Aufgabenbeispiele von Antiproportionale Zuordnung
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Zweisatz (antiproportional)
Beispiel:
Bei einer großen Baustelle muss das Erdreich der Baugrube abtransportiert werden. 1 Lastwagen müsste dafür 24 mal fahren.
Wie oft müssten 6 LKWs fahren?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Um von 1 Lastwagen in der ersten Zeile auf 6 Lastwagen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir mit 6 multiplizieren. Wegen des antiproportionalen Zusammenhangs der beiden Größen müssen wir aber auf der rechten Seite die 24 Fuhren durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 6 Lastwagen entspricht:
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⋅ 6
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: 6
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⋅ 6
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: 6
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 6 Lastwagen entspricht: 4 Fuhren
Dreisatz (antiproportional)
Beispiel:
Wenn Frau Baumann so Auto fährt, dass sie 9 Liter pro 100km verbraucht, kommt sie mit einer Tankfüllung 500 km weit.
Wie weit würde sie mit einer Tankfüllung kommen, wenn sie mit einem "15 Liter/100km "-Schnitt fahren würde?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Liter pro 100km:
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Um von 9 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 3 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 500 km nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Liter pro 100km links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 1500 km in der mittleren Zeile durch 5 dividieren:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Liter pro 100km entspricht: 300 km
Tabelle (antiproportional)
Beispiel:
Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem antiproportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.
| 5 Liter pro 100km | 800 km |
| ? | ? |
| 4 Liter pro 100km | ? |
Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Liter pro 100km in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 Liter pro 100km teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 4 sein, also der ggT(5,4) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 Liter pro 100km:
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Um von 5 Liter pro 100km in der ersten Zeile auf 1 Liter pro 100km in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 800 km nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 Liter pro 100km links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 Liter pro 100km in der mittleren Zeile mit 4 multiplizieren, um auf die 4 Liter pro 100km in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Auch hier müssen wir auf der rechten Seite wieder aufgrund des antiproportionalen Zusammenhangs das Rechenzeichen umdrehen, also die 4000 km in der mittleren Zeile durch 4 dividieren:
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: 5
⋅ 4
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⋅ 5
: 4
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 4 Liter pro 100km entspricht: 1000 km
Antiproportionalität überprüfen
Beispiel:
Prüfe, ob es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang handelt; falls nicht, korrigiere die Werte.
Wir überprüfen zuerst, ob die 202 km den 30 Liter pro 100km entsprechen.
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: 2
⋅ 3
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⋅ 2
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 202 km (für 30 Liter pro 100km) war also falsch, richtig wäre 200 km gewesen.
Jetzt überprüfen wir, ob die 1000 km den 6 Liter pro 100km entsprechen.
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: 10
⋅ 3
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⋅ 10
: 3
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Der urpsrünglich vorgegebene Wert 1000 km (für 6 Liter pro 100km) war also korrekt.
Dreisatz (antiprop.) beide Richtungen
Beispiel:
Wenn 9 Personen das Schulhaus putzen, brauchen sie dafür 5 h.
Wie lange bräuchten 15 Personen hierfür?
Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 9 h putzen müsste?
Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Personen in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 9 Personen teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 9 und von 15 sein, also der ggT(9,15) = 3.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 3 Personen:
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Um von 9 Personen in der ersten Zeile auf 3 Personen in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 3 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 5 h nicht durch 3 teilen, sondern mit 3 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 3 Personen links entspricht:
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: 3
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⋅ 3
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Jetzt müssen wir ja wieder die 3 Personen in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 15 Personen in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 3
⋅ 5
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⋅ 3
: 5
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 15 Personen entspricht: 3 h
Für die andere Frage (Wie viele Personen bräuchte man, damit jeder 9 h putzen müsste?) vertauschen wir die linke mit der rechten Spalte in der Tabelle, weil wir jetzt ja zwei "h"-Werte haben und nach einem "Personen"-Wert gesucht wird:
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Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die h in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 5 h teilen müssen.) Diese Zahl sollte eine Teiler von 5 und von 9 sein, also der ggT(5,9) = 1.
Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 1 h:
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Um von 5 h in der ersten Zeile auf 1 h in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 5 teilen. Weil die zwei Größen ja aber antiproportional sind, müssen wir auf der anderen Seite die 9 Personen nicht durch 5 teilen, sondern mit 5 multiplizieren um auf den Wert zu kommen, der den 1 h links entspricht:
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: 5
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⋅ 5
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Jetzt müssen wir ja wieder die 1 h in der mittleren Zeile mit 9 multiplizieren, um auf die 9 h in der dritten Zeile zu kommen. Auch das muss links wie rechts durchgeführt werden:
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: 5
⋅ 9
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⋅ 5
: 9
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Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 9 h entspricht: 5 Personen
Wert bei Anti-Proport. (Anwendungen)
Beispiel:
Auf einer Großbaustelle müssen unglaubliche Mengen an Aushub abtransportiert werden. Dabei brauchen 4 LKWs genau 10 Fahrten. Wieviele Fahrten bräuchten 5 LKWs durchschnittlich?(Bitte auf eine Stelle hinterm Komma runden, auch wenn es inhaltlich keinen Sinn macht.)
Da die Zuordnung der beiden Größen antiproportional ist, schreiben wir die Werte am besten mal in eine Tabelle:
| LKW-Anzahl | Fahrten-Anzahl |
|---|---|
| 4 LKWs | 10 Fahrten |
| ( : 4 ) | ( ⋅ 4 ) |
| 1 LKWs | Fahrten |
| ( ⋅ 5 ) | ( : 5 ) |
| 5 LKWs | Fahrten |
Die gesuchte Fahrten-Anzahl ist also = Fahrten