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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x \cdot x$
$- 1$	=	$- x^{2}$

$- 1$	=	$- x^{2}$	\| $+ 1$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{13 x - 7}{3 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{13 x - 7}{3 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{13 x - 7}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 3 \cdot 3 x$
$13 x - 7$	=	$3 x \cdot x - 9 x$

13 x - 7

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} + 22 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{22^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{484 - 84}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 22 \pm \sqrt{400}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 22 + \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{- 22+20}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 22 - \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{- 22-20}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 22 x - 7$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{22}{3} x + \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{3})}^{2} - (\frac{7}{3})$ = $\frac{121}{9}$ $-$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{121}{9}$ $-$ $\frac{21}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $\frac{11}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $\frac{11}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{11}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{21}{3}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 25}{2 x - 3} + 1$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{3}{2}$

D=R\{ $\frac{3}{2}$ }

- \frac{25}{2 x - 3} + 1

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $2 x - 3$ weg!

$- \frac{25}{2 x - 3} + 1$	=	$- x$	\|⋅( $2 x - 3$ )
$- \frac{25}{2 x - 3} \cdot (2 x - 3) + 1 \cdot (2 x - 3)$	=	$- x \cdot (2 x - 3)$
$- 25 + 2 x - 3$	=	$- x \cdot (2 x - 3)$
$2 x - 28$	=	$- 2 x^{2} + 3 x$

2 x - 28

=

- 2 x^{2} + 3 x

|

+ 2 x^{2}

- 3 x

$2 x^{2} - x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 224}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{225}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{1+15}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{225}}{4}$ = $\frac{1-15}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 28$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $14$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{224}{16}$ = $\frac{225}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{225}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{15}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{15}{4}$ = $\frac{16}{4}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3,5$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 16} + \frac{- 126}{2 x - 8} + 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{4 x - 16} - \frac{126}{2 x - 8} + 2 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x - 4)} - \frac{126}{2 (x - 4)} + 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 4)} - \frac{126}{2 (x - 4)} + 2 x$	=	\|⋅( $4 (x - 4)$ )
$\frac{x}{4 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) + \frac{- 126}{2 (x - 4)} \cdot (4 (x - 4)) + 2 x \cdot (4 (x - 4))$	=
$x - 252 + 8 x \cdot (x - 4)$	=
$x - 252 + (8 x^{2} - 32 x)$	=
$8 x^{2} - 31 x - 252$	=

$8 x^{2} - 31 x - 252$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{{(- 31)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 252)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{961 + 8 064}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 31 \pm \sqrt{9 025}}{16}$

x₁ = $\frac{31 + \sqrt{9 025}}{16}$ = $\frac{31+95}{16}$ = $\frac{126}{16}$ = $7,875$

x₂ = $\frac{31 - \sqrt{9 025}}{16}$ = $\frac{31-95}{16}$ = $\frac{- 64}{16}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 31 x - 252$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{31}{8} x - \frac{63}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{31}{16})}^{2} - (- \frac{63}{2})$ = $\frac{961}{256}$ $+$ $\frac{63}{2}$ = $\frac{961}{256}$ $+$ $\frac{8064}{256}$ = $\frac{9025}{256}$

x_1,2 = $\frac{31}{16}$ ± $\sqrt{\frac{9025}{256}}$

x₁ = $\frac{31}{16}$ - $\frac{95}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $\frac{31}{16}$ + $\frac{95}{16}$ = $\frac{126}{16}$ = 7.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $7,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{4}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{x^{4}}$	=	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{4}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=
$x^{2} - 4$	=

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{15}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{15}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{15}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{15}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 15$	=	$- a x$
$x^{2} - 15 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):