f(0) = $125$

f(1) = $125$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(2) = $125$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(3) = $125$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

f(4) = $125$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$ ⋅ $\mathrm{0,95}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,95}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,95}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,95}$-fache, also auf $95$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 95% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=90 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $90\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $90\cdot {\mathrm{0,91}}^4$ ≈ 61,717.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 10 kg ist, also f(t) = 10:

$90\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$10$	|:$90$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\frac{1}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{23,2977}$

Nach ca. 23,298 Tage ist also der Bestand = 10 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 6 Jahre der Bestand 4.34 Millionen Insekten ist, also f(6) = 4.34. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^6$	=	$\mathrm{4,34}$	|:$10$
$a^6$	=	$\frac{\mathrm{4,34}}{10}$	|
a1	=	$-\sqrt[6]{\frac{\mathrm{4,34}}{10}}$	≈ $-\mathrm{0,87}$
a2	=	$\sqrt[6]{\frac{\mathrm{4,34}}{10}}$	≈ $\mathrm{0,87}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,87}$ ≈ 0.87 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,87}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=7 Jahre, also f(7):

f(7) = $10\cdot {\mathrm{0,87}}^7$ ≈ 3,773.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2.9 Millionen Insekten ist, also f(t) = 2.9:

$10\cdot {\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{2,9}$	|:$10$
${\mathrm{0,87}}^t$	=	$\mathrm{0,29}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,87}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,29}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,29}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,87}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,29}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,87}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,8888}$

Nach ca. 8,889 Jahre ist also der Bestand = 2.9 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 14% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 14% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{14}{100}$⋅B = (1 + $\frac{14}{100}$) ⋅ B = 1,14 ⋅ B. Somit ist das a=1,14.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 39.51 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 39.51. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,14}}^t$ ein:

c ⋅ 1.14⁶ = 39.51

c ⋅ 2.19497 = 39.51 | : 2.19497

c = 18

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $18\cdot {\mathrm{1,14}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $18\cdot {\mathrm{1,14}}^4$ ≈ 30,401.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 118 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 118:

$18\cdot {\mathrm{1,14}}^t$	=	$118$	|:$18$
${\mathrm{1,14}}^t$	=	$\frac{59}{9}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,14}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{59}{9}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$	=	$\lg \left(\frac{59}{9}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,14}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{59}{9}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,14}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,3504}$

Nach ca. 14,35 Stunden ist also der Bestand = 118 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,031}}^t$ ablesen: a=1.031.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.031($2$) ≈ 22.7 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 25% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 25% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{25}{100}$⋅B = (1 + $\frac{25}{100}$) ⋅ B = 1,25 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,25.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.25($2$) ≈ 3.11 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 40 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 9.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{9,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{9,6}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{9,6}}}$ ≈ 0.93, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,93}}^t$