An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^2-4x-21$ = 0

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-3$|0), S₂( $7$|0)

Es gilt f(x) = 0, also $x\left(x+4\right)·\left(x-4\right)$ = 0.

$x\left(x+4\right)·\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-4$, x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = -4, also ${\left(x^2-19\right)}^3+23$ = -4.

${\left(x^2-19\right)}^3+23$	=	$-4$	| $-23$
${\left(x^2-19\right)}^3$	=	$-27$	|
$x^2-19$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

An den Stellen x₁ = $-4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= -4.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2x^4-4x^3-4x^2+32$	=	$-4x^3-4x^2$	| $-32$ $+4x^3$ $+4x^2$
$2x^4$	=	$-32$	|:$2$
$x^4$	=	$-16$	|

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$3$) und B(2|$24$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $3$ = $a·1^n$
II: $24$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $24$ = $3\cdot 2^n$ | ⋅ $\frac{1}{3}$

$8$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $3x^3$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(-0.9) = ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^2$ > 0
• -g(0.9) = - ${\mathrm{0,9}}^3$ < 0
• h(0.9) = ${\mathrm{0,9}}^4$ > 0

Da -g(0.9) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-0.9) > h(0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.9⁴ =0.9² ⋅ 0.9 ⋅ 0.9.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(0.9)= - ${\mathrm{0,9}}^3$ < h(0.9)= ${\mathrm{0,9}}^4$ < f(-0.9)= ${\left(-\mathrm{0,9}\right)}^2$.

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $2{\left(-2x+1\right)}^2-5$ ein:

f(1) = $2\cdot {\left(-2\cdot 1+1\right)}^2-5$

= $2\cdot {\left(-2+1\right)}^2-5$

= $2\cdot {\left(-1\right)}^2-5$

= $2\cdot 1-5$

= $2-5$

= $-3$