An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2{\left(x+3\right)}^4-162$	=	0	| $+162$
$2{\left(x+3\right)}^4$	=	$162$	|:$2$
${\left(x+3\right)}^4$	=	$81$	|

1. Fall

2. Fall

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-6$|0), S₂(0|0)

Es gilt f(x) = 0, also $x\left(x-2\right){\left(x-5\right)}^2$ = 0.

$x\left(x-2\right){\left(x-5\right)}^2$	=	0
$x{\left(x-5\right)}^2·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = 0, x₂ = $2$ und x₃ = $5$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = 5, also $2x^3-123$ = 5.

$2x^3-123$	=	$5$	| $+123$
$2x^3$	=	$128$	|:$2$
$x^3$	=	$64$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

An der Stelle x₁ = $4$ gilt also f(x)= 5.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$-6x^3+2x^2-128$	=	$-4x^3+2x^2$	| $+128$ $+4x^3$ $-2x^2$
$-2x^3$	=	$128$	|: $\left(-2\right)$
$x^3$	=	$-64$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{64}$	= $-4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-4$) = $-4\cdot {\left(-4\right)}^3+2\cdot {\left(-4\right)}^2$ = $288$ ⇒ S₁( $-4$| $288$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{1}{2}$) und B(-2|$-16$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a·1^n$
II: $-16$ = $a·{\left(-2\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-16$ = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^n$ | ⋅ $2$

$-32$ = ${\left(-2\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^5$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• -f(0.3) = - ${\mathrm{0,3}}^2$ < 0
• -g(0.3) = - ${\mathrm{0,3}}^3$ < 0
• h(-0.3) = ${\left(-\mathrm{0,3}\right)}^4$ > 0

Da h(-0.3) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(0.3) < -g(0.3). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.3³ =0.3² ⋅ 0.3, d.h. 0.3³ < 0.3², also gilt - 0.3³ > - 0.3².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.3)= - ${\mathrm{0,3}}^2$ < -g(0.3)= - ${\mathrm{0,3}}^3$ < h(-0.3)= ${\left(-\mathrm{0,3}\right)}^4$.

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $-2{\left(3x+7\right)}^4-4$ ein:

f(-2) = $-2\cdot {\left(3\cdot \left(-2\right)+7\right)}^4-4$

= $-2\cdot {\left(-6+7\right)}^4-4$

= $-2\cdot 1^4-4$

= $-2\cdot 1-4$

= $-2-4$

= $-6$