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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4}{x}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{4}{x}$	=	$- x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{4}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x \cdot x$
$- 4$	=	$- x^{2}$

$- 4$	=	$- x^{2}$	\| $+ 4$ $+ x^{2}$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $\frac{5 x - 3}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{5 x - 3}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$	=	$\frac{5 x - 3}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 15 x$	=	$5 x - 3$
$3 x^{2} + 15 x$	=	$5 x - 3$

3 x^{2} + 15 x

=

5 x - 3

|

- 5 x

+ 3

$3 x^{2} + 10 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{64}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 10+8}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{64}}{6}$ = $\frac{- 10-8}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 10 x + 3$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x + 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - 1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $1$ = $\frac{25}{9}$ $-$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{16}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{16}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{4}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{4}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 25}{3 x + 4} + x - 2$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{4}{3}$

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

- \frac{25}{3 x + 4} + x - 2

=

0

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$- \frac{25}{3 x + 4} + x - 2$	=	\|⋅( $3 x + 4$ )
$- \frac{25}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) + x \cdot (3 x + 4) - 2 \cdot (3 x + 4)$	=
$- 25 + x \cdot (3 x + 4) - 6 x - 8$	=
$- 25 + (3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8$	=
$3 x^{2} - 2 x - 33$	=

$3 x^{2} - 2 x - 33$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 33)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 396}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{400}}{6}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{2+20}{6}$ = $\frac{22}{6}$ = $\frac{11}{3}$ ≈ 3.67

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{400}}{6}$ = $\frac{2-20}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 2 x - 33$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - 11$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- 11)$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $11$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{99}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{11}{3}$ = 3.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{11}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 3} + 4 x$ = $- \frac{- 488}{6 x + 6}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

\frac{x}{3 (x + 1)} + 4 x

=

\frac{488}{6 (x + 1)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $6 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 1)} + 4 x$	=	$\frac{488}{6 (x + 1)}$	\|⋅( $6 (x + 1)$ )
$\frac{x}{3 (x + 1)} \cdot (6 (x + 1)) + 4 x \cdot (6 (x + 1))$	=	$\frac{488}{6 (x + 1)} \cdot (6 (x + 1))$
$2 x + 24 x \cdot (x + 1)$	=	$488$
$2 x + (24 x^{2} + 24 x)$	=	$488$
$24 x^{2} + 26 x$	=	$488$

24 x^{2} + 26 x

=

488

|

- 488

24 x^{2} + 26 x - 488

= 0 |:2

$12 x^{2} + 13 x - 244$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 244)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 11 712}}{24}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{11 881}}{24}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{11 881}}{24}$ = $\frac{- 13+109}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{11 881}}{24}$ = $\frac{- 13-109}{24}$ = $\frac{- 122}{24}$ = $- \frac{61}{12}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} + 13 x - 244$ = 0 |: $12$

$x^{2} + \frac{13}{12} x - \frac{61}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{24})}^{2} - (- \frac{61}{3})$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{61}{3}$ = $\frac{169}{576}$ $+$ $\frac{11712}{576}$ = $\frac{11881}{576}$

x_1,2 = $- \frac{13}{24}$ ± $\sqrt{\frac{11881}{576}}$

x₁ = $- \frac{13}{24}$ - $\frac{109}{24}$ = $- \frac{122}{24}$ = -5.0833333333333

x₂ = $- \frac{13}{24}$ + $\frac{109}{24}$ = $\frac{96}{24}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{61}{12}$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x - 12}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{x - 12}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{x - 12}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$x - 12$	=	$- x^{2}$

x - 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1+7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 1-7}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - 2$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - 2$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - 2$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x - 2 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} - 2 x$	=	$- a$
$x^{2} - 2 x + a$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):