Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen
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Nullstellen berechnen
Beispiel:
Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit mit der x-Achse.
An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:
| = | |||
| = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| = | | | ||
| x1 | = |
2. Fall:
| = | | | ||
| = | | | ||
| x2 | = | = |
Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:
S1(x-Werte berechnen (f(x) gegeben)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.
Es gilt f(x) = 5, also = 5.
| = | | |
= 0
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 = ergibt:
x1,2 =
x1,2 =
x1,2 =
x1 = = = =
x2 = = = =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
:
D = = =
x1,2 = ±
x1 = - = 5
x2 = + = 7
An den Stellen x1 = und x2 = gilt also f(x)= 5.
x-Werte berechnen (schwerer)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.
Es gilt f(x) = -5, also = -5.
| = | | | ||
| = | |: | ||
| = | | |
Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!
Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -5 gilt.
Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit und .
An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | | | ||
| = | = |
Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).
g( ) = = ⇒ S1( | )
Termbestimmung mit Punktproben
Beispiel:
Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|) und B(2|) auf dem Graphen der Funktion f mit liegen.
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|) und B(2|) in den Funktionsterm ein und erhalten so die beiden Gleichungen:
I: =
II: =
Aus I ergibt sich ja sofort = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:
II: = | ⋅
=
Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=
Der gesuchte Funktionsterm ist somit:
Größenvergleich bei Potenzfunktionen
Beispiel:
Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= , g mit g(x)= , h mit h(x)= .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.8), g(0.8) und -h(-0.8), ohne sie wirklich auszurechnen.
Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).
Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:
- f(0.8) = > 0
- g(0.8) = > 0
- -h(-0.8) = - < 0
Da -h(-0.8) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.
Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:
Dabei gilt f(0.8) > g(0.8). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und
h(x)=x4 in rot),
aber auch direkt an den Zahlen:
0.83 =0.82 ⋅ 0.8.
Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-0.8)= -
< g(0.8)=
< f(0.8)=
.
Funktionswerte berechnen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= . Berechne den Funktionswert f(2).
Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= ein:
f(2) =
=
=
=
=