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einfache Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{16}{x}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: 0

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x$ weg!

$\frac{16}{x}$	=	$x$	\|⋅( $x$ )
$\frac{16}{x} \cdot x$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x \cdot x$
$16$	=	$x^{2}$

$16$	=	$x^{2}$	\| $- 16$ $- x^{2}$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 20 x + 2}{x - 5}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $5$

D=R\{ $5$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 5$ weg!

$\frac{- 20 x + 2}{x - 5}$	=	$3 x$	\|⋅( $x - 5$ )
$\frac{- 20 x + 2}{x - 5} \cdot (x - 5)$	=	$3 x \cdot (x - 5)$
$- 20 x + 2$	=	$3 x (x - 5)$
$- 20 x + 2$	=	$3 x^{2} - 15 x$

- 20 x + 2

=

3 x^{2} - 15 x

|

- 3 x^{2}

+ 15 x

$- 3 x^{2} - 5 x + 2$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 2}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{- 6}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{5+7}{- 6}$ = $\frac{12}{- 6}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{- 6}$ = $\frac{5-7}{- 6}$ = $\frac{- 2}{- 6}$ = $\frac{1}{3}$ ≈ 0.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $\frac{1}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

0 = $- \frac{- 15}{3 x - 1} - x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $\frac{1}{3}$

D=R\{ $\frac{1}{3}$ }

0

=

\frac{15}{3 x - 1} - x - 1

Wir multiplizieren den Nenner $3 x - 1$ weg!

=	$\frac{15}{3 x - 1} - x - 1$	\|⋅( $3 x - 1$ )
=	$\frac{15}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1) - x \cdot (3 x - 1) - 1 \cdot (3 x - 1)$
=	$15 - x (3 x - 1) - 3 x + 1$
=	$- 3 x^{2} - 2 x + 16$

0

=

- 3 x^{2} - 2 x + 16

|

+ 3 x^{2}

+ 2 x

- 16

$3 x^{2} + 2 x - 16$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 16)}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 192}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{196}}{6}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 2+14}{6}$ = $\frac{12}{6}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{196}}{6}$ = $\frac{- 2-14}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$ ≈ -2.67

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{8}{3}$ ; $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{3 x + 9} + \frac{7}{3 x + 9} + x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $- 3$ }

$\frac{x}{3 x + 9} + \frac{7}{3 x + 9} + x$	=	0
$\frac{x}{3 (x + 3)} + \frac{7}{3 (x + 3)} + x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x + 3)$ weg!

$\frac{x}{3 (x + 3)} + \frac{7}{3 (x + 3)} + x$	=	\|⋅( $3 (x + 3)$ )
$\frac{x}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + \frac{7}{3 (x + 3)} \cdot (3 (x + 3)) + x \cdot (3 (x + 3))$	=
$x + 7 + 3 x (x + 3)$	=
$x + 7 + (3 x^{2} + 9 x)$	=
$3 x^{2} + 10 x + 7$	=

$3 x^{2} + 10 x + 7$ = 0

eingesetzt in die Mitternachtsformel (a-b-c-Formel):

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{16}}{6}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 10+4}{6}$ = $\frac{- 6}{6}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{16}}{6}$ = $\frac{- 10-4}{6}$ = $\frac{- 14}{6}$ = $- \frac{7}{3}$ ≈ -2.33

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- \frac{7}{3}$ ; $- 1$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

einfache Bruchgl. (quadr.)

Bruchgleichung (quadr.) 1

Bruchgleichung (quadr.) 2

doppelte Bruchgl. (quadr.)