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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{3 x}{x - 5}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{3 x}{x - 5}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{3 x}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$- 3 x \cdot (x - 5)$
$3 x$	=	$- 3 x \cdot (x - 5)$
$3 x$	=	$- 3 x^{2} + 15 x$

$3 x$	=	$- 3 x^{2} + 15 x$	\| $- (- 3 x^{2} + 15 x)$
$3 x^{2} + 3 x - 15 x$	=	0
$3 x^{2} - 12 x$	=	0
$3 x \cdot (x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 35 x + 6}{x - 3}$ = $4 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $3$

D=R\{ $3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 3$ weg!

$\frac{- 35 x + 6}{x - 3}$	=	$4 x$	\|⋅( $x - 3$ )
$\frac{- 35 x + 6}{x - 3} \cdot (x - 3)$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$- 35 x + 6$	=	$4 x \cdot (x - 3)$
$- 35 x + 6$	=	$4 x^{2} - 12 x$

- 35 x + 6

=

4 x^{2} - 12 x

|

- 4 x^{2}

+ 12 x

$- 4 x^{2} - 23 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{625}}{- 8}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{23+25}{- 8}$ = $\frac{48}{- 8}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{625}}{- 8}$ = $\frac{23-25}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 23 x + 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{23}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{529}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{625}{64}$

x_1,2 = $- \frac{23}{8}$ ± $\sqrt{\frac{625}{64}}$

x₁ = $- \frac{23}{8}$ - $\frac{25}{8}$ = $- \frac{48}{8}$ = -6

x₂ = $- \frac{23}{8}$ + $\frac{25}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 2$ = $- \frac{25 x}{x - 4} - 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $4$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$- 2$	=	$- \frac{25 x}{x - 4} - 3 x$	\|⋅( $x - 4$ )
$- 2 \cdot (x - 4)$	=	$- \frac{25 x}{x - 4} \cdot (x - 4) - 3 x \cdot (x - 4)$
$- 2 (x - 4)$	=	$- 25 x - 3 x \cdot (x - 4)$
$- 2 x + 8$	=	$- 25 x - 3 x \cdot (x - 4)$
$- 2 x + 8$	=	$- 3 x^{2} - 13 x$

- 2 x + 8

=

- 3 x^{2} - 13 x

|

+ 3 x^{2}

+ 13 x

$3 x^{2} + 11 x + 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 96}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{25}}{6}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 11+5}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{25}}{6}$ = $\frac{- 11-5}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 11 x + 8$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{11}{3} x + \frac{8}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{6})}^{2} - (\frac{8}{3})$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{8}{3}$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{96}{36}$ = $\frac{25}{36}$

x_1,2 = $- \frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{25}{36}}$

x₁ = $- \frac{11}{6}$ - $\frac{5}{6}$ = $- \frac{16}{6}$ = -2.6666666666667

x₂ = $- \frac{11}{6}$ + $\frac{5}{6}$ = $- \frac{6}{6}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3}{x + 4}$ = $- \frac{x}{2 x + 8} + x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 4$ }

- \frac{3}{x + 4}

=

- \frac{x}{2 (x + 4)} + x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 4)$ weg!

$- \frac{3}{x + 4}$	=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} + x$	\|⋅( $2 (x + 4)$ )
$- \frac{3}{x + 4} \cdot (2 (x + 4))$	=	$- \frac{x}{2 (x + 4)} \cdot (2 (x + 4)) + x \cdot (2 (x + 4))$
$- 6$	=	$- x + 2 x \cdot (x + 4)$
$- 6$	=	$2 x^{2} + 7 x$

- 6

=

2 x^{2} + 7 x

|

- 2 x^{2}

- 7 x

$- 2 x^{2} - 7 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 6)}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1}}{- 4}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{7+1}{- 4}$ = $\frac{8}{- 4}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1}}{- 4}$ = $\frac{7-1}{- 4}$ = $\frac{6}{- 4}$ = $- 1,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} - 7 x - 6$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{4})}^{2} - 3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $3$ = $\frac{49}{16}$ $-$ $\frac{48}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $- \frac{7}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $- \frac{7}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $- \frac{6}{4}$ = -1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $- 1,5$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{x} - \frac{12}{x^{2}}$ = $- 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$\frac{4}{x} - \frac{12}{x^{2}}$	=	$- 1$	\|⋅( $x^{2}$ )
$\frac{4}{x} \cdot x^{2} - \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2}$
$4 x - 12$	=	$- x^{2}$

4 x - 12

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 7 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 7 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 7 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- 7 x + x^{2}$	=	$- a$
$- 7 x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 5 würde es funktionieren, denn $- (2 + 5)$ = -7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 5$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

L={ $2$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):