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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 250$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} - 250$	=	0	\| $+ 250$
$2 x^{3}$	=	$250$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $5$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}$ = 0.

$x {(x + 2)}^{2} {(x + 3)}^{2}$	=	0
$x {((x + 2) (x + 3))}^{2}$	=	0
${((x + 2) (x + 3))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x + 2) (x + 3))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x + 2) (x + 3)$	=	0

(x + 2) (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₁	=	$- 2$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

x₃

=

0

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = $- 2$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x^{2} - 2)}^{3} - 13$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also ${(x^{2} - 2)}^{3} - 13$ = -5.

${(x^{2} - 2)}^{3} - 13$	=	$- 5$	\| $+ 13$
${(x^{2} - 2)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 2$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x^{2} - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $10 x^{3} + 5 x^{2} - 150 x - 5$ und $g(x) =$ $5 x^{3} - 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$10 x^{3} + 5 x^{2} - 150 x - 5$	=	$5 x^{3} - 5$	\| $+ 5$
$10 x^{3} + 5 x^{2} - 150 x$	=	$5 x^{3}$	\| $- 5 x^{3}$
$10 x^{3} - 5 x^{3} + 5 x^{2} - 150 x$	=	0
$5 x^{3} + 5 x^{2} - 150 x$	=	0
$5 x (x^{2} + x - 30)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₂ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 6$ ) = $5 \cdot {(- 6)}^{3} - 5$ = $- 1 085$ ⇒ S₁( $- 6$ | $- 1 085$ )

g(0) = $5 \cdot 0^{3} - 5$ = $- 5$ ⇒ S₂(0| $- 5$ )

g( $5$ ) = $5 \cdot 5^{3} - 5$ = $620$ ⇒ S₃( $5$ | $620$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{2}{3}$ ) und B(-4| $\frac{32}{3}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{2}{3}$ ) und B(-4| $\frac{32}{3}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{2}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{32}{3}$ = $a \cdot {(- 4)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{2}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{32}{3}$ = $\frac{2}{3} \cdot {(- 4)}^{n}$ | ⋅ $\frac{3}{2}$

$16$ = ${(- 4)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{2}{3} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.8), -g(-0.8) und -h(0.8), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.8) = ${0,8}^{2}$ > 0
-g(-0.8) = - ${(- 0,8)}^{3}$ > 0
-h(0.8) = - ${0,8}^{4}$ < 0

Da -h(0.8) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(0.8) > -g(-0.8). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.8³ =0.8² ⋅ 0.8.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(0.8)= - ${0,8}^{4}$ < -g(-0.8)= - ${(- 0,8)}^{3}$ < f(0.8)= ${0,8}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 x^{3} - 2$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $2 x^{3} - 2$ ein:

f(2) = $2 \cdot 2^{3} - 2$

= $2 \cdot 8 - 2$

= $16 - 2$

= $14$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen