Mathebattle EduRandomtasks

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$10$ = $- 2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner:

$10$	=	$- 2 x$	\| $- 10$ $+ 2 x$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{4 x - 4}{3 x}$ = $x - 3$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $3 x$ weg!

$\frac{4 x - 4}{3 x}$	=	$x - 3$	\|⋅( $3 x$ )
$\frac{4 x - 4}{3 x} \cdot 3 x$	=	$x \cdot 3 x - 3 \cdot 3 x$
$4 x - 4$	=	$3 x \cdot x - 9 x$

4 x - 4

=

3 x^{2} - 9 x

|

- 3 x^{2}

+ 9 x

$- 3 x^{2} + 13 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{13^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{169 - 48}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{- 13 \pm \sqrt{121}}{- 6}$

x₁ = $\frac{- 13 + \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{- 13+11}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

x₂ = $\frac{- 13 - \sqrt{121}}{- 6}$ = $\frac{- 13-11}{- 6}$ = $\frac{- 24}{- 6}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} + 13 x - 4$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} - \frac{13}{3} x + \frac{4}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{6})}^{2} - (\frac{4}{3})$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{4}{3}$ = $\frac{169}{36}$ $-$ $\frac{48}{36}$ = $\frac{121}{36}$

x_1,2 = $\frac{13}{6}$ ± $\sqrt{\frac{121}{36}}$

x₁ = $\frac{13}{6}$ - $\frac{11}{6}$ = $\frac{2}{6}$ = 0.33333333333333

x₂ = $\frac{13}{6}$ + $\frac{11}{6}$ = $\frac{24}{6}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{1}{3}$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{10}{3 x + 1} - x + 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{1}{3}$

D=R\{ $- \frac{1}{3}$ }

0

=

- \frac{10}{3 x + 1} - x + 4

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 1$ weg!

=	$- \frac{10}{3 x + 1} - x + 4$	\|⋅( $3 x + 1$ )
=	$- \frac{10}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1) - x \cdot (3 x + 1) + 4 \cdot (3 x + 1)$
=	$- 10 - x (3 x + 1) + 12 x + 4$
=	$- 3 x^{2} + 11 x - 6$

0

=

- 3 x^{2} + 11 x - 6

|

+ 3 x^{2}

- 11 x

+ 6

$3 x^{2} - 11 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}$

x_1,2 = $\frac{+ 11 \pm \sqrt{49}}{6}$

x₁ = $\frac{11 + \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11+7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = $3$

x₂ = $\frac{11 - \sqrt{49}}{6}$ = $\frac{11-7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} - 11 x + 6$ = 0 |: $3$

$x^{2} - \frac{11}{3} x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{6})}^{2} - 2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $2$ = $\frac{121}{36}$ $-$ $\frac{72}{36}$ = $\frac{49}{36}$

x_1,2 = $\frac{11}{6}$ ± $\sqrt{\frac{49}{36}}$

x₁ = $\frac{11}{6}$ - $\frac{7}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = 0.66666666666667

x₂ = $\frac{11}{6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{18}{6}$ = 3

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $\frac{2}{3}$ ; $3$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x - 12}$ = $- \frac{- 4}{3 x - 12} + 2 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $4$ }

$\frac{x}{3 x - 12}$	=	$\frac{4}{3 x - 12} + 2 x$
$\frac{x}{3 (x - 4)}$	=	$\frac{4}{3 (x - 4)} + 2 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 4)$ weg!

$\frac{x}{3 (x - 4)}$	=	$\frac{4}{3 (x - 4)} + 2 x$	\|⋅( $3 (x - 4)$ )
$\frac{x}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4))$	=	$\frac{4}{3 (x - 4)} \cdot (3 (x - 4)) + 2 x \cdot (3 (x - 4))$
$x$	=	$4 + 6 x (x - 4)$
$x$	=	$6 x^{2} - 24 x + 4$

x

=

6 x^{2} - 24 x + 4

|

- 6 x^{2}

+ 24 x

- 4

$- 6 x^{2} + 25 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot (- 4)}}{2 \cdot (- 6)}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 96}}{- 12}$

x_1,2 = $\frac{- 25 \pm \sqrt{529}}{- 12}$

x₁ = $\frac{- 25 + \sqrt{529}}{- 12}$ = $\frac{- 25+23}{- 12}$ = $\frac{- 2}{- 12}$ = $\frac{1}{6}$ ≈ 0.17

x₂ = $\frac{- 25 - \sqrt{529}}{- 12}$ = $\frac{- 25-23}{- 12}$ = $\frac{- 48}{- 12}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 6$ " teilen:

$- 6 x^{2} + 25 x - 4$ = 0 |: $- 6$

$x^{2} - \frac{25}{6} x + \frac{2}{3}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{25}{12})}^{2} - (\frac{2}{3})$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{2}{3}$ = $\frac{625}{144}$ $-$ $\frac{96}{144}$ = $\frac{529}{144}$

x_1,2 = $\frac{25}{12}$ ± $\sqrt{\frac{529}{144}}$

x₁ = $\frac{25}{12}$ - $\frac{23}{12}$ = $\frac{2}{12}$ = 0.16666666666667

x₂ = $\frac{25}{12}$ + $\frac{23}{12}$ = $\frac{48}{12}$ = 4

Lösung x= $4$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{6}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{6}{x^{2}}$ = $- \frac{7}{x}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{6}{x^{2}}$	=	$- \frac{7}{x}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{6}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{7}{x} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 6$	=	$- 7 x$

x^{2} + 6

=

- 7 x

|

+ 7 x

$x^{2} + 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7+5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 7-5}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $- 1$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + a$ = $\frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + a$ = $\frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + a$	=	$\frac{15}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + a \cdot x$	=	$\frac{15}{x} \cdot x$
$x^{2} + a x$	=	$15$
$x^{2} + a x - 15$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):