f(0) = $141$

f(1) = $141$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(2) = $141$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(3) = $141$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

f(4) = $141$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$ ⋅ $\frac{51}{50}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{51}{50}$ multipliziert. Da $\frac{51}{50}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\frac{51}{50}$-fache (oder auf das $\frac{102}{100}$-fache), also auf $102$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 102% - 100% = 2 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 2.6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 2.6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{2.6}{100}$⋅B = (1 - $\frac{2.6}{100}$) ⋅ B = 0,974 ⋅ B. Somit ist das a=0,974.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,974}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Jahre, also f(10):

f(10) = $70\cdot {\mathrm{0,974}}^{10}$ ≈ 53,788.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 Millionen Einwohner ist, also f(t) = 40:

$70\cdot {\mathrm{0,974}}^t$	=	$40$	|:$70$
${\mathrm{0,974}}^t$	=	$\frac{4}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,974}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$	=	$\lg \left(\frac{4}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,974}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{4}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,974}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{21,2426}$

Nach ca. 21,243 Jahre ist also der Bestand = 40 Millionen Einwohner.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=10 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 4 Jahre der Bestand 6.56 Millionen Insekten ist, also f(4) = 6.56. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot a^t$ ein:

$10a^4$	=	$\mathrm{6,56}$	|:$10$
$a^4$	=	$\mathrm{0,656}$	|
a1	=	$-\sqrt[4]{\mathrm{0,656}}$	≈ $-\mathrm{0,9}$
a2	=	$\sqrt[4]{\mathrm{0,656}}$	≈ $\mathrm{0,9}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{0,9}$ ≈ 0.9 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $10\cdot {\mathrm{0,9}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $10\cdot {\mathrm{0,9}}^{12}$ ≈ 2,824.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 3.5 Millionen Insekten ist, also f(t) = 3.5:

$10\cdot {\mathrm{0,9}}^t$	=	$\mathrm{3,5}$	|:$10$
${\mathrm{0,9}}^t$	=	$\mathrm{0,35}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,9}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,35}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,35}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,9}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,35}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,9}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,9641}$

Nach ca. 9,964 Jahre ist also der Bestand = 3.5 Millionen Insekten.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 23% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 23% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{23}{100}$⋅B = (1 + $\frac{23}{100}$) ⋅ B = 1,23 ⋅ B. Somit ist das a=1,23.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 9 Stunden der Bestand 128.88 Millionen Bakterien ist, also f(9) = 128.88. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,23}}^t$ ein:

c ⋅ 1.23⁹ = 128.88

c ⋅ 6.44386 = 128.88 | : 6.44386

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{1,23}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=10 Stunden, also f(10):

f(10) = $20\cdot {\mathrm{1,23}}^{10}$ ≈ 158,519.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 30:

$20\cdot {\mathrm{1,23}}^t$	=	$30$	|:$20$
${\mathrm{1,23}}^t$	=	$\frac{3}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,23}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,23}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,23}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{1,9586}$

Nach ca. 1,959 Stunden ist also der Bestand = 30 Millionen Bakterien.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,08}}^t$ ablesen: a=1.08.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.08($2$) ≈ 9.01 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Zunahme um 22% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 22% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{22}{100}$⋅B = (1 + $\frac{22}{100}$) ⋅ B = 1,22 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,22.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.22($2$) ≈ 3.49 Wochen

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 50 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5.9 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,9}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,9}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,9}}}$ ≈ 0.89, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $50\cdot {\mathrm{0,89}}^t$