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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{3}{x}$ = $- 3 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$- \frac{3}{x}$	=	$- 3 x$	\|⋅( $x$ )
$- \frac{3}{x} \cdot x$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x \cdot x$
$- 3$	=	$- 3 x^{2}$

$- 3$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3$ $+ 3 x^{2}$
$3 x^{2}$	=	$3$	\|: $3$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₂	=	$\sqrt{1}$	= $1$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 1$ ; $1$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 11 x + 6}{4 x}$ = $x - 4$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 11 x + 6}{4 x}$	=	$x - 4$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 11 x + 6}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x - 4 \cdot 4 x$
$- 11 x + 6$	=	$4 x \cdot x - 16 x$

- 11 x + 6

=

4 x^{2} - 16 x

|

- 4 x^{2}

+ 16 x

$- 4 x^{2} + 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 6}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 96}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{- 8}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 5+11}{- 8}$ = $\frac{6}{- 8}$ = $- 0,75$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{121}}{- 8}$ = $\frac{- 5-11}{- 8}$ = $\frac{- 16}{- 8}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} + 5 x + 6$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} - \frac{5}{4} x - \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{8})}^{2} - (- \frac{3}{2})$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{64}$ $+$ $\frac{96}{64}$ = $\frac{121}{64}$

x_1,2 = $\frac{5}{8}$ ± $\sqrt{\frac{121}{64}}$

x₁ = $\frac{5}{8}$ - $\frac{11}{8}$ = $- \frac{6}{8}$ = -0.75

x₂ = $\frac{5}{8}$ + $\frac{11}{8}$ = $\frac{16}{8}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 0,75$ ; $2$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 x$ = $- \frac{- 6 x}{x + 1} - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

2 x

=

\frac{6 x}{x + 1} - 1

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$2 x$	=	$\frac{6 x}{x + 1} - 1$	\|⋅( $x + 1$ )
$2 x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{6 x}{x + 1} \cdot (x + 1) - 1 \cdot (x + 1)$
$2 x (x + 1)$	=	$6 x - x - 1$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 1$	=	$6 x - x - 1$
$2 x \cdot x + 2 x$	=	$6 x - x - 1$
$2 x^{2} + 2 x$	=	$5 x - 1$

2 x^{2} + 2 x

=

5 x - 1

|

- 5 x

+ 1

$2 x^{2} - 3 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3+1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{3-1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = $0,5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 3 x + 1$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{4})}^{2} - (\frac{1}{2})$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{9}{16}$ $-$ $\frac{8}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{3}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ = 0.5

x₂ = $\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,5$ ; $1$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

0 = $- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{23,5}{x + 1} + 4 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

0	=	$- \frac{x}{4 x + 4} - \frac{23,5}{x + 1} + 4 x$
0	=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{23,5}{x + 1} + 4 x$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} - \frac{23,5}{x + 1} + 4 x$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
=	$- \frac{x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + \frac{- 23,5}{x + 1} \cdot (4 (x + 1)) + 4 x \cdot (4 (x + 1))$
=	$- x - 94 + 16 x (x + 1)$
=	$16 x^{2} + 15 x - 94$

0

=

16 x^{2} + 15 x - 94

|

- 16 x^{2}

- 15 x

+ 94

$- 16 x^{2} - 15 x + 94$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{{(- 15)}^{2} - 4 \cdot (- 16) \cdot 94}}{2 \cdot (- 16)}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{225 + 6 016}}{- 32}$

x_1,2 = $\frac{+ 15 \pm \sqrt{6 241}}{- 32}$

x₁ = $\frac{15 + \sqrt{6 241}}{- 32}$ = $\frac{15+79}{- 32}$ = $\frac{94}{- 32}$ = $- \frac{47}{16}$ ≈ -2.94

x₂ = $\frac{15 - \sqrt{6 241}}{- 32}$ = $\frac{15-79}{- 32}$ = $\frac{- 64}{- 32}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 16$ " teilen:

$- 16 x^{2} - 15 x + 94$ = 0 |: $- 16$

$x^{2} + \frac{15}{16} x - \frac{47}{8}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{15}{32})}^{2} - (- \frac{47}{8})$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{47}{8}$ = $\frac{225}{1024}$ $+$ $\frac{6016}{1024}$ = $\frac{6241}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{15}{32}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{1024}}$

x₁ = $- \frac{15}{32}$ - $\frac{79}{32}$ = $- \frac{94}{32}$ = -2.9375

x₂ = $- \frac{15}{32}$ + $\frac{79}{32}$ = $\frac{64}{32}$ = 2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{47}{16}$ ; $2$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 - \frac{19}{x}$ = $- \frac{90}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 - \frac{19}{x}$	=	$- \frac{90}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} - \frac{19}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{90}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} - 19 x$	=	$- 90$

x^{2} - 19 x

=

- 90

|

+ 90

$x^{2} - 19 x + 90$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 90}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 - 360}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19+1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{19-1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = $9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{18}{2}$ = 9

x₂ = $\frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $9$ ; $10$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$a + x$ = $\frac{15}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$a + x$ = $\frac{15}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$a + x$	=	$\frac{15}{x}$	\|⋅x
$a \cdot x + x \cdot x$	=	$\frac{15}{x} \cdot x$
$a x + x^{2}$	=	$15$
$a x + x^{2} - 15$	=	0
$x^{2} + a x - 15$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 15$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -15 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = -5 würde es funktionieren, denn $3 \cdot (- 5)$ = -15

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (3 - 5)$ = $2$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 2 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

L={ $- 5$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):