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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$9$	=	$x \cdot x$
$9$	=	$x^{2}$

$9$	=	$x^{2}$	\| $- 9$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{8 x + 1}{3 x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{8 x + 1}{3 x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{8 x + 1}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 2 \cdot 3 x$
$8 x + 1$	=	$3 x \cdot x + 6 x$

8 x + 1

=

3 x^{2} + 6 x

|

- 3 x^{2}

- 6 x

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 1}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 2+4}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 2-4}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2$ = $- \frac{7 x}{3 x - 2} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{2}{3}$

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$2$	=	$- \frac{7 x}{3 x - 2} - x$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$2 \cdot (3 x - 2)$	=	$- \frac{7 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) - x \cdot (3 x - 2)$
$2 (3 x - 2)$	=	$- 7 x - x \cdot (3 x - 2)$
$6 x - 4$	=	$- 7 x - x \cdot (3 x - 2)$
$6 x - 4$	=	$- 3 x^{2} - 5 x$

6 x - 4

=

- 3 x^{2} - 5 x

|

+ 3 x^{2}

+ 5 x

$3 x^{2} + 11 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{169}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 11+13}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{169}}{6}$ = $\frac{- 11-13}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{169}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{169}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{13}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{13}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $\frac{1}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{2,5}{x + 3}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$x$	=	$- \frac{x}{2 x + 6} - \frac{2,5}{x + 3}$
$x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{2,5}{x + 3}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 3)$ weg!

$x$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} - \frac{2,5}{x + 3}$	\|⋅( $2 (x + 3)$ )
$x \cdot (2 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 3)} \cdot (2 (x + 3)) + \frac{- 2,5}{x + 3} \cdot (2 (x + 3))$
$2 x \cdot (x + 3)$	=	$- x - 5$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 3$	=	$- x - 5$
$2 x \cdot x + 6 x$	=	$- x - 5$
$2 x^{2} + 6 x$	=	$- x - 5$

2 x^{2} + 6 x

=

- x - 5

|

+ x

+ 5

$2 x^{2} + 7 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 7+3}{4}$ = $\frac{- 4}{4}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 7-3}{4}$ = $\frac{- 10}{4}$ = $- 2,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 7 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{10}{4}$ = -2.5

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{4}{4}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,5$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 5 x - 6}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 5 x - 6}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 5 x - 6}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 5 x - 6$	=	$- x^{2}$

- 5 x - 6

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{20}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{20}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{20}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{20}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 20$
$a x + x^{2} + 20$	=	0
$x^{2} + a x + 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 10$ = 20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 10)$ = $- 12$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -12 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12+8}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{12-8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $6$ - $4$ = 2

x₂ = $6$ + $4$ = 10

L={ $2$ ; $10$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):