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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3 x}{x - 6}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $6$

D=R\{ $6$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 6$ weg!

$\frac{- 3 x}{x - 6}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 6$ )
$\frac{- 3 x}{x - 6} \cdot (x - 6)$	=	$3 x \cdot (x - 6)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$3 x (x - 6)$
$- 3 x$	=	$3 x (x - 6)$
$- 3 x$	=	$3 x^{2} - 18 x$

$- 3 x$	=	$3 x^{2} - 18 x$	\| $- (3 x^{2} - 18 x)$
$- 3 x^{2} - 3 x + 18 x$	=	0
$- 3 x^{2} + 15 x$	=	0
$3 x (- x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 5$	=	0	\| $- 5$
$- x$	=	$- 5$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 14 x + 3}{x - 2}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 14 x + 3}{x - 2}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 14 x + 3}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$3 x \cdot (x - 2)$
$- 14 x + 3$	=	$3 x (x - 2)$
$- 14 x + 3$	=	$3 x^{2} - 6 x$

- 14 x + 3

=

3 x^{2} - 6 x

|

- 3 x^{2}

+ 6 x

$- 3 x^{2} - 8 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 3}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 + 36}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{100}}{- 6}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{8+10}{- 6}$ = $\frac{18}{- 6}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{100}}{- 6}$ = $\frac{8-10}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 8 x + 3$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{8}{3} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{4}{3})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $1$ = $\frac{16}{9}$ $+$ $\frac{9}{9}$ = $\frac{25}{9}$

x_1,2 = $- \frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{25}{9}}$

x₁ = $- \frac{4}{3}$ - $\frac{5}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $- \frac{4}{3}$ + $\frac{5}{3}$ = $\frac{1}{3}$ = 0.33333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 5$ = $- \frac{4 x}{3 x + 4} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{4}{3}$

D=R\{ $- \frac{4}{3}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 4$ weg!

$- 5$	=	$- \frac{4 x}{3 x + 4} - x$	\|⋅( $3 x + 4$ )
$- 5 \cdot (3 x + 4)$	=	$- \frac{4 x}{3 x + 4} \cdot (3 x + 4) - x \cdot (3 x + 4)$
$- 5 (3 x + 4)$	=	$- 4 x - x (3 x + 4)$
$- 15 x - 20$	=	$- 4 x - x (3 x + 4)$
$- 15 x - 20$	=	$- 3 x^{2} - 8 x$

- 15 x - 20

=

- 3 x^{2} - 8 x

|

+ 3 x^{2}

+ 8 x

$3 x^{2} - 7 x - 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{289}}{6}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{7+17}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = $4$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{289}}{6}$ = $\frac{7-17}{6}$ = $\frac{- 10}{6}$ = $- \frac{5}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 7 x - 20$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{7}{3} x - \frac{20}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{6})}^{2} - (- \frac{20}{3})$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{20}{3}$ = $\frac{49}{36}$ $+$ $\frac{240}{36}$ = $\frac{289}{36}$

x_1,2 = $\frac{7}{6}$ ± $\sqrt{\frac{289}{36}}$

x₁ = $\frac{7}{6}$ - $\frac{17}{6}$ = $- \frac{10}{6}$ = -1.6666666666667

x₂ = $\frac{7}{6}$ + $\frac{17}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{5}{3}$ ; $4$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{2 x - 8} + \frac{- 19,5}{x - 4} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{2 x - 8} - \frac{19,5}{x - 4} + x$	=	0
$\frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{19,5}{x - 4} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{2 (x - 4)} - \frac{19,5}{x - 4} + x$	=	\|⋅( $2 (x - 4)$ )
$\frac{x}{2 (x - 4)} \cdot (2 (x - 4)) + \frac{- 19,5}{x - 4} \cdot (2 (x - 4)) + x \cdot (2 (x - 4))$	=
$x - 39 + 2 x (x - 4)$	=
$x - 39 + (2 x^{2} - 8 x)$	=
$2 x^{2} - 7 x - 39$	=

$2 x^{2} - 7 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 39)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 312}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{361}}{4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{7+19}{4}$ = $\frac{26}{4}$ = $6,5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{361}}{4}$ = $\frac{7-19}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 7 x - 39$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{7}{2} x - \frac{39}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{4})}^{2} - (- \frac{39}{2})$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{39}{2}$ = $\frac{49}{16}$ $+$ $\frac{312}{16}$ = $\frac{361}{16}$

x_1,2 = $\frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{361}{16}}$

x₁ = $\frac{7}{4}$ - $\frac{19}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $\frac{7}{4}$ + $\frac{19}{4}$ = $\frac{26}{4}$ = 6.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $6,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x}$ = $- 1 + \frac{42}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{1}{x}$	=	$- 1 + \frac{42}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{42}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x$	=	$- x^{2} + 42$

x

=

- x^{2} + 42

|

+ x^{2}

- 42

$x^{2} + x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 7$ ; $6$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 7$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 7 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 7 x$
$a + x^{2} + 7 x$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):