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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{50}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{50}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{50}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 50$	=	$- 2 x^{2}$

$- 50$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 50$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$50$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 34 x - 6}{3 x}$ = $x - 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{- 34 x - 6}{3 x}$	=	$x - 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{- 34 x - 6}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 5 \cdot 3 x$
$- 34 x - 6$	=	$3 x \cdot x - 15 x$

- 34 x - 6

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 19 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{289}}{- 6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{19+17}{- 6}$ = $\frac{36}{- 6}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{289}}{- 6}$ = $\frac{19-17}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 19 x - 6$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{19}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $- \frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $- \frac{19}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{36}{6}$ = -6

x₂ = $- \frac{19}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 65}{3 x - 1} - x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{3}$

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

0

=

\frac{65}{3 x - 1} - x + 1

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

=	$\frac{65}{3 x - 1} - x + 1$	\|⋅( $3 x - 1$ )
=	$\frac{65}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - x \cdot (3 x - 1) + 1 \cdot (3 x - 1)$
=	$65 - x \cdot (3 x - 1) + 3 x - 1$
=	$- 3 x^{2} + 4 x + 64$

0

=

- 3 x^{2} + 4 x + 64

|

+ 3 x^{2}

- 4 x

- 64

$3 x^{2} - 4 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 64)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 768}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{784}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{4+28}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{4-28}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 64$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{64}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{64}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{64}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{192}{9}$ = $\frac{196}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{196}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{14}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{14}{3}$ = $\frac{16}{3}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{16}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{39}{2 x + 6} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{39}{2 x + 6} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{39}{2 (x + 3)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{39}{2 (x + 3)} + 2 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{- 39}{2 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + 2 x \cdot (4 (x + 3))$
=	$- x - 78 + 8 x \cdot (x + 3)$
=	$8 x^{2} + 23 x - 78$

0

=

8 x^{2} + 23 x - 78

|

- 8 x^{2}

- 23 x

+ 78

$- 8 x^{2} - 23 x + 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 78}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 2 496}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{3 025}}{- 16}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{3 025}}{- 16}$ = $\frac{23+55}{- 16}$ = $\frac{78}{- 16}$ = $- 4,875$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{3 025}}{- 16}$ = $\frac{23-55}{- 16}$ = $\frac{- 32}{- 16}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 23 x + 78$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{23}{8} x - \frac{39}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{16})}^{2} - (- \frac{39}{4})$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{39}{4}$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{2496}{256}$ = $\frac{3025}{256}$

x_1,2 = $- \frac{23}{16}$ ± $\sqrt{\frac{3025}{256}}$

x₁ = $- \frac{23}{16}$ - $\frac{55}{16}$ = $- \frac{78}{16}$ = -4.875

x₂ = $- \frac{23}{16}$ + $\frac{55}{16}$ = $\frac{32}{16}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,875$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{13}{x} + \frac{42}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{13}{x} + \frac{42}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{13}{x} \cdot x^{2} + \frac{42}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$13 x + 42$	=	$- x^{2}$

13 x + 42

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13+1}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 13-1}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $- 6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x + x^{2}$	=	$- a$
$x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):