - 20} + \frac{9,2}{x - 4}$
$- 3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{9,2}{x - 4}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 4)$ weg!

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} + \frac{9,2}{x - 4}$	\|⋅( $5 (x - 4)$ )
$- 3 x \cdot (5 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{5 (x - 4)} \cdot (5 (x - 4)) + \frac{9,2}{x - 4} \cdot (5 (x - 4))$
$- 15 x \cdot (x - 4)$	=	$- x + 46$
$- 15 x \cdot x - 15 x \cdot (- 4)$	=	$- x + 46$
$- 15 x \cdot x + 60 x$	=	$- x + 46$
$- 15 x^{2} + 60 x$	=	$- x + 46$

- 15 x^{2} + 60 x

=

- x + 46

|

+ x

- 46

$- 15 x^{2} + 61 x - 46$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{61^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot (- 46)}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{3 721 - 2 760}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{- 61 \pm \sqrt{961}}{- 30}$

x₁ = $\frac{- 61 + \sqrt{961}}{- 30}$ = $\frac{- 61+31}{- 30}$ = $\frac{- 30}{- 30}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 61 - \sqrt{961}}{- 30}$ = $\frac{- 61-31}{- 30}$ = $\frac{- 92}{- 30}$ = $\frac{46}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} + 61 x - 46$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} - \frac{61}{15} x + \frac{46}{15}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{61}{30})}^{2} - (\frac{46}{15})$ = $\frac{3721}{900}$ $-$ $\frac{46}{15}$ = $\frac{3721}{900}$ $-$ $\frac{2760}{900}$ = $\frac{961}{900}$

x_1,2 = $\frac{61}{30}$ ± $\sqrt{\frac{961}{900}}$

x₁ = $\frac{61}{30}$ - $\frac{31}{30}$ = $\frac{30}{30}$ = 1

x₂ = $\frac{61}{30}$ + $\frac{31}{30}$ = $\frac{92}{30}$ = 3.0666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $\frac{46}{15}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{- 11 x + 18}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{- 11 x + 18}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{- 11 x + 18}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$- 11 x + 18$

- x^{2}

=

- 11 x + 18

|

+ 11 x

- 18

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11+7}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 11-7}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a - \frac{30}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a - \frac{30}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a - \frac{30}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x - \frac{30}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x - 30$	=	$- x^{2}$
$a x - 30 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x - 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 15)$ = -30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 15)$ = $13$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 13 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 13 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13+17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 13-17}{2}$ = $\frac{- 30}{2}$ = $- 15$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{30}{2}$ = -15

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 15$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):