f(0) = $5$

f(1) = $5$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $5$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $5$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $5$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 1,18 ⋅ B. Somit ist das a=1,18.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=9 Wochen, also f(9):

f(9) = $8000\cdot {\mathrm{1,18}}^9$ ≈ 35483,631.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 208000 Nutzer ist, also f(t) = 208000:

$8000\cdot {\mathrm{1,18}}^t$	=	$208000$	|:$8000$
${\mathrm{1,18}}^t$	=	$26$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,18}}^t\right)$	=	$\lg \left(26\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$	=	$\lg \left(26\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,18}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(26\right)}{\lg \left(\mathrm{1,18}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{19,6847}$

Nach ca. 19,685 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 208000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=21 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $21\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 11 Stunden der Bestand 66.19 Millionen Bakterien ist, also f(11) = 66.19. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $21\cdot a^t$ ein:

$21a^{11}$	=	$\mathrm{66,19}$	|:$21$
$a^{11}$	=	$\mathrm{3,1519}$	|
$a$	=	$\sqrt[11]{\mathrm{3,1519}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[11]{\mathrm{3,1519}}$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $21\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Stunden, also f(4):

f(4) = $21\cdot {\mathrm{1,11}}^4$ ≈ 31,879.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 51 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 51:

$21\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$51$	|:$21$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{17}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{17}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{17}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{8,5023}$

Nach ca. 8,502 Stunden ist also der Bestand = 51 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B. Somit ist das a=1,11.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 12.79 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 12.79. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,11}}^t$ ein:

c ⋅ 1.11⁹ = 12.79

c ⋅ 2.55804 = 12.79 | : 2.55804

c = 5

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $5\cdot {\mathrm{1,11}}^{10}$ ≈ 14,197.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 9.4 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 9.4:

$5\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$\mathrm{9,4}$	|:$5$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\mathrm{1,88}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,88}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,88}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,88}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,049}$

Nach ca. 6,049 Stunden ist also der Bestand = 9.4 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,094}}^t$ ablesen: a=1.094.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.094($2$) ≈ 7.72 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 2% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{2}{100}$⋅B = (1 + $\frac{2}{100}$) ⋅ B = 1,02 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,02.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.02($2$) ≈ 35 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 4.3 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{4,3}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
a1	=	$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,3}}}$	≈ $-\mathrm{0,851}$
a2	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{4,3}}}$	≈ $\mathrm{0,851}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{0,851}$ ≈ 0.85, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,85}}^t$