f(0) = $5$

f(1) = $5$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(2) = $5$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(3) = $5$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

f(4) = $5$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$ ⋅ $\mathrm{0,85}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,85}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,85}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,85}$-fache, also auf $85$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 85% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=80 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 15% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 15% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{15}{100}$⋅B = (1 - $\frac{15}{100}$) ⋅ B = 0,85 ⋅ B. Somit ist das a=0,85.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $80\cdot {\mathrm{0,85}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=8 Tage, also f(8):

f(8) = $80\cdot {\mathrm{0,85}}^8$ ≈ 21,799.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$80\cdot {\mathrm{0,85}}^t$	=	$10$	|:$80$
${\mathrm{0,85}}^t$	=	$\frac{1}{8}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,85}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{8}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{8}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,85}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{8}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,85}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{12,7951}$

Nach ca. 12,795 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Jahre der Bestand 2163.2 € ist, also f(2) = 2163.2. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot a^t$ ein:

$2000a^2$	=	$2\mathrm{163,2}$	|:$2000$
$a^2$	=	$\mathrm{1,0816}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,0816}}$	= $-\mathrm{1,04}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,0816}}$	= $\mathrm{1,04}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,04}$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $2000\cdot {\mathrm{1,04}}^{10}$ ≈ 2960,489.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 2400 € ist, also f(t) = 2400:

$2000\cdot {\mathrm{1,04}}^t$	=	$2400$	|:$2000$
${\mathrm{1,04}}^t$	=	$\frac{6}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,04}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$	=	$\lg \left(\frac{6}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,04}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{6}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,04}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{4,6486}$

Nach ca. 4,649 Jahre ist also der Kontostand = 2400 €.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 3.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3.8}{100}$) ⋅ B = 0,962 ⋅ B. Somit ist das a=0,962.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,962}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 37.33 Millionen Einwohner ist, also f(10) = 37.33. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,962}}^t$ ein:

c ⋅ 0.962¹⁰ = 37.33

c ⋅ 0.67881 = 37.33 | : 0.67881

c = 55

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,962}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $55\cdot {\mathrm{0,962}}^9$ ≈ 38,81.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 35 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 35:

$55\cdot {\mathrm{0,962}}^t$	=	$35$	|:$55$
${\mathrm{0,962}}^t$	=	$\frac{7}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,962}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,962}\right)$	=	$\lg \left(\frac{7}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,962}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{7}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,962}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,6669}$

Nach ca. 11,667 Jahre ist also der Bestand = 35 Millionen Einwohner.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,932}}^t$ ablesen: a=0.932.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.932($\frac{1}{2}$) ≈ 9.84 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 4.8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4.8% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4.8}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4.8}{100}$) ⋅ B = 0,952 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,952.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.952($\frac{1}{2}$) ≈ 14.09 Tage

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 10 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 3.7 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,7}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{3,7}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{3,7}}}$ ≈ 0.83, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,83}}^t$