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Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{3 x}{x - 1}$ = $x$

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $1$

D=R\{ $1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{3 x}{x - 1}$	=	$x$	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{3 x}{x - 1} \cdot (x - 1)$	=	$x \cdot (x - 1)$
$3 x$	=	$x (x - 1)$
$3 x$	=	$x^{2} - x$

$3 x$	=	$x^{2} - x$	\| $- (x^{2} - x)$
$- x^{2} + 3 x + x$	=	0
$- x^{2} + 4 x$	=	0
$x (- x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x + 4$	=	0	\| $- 4$
$- x$	=	$- 4$	\|:( $- 1$ )
x₂	=	$4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={0; $4$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$2 x$ = $\frac{- 9 x - 5}{x + 1}$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- 1$

D=R\{ $- 1$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x + 1$ weg!

$2 x$	=	$\frac{- 9 x - 5}{x + 1}$	\|⋅( $x + 1$ )
$2 x \cdot (x + 1)$	=	$\frac{- 9 x - 5}{x + 1} \cdot (x + 1)$
$2 x (x + 1)$	=	$- 9 x - 5$
$2 x \cdot x + 2 x \cdot 1$	=	$- 9 x - 5$
$2 x \cdot x + 2 x$	=	$- 9 x - 5$
$2 x^{2} + 2 x$	=	$- 9 x - 5$

2 x^{2} + 2 x

=

- 9 x - 5

|

+ 9 x

+ 5

$2 x^{2} + 11 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 40}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{81}}{4}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 11+9}{4}$ = $\frac{- 2}{4}$ = $- 0,5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{81}}{4}$ = $\frac{- 11-9}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 11 x + 5$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{11}{2} x + \frac{5}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{11}{4})}^{2} - (\frac{5}{2})$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{5}{2}$ = $\frac{121}{16}$ $-$ $\frac{40}{16}$ = $\frac{81}{16}$

x_1,2 = $- \frac{11}{4}$ ± $\sqrt{\frac{81}{16}}$

x₁ = $- \frac{11}{4}$ - $\frac{9}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{11}{4}$ + $\frac{9}{4}$ = $- \frac{2}{4}$ = -0.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ ; $- 0,5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Bestimme erst die maximale Definitionsmenge D. Löse dann die Bruchgleichung:

$\frac{7}{2 x + 5} - 5$ = $- x$

Lösung einblenden

Um die Definitionlücken (und damit die maximale Definitionsmenge) zu bestimmen, müssen wir einfach nach den Nullstellen der Nenner schauen: Hier erkennt man schnell als Nullstelle(n) der Nenner: $- \frac{5}{2}$

D=R\{ $- \frac{5}{2}$ }

\frac{7}{2 x + 5} - 5

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $2 x + 5$ weg!

$\frac{7}{2 x + 5} - 5$	=	$- x$	\|⋅( $2 x + 5$ )
$\frac{7}{2 x + 5} \cdot (2 x + 5) - 5 \cdot (2 x + 5)$	=	$- x \cdot (2 x + 5)$
$7 - 10 x - 25$	=	$- x (2 x + 5)$
$- 10 x - 18$	=	$- 2 x^{2} - 5 x$

- 10 x - 18

=

- 2 x^{2} - 5 x

|

+ 2 x^{2}

+ 5 x

$2 x^{2} - 5 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 144}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5+13}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $4,5$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{5-13}{4}$ = $\frac{- 8}{4}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - 5 x - 18$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{5}{2} x - 9$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{4})}^{2} - (- 9)$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $9$ = $\frac{25}{16}$ $+$ $\frac{144}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{5}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{5}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{8}{4}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = 4.5

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $4,5$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 46,5}{2 x + 2} + 4 x$ = $- \frac{x}{4 x + 4}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$- \frac{46,5}{2 x + 2} + 4 x$	=	$\frac{- x}{4 x + 4}$
$- \frac{46,5}{2 (x + 1)} + 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $4 (x + 1)$ weg!

$- \frac{46,5}{2 (x + 1)} + 4 x$	=	$\frac{- x}{4 (x + 1)}$	\|⋅( $4 (x + 1)$ )
$\frac{- 46,5}{2 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1)) + 4 x \cdot (4 (x + 1))$	=	$\frac{- x}{4 (x + 1)} \cdot (4 (x + 1))$
$- 93 + 16 x (x + 1)$	=	$- x$
$- 93 + (16 x^{2} + 16 x)$	=	$- x$
$16 x^{2} + 16 x - 93$	=	$- x$

16 x^{2} + 16 x - 93

=

- x

|

+ x

$16 x^{2} + 17 x - 93$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 16 \cdot (- 93)}}{2 \cdot 16}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 + 5 952}}{32}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{6 241}}{32}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{6 241}}{32}$ = $\frac{- 17+79}{32}$ = $\frac{62}{32}$ = $\frac{31}{16}$ ≈ 1.94

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{6 241}}{32}$ = $\frac{- 17-79}{32}$ = $\frac{- 96}{32}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $16$ " teilen:

$16 x^{2} + 17 x - 93$ = 0 |: $16$

$x^{2} + \frac{17}{16} x - \frac{93}{16}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{32})}^{2} - (- \frac{93}{16})$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{93}{16}$ = $\frac{289}{1024}$ $+$ $\frac{5952}{1024}$ = $\frac{6241}{1024}$

x_1,2 = $- \frac{17}{32}$ ± $\sqrt{\frac{6241}{1024}}$

x₁ = $- \frac{17}{32}$ - $\frac{79}{32}$ = $- \frac{96}{32}$ = -3

x₂ = $- \frac{17}{32}$ + $\frac{79}{32}$ = $\frac{62}{32}$ = 1.9375

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $\frac{31}{16}$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x} + \frac{20}{x^{3}}$ = $- \frac{12}{x^{2}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{3}$ weg!

$\frac{1}{x} + \frac{20}{x^{3}}$	=	$- \frac{12}{x^{2}}$	\|⋅( $x^{3}$ )
$\frac{1}{x} \cdot x^{3} + \frac{20}{x^{3}} \cdot x^{3}$	=	$- \frac{12}{x^{2}} \cdot x^{3}$
$x^{2} + 20$	=	$- 12 x$

x^{2} + 20

=

- 12 x

|

+ 12 x

$x^{2} + 12 x + 20$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 12 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 12 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12+8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 12 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 12-8}{2}$ = $\frac{- 20}{2}$ = $- 10$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $6^{2} - 20$ = $36$ $-$ $20$ = $16$

x_1,2 = $- 6$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 6$ - $4$ = -10

x₂ = $- 6$ + $4$ = -2

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 10$ ; $- 2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$\frac{a}{x} + x$ = $- 7$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$\frac{a}{x} + x$ = $- 7$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$\frac{a}{x} + x$	=	$- 7$	\|⋅x
$\frac{a}{x} \cdot x + x \cdot x$	=	$- 7 \cdot x$
$a + x^{2}$	=	$- 7 x$
$a + x^{2} + 7 x$	=	0
$x^{2} + 7 x + a$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + 7 x + a$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Summe das Negative von 7 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -9 würde es funktionieren, denn $- (2 - 9)$ = 7

Genauso muss dann auch a = p⋅q gelten, also a = $2 \cdot (- 9)$ = $- 18$

Zur Probe können wir ja noch mit a = -18 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 7 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7+11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 7-11}{2}$ = $\frac{- 18}{2}$ = $- 9$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{49}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $- 9$ ; $2$ }

Aufgabenbeispiele von Bruchgleichungen

Bruchgleichungen (quadr.) einfach

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):