f(0) = $156$

f(1) = $156$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(2) = $156$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(3) = $156$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

f(4) = $156$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$ ⋅ $\mathrm{0,7}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{0,7}$ multipliziert. Da $\mathrm{0,7}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\mathrm{0,7}$-fache, also auf $70$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 70% = 30 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=25 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 35% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 35% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{35}{100}$⋅B = (1 + $\frac{35}{100}$) ⋅ B = 1,35 ⋅ B. Somit ist das a=1,35.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $25\cdot {\mathrm{1,35}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Stunden, also f(12):

f(12) = $25\cdot {\mathrm{1,35}}^{12}$ ≈ 916,105.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 2025 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 2025:

$25\cdot {\mathrm{1,35}}^t$	=	$2025$	|:$25$
${\mathrm{1,35}}^t$	=	$81$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,35}}^t\right)$	=	$\lg \left(81\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$	=	$\lg \left(81\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,35}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(81\right)}{\lg \left(\mathrm{1,35}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{14,6431}$

Nach ca. 14,643 Stunden ist also der Bestand = 2025 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=11 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 2.73 Millionen Insekten ist, also f(8) = 2.73. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot a^t$ ein:

$11a^8$	=	$\mathrm{2,73}$	|:$11$
$a^8$	=	$\frac{\mathrm{2,73}}{11}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\frac{\mathrm{2,73}}{11}}$	≈ $-\mathrm{0,84}$
a2	=	$\sqrt[8]{\frac{\mathrm{2,73}}{11}}$	≈ $\mathrm{0,84}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,84}$ ≈ 0.84 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $11\cdot {\mathrm{0,84}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $11\cdot {\mathrm{0,84}}^{11}$ ≈ 1,616.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 1 Millionen Insekten ist, also f(t) = 1:

$11\cdot {\mathrm{0,84}}^t$	=	$1$	|:$11$
${\mathrm{0,84}}^t$	=	$\frac{1}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,84}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,84}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,84}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{13,7531}$

Nach ca. 13,753 Jahre ist also der Bestand = 1 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 0,89 ⋅ B. Somit ist das a=0,89.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 15.59 kg ist, also f(10) = 15.59. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,89}}^t$ ein:

c ⋅ 0.89¹⁰ = 15.59

c ⋅ 0.31182 = 15.59 | : 0.31182

c = 50

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,89}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $50\cdot {\mathrm{0,89}}^4$ ≈ 31,371.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$50\cdot {\mathrm{0,89}}^t$	=	$20$	|:$50$
${\mathrm{0,89}}^t$	=	$\frac{2}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,89}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,89}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,89}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,8629}$

Nach ca. 7,863 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,066}}^t$ ablesen: a=1.066.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.066($2$) ≈ 10.85 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 26% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 26% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{26}{100}$⋅B = (1 + $\frac{26}{100}$) ⋅ B = 1,26 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,26.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.26($2$) ≈ 3 Stunden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 100 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 9.6 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{9,6}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{9,6}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{9,6}}}$ ≈ 0.93, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,93}}^t$