An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^4+x^3$	=	0
$x^3·\left(x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-1$|0), S₂(0|0)

Es gilt f(x) = 0, also $x\left(x-4\right)·\left(x+5\right)$ = 0.

$x\left(x-4\right)·\left(x+5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-5$, x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = -3, also $-x^3+5$ = -3.

$-x^3+5$	=	$-3$	| $-5$
$-x^3$	=	$-8$	|: $\left(-1\right)$
$x^3$	=	$8$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= -3.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2x^3+x-245$	=	$x+5$	| $+245$
$2x^3+x$	=	$x+250$	| $-x$
$2x^3$	=	$250$	|:$2$
$x^3$	=	$125$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $5$) = $5+5$ = $10$ ⇒ S₁( $5$| $10$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-2$) und B(2|$-32$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-2$ = $a·1^n$
II: $-32$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-2$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-32$ = $-2\cdot 2^n$ | ⋅ $\left(-\frac{1}{2}\right)$

$16$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-2x^4$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(0.5) = ${\mathrm{0,5}}^2$ > 0
• -g(0.5) = - ${\mathrm{0,5}}^3$ < 0
• h(0.5) = ${\mathrm{0,5}}^4$ > 0

Da -g(0.5) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(0.5) > h(0.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5⁴ =0.5² ⋅ 0.5 ⋅ 0.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(0.5)= - ${\mathrm{0,5}}^3$ < h(0.5)= ${\mathrm{0,5}}^4$ < f(0.5)= ${\mathrm{0,5}}^2$.

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $2{\left(-2x+5\right)}^2+1$ ein:

f(2) = $2\cdot {\left(-2\cdot 2+5\right)}^2+1$

= $2\cdot {\left(-4+5\right)}^2+1$

= $2\cdot 1^2+1$

= $2\cdot 1+1$

= $2+1$

= $3$