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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{6 x}{x - 2}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 6 x}{x - 2}$	=	$2 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 6 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- \frac{6 x}{1}$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- 6 x$	=	$2 x \cdot (x - 2)$
$- 6 x$	=	$2 x^{2} - 4 x$

$- 6 x$	=	$2 x^{2} - 4 x$	\| $- (2 x^{2} - 4 x)$
$- 2 x^{2} - 6 x + 4 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 2 x$	=	0
$- 2 x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 10 x + 1}{x - 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{- 10 x + 1}{x - 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{- 10 x + 1}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
$- 10 x + 1$	=	$3 x \cdot (x - 4)$
$- 10 x + 1$	=	$3 x^{2} - 12 x$

- 10 x + 1

=

3 x^{2} - 12 x

|

- 3 x^{2}

+ 12 x

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 1}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 2+4}{- 6}$ = $\frac{2}{- 6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 2-4}{- 6}$ = $\frac{- 6}{- 6}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3})$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{9}$ $+$ $\frac{3}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{1}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{1}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $- \frac{1}{3}$ = -0.33333333333333

x₂ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{1}{3}$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{21 x}{x - 2} + 3 x$ = $2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{21 x}{x - 2} + 3 x$	=	$2$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{21 x}{x - 2} \cdot (x - 2) + 3 x \cdot (x - 2)$	=	$2 \cdot (x - 2)$
$21 x + 3 x \cdot (x - 2)$	=	$2 (x - 2)$
$21 x + (3 x^{2} - 6 x)$	=	$2 (x - 2)$
$3 x^{2} + 15 x$	=	$2 x - 4$

3 x^{2} + 15 x

=

2 x - 4

|

- 2 x

+ 4

$3 x^{2} + 13 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 4}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 13+11}{6}$ = $\frac{- 2}{6}$ = $- \frac{1}{3}$ ≈ -0.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{6}$ = $\frac{- 13-11}{6}$ = $\frac{- 24}{6}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 13 x + 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{13}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{13}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $- \frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $- \frac{13}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $- \frac{24}{6}$ = -4

x₂ = $- \frac{13}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $- \frac{2}{6}$ = -0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- \frac{1}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{3,6}{x + 4} + x$ = $- \frac{x}{5 x + 20}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{3,6}{x + 4} + x$	=	$\frac{- x}{5 x + 20}$
$\frac{3,6}{x + 4} + x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 4)$ weg!

$\frac{3,6}{x + 4} + x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 4)}$	\|⋅( $5 (x + 4)$ )
$\frac{3,6}{x + 4} \cdot (5 (x + 4)) + x \cdot (5 (x + 4))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 4)} \cdot (5 (x + 4))$
$18 + 5 x \cdot (x + 4)$	=	$- x$
$18 + (5 x^{2} + 20 x)$	=	$- x$
$5 x^{2} + 20 x + 18$	=	$- x$

5 x^{2} + 20 x + 18

=

- x

|

+ x

$5 x^{2} + 21 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{21^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 18}}{2 \cdot 5}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{441 - 360}}{10}$

x_1,2 = $\frac{- 21 \pm \sqrt{81}}{10}$

x₁ = $\frac{- 21 + \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 21+9}{10}$ = $\frac{- 12}{10}$ = $- 1,2$

x₂ = $\frac{- 21 - \sqrt{81}}{10}$ = $\frac{- 21-9}{10}$ = $\frac{- 30}{10}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $5$ " teilen:

$5 x^{2} + 21 x + 18$ = 0 |: $5$

$x^{2} + \frac{21}{5} x + \frac{18}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{21}{10})}^{2} - (\frac{18}{5})$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{18}{5}$ = $\frac{441}{100}$ $-$ $\frac{360}{100}$ = $\frac{81}{100}$

x_1,2 = $- \frac{21}{10}$ ± $\sqrt{\frac{81}{100}}$

x₁ = $- \frac{21}{10}$ - $\frac{9}{10}$ = $- \frac{30}{10}$ = -3

x₂ = $- \frac{21}{10}$ + $\frac{9}{10}$ = $- \frac{12}{10}$ = -1.2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- 1,2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{1}{x^{2}} + \frac{17}{x^{3}} - \frac{72}{x^{4}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

=	$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{17}{x^{3}} - \frac{72}{x^{4}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{17}{x^{3}} \cdot x^{4} - \frac{72}{x^{4}} \cdot x^{4}$
=	$- x^{2} + 17 x - 72$

0

=

- x^{2} + 17 x - 72

|

+ x^{2}

- 17 x

+ 72

$x^{2} - 17 x + 72$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 72}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17+1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{17-1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{17}{2})}^{2} - 72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $72$ = $\frac{289}{4}$ $-$ $\frac{288}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{17}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{17}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

x₂ = $\frac{17}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $8$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{20}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{20}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{20}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{20}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 20$	=	$- a x$
$x^{2} - 20 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 20$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 20$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -20 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -10 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 10)$ = -20

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 10)$ = $8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 8 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{144}}{2}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8+12}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{144}}{2}$ = $\frac{- 8-12}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $4^{2} - (- 20)$ = $16$ $+$ $20$ = $36$

x_1,2 = $- 4$ ± $\sqrt{36}$

x₁ = $- 4$ - $6$ = -10

x₂ = $- 4$ + $6$ = 2

L={ $- 10$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):