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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{48}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{48}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{48}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x^{2}$

$48$	=	$3 x^{2}$	\| $- 48$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 48$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4 x$ = $\frac{- 18 x + 8}{x - 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$4 x$	=	$\frac{- 18 x + 8}{x - 1}$	\|⋅( $x - 1$ )
$4 x \cdot (x - 1)$	=	$\frac{- 18 x + 8}{x - 1} \cdot (x - 1)$
$4 x (x - 1)$	=	$- 18 x + 8$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot (- 1)$	=	$- 18 x + 8$
$4 x \cdot x - 4 x$	=	$- 18 x + 8$
$4 x^{2} - 4 x$	=	$- 18 x + 8$

4 x^{2} - 4 x

=

- 18 x + 8

|

+ 18 x

- 8

4 x^{2} + 14 x - 8

= 0 |:2

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7+9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 7-9}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x - 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $2$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{16 x}{x - 3} - 2 x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

=	$- \frac{16 x}{x - 3} - 2 x + 2$	\|⋅( $x - 3$ )
=	$- \frac{16 x}{x - 3} \cdot (x - 3) - 2 x \cdot (x - 3) + 2 \cdot (x - 3)$
=	$- 16 x - 2 x (x - 3) + 2 x - 6$
=	$- 2 x^{2} - 8 x - 6$

0

=

- 2 x^{2} - 8 x - 6

|

+ 2 x^{2}

+ 8 x

+ 6

2 x^{2} + 8 x + 6

= 0 |:2

$x^{2} + 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4+2}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{- 4-2}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $- 2$ - $1$ = -3

x₂ = $- 2$ + $1$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{0,2}{x + 1} - 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{5 x + 5} + \frac{0,2}{x + 1} - 2 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{0,2}{x + 1} - 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x + 1)} + \frac{0,2}{x + 1} - 2 x$	=	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1)) + \frac{0,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - 2 x \cdot (5 (x + 1))$	=
$x + 1 - 10 x (x + 1)$	=
$x + 1 + (- 10 x^{2} - 10 x)$	=
$- 10 x^{2} - 9 x + 1$	=

$- 10 x^{2} - 9 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (- 10) \cdot 1}}{2 \cdot (- 10)}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 + 40}}{- 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{121}}{- 20}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{121}}{- 20}$ = $\frac{9+11}{- 20}$ = $\frac{20}{- 20}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{121}}{- 20}$ = $\frac{9-11}{- 20}$ = $\frac{- 2}{- 20}$ = $0,1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 10$ " teilen:

$- 10 x^{2} - 9 x + 1$ = 0 |: $- 10$

$x^{2} + \frac{9}{10} x - \frac{1}{10}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{20})}^{2} - (- \frac{1}{10})$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{1}{10}$ = $\frac{81}{400}$ $+$ $\frac{40}{400}$ = $\frac{121}{400}$

x_1,2 = $- \frac{9}{20}$ ± $\sqrt{\frac{121}{400}}$

x₁ = $- \frac{9}{20}$ - $\frac{11}{20}$ = $- \frac{20}{20}$ = -1

x₂ = $- \frac{9}{20}$ + $\frac{11}{20}$ = $\frac{2}{20}$ = 0.1

Lösung x= $- 1$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $0,1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{10}{x}$ = $- \frac{9}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{10}{x}$	=	$- \frac{9}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{10}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{9}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 10 x$	=	$- 9$

x^{2} - 10 x

=

- 9

|

+ 9

$x^{2} - 10 x + 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{10 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10+8}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{10 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{10-8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 9$ = $25$ $-$ $9$ = $16$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $5$ - $4$ = 1

x₂ = $5$ + $4$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$2$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$2 x$
$x^{2} + a - 2 x$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):