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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{2}{x + 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$- \frac{2}{x + 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x + 1$ )
$- \frac{2}{x + 1} \cdot (x + 1)$	=	$- x \cdot (x + 1)$
$- 2$	=	$- x (x + 1)$
$- 2$	=	$- x^{2} - x$

- 2

=

- x^{2} - x

|

+ x^{2}

+ x

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 1$ = $\frac{22 x + 14}{3 x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$x + 1$	=	$\frac{22 x + 14}{3 x}$	\|⋅( $3 x$ )
$x \cdot 3 x + 1 \cdot 3 x$	=	$\frac{22 x + 14}{3 x} \cdot 3 x$
$3 x \cdot x + 3 x$	=	$22 x + 14$
$3 x^{2} + 3 x$	=	$22 x + 14$

3 x^{2} + 3 x

=

22 x + 14

|

- 22 x

- 14

$3 x^{2} - 19 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 168}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{19+23}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = $7$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{19-23}{6}$ = $\frac{- 4}{6}$ = $- \frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 19 x - 14$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{19}{3} x - \frac{14}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{6})}^{2} - (- \frac{14}{3})$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{14}{3}$ = $\frac{361}{36}$ $+$ $\frac{168}{36}$ = $\frac{529}{36}$

x_1,2 = $\frac{19}{6}$ ± $\sqrt{\frac{529}{36}}$

x₁ = $\frac{19}{6}$ - $\frac{23}{6}$ = $- \frac{4}{6}$ = -0.66666666666667

x₂ = $\frac{19}{6}$ + $\frac{23}{6}$ = $\frac{42}{6}$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 117}{x + 5} - 3 x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 5$

D=R\{ $- 5$ }

0

=

\frac{117}{x + 5} - 3 x - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 5$ weg!

=	$\frac{117}{x + 5} - 3 x - 1$	\|⋅( $x + 5$ )
=	$\frac{117}{x + 5} \cdot (x + 5) - 3 x \cdot (x + 5) - 1 \cdot (x + 5)$
=	$117 - 3 x (x + 5) - x - 5$
=	$- 3 x^{2} - 16 x + 112$

0

=

- 3 x^{2} - 16 x + 112

|

+ 3 x^{2}

+ 16 x

- 112

$3 x^{2} + 16 x - 112$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 112)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 1 344}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 16 \pm \sqrt{1 600}}{6}$

x₁ = $\frac{- 16 + \sqrt{1 600}}{6}$ = $\frac{- 16+40}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 16 - \sqrt{1 600}}{6}$ = $\frac{- 16-40}{6}$ = $\frac{- 56}{6}$ = $- \frac{28}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 16 x - 112$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x - \frac{112}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (- \frac{112}{3})$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{112}{3}$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{336}{9}$ = $\frac{400}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{400}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{20}{3}$ = $- \frac{28}{3}$ = -9.3333333333333

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{20}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{28}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x$ = $- \frac{x}{2 x - 2} - \frac{- 5}{x - 1}$

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$2 x$	=	$- \frac{x}{2 x - 2} + \frac{5}{x - 1}$
$2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{5}{x - 1}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 1)$ weg!

$2 x$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} + \frac{5}{x - 1}$	\|⋅( $2 (x - 1)$ )
$2 x \cdot (2 (x - 1))$	=	$- \frac{x}{2 (x - 1)} \cdot (2 (x - 1)) + \frac{5}{x - 1} \cdot (2 (x - 1))$
$4 x (x - 1)$	=	$- x + 10$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot (- 1)$	=	$- x + 10$
$4 x \cdot x - 4 x$	=	$- x + 10$
$4 x^{2} - 4 x$	=	$- x + 10$

4 x^{2} - 4 x

=

- x + 10

|

+ x

- 10

$4 x^{2} - 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 160}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{169}}{8}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{3+13}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{169}}{8}$ = $\frac{3-13}{8}$ = $\frac{- 10}{8}$ = $- 1,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 3 x - 10$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{3}{4} x - \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{8})}^{2} - (- \frac{5}{2})$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{9}{64}$ $+$ $\frac{160}{64}$ = $\frac{169}{64}$

x_1,2 = $\frac{3}{8}$ ± $\sqrt{\frac{169}{64}}$

x₁ = $\frac{3}{8}$ - $\frac{13}{8}$ = $- \frac{10}{8}$ = -1.25

x₂ = $\frac{3}{8}$ + $\frac{13}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,25$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 8 x + 16}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{- 8 x + 16}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{- 8 x + 16}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3}$
$- 8 x + 16$	=	$- x^{2}$

- 8 x + 16

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 9 + \frac{a}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 9 + \frac{a}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$- 9 \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$- 9 x + a$	=	$- x^{2}$
$- 9 x + a + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 9 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 9 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -9 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 7 würde es funktionieren, denn $- (2 + 7)$ = -9

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 7$ = $14$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 9 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 9 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{9 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9+5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{9 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{9-5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $14$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

L={ $2$ ; $7$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):