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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{8}{x}$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{8}{x}$	=	$- 2 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{8}{x} \cdot x$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 8$	=	$- 2 x \cdot x$
$- 8$	=	$- 2 x^{2}$

$- 8$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 8$ $+ 2 x^{2}$
$2 x^{2}$	=	$8$	\|: $2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$8 + \frac{7}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$8 + \frac{7}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$8 \cdot x + \frac{7}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$8 x + 7$	=	$x \cdot x + 2 x$

8 x + 7

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $7$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 5 x}{3 x - 2} + x$ = $- 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{2}{3}$

D=R\{ $\frac{2}{3}$ }

- \frac{5 x}{3 x - 2} + x

=

- 2

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 2$ weg!

$- \frac{5 x}{3 x - 2} + x$	=	$- 2$	\|⋅( $3 x - 2$ )
$- \frac{5 x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2) + x \cdot (3 x - 2)$	=	$- 2 \cdot (3 x - 2)$
$- 5 x + x (3 x - 2)$	=	$- 2 (3 x - 2)$
$- 5 x + (3 x^{2} - 2 x)$	=	$- 2 (3 x - 2)$
$3 x^{2} - 7 x$	=	$- 6 x + 4$

3 x^{2} - 7 x

=

- 6 x + 4

|

+ 6 x

- 4

$3 x^{2} - x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1+7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = $\frac{4}{3}$ ≈ 1.33

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{1-7}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - x - 4$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{6})}^{2} - (- \frac{4}{3})$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{1}{36}$ $+$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{1}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{1}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{8}{6}$ = 1.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{4}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 12} + \frac{56}{6 x + 24}$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

$\frac{x}{3 x + 12} + \frac{56}{6 x + 24}$	=	$- 3 x$
$\frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{56}{6 (x + 4)}$	=	$- 3 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{56}{6 (x + 4)}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $3 (x + 4)$ )
$\frac{x}{3 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4)) + \frac{56}{6 (x + 4)} \cdot (3 (x + 4))$	=	$- 3 x \cdot (3 (x + 4))$
$x + 28$	=	$- 9 x (x + 4)$
$x + 28$	=	$- 9 x^{2} - 36 x$

x + 28

=

- 9 x^{2} - 36 x

|

+ 9 x^{2}

+ 36 x

$9 x^{2} + 37 x + 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{37^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 28}}{2 \cdot 9}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{1 369 - 1 008}}{18}$

x_1,2 = $\frac{- 37 \pm \sqrt{361}}{18}$

x₁ = $\frac{- 37 + \sqrt{361}}{18}$ = $\frac{- 37+19}{18}$ = $\frac{- 18}{18}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 37 - \sqrt{361}}{18}$ = $\frac{- 37-19}{18}$ = $\frac{- 56}{18}$ = $- \frac{28}{9}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $9$ " teilen:

$9 x^{2} + 37 x + 28$ = 0 |: $9$

$x^{2} + \frac{37}{9} x + \frac{28}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{37}{18})}^{2} - (\frac{28}{9})$ = $\frac{1369}{324}$ $-$ $\frac{28}{9}$ = $\frac{1369}{324}$ $-$ $\frac{1008}{324}$ = $\frac{361}{324}$

x_1,2 = $- \frac{37}{18}$ ± $\sqrt{\frac{361}{324}}$

x₁ = $- \frac{37}{18}$ - $\frac{19}{18}$ = $- \frac{56}{18}$ = -3.1111111111111

x₂ = $- \frac{37}{18}$ + $\frac{19}{18}$ = $- \frac{18}{18}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{28}{9}$ ; $- 1$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{14}{x} + \frac{49}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{14}{x} + \frac{49}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{14}{x} \cdot x^{2} + \frac{49}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$14 x + 49$	=	$- x^{2}$

14 x + 49

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 14 x + 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 7$ ± 0 = $- 7$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- \frac{12}{x} + x$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- \frac{12}{x} + x$	=	$- a$	\|⋅x
$- \frac{12}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$- 12 + x^{2}$	=	$- a x$
$- 12 + x^{2} + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 12$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 12$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -12 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -6 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 6)$ = -12

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 6)$ = $4$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 4 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

L={ $- 6$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):