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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{60}{x - 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{60}{x - 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{60}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
$- 60$	=	$- 3 x (x - 1)$
$- 60$	=	$- 3 x^{2} + 3 x$

- 60

=

- 3 x^{2} + 3 x

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

3 x^{2} - 3 x - 60

= 0 |:3

$x^{2} - x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 20)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $20$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{80}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{11 x - 7}{x - 2}$ = $2 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{11 x - 7}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{11 x - 7}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$11 x - 7$	=	$2 x (x - 2)$
$11 x - 7$	=	$2 x^{2} - 4 x$

11 x - 7

=

2 x^{2} - 4 x

|

- 2 x^{2}

+ 4 x

$- 2 x^{2} + 15 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{15^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 7)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{225 - 56}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 15 \pm \sqrt{169}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 15 + \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 15+13}{- 4}$ = $\frac{- 2}{- 4}$ = $0,5$

x₂ = $\frac{- 15 - \sqrt{169}}{- 4}$ = $\frac{- 15-13}{- 4}$ = $\frac{- 28}{- 4}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + 15 x - 7$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{15}{2} x + \frac{7}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{15}{4})}^{2} - (\frac{7}{2})$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{7}{2}$ = $\frac{225}{16}$ $-$ $\frac{56}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{15}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{15}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{15}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{28}{4}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 10}{2 x + 4} - x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

0	=	$\frac{10}{2 x + 4} - x + 2$
0	=	$\frac{10}{2 (x + 2)} - x + 2$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

=	$\frac{10}{2 (x + 2)} - x + 2$	\|⋅( $x + 2$ )
=	$\frac{10}{2 (x + 2)} \cdot (x + 2) - x \cdot (x + 2) + 2 \cdot (x + 2)$
=	$5 - x (x + 2) + 2 x + 4$
=	$- x^{2} + 9$

0	=	$- x^{2} + 9$	\|0 $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 50}{x + 2} + 2 x$ = $- \frac{x}{2 x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 2$ }

$- \frac{50}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 x + 4}$
$- \frac{50}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$- \frac{50}{x + 2} + 2 x$	=	$\frac{- x}{2 (x + 2)}$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$\frac{- 50}{x + 2} \cdot (2 (x + 2)) + 2 x \cdot (2 (x + 2))$	=	$\frac{- x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$
$- 100 + 4 x (x + 2)$	=	$- x$
$- 100 + (4 x^{2} + 8 x)$	=	$- x$
$4 x^{2} + 8 x - 100$	=	$- x$

4 x^{2} + 8 x - 100

=

- x

|

+ x

$4 x^{2} + 9 x - 100$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 100)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 1 600}}{8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{1 681}}{8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{- 9+41}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{1 681}}{8}$ = $\frac{- 9-41}{8}$ = $\frac{- 50}{8}$ = $- 6,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} + 9 x - 100$ = 0 |: $4$

$x^{2} + \frac{9}{4} x - 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{8})}^{2} - (- 25)$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $25$ = $\frac{81}{64}$ $+$ $\frac{1600}{64}$ = $\frac{1681}{64}$

x_1,2 = $- \frac{9}{8}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{64}}$

x₁ = $- \frac{9}{8}$ - $\frac{41}{8}$ = $- \frac{50}{8}$ = -6.25

x₂ = $- \frac{9}{8}$ + $\frac{41}{8}$ = $\frac{32}{8}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6,25$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{1}{x^{2}}$ = $\frac{14 x + 40}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$- \frac{1}{x^{2}}$	=	$\frac{14 x + 40}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{14 x + 40}{x^{4}} \cdot x^{4}$
$- x^{2}$	=	$14 x + 40$

- x^{2}

=

14 x + 40

|

- 14 x

- 40

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 40)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{196 - 160}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 14 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₁ = $\frac{14 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14+6}{- 2}$ = $\frac{20}{- 2}$ = $- 10$

x₂ = $\frac{14 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{14-6}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 14 x - 40$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 14 x + 40$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 40$ = $49$ $-$ $40$ = $9$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 7$ - $3$ = -10

x₂ = $- 7$ + $3$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $- \frac{6}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $- \frac{6}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$- \frac{6}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$- \frac{6}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$- 6$
$x^{2} + a x + 6$	=	0
$x^{2} + a x + 6$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 6$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 6 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 3 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 3$ = 6

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 3)$ = $- 5$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -5 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

L={ $2$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):