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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x^{2}$

$- 3$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$3 x$ = $\frac{14 x + 7}{x - 2}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$3 x$	=	$\frac{14 x + 7}{x - 2}$	\|⋅( $x - 2$ )
$3 x \cdot (x - 2)$	=	$\frac{14 x + 7}{x - 2} \cdot (x - 2)$
$3 x \cdot (x - 2)$	=	$14 x + 7$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot (- 2)$	=	$14 x + 7$
$3 x \cdot x - 6 x$	=	$14 x + 7$
$3 x^{2} - 6 x$	=	$14 x + 7$

3 x^{2} - 6 x

=

14 x + 7

|

- 14 x

- 7

$3 x^{2} - 20 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{400 + 84}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 20 \pm \sqrt{484}}{6}$

x₁ = $\frac{20 + \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{20+22}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = $7$

x₂ = $\frac{20 - \sqrt{484}}{6}$ = $\frac{20-22}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 20 x - 7$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{20}{3} x - \frac{7}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{10}{3})}^{2} - (- \frac{7}{3})$ = $\frac{100}{9}$ $+$ $\frac{7}{3}$ = $\frac{100}{9}$ $+$ $\frac{21}{9}$ = $\frac{121}{9}$

x_1,2 = $\frac{10}{3}$ ± $\sqrt{\frac{121}{9}}$

x₁ = $\frac{10}{3}$ - $\frac{11}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{10}{3}$ + $\frac{11}{3}$ = $\frac{21}{3}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{20 x}{3 x - 1}$ = $- x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{3}$

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

$\frac{20 x}{3 x - 1}$	=	$- x + 4$	\|⋅( $3 x - 1$ )
$\frac{20 x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$	=	$- x \cdot (3 x - 1) + 4 \cdot (3 x - 1)$
$20 x$	=	$- x \cdot (3 x - 1) + 12 x - 4$
$20 x$	=	$- 3 x^{2} + 13 x - 4$

20 x

=

- 3 x^{2} + 13 x - 4

|

+ 3 x^{2}

- 13 x

+ 4

$3 x^{2} + 7 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 7+1}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 7-1}{6}$ = $\frac{- 8}{6}$ = $- \frac{4}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 7 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{7}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{7}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{8}{6}$ = -1.3333333333333

x₂ = $- \frac{7}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{4}{3}$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$4 x$ = $- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{- 16,25}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$4 x$	=	$- \frac{x}{4 x + 12} + \frac{16,25}{x + 3}$
$4 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{16,25}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

$4 x$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} + \frac{16,25}{x + 3}$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
$4 x \cdot (4 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{16,25}{x + 3} \cdot (4 (x + 3))$
$16 x \cdot (x + 3)$	=	$- x + 65$
$16 x \cdot x + 16 x \cdot 3$	=	$- x + 65$
$16 x \cdot x + 48 x$	=	$- x + 65$
$16 x^{2} + 48 x$	=	$- x + 65$

16 x^{2} + 48 x

=

- x + 65

|

+ x

- 65

$16 x^{2} + 49 x - 65$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{49^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 65)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{2 401 + 4 160}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 49 \pm \sqrt{6 561}}{32}$

x₁ = $\frac{- 49 + \sqrt{6 561}}{32}$ = $\frac{- 49+81}{32}$ = $\frac{32}{32}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 49 - \sqrt{6 561}}{32}$ = $\frac{- 49-81}{32}$ = $\frac{- 130}{32}$ = $- \frac{65}{16}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 49 x - 65$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{49}{16} x - \frac{65}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{49}{32})}^{2} - (- \frac{65}{16})$ = $\frac{2401}{1024}$ $+$ $\frac{65}{16}$ = $\frac{2401}{1024}$ $+$ $\frac{4160}{1024}$ = $\frac{6561}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{49}{32}$ ± $\sqrt{\frac{6561}{1024}}$

x₁ = $- \frac{49}{32}$ - $\frac{81}{32}$ = $- \frac{130}{32}$ = -4.0625

x₂ = $- \frac{49}{32}$ + $\frac{81}{32}$ = $\frac{32}{32}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{65}{16}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 12 x + 20}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 12 x + 20}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 12 x + 20}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 12 x + 20$	=	$- x^{2}$

- 12 x + 20

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{10}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{10}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{10}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{10}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$10$
$x^{2} + a x - 10$	=	0
$x^{2} + a x - 10$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 10$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -5 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 5)$ = -10

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 5)$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 5$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):