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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3 x}{x - 2}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $2$

D=R\{ $2$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 2$ weg!

$\frac{- 3 x}{x - 2}$	=	$x$	\|⋅( $x - 2$ )
$\frac{- 3 x}{x - 2} \cdot (x - 2)$	=	$x \cdot (x - 2)$
$- \frac{3 x}{1}$	=	$x (x - 2)$
$- 3 x$	=	$x (x - 2)$
$- 3 x$	=	$x^{2} - 2 x$

$- 3 x$	=	$x^{2} - 2 x$	\| $- (x^{2} - 2 x)$
$- x^{2} - 3 x + 2 x$	=	0
$- x^{2} - x$	=	0
$- x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2 x}$ = $x - 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{2} + \frac{1}{2 x}$	=	$x - 2$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{2} \cdot x + \frac{1}{2 x} \cdot x$	=	$x \cdot x - 2 \cdot x$
$- \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x \cdot x - 2 x$

$- \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$	=	$x^{2} - 2 x$	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} x + \frac{1}{2})$	=	$2 (x^{2} - 2 x)$
$- 3 x + 1$	=	$2 x^{2} - 4 x$	\| $- 2 x^{2}$ $+ 4 x$

$- 2 x^{2} + x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 1}}{2 \cdot (- 2)}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{- 4}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{- 4}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 1+3}{- 4}$ = $\frac{2}{- 4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{- 4}$ = $\frac{- 1-3}{- 4}$ = $\frac{- 4}{- 4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 2$ " teilen:

$- 2 x^{2} + x + 1$ = 0 |: $- 2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,5$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{36 x}{x - 5} + x - 5$ = 0

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{36 x}{x - 5} + x - 5$	=	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{36 x}{x - 5} \cdot (x - 5) + x \cdot (x - 5) - 5 \cdot (x - 5)$	=
$36 x + x (x - 5) - 5 x + 25$	=
$36 x + (x^{2} - 5 x) - 5 x + 25$	=
$x^{2} + 26 x + 25$	=

$x^{2} + 26 x + 25$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{26^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{676 - 100}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 26 \pm \sqrt{576}}{2}$

x₁ = $\frac{- 26 + \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{- 26+24}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 26 - \sqrt{576}}{2}$ = $\frac{- 26-24}{2}$ = $\frac{- 50}{2}$ = $- 25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $13^{2} - 25$ = $169$ $-$ $25$ = $144$

x_1,2 = $- 13$ ± $\sqrt{144}$

x₁ = $- 13$ - $12$ = -25

x₂ = $- 13$ + $12$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 25$ ; $- 1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x + 4} + \frac{11,5}{x + 1}$ = $2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{x}{4 x + 4} + \frac{11,5}{x + 1}$	=	$2 x$
$\frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{11,5}{x + 1}$	=	$2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x + 1)} + \frac{11,5}{x + 1}$	=	$2 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{11,5}{x + 1} \cdot (4 (x + 1))$	=	$2 x \cdot (4 (x + 1))$
$x + 46$	=	$8 x (x + 1)$
$x + 46$	=	$8 x^{2} + 8 x$

x + 46

=

8 x^{2} + 8 x

|

- 8 x^{2}

- 8 x

$- 8 x^{2} - 7 x + 46$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 46}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 1 472}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1 521}}{- 16}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1 521}}{- 16}$ = $\frac{7+39}{- 16}$ = $\frac{46}{- 16}$ = $- 2,875$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1 521}}{- 16}$ = $\frac{7-39}{- 16}$ = $\frac{- 32}{- 16}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 7 x + 46$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{7}{8} x - \frac{23}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{16})}^{2} - (- \frac{23}{4})$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{23}{4}$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{1472}{256}$ = $\frac{1521}{256}$

x_1,2 = $- \frac{7}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{256}}$

x₁ = $- \frac{7}{16}$ - $\frac{39}{16}$ = $- \frac{46}{16}$ = -2.875

x₂ = $- \frac{7}{16}$ + $\frac{39}{16}$ = $\frac{32}{16}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2,875$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{2}{x^{2}}$ = $- 1 - \frac{1}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{2}{x^{2}}$	=	$- 1 - \frac{1}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{2}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- 1 \cdot x^{2} - \frac{1}{x} \cdot x^{2}$
$- 2$	=	$- x^{2} - x$

- 2

=

- x^{2} - x

|

+ x^{2}

+ x

$x^{2} + x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1+3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{- 1-3}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} - 11$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} - 11$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} - 11$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x - 11 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a - 11 x$	=	$- x^{2}$
$a - 11 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} - 11 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 11 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -11 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $- (2 + 9)$ = -11

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot 9$ = $18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):