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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{12}{x - 1}$ = $- x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$- \frac{12}{x - 1}$	=	$- x$	\|⋅( $x - 1$ )
$- \frac{12}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 12$	=	$- x \cdot (x - 1)$
$- 12$	=	$- x^{2} + x$

- 12

=

- x^{2} + x

|

+ x^{2}

- x

$x^{2} - x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1+7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{1-7}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 12)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $12$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 4 x + 12}{x + 4}$ = $3 x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 4$

D=R\{ $- 4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 4$ weg!

$\frac{- 4 x + 12}{x + 4}$	=	$3 x$	\|⋅( $x + 4$ )
$\frac{- 4 x + 12}{x + 4} \cdot (x + 4)$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$- 4 x + 12$	=	$3 x \cdot (x + 4)$
$- 4 x + 12$	=	$3 x^{2} + 12 x$

- 4 x + 12

=

3 x^{2} + 12 x

|

- 3 x^{2}

- 12 x

$- 3 x^{2} - 16 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (- 3) \cdot 12}}{2 \cdot (- 3)}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{256 + 144}}{- 6}$

x_1,2 = $\frac{+ 16 \pm \sqrt{400}}{- 6}$

x₁ = $\frac{16 + \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{16+20}{- 6}$ = $\frac{36}{- 6}$ = $- 6$

x₂ = $\frac{16 - \sqrt{400}}{- 6}$ = $\frac{16-20}{- 6}$ = $\frac{- 4}{- 6}$ = $\frac{2}{3}$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 3$ " teilen:

$- 3 x^{2} - 16 x + 12$ = 0 |: $- 3$

$x^{2} + \frac{16}{3} x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{8}{3})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $4$ = $\frac{64}{9}$ $+$ $\frac{36}{9}$ = $\frac{100}{9}$

x_1,2 = $- \frac{8}{3}$ ± $\sqrt{\frac{100}{9}}$

x₁ = $- \frac{8}{3}$ - $\frac{10}{3}$ = $- \frac{18}{3}$ = -6

x₂ = $- \frac{8}{3}$ + $\frac{10}{3}$ = $\frac{2}{3}$ = 0.66666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 6$ ; $\frac{2}{3}$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{- 10 x}{2 x + 3}$ = $- x - 1$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{3}{2}$

D=R\{ $- \frac{3}{2}$ }

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 3$ weg!

$\frac{- 10 x}{2 x + 3}$	=	$- x - 1$	\|⋅( $2 x + 3$ )
$\frac{- 10 x}{2 x + 3} \cdot (2 x + 3)$	=	$- x \cdot (2 x + 3) - 1 \cdot (2 x + 3)$
$- \frac{10 x}{1}$	=	$- x \cdot (2 x + 3) - 2 x - 3$
$- 10 x$	=	$- x \cdot (2 x + 3) - 2 x - 3$
$- 10 x$	=	$- 2 x^{2} - 5 x - 3$

- 10 x

=

- 2 x^{2} - 5 x - 3

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

+ 3

$2 x^{2} - 5 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{5+1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $1,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{4}$ = $\frac{5-1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x + 3$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x + \frac{3}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (\frac{3}{2})$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{3}{2}$ = $\frac{25}{16}$ $-$ $\frac{24}{16}$ = $\frac{1}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{1}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{1}{4}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = 1.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $1$ ; $1,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 2}{3 x - 6}$ = $- \frac{x}{3 x - 6} + 3 x$

Lösung einblenden

D=R\{ $2$ }

- \frac{2}{3 (x - 2)}

=

- \frac{x}{3 (x - 2)} + 3 x

|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $3 (x - 2)$ weg!

$- \frac{2}{3 (x - 2)}$	=	$- \frac{x}{3 (x - 2)} + 3 x$	\|⋅( $3 (x - 2)$ )
$- \frac{2}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2))$	=	$- \frac{x}{3 (x - 2)} \cdot (3 (x - 2)) + 3 x \cdot (3 (x - 2))$
$- 2$	=	$- x + 9 x \cdot (x - 2)$
$- 2$	=	$9 x^{2} - 19 x$

- 2

=

9 x^{2} - 19 x

|

- 9 x^{2}

+ 19 x

$- 9 x^{2} + 19 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{19^{2} - 4 \cdot (- 9) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 9)}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{361 - 72}}{- 18}$

x_1,2 = $\frac{- 19 \pm \sqrt{289}}{- 18}$

x₁ = $\frac{- 19 + \sqrt{289}}{- 18}$ = $\frac{- 19+17}{- 18}$ = $\frac{- 2}{- 18}$ = $\frac{1}{9}$ ≈ 0.11

x₂ = $\frac{- 19 - \sqrt{289}}{- 18}$ = $\frac{- 19-17}{- 18}$ = $\frac{- 36}{- 18}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 9$ " teilen:

$- 9 x^{2} + 19 x - 2$ = 0 |: $- 9$

$x^{2} - \frac{19}{9} x + \frac{2}{9}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{19}{18})}^{2} - (\frac{2}{9})$ = $\frac{361}{324}$ $-$ $\frac{2}{9}$ = $\frac{361}{324}$ $-$ $\frac{72}{324}$ = $\frac{289}{324}$

x_1,2 = $\frac{19}{18}$ ± $\sqrt{\frac{289}{324}}$

x₁ = $\frac{19}{18}$ - $\frac{17}{18}$ = $\frac{2}{18}$ = 0.11111111111111

x₂ = $\frac{19}{18}$ + $\frac{17}{18}$ = $\frac{36}{18}$ = 2

Lösung x= $2$ ist nicht in der Definitionsmenge!

L={ $\frac{1}{9}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + \frac{12}{x}$ = $- \frac{20}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$1 + \frac{12}{x}$	=	$- \frac{20}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$1 \cdot x^{2} + \frac{12}{x} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{20}{x^{2}} \cdot x^{2}$
$x^{2} + 12 x$	=	$- 20$

x^{2} + 12 x

=

- 20

|

+ 20

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12+8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12-8}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 6$ - $4$ = -10

x₂ = $- 6$ + $4$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + 10$ = $- \frac{a}{x}$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + 10$ = $- \frac{a}{x}$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + 10$	=	$- \frac{a}{x}$	\|⋅x
$x \cdot x + 10 \cdot x$	=	$- \frac{a}{x} \cdot x$
$x^{2} + 10 x$	=	$- a$
$x^{2} + 10 x + a$	=	0
$x^{2} + 10 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 10 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 10 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $- (2 - 12)$ = 10

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 12)$ = $- 24$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -24 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):