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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{9}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{9}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{9}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$9$	=	$x \cdot x$
$9$	=	$x^{2}$

$9$	=	$x^{2}$	\| $- 9$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 9$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $3$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{x + 4}{4 x}$ = $x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{x + 4}{4 x}$	=	$x + 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{x + 4}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 4 \cdot 4 x$
$x + 4$	=	$4 x \cdot x + 16 x$

x + 4

=

4 x^{2} + 16 x

|

- 4 x^{2}

- 16 x

$- 4 x^{2} - 15 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 4}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 64}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{289}}{- 8}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{15+17}{- 8}$ = $\frac{32}{- 8}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{289}}{- 8}$ = $\frac{15-17}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 15 x + 4$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{15}{4} x - 1$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{8})}^{2} - (- 1)$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $1$ = $\frac{225}{64}$ $+$ $\frac{64}{64}$ = $\frac{289}{64}$

x_1,2 = $- \frac{15}{8}$ ± $\sqrt{\frac{289}{64}}$

x₁ = $- \frac{15}{8}$ - $\frac{17}{8}$ = $- \frac{32}{8}$ = -4

x₂ = $- \frac{15}{8}$ + $\frac{17}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $0,25$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x + 5$ = $- \frac{- 28 x}{2 x + 4}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 2$

D=R\{ $- 2$ }

x + 5

=

\frac{28 x}{2 (x + 2)}

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $2 (x + 2)$ weg!

$x + 5$	=	$\frac{28 x}{2 (x + 2)}$	\|⋅( $2 (x + 2)$ )
$x \cdot (2 (x + 2)) + 5 \cdot (2 (x + 2))$	=	$\frac{28 x}{2 (x + 2)} \cdot (2 (x + 2))$
$2 x \cdot (x + 2) + 10 x + 20$	=	$2 \frac{14 x}{1}$
$2 x \cdot (x + 2) + 10 x + 20$	=	$28 x$
$2 x^{2} + 4 x + 10 x + 20$	=	$28 x$
$2 x^{2} + 14 x + 20$	=	$28 x$

2 x^{2} + 14 x + 20

=

28 x

|

- 28 x

2 x^{2} - 14 x + 20

= 0 |:2

$x^{2} - 7 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7+3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{7-3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $10$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ ; $5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{5 x - 5} + \frac{- 7,8}{x - 1} + 4 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{5 x - 5} - \frac{7,8}{x - 1} + 4 x$	=	0
$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{7,8}{x - 1} + 4 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{5 (x - 1)} - \frac{7,8}{x - 1} + 4 x$	=	\|⋅( $5 (x - 1)$ )
$\frac{x}{5 (x - 1)} \cdot (5 (x - 1)) + \frac{- 7,8}{x - 1} \cdot (5 (x - 1)) + 4 x \cdot (5 (x - 1))$	=
$x - 39 + 20 x \cdot (x - 1)$	=
$x - 39 + (20 x^{2} - 20 x)$	=
$20 x^{2} - 19 x - 39$	=

$20 x^{2} - 19 x - 39$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 20 \cdot (- 39)}}{2 \cdot 20}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 3 120}}{40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{3 481}}{40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{3 481}}{40}$ = $\frac{19+59}{40}$ = $\frac{78}{40}$ = $1,95$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{3 481}}{40}$ = $\frac{19-59}{40}$ = $\frac{- 40}{40}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $20$ " teilen:

$20 x^{2} - 19 x - 39$ = 0 |: $20$

$x^{2} - \frac{19}{20} x - \frac{39}{20}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{39}{20})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{39}{20}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{3120}{1600}$ = $\frac{3481}{1600}$

x_1,2 = $\frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{3481}{1600}}$

x₁ = $\frac{19}{40}$ - $\frac{59}{40}$ = $- \frac{40}{40}$ = -1

x₂ = $\frac{19}{40}$ + $\frac{59}{40}$ = $\frac{78}{40}$ = 1.95

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1,95$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}$ = $- \frac{2}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{4}}$	=	$- \frac{2}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{2}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 1$	=	$- 2 x$

x^{2} + 1

=

- 2 x

|

+ 2 x

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$- 1 + x$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$- 1 + x$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$- 1 \cdot x + x \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$- x + x^{2}$	=	$- a$
$- x + x^{2} + a$	=	0
$x^{2} - x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -1 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -1 würde es funktionieren, denn $- (2 - 1)$ = -1

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 1)$ = $- 2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 1$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):