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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4}{x + 3}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$- \frac{4}{x + 3}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 3$ )
$- \frac{4}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$- x \cdot (x + 3)$
$- 4$	=	$- x (x + 3)$
$- 4$	=	$- x^{2} - 3 x$

- 4

=

- x^{2} - 3 x

|

+ x^{2}

+ 3 x

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{13}{2} + \frac{3}{2 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{13}{2} + \frac{3}{2 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{13}{2} \cdot x + \frac{3}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 4 \cdot x$
$- \frac{13}{2} x + \frac{3}{2}$	=	$x \cdot x - 4 x$

$- \frac{13}{2} x + \frac{3}{2}$	=	$x^{2} - 4 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{13}{2} x + \frac{3}{2})$	=	$2 (x^{2} - 4 x)$
$- 13 x + 3$	=	$2 x^{2} - 8 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 8 x$

$- 2 x^{2} - 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 3}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{- 4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{5+7}{- 4}$ = $\frac{12}{- 4}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{- 4}$ = $\frac{5-7}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 5 x + 3$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{5}{2} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{4})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{5}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x - 2$ = $- \frac{- 14 x}{x + 3}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$3 x - 2$	=	$\frac{14 x}{x + 3}$	\|⋅( $x + 3$ )
$3 x \cdot (x + 3) - 2 \cdot (x + 3)$	=	$\frac{14 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$
$3 x (x + 3) - 2 x - 6$	=	$14 x$
$3 x^{2} + 9 x - 2 x - 6$	=	$14 x$
$3 x^{2} + 7 x - 6$	=	$14 x$

3 x^{2} + 7 x - 6

=

14 x

|

- 14 x

$3 x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{7+11}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{7-11}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{368}{6 x - 6} - 3 x$ = $- \frac{x}{3 x - 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{368}{6 x - 6} - 3 x$	=	$\frac{- x}{3 x - 3}$
$\frac{368}{6 (x - 1)} - 3 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{368}{6 (x - 1)} - 3 x$	=	$\frac{- x}{3 (x - 1)}$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{368}{6 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) - 3 x \cdot (3 (x - 1))$	=	$\frac{- x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$
$184 - 9 x (x - 1)$	=	$- x$
$184 + (- 9 x^{2} + 9 x)$	=	$- x$
$- 9 x^{2} + 9 x + 184$	=	$- x$

- 9 x^{2} + 9 x + 184

=

- x

|

+ x

$- 9 x^{2} + 10 x + 184$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot 184}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 6 624}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{6 724}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{6 724}}{- 18}$ = $\frac{- 10+82}{- 18}$ = $\frac{72}{- 18}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{6 724}}{- 18}$ = $\frac{- 10-82}{- 18}$ = $\frac{- 92}{- 18}$ = $\frac{46}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 10 x + 184$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{10}{9} x - \frac{184}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{9})}^{2} - (- \frac{184}{9})$ = $\frac{25}{81}$ $+$ $\frac{184}{9}$ = $\frac{25}{81}$ $+$ $\frac{1656}{81}$ = $\frac{1681}{81}$

x_1,2 = $\frac{5}{9}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{81}}$

x₁ = $\frac{5}{9}$ - $\frac{41}{9}$ = $- \frac{36}{9}$ = -4

x₂ = $\frac{5}{9}$ + $\frac{41}{9}$ = $\frac{46}{9}$ = 5.1111111111111

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{46}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8}{x^{2}}$ = $- 1 + \frac{6}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{8}{x^{2}}$	=	$- 1 + \frac{6}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{8}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x} \cdot x^{2}$
$8$	=	$- x^{2} + 6 x$

8

=

- x^{2} + 6 x

|

+ x^{2}

- 6 x

$x^{2} - 6 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6+2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{6-2}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 8$ = $9$ $-$ $8$ = $1$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $3$ - $1$ = 2

x₂ = $3$ + $1$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{18}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{18}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{18}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$18$
$a x + x^{2} - 18$	=	0
$x^{2} + a x - 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 9)$ = -18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 9)$ = $7$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 7 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):