Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen
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Bruchgleichungen (quadr.) einfach
Beispiel:
Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:
Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:
| = | |||
| = | | | ||
| = | |:() | ||
| = |
L={
Bruchgleichung (quadr.) 1
Beispiel:
Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:
=
Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:
D=R\{ }
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = |
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | | | ||
| x1 | = | = | |
| x2 | = | = |
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
Bruchgleichung (quadr.) 2
Beispiel:
Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:
=
Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:
D=R\{ }
| = |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
| = | | | ||
| = | |||
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| x2 | = |
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={
doppelte Bruchgl. (quadr.)
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
=
D=R\{ }
| = | |||
| = | |(Nenner faktorisiert) |
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = | |||
| = |
| = | | |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "" teilen:
=
= 0
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = -4.05
x2 = + = = 2
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
Bruchgl. mit x-Potenzen
Beispiel:
Löse die folgende Gleichung:
D=R\{
Wir multiplizieren den Nenner weg!
| = | |⋅( ) | ||
| = | |||
| = |
| = | | |
||
| = | | | ||
| x1 | = | = | |
| x2 | = | = |
(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).
L={ ; }
Bruchgleichung mit Parameter
Beispiel:
Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:
=
Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.
D=R\{0}
=
Wir multiplizieren den Nenner x weg:
| = | |⋅x | ||
| = | |||
| = | |||
| = | |||
| = |
Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:
(x-p)⋅(x-q)
Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.
= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq
Es muss somit gelten:
= x² - (p+q)x + pq
Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 5 ist, also z.B.:
Mit p = 2 und q = -7 würde es funktionieren, denn = 5
Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = =
Zur Probe können wir ja noch mit a = -14 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = = =
x1,2 = ±
x1 = - = = -7
x2 = + = = 2
L={ ; }