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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{75}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{75}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{75}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 75$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 75$	=	$- 3 x^{2}$

$- 75$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 75$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$75$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{11 x - 4}{3 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{11 x - 4}{3 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{11 x - 4}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x + 1 \cdot 3 x$
$11 x - 4$	=	$3 x \cdot x + 3 x$

11 x - 4

=

3 x^{2} + 3 x

|

- 3 x^{2}

- 3 x

$- 3 x^{2} + 8 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 8+4}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.67

x₂ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 6}$ = $\frac{- 8-4}{- 6}$ = $\frac{- 12}{- 6}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 8 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{4}{3})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{16}{9}$ $-$ $\frac{12}{9}$ = $\frac{4}{9}$

x_1,2 = $\frac{4}{3}$ ± $\sqrt{\frac{4}{9}}$

x₁ = $\frac{4}{3}$ - $\frac{2}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{4}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{3}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- 3$ = $- \frac{- 9 x}{x + 4} - 3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

- 3

=

\frac{9 x}{x + 4} - 3 x

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$- 3$	=	$\frac{9 x}{x + 4} - 3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$- 3 \cdot (x + 4)$	=	$\frac{9 x}{x + 4} \cdot (x + 4) - 3 x \cdot (x + 4)$
$- 3 (x + 4)$	=	$9 x - 3 x \cdot (x + 4)$
$- 3 x - 12$	=	$9 x - 3 x \cdot (x + 4)$
$- 3 x - 12$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$

$- 3 x - 12$	=	$- 3 x^{2} - 3 x$	\| $+ 12$ $+ 3 x^{2}$ $+ 3 x$
$3 x^{2}$	=	$12$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{9}{x + 3} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 12} - \frac{9}{x + 3} + 2 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{9}{x + 3} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 3)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} - \frac{9}{x + 3} + 2 x$	\|⋅( $4 (x + 3)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 3)} \cdot (4 (x + 3)) + \frac{- 9}{x + 3} \cdot (4 (x + 3)) + 2 x \cdot (4 (x + 3))$
=	$- x - 36 + 8 x \cdot (x + 3)$
=	$8 x^{2} + 23 x - 36$

0

=

8 x^{2} + 23 x - 36

|

- 8 x^{2}

- 23 x

+ 36

$- 8 x^{2} - 23 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{{(- 23)}^{2} - 4 \cdot (- 8) \cdot 36}}{2 \cdot (- 8)}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{529 + 1 152}}{- 16}$

x_1,2 = $\frac{+ 23 \pm \sqrt{1 681}}{- 16}$

x₁ = $\frac{23 + \sqrt{1 681}}{- 16}$ = $\frac{23+41}{- 16}$ = $\frac{64}{- 16}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{23 - \sqrt{1 681}}{- 16}$ = $\frac{23-41}{- 16}$ = $\frac{- 18}{- 16}$ = $1,125$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 8$ " teilen:

$- 8 x^{2} - 23 x + 36$ = 0 |: $- 8$

$x^{2} + \frac{23}{8} x - \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{23}{16})}^{2} - (- \frac{9}{2})$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{529}{256}$ $+$ $\frac{1152}{256}$ = $\frac{1681}{256}$

x_1,2 = $- \frac{23}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1681}{256}}$

x₁ = $- \frac{23}{16}$ - $\frac{41}{16}$ = $- \frac{64}{16}$ = -4

x₂ = $- \frac{23}{16}$ + $\frac{41}{16}$ = $\frac{18}{16}$ = 1.125

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $1,125$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- \frac{10}{x^{3}}$ = $- \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$- \frac{10}{x^{3}}$	=	$- \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$- \frac{10}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{1}{x} \cdot x^{3} - \frac{3}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$- 10$	=	$- x^{2} - 3 x$

- 10

=

- x^{2} - 3 x

|

+ x^{2}

+ 3 x

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + 10$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + 10$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + 10$	=	$- x$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + 10 \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a + 10 x$	=	$- x^{2}$
$a + 10 x + x^{2}$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):