Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{6}{x - 1}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{6}{x - 1}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{6}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- 3 x \cdot (x - 1)$
$- 6$	=	$- 3 x (x - 1)$
$- 6$	=	$- 3 x^{2} + 3 x$

- 6

=

- 3 x^{2} + 3 x

|

+ 3 x^{2}

- 3 x

3 x^{2} - 3 x - 6

= 0 |:3

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- x - 3}{4 x}$ = $x + 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- x - 3}{4 x}$	=	$x + 3$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- x - 3}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x$
$- x - 3$	=	$4 x \cdot x + 12 x$

- x - 3

=

4 x^{2} + 12 x

|

- 4 x^{2}

- 12 x

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13+11}{- 8}$ = $\frac{24}{- 8}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{13-11}{- 8}$ = $\frac{2}{- 8}$ = $- 0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 13 x - 3$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{13}{4} x + \frac{3}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{8})}^{2} - (\frac{3}{4})$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{3}{4}$ = $\frac{169}{64}$ $-$ $\frac{48}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $- \frac{13}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $- \frac{13}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{24}{8}$ = -3

x₂ = $- \frac{13}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $- \frac{2}{8}$ = -0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- x}{x + 4} + 2 x$ = $- 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{x}{x + 4} + 2 x

=

- 3

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- \frac{x}{x + 4} + 2 x$	=	$- 3$	\|⋅( $x + 4$ )
$- \frac{x}{x + 4} \cdot (x + 4) + 2 x \cdot (x + 4)$	=	$- 3 \cdot (x + 4)$
$- x + 2 x (x + 4)$	=	$- 3 (x + 4)$
$- x + (2 x^{2} + 8 x)$	=	$- 3 (x + 4)$
$2 x^{2} + 7 x$	=	$- 3 x - 12$

2 x^{2} + 7 x

=

- 3 x - 12

|

+ 3 x

+ 12

2 x^{2} + 10 x + 12

= 0 |:2

$x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5+1}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 5-1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x$ = $- \frac{x}{3 x + 9} - \frac{- 13}{3 x + 9}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$x$	=	$- \frac{x}{3 x + 9} + \frac{13}{3 x + 9}$
$x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} + \frac{13}{3 (x + 3)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$x$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} + \frac{13}{3 (x + 3)}$	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$x \cdot (3 (x + 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + \frac{13}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3))$
$3 x (x + 3)$	=	$- x + 13$
$3 x \cdot x + 3 x \cdot 3$	=	$- x + 13$
$3 x \cdot x + 9 x$	=	$- x + 13$
$3 x^{2} + 9 x$	=	$- x + 13$

3 x^{2} + 9 x

=

- x + 13

|

+ x

- 13

$3 x^{2} + 10 x - 13$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 13)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 156}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{256}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 10+16}{6}$ = $\frac{6}{6}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{256}}{6}$ = $\frac{- 10-16}{6}$ = $\frac{- 26}{6}$ = $- \frac{13}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 10 x - 13$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{13}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{3})}^{2} - (- \frac{13}{3})$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{13}{3}$ = $\frac{25}{9}$ $+$ $\frac{39}{9}$ = $\frac{64}{9}$

x_1,2 = $- \frac{5}{3}$ ± $\sqrt{\frac{64}{9}}$

x₁ = $- \frac{5}{3}$ - $\frac{8}{3}$ = $- \frac{13}{3}$ = -4.3333333333333

x₂ = $- \frac{5}{3}$ + $\frac{8}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{13}{3}$ ; $1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{30}{x^{2}}$ = $- \frac{7}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{30}{x^{2}}$	=	$- \frac{7}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{30}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{7}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 30$	=	$- 7 x$

x^{2} - 30

=

- 7 x

|

+ 7 x

$x^{2} + 7 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7+13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 7-13}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $3$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 2$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 2$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 2$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 2 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 2 x$	=	$- x^{2}$
$a + 2 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $- (3 - 5)$ = 2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 5)$ = $- 15$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -15 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):