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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{48}{x}$ = $3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{48}{x}$	=	$3 x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{48}{x} \cdot x$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x \cdot x$
$48$	=	$3 x^{2}$

$48$	=	$3 x^{2}$	\| $- 48$ $- 3 x^{2}$
$- 3 x^{2}$	=	$- 48$	\|: $(- 3)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 1$ = $2 + \frac{2}{x}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$x + 1$	=	$2 + \frac{2}{x}$	\|⋅( $x$ )
$x \cdot x + 1 \cdot x$	=	$2 \cdot x + \frac{2}{x} \cdot x$
$x \cdot x + x$	=	$2 x + 2$
$x^{2} + x$	=	$2 x + 2$

x^{2} + x

=

2 x + 2

|

- 2 x

- 2

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 80}{x - 5} - 1$ = $- 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

- \frac{80}{x - 5} - 1

=

- 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$- \frac{80}{x - 5} - 1$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$- \frac{80}{x - 5} \cdot (x - 5) - 1 \cdot (x - 5)$	=	$- 3 x \cdot (x - 5)$
$- 80 - x + 5$	=	$- 3 x \cdot (x - 5)$
$- x - 75$	=	$- 3 x^{2} + 15 x$

- x - 75

=

- 3 x^{2} + 15 x

|

+ 3 x^{2}

- 15 x

$3 x^{2} - 16 x - 75$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 75)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 900}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{1 156}}{6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{1 156}}{6}$ = $\frac{16+34}{6}$ = $\frac{50}{6}$ = $\frac{25}{3}$ ≈ 8.33

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{1 156}}{6}$ = $\frac{16-34}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 16 x - 75$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{16}{3} x - 25$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{8}{3})}^{2} - (- 25)$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $25$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{225}{9}$ = $\frac{289}{9}$

x_1,2 = $\frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{289}{9}}$

x₁ = $\frac{8}{3}$ - $\frac{17}{3}$ = $- \frac{9}{3}$ = -3

x₂ = $\frac{8}{3}$ + $\frac{17}{3}$ = $\frac{25}{3}$ = 8.3333333333333

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{25}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 71}{x - 3}$ = $- \frac{x}{3 x - 9} - 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $3$ }

- \frac{71}{x - 3}

=

- \frac{x}{3 (x - 3)} - 4 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 3)$ weg!

$- \frac{71}{x - 3}$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} - 4 x$	\|⋅( $3 (x - 3)$ )
$- \frac{71}{x - 3} \cdot (3 (x - 3))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 3)} \cdot (3 (x - 3)) - 4 x \cdot (3 (x - 3))$
$- 213$	=	$- x - 12 x \cdot (x - 3)$
$- 213$	=	$- 12 x^{2} + 35 x$

- 213

=

- 12 x^{2} + 35 x

|

+ 12 x^{2}

- 35 x

$12 x^{2} - 35 x - 213$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{{(- 35)}^{2} - 4 \cdot 12 \cdot (- 213)}}{2 \cdot 12}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{1 225 + 10 224}}{24}$

x_1,2 = $\frac{+ 35 \pm \sqrt{11 449}}{24}$

x₁ = $\frac{35 + \sqrt{11 449}}{24}$ = $\frac{35+107}{24}$ = $\frac{142}{24}$ = $\frac{71}{12}$ ≈ 5.92

x₂ = $\frac{35 - \sqrt{11 449}}{24}$ = $\frac{35-107}{24}$ = $\frac{- 72}{24}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $12$ " teilen:

$12 x^{2} - 35 x - 213$ = 0 |: $12$

$x^{2} - \frac{35}{12} x - \frac{71}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{35}{24})}^{2} - (- \frac{71}{4})$ = $\frac{1225}{576}$ $+$ $\frac{71}{4}$ = $\frac{1225}{576}$ $+$ $\frac{10224}{576}$ = $\frac{11449}{576}$

x_1,2 = $\frac{35}{24}$ ± $\sqrt{\frac{11449}{576}}$

x₁ = $\frac{35}{24}$ - $\frac{107}{24}$ = $- \frac{72}{24}$ = -3

x₂ = $\frac{35}{24}$ + $\frac{107}{24}$ = $\frac{142}{24}$ = 5.9166666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{71}{12}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{40}{x^{3}}$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} - \frac{6}{x^{2}} - \frac{40}{x^{3}}$	=	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{3} - \frac{40}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=
$x^{2} - 6 x - 40$	=

$x^{2} - 6 x - 40$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 40)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 + 160}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{6+14}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{6-14}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 40)$ = $9$ $+$ $40$ = $49$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $3$ - $7$ = -4

x₂ = $3$ + $7$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $2$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $2$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$2$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$2 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$2 x$
$x^{2} + a - 2 x$	=	0
$x^{2} - 2 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 2 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -2 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (3 - 1)$ = -2

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot (- 1)$ = $- 3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

L={ $- 1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):