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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{4} - 81$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{4} - 81$	=	0	\| $+ 81$
$- x^{4}$	=	$81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$- 81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x - 3)}^{2} \cdot (x - 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x - 3)}^{2} \cdot (x - 4)$ = 0.

x {(x - 3)}^{2} \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x - 3)}^{2} \cdot (x - 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₃	=	$4$

An den Stellen x₁ = 0, x₂ = $3$ und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 5)}^{3} - 122$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also ${(x - 5)}^{3} - 122$ = 3.

${(x - 5)}^{3} - 122$	=	$3$	\| $+ 122$
${(x - 5)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x - 5$	=	$5$	\| $+ 5$
$x$	=	$10$

An der Stelle x₁ = $10$ gilt also f(x)= 3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 16 x + 12$ und $g(x) =$ $- 4 x + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x^{2} - 16 x + 12

=

- 4 x + 2

|

+ 4 x

- 2

2 x^{2} - 12 x + 10

= 0 |:2

$x^{2} - 6 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 6 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₁ = $\frac{6 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6+4}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{6 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{6-4}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - 5$ = $9$ $-$ $5$ = $4$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $3$ - $2$ = 1

x₂ = $3$ + $2$ = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $1$ ) = $- 4 \cdot 1 + 2$ = $- 2$ ⇒ S₁( $1$ | $- 2$ )

g( $5$ ) = $- 4 \cdot 5 + 2$ = $- 18$ ⇒ S₂( $5$ | $- 18$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $2$ ) und B(2| $16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $2$ ) und B(2| $16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $2$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $16$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $2$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $16$ = $2 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

$8$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $2 x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.3), g(-0.3) und -h(0.3), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.3) = - ${(- 0,3)}^{2}$ < 0
g(-0.3) = ${(- 0,3)}^{3}$ < 0
-h(0.3) = - ${0,3}^{4}$ < 0

Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Und weil 0.3 < 1 ist, werden die Betrags-Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.3³ =0.3² ⋅ 0.3 bzw. 0.3⁴ =0.3³ ⋅ 0.3,
d.h. 0.3³ < 0.3², also gilt - 0.3³ > - 0.3² und 0.3⁴ < 0.3³, also gilt - 0.3⁴ > - 0.3³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.3)= - ${(- 0,3)}^{2}$ < g(-0.3)= ${(- 0,3)}^{3}$ < -h(0.3)= - ${0,3}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 3 x^{4} - 3$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $x^{5} - 3 x^{4} - 3$ ein:

f(-1) = ${(- 1)}^{5} - 3 \cdot {(- 1)}^{4} - 3$

= $(- 1) - 3 \cdot 1 - 3$

= $- 1 - 3 - 3$

= $- 4 - 3$

= $- 7$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen