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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$4$	=	$x$	\| $- 4$ $- x$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
$x$	=	$4$

L={ $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{13}{2} + \frac{4}{x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{13}{2} + \frac{4}{x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{13}{2} \cdot x + \frac{4}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 1 \cdot x$
$- \frac{13}{2} x + 4$	=	$x \cdot x + x$

$- \frac{13}{2} x + 4$	=	$x^{2} + x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{13}{2} x + 4)$	=	$2 (x^{2} + x)$
$- 13 x + 8$	=	$2 x^{2} + 2 x$	\| $- 2 x^{2}$ $- 2 x$

$- 2 x^{2} - 15 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 8}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{- 4}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{15+17}{- 4}$ = $\frac{32}{- 4}$ = $- 8$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{- 4}$ = $\frac{15-17}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 15 x + 8$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{15}{2} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{4})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $4$ = $\frac{225}{16}$ $+$ $\frac{64}{16}$ = $\frac{289}{16}$

x_1,2 = $- \frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{289}{16}}$

x₁ = $- \frac{15}{4}$ - $\frac{17}{4}$ = $- \frac{32}{4}$ = -8

x₂ = $- \frac{15}{4}$ + $\frac{17}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 81}{x + 5} - 3$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{81}{x + 5} - 3

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{81}{x + 5} - 3$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{81}{x + 5} \cdot (x + 5) - 3 \cdot (x + 5)$	=	$- 3 x \cdot (x + 5)$
$- 81 - 3 x - 15$	=	$- 3 x (x + 5)$
$- 3 x - 96$	=	$- 3 x^{2} - 15 x$

- 3 x - 96

=

- 3 x^{2} - 15 x

|

+ 3 x^{2}

+ 15 x

3 x^{2} + 12 x - 96

= 0 |:3

$x^{2} + 4 x - 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4+12}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 4-12}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 32)$ = $4$ $+$ $32$ = $36$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 2$ - $6$ = -8

x₂ = $- 2$ + $6$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{23}{x + 4} - 2 x$ = $- \frac{x}{2 x + 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{23}{x + 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 x + 8}$
$\frac{23}{x + 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$\frac{23}{x + 4} - 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 4)}$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$\frac{23}{x + 4} \cdot (2 (x + 4)) - 2 x \cdot (2 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4))$
$46 - 4 x (x + 4)$	=	$- x$
$46 + (- 4 x^{2} - 16 x)$	=	$- x$
$- 4 x^{2} - 16 x + 46$	=	$- x$

- 4 x^{2} - 16 x + 46

=

- x

|

+ x

$- 4 x^{2} - 15 x + 46$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 46}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 736}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{961}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{15+31}{- 8}$ = $\frac{46}{- 8}$ = $- 5,75$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{961}}{- 8}$ = $\frac{15-31}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 15 x + 46$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x - \frac{23}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (- \frac{23}{2})$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{23}{2}$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{736}{64}$ = $\frac{961}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{961}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{31}{8}$ = $- \frac{46}{8}$ = -5.75

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{31}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5,75$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{14}{x}$ = $- 1 - \frac{49}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{14}{x}$	=	$- 1 - \frac{49}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{14}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{49}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 14 x$	=	$- x^{2} - 49$

- 14 x

=

- x^{2} - 49

|

+ x^{2}

+ 49

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{14}{2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{30}{x} + a$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{30}{x} + a$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{30}{x} + a$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{30}{x} \cdot x + a \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$30 + a x$	=	$- x^{2}$
$30 + a x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 30$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 30$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 30 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 15 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 15$ = 30

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 15)$ = $- 17$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -17 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 17 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17+13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = $15$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{17-13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{30}{2}$ = 15

L={ $2$ ; $15$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):