Wir können die beiden Brüche am leichtesten vergleichen, wenn wir beide auf die gleichen Nenner bringen.
Dazu müssen wir $\frac{2}{9}$mit 2 erweitern, um auf die 18-tel zu kommen.
$\frac{2}{9}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 2}}{\mathrm{9\; \cdot \; 2}}$ = $\frac{4}{18}$

Jetzt können wir gut erkennen, dass gilt: $\frac{2}{9}$ = $\frac{4}{18}$

Wir können die beiden Brüche am leichtesten vergleichen, wenn wir beide auf die gleichen Nenner bringen.
Dazu müssen wir $\frac{4}{8}$mit 5 erweitern, um auf die 40-tel zu kommen.
$\frac{4}{8}$ = $\frac{\mathrm{4\; \cdot \; 5}}{\mathrm{8\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{20}{40}$

Jetzt können wir gut erkennen, dass gilt: $\frac{4}{8}$ = $\frac{20}{40}$

Um einen weiteren gleichgroßen Bruch möglichst einfach zu halten, versuchen wir unseren Bruch $\frac{8}{10}$ zu kürzen.
Dazu probieren wir alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (8) und Nenner (10) sind:

Mit dem Primteiler 2 funktioniert dies: $\frac{8}{10}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{4}{5}$

Weil man $\frac{4}{5}$ nicht weiter kürzen kann, müssen wir diesen Bruch eben erweitern.
Mit 2 dürfen wir nicht erweitern, sonst würden wir ja wieder $\frac{8}{10}$ erhalten, deswegen erweitern wir mit 3:
$\frac{4}{5}$$\stackrel{\mathrm{e(3)}}{=}$ $\frac{12}{15}$

Um einen weiteren gleichgroßen Bruch möglichst einfach zu halten, versuchen wir unseren Bruch $\frac{24}{30}$ zu kürzen.
Dazu probieren wir alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (24) und Nenner (30) sind:

Mit dem Primteiler 2 funktioniert dies: $\frac{24}{30}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{12}{15}$

Mit dem Primteiler 3 können wir auch $\frac{12}{15}$ nochmals kürzen: $\frac{24}{30}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{4}{5}$

An den Pfeilen erkennt man, dass der Bruch $\frac{3}{4}$ mit 5 erweitert werden soll.
Dazu müssen wir einfach sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 5 multiplizieren.

$\frac{3}{4}$ = $\frac{\mathrm{3\; ·\; 5}}{\mathrm{4\; ·\; 5}}$ = $\frac{15}{20}$

Beim Erweitern multiplizieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 5:

$\frac{11}{8}$ = $\frac{\mathrm{11\; \cdot \; 5}}{\mathrm{8\; \cdot \; 5}}$ = $\frac{55}{40}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Nenner 4 nachher der neue Nenner 8 wird.

Wir müssen also 8 : 4 = 2 teilen.

Natürlich hätte man auch den neuen Zähler 2 durch den ursprünglichen Zähler 1 teilen können, also 2 : 1 = 2

Beim Kürzen mit 7 dividieren wir einfach Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl 7:

$\frac{7}{14}$ = $\frac{\mathrm{7\; :\; 7}}{\mathrm{14\; :\; 7}}$ = $\frac{1}{2}$

Der Bruch soll so erweitert werden, dass aus dem alten Zähler 2 nachher der neue Zähler 16 wird.

Wir müssen also mit 16 : 2 = 8 erweitern.

$\frac{2}{7}$ = $\frac{\mathrm{2\; \cdot \; 8}}{\mathrm{7\; \cdot \; 8}}$ = $\frac{16}{56}$

Der Bruch soll so gekürzt werden, dass aus dem alten Nenner 36 nachher der neue Nenner 6 wird.

Wir müssen also mit 36 : 6 = 6 kürzen.

$\frac{30}{36}$ = $\frac{\mathrm{30\; :\; 6}}{\mathrm{36\; :\; 6}}$ = $\frac{5}{6}$

Wir probieren alle Primzahlen durch, ob sie vielleicht beide Teiler von Zähler (24) und Nenner (18) sind:

$\frac{24}{18}$ $\stackrel{\mathrm{k(2)}}{=}$ $\frac{12}{9}$ $\stackrel{\mathrm{k(3)}}{=}$ $\frac{4}{3}$

$\frac{24}{18}$ = $\frac{4}{3}$

(natürlich hätte man auch gleich auf einmal mit 6 kürzen können).

Ausgehend vom ersten Bruch $\frac{3}{4}$ können wir anhand des Zählers 15 im anderen Bruch erkennen, dass hier der erste Bruch mit 5 erweitert wurde, weil 15 ja 5 mal so groß ist wie 3 (15:3=5).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Nenner des zweiten Bruchs muss somit 5 mal so groß wie 4 sein, also 4 · 5 = 20.

Ausgehend vom zweiten Bruch $\frac{15}{20}$ können wir anhand des Nenners 40 im anderen Bruch erkennen, dass hier der zweite Bruch mit 2 erweitert wurde, weil 40 ja 2 mal so groß ist wie 20 (40:20=2).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des dritten Bruchs muss somit 2 mal so groß wie 15 sein, also 15 · 2 = 30.

Ausgehend vom zweiten Bruch $\frac{30}{50}$ können wir anhand des Nenners 10 im anderen Bruch erkennen, dass hier der erste Bruch mit 5 erweitert wurde, weil 50 ja 5 mal so groß ist wie 10 (50:10=5).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Erweiterungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des ersten Bruchs muss somit ein 5-tel so groß wie 30 sein, also 30 : 5 = 6.

Ausgehend vom dritten Bruch $\frac{15}{25}$ können wir anhand des Nenners 25 im anderen Bruch erkennen, dass hier der zweite Bruch mit 2 gekürzt wurde, weil 50 ja 2 mal so groß ist wie 25 (50:25=2).

(Natürlich steht über und unter dem Gleichheitszeichen immer der gleiche Kürzungsfaktor.)

Daraus ergibt sich:

Der Zähler des zweiten Bruchs muss somit 2 mal so groß wie 15 sein, also 15 · 2 = 30.