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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{x}{x - 5}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- x}{x - 5}$	=	$x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- x}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$x \cdot (x - 5)$
$- x$	=	$x \cdot (x - 5)$
$- x$	=	$x^{2} - 5 x$

$- x$	=	$x^{2} - 5 x$	\| $- (x^{2} - 5 x)$
$- x^{2} - x + 5 x$	=	0
$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x \cdot (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$9 - \frac{10}{x}$ = $x + 2$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$9 - \frac{10}{x}$	=	$x + 2$	\|⋅( $x$ )
$9 \cdot x - \frac{10}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x + 2 \cdot x$
$9 x - 10$	=	$x \cdot x + 2 x$

9 x - 10

=

x^{2} + 2 x

|

- x^{2}

- 2 x

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 10)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7+3}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 7-3}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 7 x - 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{3 x}{2 x + 4} - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

x

=

- \frac{3 x}{2 (x + 2)} - 1

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$x$	=	$- \frac{3 x}{2 (x + 2)} - 1$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$x \cdot (2 (x + 2))$	=	$- \frac{3 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2)) - 1 \cdot (2 (x + 2))$
$2 x \cdot (x + 2)$	=	$- 3 x - 2 x - 4$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 2$	=	$- 3 x - 2 x - 4$
$2 x \cdot x + 4 x$	=	$- 3 x - 2 x - 4$
$2 x^{2} + 4 x$	=	$- 5 x - 4$

2 x^{2} + 4 x

=

- 5 x - 4

|

+ 5 x

+ 4

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{4}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9+7}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{4}$ = $\frac{- 9-7}{4}$ = $\frac{- 16}{4}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 9 x + 4$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{9}{2} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{9}{4})}^{2} - 2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $2$ = $\frac{81}{16}$ $-$ $\frac{32}{16}$ = $\frac{49}{16}$

x_1,2 = $- \frac{9}{4}$ ± $\sqrt{\frac{49}{16}}$

x₁ = $- \frac{9}{4}$ - $\frac{7}{4}$ = $- \frac{16}{4}$ = -4

x₂ = $- \frac{9}{4}$ + $\frac{7}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $- 0,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x$ = $- \frac{x}{3 x - 12} - \frac{- 8}{6 x - 24}$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{3 x - 12} + \frac{8}{6 x - 24}$
$- 2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{8}{6 (x - 4)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

$- 2 x$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} + \frac{8}{6 (x - 4)}$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
$- 2 x \cdot (3 (x - 4))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + \frac{8}{6 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4))$
$- 6 x \cdot (x - 4)$	=	$- x + 4$
$- 6 x \cdot x - 6 x \cdot (- 4)$	=	$- x + 4$
$- 6 x \cdot x + 24 x$	=	$- x + 4$
$- 6 x^{2} + 24 x$	=	$- x + 4$

- 6 x^{2} + 24 x

=

- x + 4

|

+ x

- 4

$- 6 x^{2} + 25 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{529}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{529}}{- 12}$ = $\frac{- 25+23}{- 12}$ = $\frac{- 2}{- 12}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.17

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{529}}{- 12}$ = $\frac{- 25-23}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 25 x - 4$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{25}{6} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{12})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{96}{144}$ = $\frac{529}{144}$

x_1,2 = $\frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{529}{144}}$

x₁ = $\frac{25}{12}$ - $\frac{23}{12}$ = $\frac{2}{12}$ = 0.16666666666667

x₂ = $\frac{25}{12}$ + $\frac{23}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{45}{x^{4}}$ = $- \frac{1}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{14}{x^{3}} + \frac{45}{x^{4}}$	=	$- \frac{1}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{14}{x^{3}} \cdot x^{4} + \frac{45}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4}$
$14 x + 45$	=	$- x^{2}$

14 x + 45

=

- x^{2}

|

+ x^{2}

$x^{2} + 14 x + 45$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 14 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14+4}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

x₂ = $\frac{- 14 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 14-4}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $7^{2} - 45$ = $49$ $-$ $45$ = $4$

x_1,2 = $- 7$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 7$ - $2$ = -9

x₂ = $- 7$ + $2$ = -5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 9$ ; $- 5$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + \frac{18}{x}$ = $- x$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + \frac{18}{x}$ = $- x$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + \frac{18}{x}$	=	$- x$	\|⋅x
$a \cdot x + \frac{18}{x} \cdot x$	=	$- x \cdot x$
$a x + 18$	=	$- x^{2}$
$a x + 18 + x^{2}$	=	0
$x^{2} + a x + 18$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x + 18$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt 18 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = 9 würde es funktionieren, denn $2 \cdot 9$ = 18

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 + 9)$ = $- 11$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -11 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 11 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11+7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{11-7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

L={ $2$ ; $9$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):