f(0) = $14$

f(1) = $14$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(2) = $14$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(3) = $14$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

f(4) = $14$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$ ⋅ $\frac{3}{5}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{3}{5}$ multipliziert. Da $\frac{3}{5}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{3}{5}$-fache (oder auf das $\frac{60}{100}$-fache), also auf $60$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 60% = 40 %

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=40 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 7% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 7% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{7}{100}$⋅B = (1 - $\frac{7}{100}$) ⋅ B = 0,93 ⋅ B. Somit ist das a=0,93.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $40\cdot {\mathrm{0,93}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $40\cdot {\mathrm{0,93}}^{13}$ ≈ 15,572.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 20 kg ist, also f(t) = 20:

$40\cdot {\mathrm{0,93}}^t$	=	$20$	|:$40$
${\mathrm{0,93}}^t$	=	$\frac{1}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,93}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$	=	$\lg \left(\frac{1}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,93}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{1}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,93}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,5513}$

Nach ca. 9,551 Tage ist also der Bestand = 20 kg.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 44716.05 Nutzer ist, also f(8) = 44716.05. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot a^t$ ein:

$8000a^8$	=	$44\mathrm{716,05}$	|:$8000$
$a^8$	=	$\mathrm{5,58951}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{5,58951}}$	= $-\mathrm{1,24}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{5,58951}}$	= $\mathrm{1,24}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,24}$ ≈ 1.24 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=10 Wochen, also f(10):

f(10) = $8000\cdot {\mathrm{1,24}}^{10}$ ≈ 68755,404.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 58000 Nutzer ist, also f(t) = 58000:

$8000\cdot {\mathrm{1,24}}^t$	=	$58000$	|:$8000$
${\mathrm{1,24}}^t$	=	$\frac{29}{4}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,24}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{29}{4}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$	=	$\lg \left(\frac{29}{4}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,24}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{29}{4}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,24}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,2092}$

Nach ca. 9,209 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 58000 Nutzer.

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 19% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 19% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{19}{100}$⋅B = (1 + $\frac{19}{100}$) ⋅ B = 1,19 ⋅ B. Somit ist das a=1,19.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,19}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 12 Wochen der Bestand 16128.48 Nutzer ist, also f(12) = 16128.48. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,19}}^t$ ein:

c ⋅ 1.19¹² = 16128.48

c ⋅ 8.06424 = 16128.48 | : 8.06424

c = 2000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $2000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=11 Wochen, also f(11):

f(11) = $2000\cdot {\mathrm{1,19}}^{11}$ ≈ 13553,347.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer ist, also f(t) = 5000:

$2000\cdot {\mathrm{1,19}}^t$	=	$5000$	|:$2000$
${\mathrm{1,19}}^t$	=	$\frac{5}{2}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,19}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$	=	$\lg \left(\frac{5}{2}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,19}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{5}{2}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,19}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{5,2675}$

Nach ca. 5,268 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 5000 Nutzer.

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,106}}^t$ ablesen: a=1.106.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.106($2$) ≈ 6.88 (Zeiteinheiten)

Die prozentuale Abnahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 3% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{3}{100}$⋅B = (1 - $\frac{3}{100}$) ⋅ B = 0,97 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=0,97.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also T_H = log_0.97($\frac{1}{2}$) ≈ 22.76 Jahre

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 8000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 3.3 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{3,3}}$	=	$2$	|
$a$	=	$2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$

Das gesuchte a ist somit $2^{\frac{1}{\mathrm{3,3}}}$ ≈ 1.23, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $8000\cdot {\mathrm{1,23}}^t$