Vergleich von $\frac{2}{3}$ und $\frac{1}{2}$

Wenn man genau hinschaut, erkennt man, dass der Zähler des 1. ten Bruch doppelt so groß ist wie der des 2. ten. Wir erweitern deswegen 2-ten Bruch mit 2: $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$

Jetzt kann man gut erkennen, dass $\frac{2}{3}$ > $\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$, weil der größere Nenner den Bruch kleiner macht (Schließlich bleibt mehr von einer Menge übrig, wenn man diese durch weniger Leute teilt als wenn man sie durch mehr teilt). Es gilt hier also $\frac{2}{3}$ > $\frac{1}{2}$

Vergleich von $\frac{16}{13}$ und $\frac{17}{13}$

Man sieht sehr schnell. dass diese beiden Brüche die gleichen Nenner haben. Natürlich ist dann derjenige Bruch größer, der den größeren Zähler hat (Schließlich bleibt bei der größeren Menge mehr übrig, wenn man diese durch 13 teilt, als bei der kleineren, wenn man diese durch 13 teilt). Es gilt hier also $\frac{16}{13}$ < $\frac{17}{13}$

Vergleich von $\frac{2}{3}$ und $\frac{7}{9}$

Da hier die Zähler und Nenner der beiden Brüche verschieden sind, bringen wir am besten die beiden Brüche auf den gleichen Nenner um sie besser vergleichen zu können:

$\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{9}$

Also gilt: $\frac{2}{3}$ = $\frac{6}{9}$ < $\frac{7}{9}$.

Als erstes formen wir die Brüche um, so dass wir alle in gemischter Schreibweise vergleichen können:

$4\frac{1}{2}$

$\frac{31}{8}$ = $\frac{\mathrm{24\; +\; 7}}{8}$ = $\frac{24}{8}$ + $\frac{7}{8}$ = $3$ + $\frac{7}{8}$ = $3\frac{7}{8}$

$\frac{14}{3}$ = $\frac{\mathrm{12\; +\; 2}}{3}$ = $\frac{12}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = $4$ + $\frac{2}{3}$ = $4\frac{2}{3}$

Jetzt sieht man sofort, dass $3\frac{7}{8}$ die kleinste Zahl sein muss.

Bleibt noch zu entscheiden, ob $4\frac{1}{2}$ oder $4\frac{2}{3}$ größer ist.
Da ja beide die 4 vorne haben, müssen wir dazu nur die Brüche $\frac{1}{2}$ und $\frac{2}{3}$ betrachten.

Wenn man die Brüche als Anteile sieht, kann man erkennen, dass $\frac{1}{2}$ die kleinere Zahl sein muss.

Oder man erweitert jeweils mit dem anderen Nenner: $\frac{1}{2}$ = $\frac{3}{6}$ < $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$

Somit ergibt sich folgende Reihenfolge:

$3\frac{7}{8}$ < $4\frac{1}{2}$ < $4\frac{2}{3}$ , also

$\frac{31}{8}$ < $4\frac{1}{2}$ < $\frac{14}{3}$

Da die Nenner gleich sind, genügt es die Mitte zwischen den Zählern der beiden Brüche zu finden.

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 5 und 6.

Wenn wir aber beide Brüche mit 2 erweitern, bleibt ja einerseits der Wert der beiden Brüche gleich, andereseits verdoppeln sich aber die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{5}{7}$ = $\frac{10}{14}$ und $\frac{6}{7}$ = $\frac{12}{14}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 10 und 12, nämlich 11, somit ist also $\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{14}}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{5}{7}$ = $\frac{10}{14}$ und $\frac{6}{7}$ = $\frac{12}{14}$.

Um die Mitte zwischen zwei Brüchen zu finden, müssen wir die beiden Brüche erst einmal auf den gleichen Nenner bringen.

Dazu könnten wir einfach jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs erweitern. Um die Zahlen in Zähler und Nenner aber nicht unnötig groß werden zu lassen, erweitern wir hier die Brüche so, dass das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, also 4 im neunen Nenner steht:

$\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$ und $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{4}$

Leider gibt es keine ganze Zahl in der Mitte zwischen 1 und 2.

Wenn wir aber beide Brüche noch mit 2 erweitern, verdoppeln sich die Zähler der beiden Brüche, so dass auch der Abstand zwischen diesen verdoppelt wird:

Es gilt: $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{8}$ und $\frac{2}{4}$ = $\frac{4}{8}$

Jetzt finden wir leicht die Mitte zwischen 2 und 4, nämlich 3, somit ist also $\frac{3}{8}$ genau in der Mitte zwischen $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{8}$ und $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{8}$.