f(0) = $3$

f(1) = $3$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(2) = $3$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(3) = $3$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

f(4) = $3$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$ ⋅ $\mathrm{0,5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,5}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,5}$-fache, also auf $50$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 50% = 50 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=2000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$) ⋅ B = 1,25 ⋅ B. Somit ist das a=1,25.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $2000\cdot {\mathrm{1,25}}^{11}$ ≈ 23283,064.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 42000 Nutzer ist, also f(t) = 42000:

$2000\cdot {\mathrm{1,25}}^t$	=	$42000$	|:$2000$
${\mathrm{1,25}}^t$	=	$21$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,25}}^t\right)$	=	$\lg \left(21\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$	=	$\lg \left(21\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,25}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(21\right)}{\lg \left(\mathrm{1,25}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,6438}$

Nach ca. 13,644 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 42000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 46.03 Millionen Einwohner ist, also f(8) = 46.03. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot a^t$ ein:

$55a^8$	=	$\mathrm{46,03}$	|:$55$
$a^8$	=	$\mathrm{0,83691}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{0,83691}}$	≈ $-\mathrm{0,978}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{0,83691}}$	≈ $\mathrm{0,978}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,978}$ ≈ 0.978 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,978}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $55\cdot {\mathrm{0,978}}^6$ ≈ 48,128.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 47.1 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 47.1:

$55\cdot {\mathrm{0,978}}^t$	=	$\mathrm{47,1}$	|:$55$
${\mathrm{0,978}}^t$	=	$\mathrm{0,8564}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,978}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8564}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,978}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,8564}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,978}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,8564}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,978}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,9685}$

Nach ca. 6,969 Jahre ist also der Bestand = 47.1 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 13% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 13% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{13}{100}$⋅B = (1 + $\frac{13}{100}$) ⋅ B = 1,13 ⋅ B. Somit ist das a=1,13.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,13}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Wochen der Bestand 16655.61 Nutzer ist, also f(6) = 16655.61. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,13}}^t$ ein:

c ⋅ 1.13⁶ = 16655.61

c ⋅ 2.08195 = 16655.61 | : 2.08195

c = 8000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=8 Wochen, also f(8):

f(8) = $8000\cdot {\mathrm{1,13}}^8$ ≈ 21267,554.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 48000 Nutzer ist, also f(t) = 48000:

$8000\cdot {\mathrm{1,13}}^t$	=	$48000$	|:$8000$
${\mathrm{1,13}}^t$	=	$6$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,13}}^t\right)$	=	$\lg \left(6\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$	=	$\lg \left(6\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,13}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(6\right)}{\lg \left(\mathrm{1,13}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,6604}$

Nach ca. 14,66 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 48000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,863}}^t$ ablesen: a=0.863.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.863($\frac{1}{2}$) ≈ 4.7 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 5% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{5}{100}$⋅B = (1 - $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 0,95 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,95.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.95($\frac{1}{2}$) ≈ 13.51 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 26 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 35 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{35}$	=	$2$	|
$a$	=	$\sqrt[35]{2}$

Das gesuchte a ist somit $\sqrt[35]{2}$ ≈ 1.02, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $26\cdot {\mathrm{1,02}}^t$