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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{8 x}{x - 1}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{- 8 x}{x - 1}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{- 8 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$- \frac{8 x}{1}$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$- 8 x$	=	$- 2 x \cdot (x - 1)$
$- 8 x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$

$- 8 x$	=	$- 2 x^{2} + 2 x$	\| $- (- 2 x^{2} + 2 x)$
$2 x^{2} - 8 x - 2 x$	=	0
$2 x^{2} - 10 x$	=	0
$2 x \cdot (x - 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 11 x - 1}{x - 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 11 x - 1}{x - 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 11 x - 1}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
$- 11 x - 1$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
$- 11 x - 1$	=	$3 x^{2} - 15 x$

- 11 x - 1

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} + 4 x - 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 1)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4+2}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 6}$ = $\frac{- 4-2}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 4 x - 1$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (\frac{1}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $-$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{1}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{1}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4$ = $- \frac{2 x}{x + 4} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$4$	=	$- \frac{2 x}{x + 4} - x$	\|⋅( $x + 4$ )
$4 \cdot (x + 4)$	=	$- \frac{2 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - x \cdot (x + 4)$
$4 (x + 4)$	=	$- 2 x - x \cdot (x + 4)$
$4 x + 16$	=	$- 2 x - x \cdot (x + 4)$
$4 x + 16$	=	$- x^{2} - 6 x$

4 x + 16

=

- x^{2} - 6 x

|

+ x^{2}

+ 6 x

$x^{2} + 10 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10+6}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 10-6}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - 16$ = $25$ $-$ $16$ = $9$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 5$ - $3$ = -8

x₂ = $- 5$ + $3$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x - 12} - \frac{18,75}{x - 3} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x - 12} - \frac{18,75}{x - 3} + x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} - \frac{18,75}{x - 3} + x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} - \frac{18,75}{x - 3} + x$	\|⋅( $4 (x - 3)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x - 3)} \cdot (4 (x - 3)) + \frac{- 18,75}{x - 3} \cdot (4 (x - 3)) + x \cdot (4 (x - 3))$
=	$- x - 75 + 4 x \cdot (x - 3)$
=	$4 x^{2} - 13 x - 75$

0

=

4 x^{2} - 13 x - 75

|

- 4 x^{2}

+ 13 x

+ 75

$- 4 x^{2} + 13 x + 75$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 75}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 1 200}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1 369}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1 369}}{- 8}$ = $\frac{- 13+37}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1 369}}{- 8}$ = $\frac{- 13-37}{- 8}$ = $\frac{- 50}{- 8}$ = $6,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 13 x + 75$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{13}{4} x - \frac{75}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{8})}^{2} - (- \frac{75}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{75}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $+$ $\frac{1200}{64}$ = $\frac{1369}{64}$

x_1,2 = $\frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1369}{64}}$

x₁ = $\frac{13}{8}$ - $\frac{37}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $\frac{13}{8}$ + $\frac{37}{8}$ = $\frac{50}{8}$ = 6.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,25$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{5}{x^{3}} + \frac{6}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}}$	=	$- \frac{5}{x^{3}} + \frac{6}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{5}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{6}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$x^{2}$	=	$- 5 x + 6$

x^{2}

=

- 5 x + 6

|

+ 5 x

- 6

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 11$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 11$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 11$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 11 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 11 x$	=	$- a$
$x^{2} + 11 x + a$	=	0
$x^{2} + 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -13 würde es funktionieren, denn $- (2 - 13)$ = 11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 13)$ = $- 26$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -26 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 11 x - 26$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 26)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 104}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11+15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{- 11-15}{2}$ = $\frac{- 26}{2}$ = $- 13$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{2})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $26$ = $\frac{121}{4}$ $+$ $\frac{104}{4}$ = $\frac{225}{4}$

x_1,2 = $- \frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{225}{4}}$

x₁ = $- \frac{11}{2}$ - $\frac{15}{2}$ = $- \frac{26}{2}$ = -13

x₂ = $- \frac{11}{2}$ + $\frac{15}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 13$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):