Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{25}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{25}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{25}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 25$	=	$- x \cdot x$
$- 25$	=	$- x^{2}$

$- 25$	=	$- x^{2}$	\| $+ 25$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 + \frac{2}{x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$2 + \frac{2}{x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $x$ )
$2 \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 3 \cdot x$
$2 x + 2$	=	$x \cdot x + 3 x$

2 x + 2

=

x^{2} + 3 x

|

- x^{2}

- 3 x

$- x^{2} - x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 2}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1+3}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{1-3}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - x + 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + x - 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 9 x}{x + 4}$ = $- 3 x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{- 9 x}{x + 4}$	=	$- 3 x + 3$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{- 9 x}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$- 3 x \cdot (x + 4) + 3 \cdot (x + 4)$
$- \frac{9 x}{1}$	=	$- 3 x \cdot (x + 4) + 3 x + 12$
$- 9 x$	=	$- 3 x \cdot (x + 4) + 3 x + 12$
$- 9 x$	=	$- 3 x^{2} - 9 x + 12$

$- 9 x$	=	$- 3 x^{2} - 9 x + 12$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 9 x$
$3 x^{2}$	=	$12$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 3} + \frac{20}{6 x - 6}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{3 x - 3} + \frac{20}{6 x - 6}$	=	$2 x$
$\frac{x}{3 (x - 1)} + \frac{20}{6 (x - 1)}$	=	$2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 1)} + \frac{20}{6 (x - 1)}$	=	$2 x$	\|⋅( $3 (x - 1)$ )
$\frac{x}{3 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1)) + \frac{20}{6 (x - 1)} \cdot (3 (x - 1))$	=	$2 x \cdot (3 (x - 1))$
$x + 10$	=	$6 x \cdot (x - 1)$
$x + 10$	=	$6 x^{2} - 6 x$

x + 10

=

6 x^{2} - 6 x

|

- 6 x^{2}

+ 6 x

$- 6 x^{2} + 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 10}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{289}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{289}}{- 12}$ = $\frac{- 7+17}{- 12}$ = $\frac{10}{- 12}$ = $- \frac{5}{6}$ ≈ -0.83

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{289}}{- 12}$ = $\frac{- 7-17}{- 12}$ = $\frac{- 24}{- 12}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 7 x + 10$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{7}{6} x - \frac{5}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{12})}^{2} - (- \frac{5}{3})$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{5}{3}$ = $\frac{49}{144}$ $+$ $\frac{240}{144}$ = $\frac{289}{144}$

x_1,2 = $\frac{7}{12}$ ± $\sqrt{\frac{289}{144}}$

x₁ = $\frac{7}{12}$ - $\frac{17}{12}$ = $- \frac{10}{12}$ = -0.83333333333333

x₂ = $\frac{7}{12}$ + $\frac{17}{12}$ = $\frac{24}{12}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{6}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- 1 - \frac{1}{x} + \frac{72}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

=	$- 1 - \frac{1}{x} + \frac{72}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{1}{x} \cdot x^{2} + \frac{72}{x^{2}} \cdot x^{2}$
=	$- x^{2} - x + 72$

0

=

- x^{2} - x + 72

|

+ x^{2}

+ x

- 72

$x^{2} + x - 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 72)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1+17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{289}}{2}$ = $\frac{- 1-17}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 72)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $72$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{289}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{289}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{17}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{17}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $8$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 2$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 2$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 2$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 2 x$	=	$- x^{2}$
$a + 2 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):