Vergleich von $\frac{3}{5}$ und $\frac{2}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also $\frac{3}{5}$ > $\frac{2}{5}$

Vergleich von $\frac{4}{7}$ und $\frac{1}{2}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{4}{7}$ = $\frac{8}{14}$

$\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{14}$

Also gilt: $\frac{4}{7}$ = $\frac{8}{14}$ > $\frac{7}{14}$ = $\frac{1}{2}$.

Vergleich von $\frac{3}{4}$ und $\frac{2}{3}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{12}$

$\frac{2}{3}$ = $\frac{8}{12}$

Also gilt: $\frac{3}{4}$ = $\frac{9}{12}$ > $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$\frac{24}{5}$ = $\frac{\mathrm{20\; +\; 4}}{5}$ = $\frac{20}{5}$ + $\frac{4}{5}$ = $4$ + $\frac{4}{5}$ = $4\frac{4}{5}$

$\frac{32}{7}$ = $\frac{\mathrm{28\; +\; 4}}{7}$ = $\frac{28}{7}$ + $\frac{4}{7}$ = $4$ + $\frac{4}{7}$ = $4\frac{4}{7}$

$\frac{34}{9}$ = $\frac{\mathrm{27\; +\; 7}}{9}$ = $\frac{27}{9}$ + $\frac{7}{9}$ = $3$ + $\frac{7}{9}$ = $3\frac{7}{9}$

Jetzt sieht man sofort, dass $3\frac{7}{9}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{4}{7}$ oder $4\frac{4}{5}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{4}{7}$ und $\frac{4}{5}$ betrachten.

Und weil beide Brüche die 4 im Zähler haben, muss $\frac{4}{7}$ die kleinere Zahl sein, weil ja die 4 durch mehr geteilt werden muss als bei $\frac{4}{5}$.

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{7}{9}$ < $4\frac{4}{7}$ < $4\frac{4}{5}$ , also

$\frac{34}{9}$ < $\frac{32}{7}$ < $\frac{24}{5}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 21 und 22.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{21}{17}$ = $\frac{42}{34}$ und $\frac{22}{17}$ = $\frac{44}{34}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 42 und 44, nämlich 43, somit ist also $\frac{\mathrm{43}}{\mathrm{34}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{21}{17}$ = $\frac{42}{34}$ und $\frac{22}{17}$ = $\frac{44}{34}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Somit ist also $\frac{2}{4}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ und $\frac{3}{4}$ = $\frac{3}{4}$.