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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{12 x}{x + 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$\frac{- 12 x}{x + 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x + 1$ )
$\frac{- 12 x}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- \frac{12 x}{1}$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- 12 x$	=	$- 3 x \cdot (x + 1)$
$- 12 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

$- 12 x$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 3 x)$
$3 x^{2} - 12 x + 3 x$	=	0
$3 x^{2} - 9 x$	=	0
$3 x \cdot (x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{29 x - 14}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{29 x - 14}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{29 x - 14}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$29 x - 14$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

29 x - 14

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} + 23 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{23^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 14)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{529 - 168}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 23 \pm \sqrt{361}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 23 + \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 23+19}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 23 - \sqrt{361}}{- 6}$ = $\frac{- 23-19}{- 6}$ = $\frac{- 42}{- 6}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 23 x - 14$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{23}{3} x + \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{23}{6})}^{2} - (\frac{14}{3})$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{529}{36}$ $-$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{361}{36}$

x_1,2 = $\frac{23}{6}$ ± $\sqrt{\frac{361}{36}}$

x₁ = $\frac{23}{6}$ - $\frac{19}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{23}{6}$ + $\frac{19}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{2 x}{2 x + 3} - x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{3}{2}$

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

=	$- \frac{2 x}{2 x + 3} - x - 3$	\|⋅( $2 x + 3$ )
=	$- \frac{2 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3) - x \cdot (2 x + 3) - 3 \cdot (2 x + 3)$
=	$- 2 x - x \cdot (2 x + 3) - 6 x - 9$
=	$- 2 x^{2} - 11 x - 9$

0

=

- 2 x^{2} - 11 x - 9

|

+ 2 x^{2}

+ 11 x

+ 9

$2 x^{2} + 11 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 9}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 11+7}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 11-7}{4}$ = $\frac{- 18}{4}$ = $- 4,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 9$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{72}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{18}{4}$ = -4.5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,5$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 9} + 3 x$ = $- \frac{- 110}{2 x + 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

\frac{x}{3 (x + 3)} + 3 x

=

\frac{110}{2 (x + 3)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 3)} + 3 x$	=	$\frac{110}{2 (x + 3)}$	\|⋅( $6 (x + 3)$ )
$\frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (6 (x + 3)) + 3 x \cdot (6 (x + 3))$	=	$\frac{110}{2 (x + 3)} \cdot (6 (x + 3))$
$2 x + 18 x \cdot (x + 3)$	=	$330$
$2 x + (18 x^{2} + 54 x)$	=	$330$
$18 x^{2} + 56 x$	=	$330$

18 x^{2} + 56 x

=

330

|

- 330

18 x^{2} + 56 x - 330

= 0 |:2

$9 x^{2} + 28 x - 165$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 165)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 + 5 940}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{6 724}}{18}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{6 724}}{18}$ = $\frac{- 28+82}{18}$ = $\frac{54}{18}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{6 724}}{18}$ = $\frac{- 28-82}{18}$ = $\frac{- 110}{18}$ = $- \frac{55}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 28 x - 165$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{28}{9} x - \frac{55}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{14}{9})}^{2} - (- \frac{55}{3})$ = $\frac{196}{81}$ $+$ $\frac{55}{3}$ = $\frac{196}{81}$ $+$ $\frac{1485}{81}$ = $\frac{1681}{81}$

x_1,2 = $- \frac{14}{9}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{81}}$

x₁ = $- \frac{14}{9}$ - $\frac{41}{9}$ = $- \frac{55}{9}$ = -6.1111111111111

x₂ = $- \frac{14}{9}$ + $\frac{41}{9}$ = $\frac{27}{9}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{55}{9}$ ; $3$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{63}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{63}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{16}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{63}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} - \frac{16}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$63$	=	$- x^{2} - 16 x$

63

=

- x^{2} - 16 x

|

+ x^{2}

+ 16 x

$x^{2} + 16 x + 63$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 252}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16+2}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 16-2}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $8^{2} - 63$ = $64$ $-$ $63$ = $1$

x_1,2 = $- 8$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 8$ - $1$ = -9

x₂ = $- 8$ + $1$ = -7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 1$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 1$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 1 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- x$
$a + x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -3 würde es funktionieren, denn $- (2 - 3)$ = 1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 3)$ = $- 6$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -6 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 3$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):