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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$- \frac{4 x}{x + 3}$ = $2 x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$\frac{- 4 x}{x + 3}$	=	$2 x$	\|⋅( $x + 3$ )
$\frac{- 4 x}{x + 3} \cdot (x + 3)$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$- \frac{4 x}{1}$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$- 4 x$	=	$2 x \cdot (x + 3)$
$- 4 x$	=	$2 x^{2} + 6 x$

$- 4 x$	=	$2 x^{2} + 6 x$	\| $- (2 x^{2} + 6 x)$
$- 2 x^{2} - 4 x - 6 x$	=	0
$- 2 x^{2} - 10 x$	=	0
$- 2 x \cdot (x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₂	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; 0}

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$4 x$ = $\frac{39 x - 18}{x + 3}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 3$

D=R\{ $- 3$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 3$ weg!

$4 x$	=	$\frac{39 x - 18}{x + 3}$	\|⋅( $x + 3$ )
$4 x \cdot (x + 3)$	=	$\frac{39 x - 18}{x + 3} \cdot (x + 3)$
$4 x \cdot (x + 3)$	=	$39 x - 18$
$4 x \cdot x + 4 x \cdot 3$	=	$39 x - 18$
$4 x \cdot x + 12 x$	=	$39 x - 18$
$4 x^{2} + 12 x$	=	$39 x - 18$

4 x^{2} + 12 x

=

39 x - 18

|

- 39 x

+ 18

$4 x^{2} - 27 x + 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 18}}{2 \cdot 4}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{729 - 288}}{8}$

x_1,2 = $\frac{+ 27 \pm \sqrt{441}}{8}$

x₁ = $\frac{27 + \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{27+21}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = $6$

x₂ = $\frac{27 - \sqrt{441}}{8}$ = $\frac{27-21}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = $0,75$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $4$ " teilen:

$4 x^{2} - 27 x + 18$ = 0 |: $4$

$x^{2} - \frac{27}{4} x + \frac{9}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{27}{8})}^{2} - (\frac{9}{2})$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{9}{2}$ = $\frac{729}{64}$ $-$ $\frac{288}{64}$ = $\frac{441}{64}$

x_1,2 = $\frac{27}{8}$ ± $\sqrt{\frac{441}{64}}$

x₁ = $\frac{27}{8}$ - $\frac{21}{8}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

x₂ = $\frac{27}{8}$ + $\frac{21}{8}$ = $\frac{48}{8}$ = 6

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $0,75$ ; $6$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$x$ = $- \frac{9}{x + 1} + 5$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

x

=

- \frac{9}{x + 1} + 5

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$x$	=	$- \frac{9}{x + 1} + 5$	\|⋅( $x + 1$ )
$x \cdot (x + 1)$	=	$- \frac{9}{x + 1} \cdot (x + 1) + 5 \cdot (x + 1)$
$x \cdot (x + 1)$	=	$- 9 + 5 x + 5$
$x \cdot x + x \cdot 1$	=	$- 9 + 5 x + 5$
$x \cdot x + x$	=	$- 9 + 5 x + 5$
$x^{2} + x$	=	$5 x - 4$

x^{2} + x

=

5 x - 4

|

- 5 x

+ 4

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{x}{4 x - 4} + \frac{- 11,5}{x - 1} + 2 x$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ }

$\frac{x}{4 x - 4} - \frac{11,5}{x - 1} + 2 x$	=	0
$\frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{11,5}{x - 1} + 2 x$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x - 1)$ weg!

$\frac{x}{4 (x - 1)} - \frac{11,5}{x - 1} + 2 x$	=	\|⋅( $4 (x - 1)$ )
$\frac{x}{4 (x - 1)} \cdot (4 (x - 1)) + \frac{- 11,5}{x - 1} \cdot (4 (x - 1)) + 2 x \cdot (4 (x - 1))$	=
$x - 46 + 8 x \cdot (x - 1)$	=
$x - 46 + (8 x^{2} - 8 x)$	=
$8 x^{2} - 7 x - 46$	=

$8 x^{2} - 7 x - 46$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 8 \cdot (- 46)}}{2 \cdot 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 1 472}}{16}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{1 521}}{16}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{7+39}{16}$ = $\frac{46}{16}$ = $2,875$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{1 521}}{16}$ = $\frac{7-39}{16}$ = $\frac{- 32}{16}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $8$ " teilen:

$8 x^{2} - 7 x - 46$ = 0 |: $8$

$x^{2} - \frac{7}{8} x - \frac{23}{4}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{16})}^{2} - (- \frac{23}{4})$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{23}{4}$ = $\frac{49}{256}$ $+$ $\frac{1472}{256}$ = $\frac{1521}{256}$

x_1,2 = $\frac{7}{16}$ ± $\sqrt{\frac{1521}{256}}$

x₁ = $\frac{7}{16}$ - $\frac{39}{16}$ = $- \frac{32}{16}$ = -2

x₂ = $\frac{7}{16}$ + $\frac{39}{16}$ = $\frac{46}{16}$ = 2.875

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $2,875$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{32}{x^{4}}$ = $- \frac{12}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{32}{x^{4}}$	=	$- \frac{12}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{32}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$- \frac{12}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 32$	=	$- 12 x$

x^{2} + 32

=

- 12 x

|

+ 12 x

$x^{2} + 12 x + 32$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12+4}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{- 12-4}{2}$ = $\frac{- 16}{2}$ = $- 8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 32$ = $36$ $-$ $32$ = $4$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 6$ - $2$ = -8

x₂ = $- 6$ + $2$ = -4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 8$ ; $- 4$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x + \frac{a}{x}$ = $4$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x + \frac{a}{x}$ = $4$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x + \frac{a}{x}$	=	$4$	\|⋅x
$x \cdot x + \frac{a}{x} \cdot x$	=	$4 \cdot x$
$x^{2} + a$	=	$4 x$
$x^{2} + a - 4 x$	=	0
$x^{2} - 4 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} - 4 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von -4 ist, also z.B.:

Mit p = 3 und q = 1 würde es funktionieren, denn $- (3 + 1)$ = -4

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $3 \cdot 1$ = $3$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 3 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

L={ $1$ ; $3$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):