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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4}{x - 5}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{4}{x - 5}$	=	$x$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{4}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$x \cdot (x - 5)$
$- 4$	=	$x \cdot (x - 5)$
$- 4$	=	$x^{2} - 5 x$

- 4

=

x^{2} - 5 x

|

- x^{2}

+ 5 x

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5+3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 5-3}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x - 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x + 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $4$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 3 + \frac{3}{x}$ = $x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- 3 + \frac{3}{x}$	=	$x - 1$	\|⋅( $x$ )
$- 3 \cdot x + \frac{3}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 1 \cdot x$
$- 3 x + 3$	=	$x \cdot x - x$

- 3 x + 3

=

x^{2} - x

|

- x^{2}

+ x

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 88}{x + 5} + 3 x$ = $- 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

- \frac{88}{x + 5} + 3 x

=

- 2

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

$- \frac{88}{x + 5} + 3 x$	=	$- 2$	\|⋅( $x + 5$ )
$- \frac{88}{x + 5} \cdot (x + 5) + 3 x \cdot (x + 5)$	=	$- 2 \cdot (x + 5)$
$- 88 + 3 x \cdot (x + 5)$	=	$- 2 (x + 5)$
$- 88 + (3 x^{2} + 15 x)$	=	$- 2 (x + 5)$
$3 x^{2} + 15 x - 88$	=	$- 2 x - 10$

3 x^{2} + 15 x - 88

=

- 2 x - 10

|

+ 2 x

+ 10

$3 x^{2} + 17 x - 78$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 78)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 936}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1 225}}{6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1 225}}{6}$ = $\frac{- 17+35}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1 225}}{6}$ = $\frac{- 17-35}{6}$ = $\frac{- 52}{6}$ = $- \frac{26}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 17 x - 78$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x - 26$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - (- 26)$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $26$ = $\frac{289}{36}$ $+$ $\frac{936}{36}$ = $\frac{1225}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1225}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{35}{6}$ = $- \frac{52}{6}$ = -8.6666666666667

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{35}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{26}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 92}{3 x + 9}$ = $- \frac{x}{3 x + 9} - 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

- \frac{92}{3 (x + 3)}

=

- \frac{x}{3 (x + 3)} - 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$- \frac{92}{3 (x + 3)}$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} - 3 x$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$- \frac{92}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) - 3 x \cdot (3 (x + 3))$
$- 92$	=	$- x - 9 x \cdot (x + 3)$
$- 92$	=	$- 9 x^{2} - 28 x$

- 92

=

- 9 x^{2} - 28 x

|

+ 9 x^{2}

+ 28 x

$9 x^{2} + 28 x - 92$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{28^{2} - 4 \cdot 9 \cdot (- 92)}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{784 + 3 312}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 28 \pm \sqrt{4 096}}{18}$

x₁ = $\frac{- 28 + \sqrt{4 096}}{18}$ = $\frac{- 28+64}{18}$ = $\frac{36}{18}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 28 - \sqrt{4 096}}{18}$ = $\frac{- 28-64}{18}$ = $\frac{- 92}{18}$ = $- \frac{46}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 28 x - 92$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{28}{9} x - \frac{92}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{14}{9})}^{2} - (- \frac{92}{9})$ = $\frac{196}{81}$ $+$ $\frac{92}{9}$ = $\frac{196}{81}$ $+$ $\frac{828}{81}$ = $\frac{1024}{81}$

x_1,2 = $- \frac{14}{9}$ ± $\sqrt{\frac{1024}{81}}$

x₁ = $- \frac{14}{9}$ - $\frac{32}{9}$ = $- \frac{46}{9}$ = -5.1111111111111

x₂ = $- \frac{14}{9}$ + $\frac{32}{9}$ = $\frac{18}{9}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{46}{9}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{8 x - 9}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{8 x - 9}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{8 x - 9}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$8 x - 9$	=	$- x^{2}$

8 x - 9

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 8 x - 9$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 9)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8+10}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 8-10}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 9)$ = $16$ $+$ $9$ = $25$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 4$ - $5$ = -9

x₂ = $- 4$ + $5$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $- 9$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$- 9$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- 9 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$- 9 x$
$x^{2} + a + 9 x$	=	0
$x^{2} + 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -11 würde es funktionieren, denn $- (2 - 11)$ = 9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 11)$ = $- 22$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -22 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 9 x - 22$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 22)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 88}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9+13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 9-13}{2}$ = $\frac{- 22}{2}$ = $- 11$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{2})}^{2} - (- 22)$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $22$ = $\frac{81}{4}$ $+$ $\frac{88}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{9}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{22}{2}$ = -11

x₂ = $- \frac{9}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 11$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):