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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{6}{x - 2}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$- \frac{6}{x - 2}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$- \frac{6}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$- 6$	=	$- 2 x \cdot (x - 2)$
$- 6$	=	$- 2 x^{2} + 4 x$

- 6

=

- 2 x^{2} + 4 x

|

+ 2 x^{2}

- 4 x

2 x^{2} - 4 x - 6

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 3 x + 6}{4 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 3 x + 6}{4 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 3 x + 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 2 \cdot 4 x$
$- 3 x + 6$	=	$4 x \cdot x - 8 x$

- 3 x + 6

=

4 x^{2} - 8 x

|

- 4 x^{2}

+ 8 x

$- 4 x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 5+11}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 5-11}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x + 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 49}{3 x + 5} + x - 3$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{3}$

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

- \frac{49}{3 x + 5} + x - 3

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$- \frac{49}{3 x + 5} + x - 3$	=	\|⋅( $3 x + 5$ )
$- \frac{49}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + x \cdot (3 x + 5) - 3 \cdot (3 x + 5)$	=
$- 49 + x \cdot (3 x + 5) - 9 x - 15$	=
$- 49 + (3 x^{2} + 5 x) - 9 x - 15$	=
$3 x^{2} - 4 x - 64$	=

$3 x^{2} - 4 x - 64$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 64)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 768}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{784}}{6}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{4+28}{6}$ = $\frac{32}{6}$ = $\frac{16}{3}$ ≈ 5.33

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{784}}{6}$ = $\frac{4-28}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 4 x - 64$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{64}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{64}{3})$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{64}{3}$ = $\frac{4}{9}$ $+$ $\frac{192}{9}$ = $\frac{196}{9}$

x_1,2 = $\frac{2}{3}$ ± $\sqrt{\frac{196}{9}}$

x₁ = $\frac{2}{3}$ - $\frac{14}{3}$ = $- \frac{12}{3}$ = -4

x₂ = $\frac{2}{3}$ + $\frac{14}{3}$ = $\frac{16}{3}$ = 5.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{16}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 3 x$ = $- \frac{x}{5 x + 10} - \frac{44,4}{x + 2}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{5 x + 10} - \frac{44,4}{x + 2}$
$- 3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{44,4}{x + 2}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 2)$ weg!

$- 3 x$	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} - \frac{44,4}{x + 2}$	\|⋅( $5 (x + 2)$ )
$- 3 x \cdot (5 (x + 2))$	=	$- \frac{x}{5 (x + 2)} \cdot (5 (x + 2)) + \frac{- 44,4}{x + 2} \cdot (5 (x + 2))$
$- 15 x \cdot (x + 2)$	=	$- x - 222$
$- 15 x \cdot x - 15 x \cdot 2$	=	$- x - 222$
$- 15 x \cdot x - 30 x$	=	$- x - 222$
$- 15 x^{2} - 30 x$	=	$- x - 222$

- 15 x^{2} - 30 x

=

- x - 222

|

+ x

+ 222

$- 15 x^{2} - 29 x + 222$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{{(- 29)}^{2} - 4 \cdot (- 15) \cdot 222}}{2 \cdot (- 15)}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{841 + 13 320}}{- 30}$

x_1,2 = $\frac{+ 29 \pm \sqrt{14 161}}{- 30}$

x₁ = $\frac{29 + \sqrt{14 161}}{- 30}$ = $\frac{29+119}{- 30}$ = $\frac{148}{- 30}$ = $- \frac{74}{15}$ ≈ -4.93

x₂ = $\frac{29 - \sqrt{14 161}}{- 30}$ = $\frac{29-119}{- 30}$ = $\frac{- 90}{- 30}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 15$ " teilen:

$- 15 x^{2} - 29 x + 222$ = 0 |: $- 15$

$x^{2} + \frac{29}{15} x - \frac{74}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{29}{30})}^{2} - (- \frac{74}{5})$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{74}{5}$ = $\frac{841}{900}$ $+$ $\frac{13320}{900}$ = $\frac{14161}{900}$

x_1,2 = $- \frac{29}{30}$ ± $\sqrt{\frac{14161}{900}}$

x₁ = $- \frac{29}{30}$ - $\frac{119}{30}$ = $- \frac{148}{30}$ = -4.9333333333333

x₂ = $- \frac{29}{30}$ + $\frac{119}{30}$ = $\frac{90}{30}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{74}{15}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x}$ = $\frac{- 13 x + 36}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{1}{x}$	=	$\frac{- 13 x + 36}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$	=	$\frac{- 13 x + 36}{x^{3}} \cdot x^{3}$
$- x^{2}$	=	$- 13 x + 36$

- x^{2}

=

- 13 x + 36

|

+ 13 x

- 36

$- x^{2} + 13 x - 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 36)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 144}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13+5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 13-5}{- 2}$ = $\frac{- 18}{- 2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 13 x - 36$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 13 x + 36$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $36$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{144}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{6}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{6}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 6$
$a x + x^{2} + 6$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):