f(0) = $82$

f(1) = $82$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(2) = $82$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(3) = $82$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

f(4) = $82$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$ ⋅ $\mathrm{1,15}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\mathrm{1,15}$ multipliziert. Da $\mathrm{1,15}$ > 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt größer, und zwar auf das $\mathrm{1,15}$-fache, also auf $115$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Zunahme beträgt also 115% - 100% = 15 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=70 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 12% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 12% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{12}{100}$⋅B = (1 - $\frac{12}{100}$) ⋅ B = 0,88 ⋅ B. Somit ist das a=0,88.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,88}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $70\cdot {\mathrm{0,88}}^{13}$ ≈ 13,285.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 30 kg ist, also f(t) = 30:

$70\cdot {\mathrm{0,88}}^t$	=	$30$	|:$70$
${\mathrm{0,88}}^t$	=	$\frac{3}{7}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,88}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{7}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$	=	$\lg \left(\frac{3}{7}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,88}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{3}{7}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,88}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{6,6281}$

Nach ca. 6,628 Tage ist also der Bestand = 30 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=17 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 2 Stunden der Bestand 20.95 Millionen Bakterien ist, also f(2) = 20.95. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot a^t$ ein:

$17a^2$	=	$\mathrm{20,95}$	|:$17$
$a^2$	=	$\mathrm{1,23235}$	|
a1	=	$-\sqrt{\mathrm{1,23235}}$	≈ $-\mathrm{1,11}$
a2	=	$\sqrt{\mathrm{1,23235}}$	≈ $\mathrm{1,11}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,11}$ ≈ 1.11 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $17\cdot {\mathrm{1,11}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Stunden, also f(13):

f(13) = $17\cdot {\mathrm{1,11}}^{13}$ ≈ 66,016.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 57 Millionen Bakterien ist, also f(t) = 57:

$17\cdot {\mathrm{1,11}}^t$	=	$57$	|:$17$
${\mathrm{1,11}}^t$	=	$\frac{57}{17}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,11}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{17}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$	=	$\lg \left(\frac{57}{17}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,11}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{57}{17}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,11}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{11,5929}$

Nach ca. 11,593 Stunden ist also der Bestand = 57 Millionen Bakterien.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,91}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Tage der Bestand 38.94 kg ist, also f(10) = 38.94. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,91}}^t$ ein:

c ⋅ 0.91¹⁰ = 38.94

c ⋅ 0.38942 = 38.94 | : 0.38942

c = 100

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=11 Tage, also f(11):

f(11) = $100\cdot {\mathrm{0,91}}^{11}$ ≈ 35,437.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 50 kg ist, also f(t) = 50:

$100\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$50$	|:$100$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{7,3496}$

Nach ca. 7,35 Tage ist also der Bestand = 50 kg.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,084}}^t$ ablesen: a=1.084.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.084($2$) ≈ 8.59 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 11.9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 11.9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{11.9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{11.9}{100}$) ⋅ B = 0,881 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,881.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.881($\frac{1}{2}$) ≈ 5.47 Tage

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 5000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.5 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,5}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,5}}}$ ≈ 1.22, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $5000\cdot {\mathrm{1,22}}^t$