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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{3}{x - 2}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{3}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{3}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$3$	=	$x (x - 2)$
$3$	=	$x^{2} - 2 x$

3

=

x^{2} - 2 x

|

- x^{2}

+ 2 x

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{25 x + 8}{3 x}$ = $x + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{25 x + 8}{3 x}$	=	$x + 5$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{25 x + 8}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 5 \cdot 3 x$
$25 x + 8$	=	$3 x \cdot x + 15 x$

25 x + 8

=

3 x^{2} + 15 x

|

- 3 x^{2}

- 15 x

$- 3 x^{2} + 10 x + 8$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 8}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 10+14}{- 6}$ = $\frac{4}{- 6}$ = $- \frac{2}{3}$ ≈ -0.67

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{- 6}$ = $\frac{- 10-14}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{2}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4$ = $- \frac{- 24 x}{3 x - 5} - x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{5}{3}$

D=R\{ $\frac{5}{3}$ }

4

=

\frac{24 x}{3 x - 5} - x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 5$ weg!

$4$	=	$\frac{24 x}{3 x - 5} - x$	\|⋅( $3 x - 5$ )
$4 \cdot (3 x - 5)$	=	$\frac{24 x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5) - x \cdot (3 x - 5)$
$4 (3 x - 5)$	=	$24 x - x (3 x - 5)$
$12 x - 20$	=	$24 x - x (3 x - 5)$
$12 x - 20$	=	$- 3 x^{2} + 29 x$

12 x - 20

=

- 3 x^{2} + 29 x

|

+ 3 x^{2}

- 29 x

$3 x^{2} - 17 x - 20$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{{(- 17)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 20)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{289 + 240}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 17 \pm \sqrt{529}}{6}$

x₁ = $\frac{17 + \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{17+23}{6}$ = $\frac{40}{6}$ = $\frac{20}{3}$ ≈ 6.67

x₂ = $\frac{17 - \sqrt{529}}{6}$ = $\frac{17-23}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $\frac{20}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{7}{x - 2} - x$ = $- \frac{x}{4 x - 8}$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

$\frac{7}{x - 2} - x$	=	$\frac{- x}{4 x - 8}$
$\frac{7}{x - 2} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 2)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 2)$ weg!

$\frac{7}{x - 2} - x$	=	$\frac{- x}{4 (x - 2)}$	\|⋅( $4 (x - 2)$ )
$\frac{7}{x - 2} \cdot (4 (x - 2)) - x \cdot (4 (x - 2))$	=	$\frac{- x}{4 (x - 2)} \cdot (4 (x - 2))$
$28 - 4 x (x - 2)$	=	$- x$
$28 + (- 4 x^{2} + 8 x)$	=	$- x$
$- 4 x^{2} + 8 x + 28$	=	$- x$

- 4 x^{2} + 8 x + 28

=

- x

|

+ x

$- 4 x^{2} + 9 x + 28$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 28}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 448}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{529}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 9+23}{- 8}$ = $\frac{14}{- 8}$ = $- 1,75$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{529}}{- 8}$ = $\frac{- 9-23}{- 8}$ = $\frac{- 32}{- 8}$ = $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1,75$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 1 + \frac{54}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 1 + \frac{54}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} + \frac{54}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$- 3 x$	=	$- x^{2} + 54$

- 3 x

=

- x^{2} + 54

|

+ x^{2}

- 54

$x^{2} - 3 x - 54$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 54)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 216}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{225}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3+15}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{225}}{2}$ = $\frac{3-15}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $9$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $- \frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$- \frac{15}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{15}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$- 15$
$a x + x^{2} + 15$	=	0
$x^{2} + a x + 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot 5$ = 15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 + 5)$ = $- 8$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -8 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 8 x + 15$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{8 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8+2}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{8 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{8-2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

L={ $3$ ; $5$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Bruchgl. mit x-Potenzen

Bruchgleichung mit Parameter