Vergleich von $\frac{9}{8}$ und $\frac{9}{7}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Zähler haben. In diesem Fall ist derjenige Bruch größer, der den kleineren Nenner hat (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{9}{8}$ < $\frac{9}{7}$

Vergleich von $\frac{8}{5}$ und $\frac{9}{5}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 5 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 5 teilt). Es gilt hier also $\frac{8}{5}$ < $\frac{9}{5}$

Vergleich von $\frac{3}{5}$ und $\frac{2}{3}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{3}{5}$ = $\frac{9}{15}$

$\frac{2}{3}$ = $\frac{10}{15}$

Also gilt: $\frac{3}{5}$ = $\frac{9}{15}$ < $\frac{10}{15}$ = $\frac{2}{3}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$4\frac{2}{3}$

$\frac{15}{4}$ = $\frac{\mathrm{12\; +\; 3}}{4}$ = $\frac{12}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $3$ + $\frac{3}{4}$ = $3\frac{3}{4}$

$\frac{9}{2}$ = $\frac{\mathrm{8\; +\; 1}}{2}$ = $\frac{8}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $4$ + $\frac{1}{2}$ = $4\frac{1}{2}$

Jetzt sieht man sofort, dass $3\frac{3}{4}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{1}{2}$ oder $4\frac{2}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{3}$ betrachten.

Wenn man die Brüche als Anteile sieht, kann man erkennen, dass $\frac{1}{2}$ die kleinere Zahl sein muss.

Oder man erweitert jeweils mit dem anderen Nenner: $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{6}$ < $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{3}{4}$ < $4\frac{1}{2}$ < $4\frac{2}{3}$ , also

$\frac{15}{4}$ < $\frac{9}{2}$ < $4\frac{2}{3}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 22 und 23.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{22}{13}$ = $\frac{44}{26}$ und $\frac{23}{13}$ = $\frac{46}{26}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 44 und 46, nämlich 45, somit ist also $\frac{\mathrm{45}}{\mathrm{26}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{22}{13}$ = $\frac{44}{26}$ und $\frac{23}{13}$ = $\frac{46}{26}$.

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Die Mitte zwischen 1 und 9 ist $\frac{\mathrm{1\; +\; 9}}{2}$ = 5

Somit ist also $\frac{5}{7}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{7}$ = $\frac{1}{7}$ und $\frac{9}{7}$ = $\frac{9}{7}$.