f(0) = $139$

f(1) = $139$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(2) = $139$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(3) = $139$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

f(4) = $139$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$ ⋅ $\mathrm{1,05}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,05}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,05}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,05}$-fache, also auf $105$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 105% - 100% = 5 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=55 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 1.2% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 1.2% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{1.2}{100}$⋅B = (1 - $\frac{1.2}{100}$) ⋅ B = 0,988 ⋅ B. Somit ist das a=0,988.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $55\cdot {\mathrm{0,988}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=6 Jahre, also f(6):

f(6) = $55\cdot {\mathrm{0,988}}^6$ ≈ 51,157.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 45 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 45:

$55\cdot {\mathrm{0,988}}^t$	=	$45$	|:$55$
${\mathrm{0,988}}^t$	=	$\frac{9}{11}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,988}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{11}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,988}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{11}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,988}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{16,622}$

Nach ca. 16,622 Jahre ist also der Bestand = 45 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=1000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 7 Wochen der Bestand 4022.71 Nutzer ist, also f(7) = 4022.71. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot a^t$ ein:

$1000a^7$	=	$4\mathrm{022,71}$	|:$1000$
$a^7$	=	$\mathrm{4,02271}$	|
$a$	=	$\sqrt[7]{\mathrm{4,02271}}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\sqrt[7]{\mathrm{4,02271}}$ ≈ 1.22 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $1000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=6 Wochen, also f(6):

f(6) = $1000\cdot {\mathrm{1,22}}^6$ ≈ 3297,304.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 1800 Nutzer ist, also f(t) = 1800:

$1000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$	=	$1800$	|:$1000$
${\mathrm{1,22}}^t$	=	$\frac{9}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,22}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$	=	$\lg \left(\frac{9}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,22}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{9}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,22}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{2,9559}$

Nach ca. 2,956 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 1800 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 5% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 5% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{5}{100}$⋅B = (1 + $\frac{5}{100}$) ⋅ B = 1,05 ⋅ B. Somit ist das a=1,05.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 6 Stunden der Bestand 16.08 Millionen Bakterien ist, also f(6) = 16.08. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,05}}^t$ ein:

c ⋅ 1.05⁶ = 16.08

c ⋅ 1.3401 = 16.08 | : 1.3401

c = 12

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $12\cdot {\mathrm{1,05}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $12\cdot {\mathrm{1,05}}^{13}$ ≈ 22,628.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 13.2 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 13.2:

$12\cdot {\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{13,2}$	|:$12$
${\mathrm{1,05}}^t$	=	$\mathrm{1,1}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,05}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{1,1}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,05}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{1,1}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,05}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9535}$

Nach ca. 1,954 Stunden ist also der Bestand = 13.2 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,964}}^t$ ablesen: a=0.964.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.964($\frac{1}{2}$) ≈ 18.91 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 11% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 11% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{11}{100}$⋅B = (1 + $\frac{11}{100}$) ⋅ B = 1,11 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,11.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.11($2$) ≈ 6.64 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 17 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 2.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{2,5}}$	=	$2$	|
a1	=	$-2^{\frac{1}{\mathrm{2,5}}}$	≈ $-\mathrm{1,32}$
a2	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{2,5}}}$	≈ $\mathrm{1,32}$

Das gesuchte a ist somit $\mathrm{1,32}$ ≈ 1.32, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,32}}^t$