f(0) = $108$

f(1) = $108$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(2) = $108$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(3) = $108$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

f(4) = $108$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$ ⋅ $\mathrm{1,3}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,3}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,3}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,3}$-fache, also auf $130$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 130% - 100% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=12 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 16% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 16% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{16}{100}$⋅B = (1 - $\frac{16}{100}$) ⋅ B = 0,84 ⋅ B. Somit ist das a=0,84.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=5 Jahre, also f(5):

f(5) = $12\cdot {\mathrm{0,84}}^5$ ≈ 5,019.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2:

$12\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$2$	|:$12$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\frac{1}{6}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{6}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{6}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,2766}$

Nach ca. 10,277 Jahre ist also der Bestand = 2 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=5000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Wochen der Bestand 6160.5 Nutzer ist, also f(2) = 6160.5. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot a^t$ ein:

$5000a^2$	=	$6\mathrm{160,5}$	|:$5000$
$a^2$	=	$\mathrm{1,2321}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,2321}}$	= $-\mathrm{1,11}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,2321}}$	= $\mathrm{1,11}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,11}$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=5 Wochen, also f(5):

f(5) = $5000\cdot {\mathrm{1,11}}^5$ ≈ 8425,291.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer ist, also f(t) = 12000:

$5000\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$12000$	|:$5000$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{12}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{12}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{12}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{12}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,3889}$

Nach ca. 8,389 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 12000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$) ⋅ B = 0,94 ⋅ B. Somit ist das a=0,94.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,94}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 37.7 kg ist, also f(10) = 37.7. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,94}}^t$ ein:

c ⋅ 0.94¹⁰ = 37.7

c ⋅ 0.53862 = 37.7 | : 0.53862

c = 70

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,94}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Tage, also f(6):

f(6) = $70\cdot {\mathrm{0,94}}^6$ ≈ 48,291.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$70\cdot {\mathrm{0,94}}^t$	=	$30$	|:$70$
${\mathrm{0,94}}^t$	=	$\frac{3}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,94}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,94}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,94}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,6936}$

Nach ca. 13,694 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,085}}^t$ ablesen: a=1.085.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.085($2$) ≈ 8.5 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,14.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.14($2$) ≈ 5.29 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 8.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{8,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{8,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,92}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{8,3}}}$	≈ $\mathrm{0,92}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,92}$ ≈ 0.92, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,92}}^t$