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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{6 x}{x - 2}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{6 x}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{6 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$6 x$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$6 x$	=	$3 x^{2} - 6 x$

$6 x$	=	$3 x^{2} - 6 x$	\| $- (3 x^{2} - 6 x)$
$- 3 x^{2} + 6 x + 6 x$	=	0
$- 3 x^{2} + 12 x$	=	0
$3 x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x - 4$ = $\frac{- 29 x - 10}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x - 4$	=	$\frac{- 29 x - 10}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x - 4 \cdot 3 x$	=	$\frac{- 29 x - 10}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x - 12 x$	=	$- 29 x - 10$
$3 x^{2} - 12 x$	=	$- 29 x - 10$

3 x^{2} - 12 x

=

- 29 x - 10

|

+ 29 x

+ 10

$3 x^{2} + 17 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 10}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 17+13}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 17-13}{6}$ = $\frac{- 30}{6}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 17 x + 10$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x + \frac{10}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (\frac{10}{3})$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{10}{3}$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{120}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{30}{6}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- \frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{10}{3 x + 4} + 5$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{4}{3}$

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

\frac{10}{3 x + 4} + 5

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$\frac{10}{3 x + 4} + 5$	=	$- x$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$\frac{10}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + 5 \cdot (3 x + 4)$	=	$- x \cdot (3 x + 4)$
$10 + 15 x + 20$	=	$- x \cdot (3 x + 4)$
$15 x + 30$	=	$- 3 x^{2} - 4 x$

15 x + 30

=

- 3 x^{2} - 4 x

|

+ 3 x^{2}

+ 4 x

$3 x^{2} + 19 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 30}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 19+1}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 19-1}{6}$ = $\frac{- 20}{6}$ = $- \frac{10}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 19 x + 30$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{19}{3} x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{6})}^{2} - 10$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $10$ = $\frac{361}{36}$ $-$ $\frac{360}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{19}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{20}{6}$ = -3.3333333333333

x₂ = $- \frac{19}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{10}{3}$ ; $- 3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{5 x + 15} - \frac{- 54,6}{x + 3} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{5 x + 15} + \frac{54,6}{x + 3} - 3 x$
0	=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} + \frac{54,6}{x + 3} - 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} + \frac{54,6}{x + 3} - 3 x$	\|⋅( $5 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{5 (x + 3)} \cdot (5 (x + 3)) + \frac{54,6}{x + 3} \cdot (5 (x + 3)) - 3 x \cdot (5 (x + 3))$
=	$- x + 273 - 15 x \cdot (x + 3)$
=	$- 15 x^{2} - 46 x + 273$

0

=

- 15 x^{2} - 46 x + 273

|

+ 15 x^{2}

+ 46 x

- 273

$15 x^{2} + 46 x - 273$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{46^{2} - 4 \cdot 15 \cdot (- 273)}}{2 \cdot 15}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{2 116 + 16 380}}{30}$

x_1,2 = $\frac{- 46 \pm \sqrt{18 496}}{30}$

x₁ = $\frac{- 46 + \sqrt{18 496}}{30}$ = $\frac{- 46+136}{30}$ = $\frac{90}{30}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 46 - \sqrt{18 496}}{30}$ = $\frac{- 46-136}{30}$ = $\frac{- 182}{30}$ = $- \frac{91}{15}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $15$ " teilen:

$15 x^{2} + 46 x - 273$ = 0 |: $15$

$x^{2} + \frac{46}{15} x - \frac{91}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{15})}^{2} - (- \frac{91}{5})$ = $\frac{529}{225}$ $+$ $\frac{91}{5}$ = $\frac{529}{225}$ $+$ $\frac{4095}{225}$ = $\frac{4624}{225}$

x_1,2 = $- \frac{23}{15}$ ± $\sqrt{\frac{4624}{225}}$

x₁ = $- \frac{23}{15}$ - $\frac{68}{15}$ = $- \frac{91}{15}$ = -6.0666666666667

x₂ = $- \frac{23}{15}$ + $\frac{68}{15}$ = $\frac{45}{15}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{91}{15}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{30}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{30}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{30}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{7}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$- 30$	=	$- x^{2} - 7 x$

- 30

=

- x^{2} - 7 x

|

+ x^{2}

+ 7 x

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7+13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7-13}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 1$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 1$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 1 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + x$	=	$- x^{2}$
$a + x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):