An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^6-8x^3$	=	0
$x^3·\left(x^3-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$|0)

Es gilt f(x) = 0, also $x\left(x-3\right){\left(x-5\right)}^2$ = 0.

$x\left(x-3\right){\left(x-5\right)}^2$	=	0
$x{\left(x-5\right)}^2·\left(x-3\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = 0, x₂ = $3$ und x₃ = $5$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = -2, also $-2{\left(x+4\right)}^4+30$ = -2.

$-2{\left(x+4\right)}^4+30$	=	$-2$	| $-30$
$-2{\left(x+4\right)}^4$	=	$-32$	|: $\left(-2\right)$
${\left(x+4\right)}^4$	=	$16$	|

1. Fall

2. Fall

An den Stellen x₁ = $-6$ und x₂ = $-2$ gilt also f(x)= -2.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^4+2x^3+3x^2$	=	$4x^3+3x^2$	| $-\left(4x^3+3x^2\right)$
$x^4+2x^3-4x^3+3x^2-3x^2$	=	0
$x^4-2x^3$	=	0
$x^3·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $4\cdot 0^3+3\cdot 0^2$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$) = $4\cdot 2^3+3\cdot 2^2$ = $44$ ⇒ S₂( $2$| $44$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{4}{3}$) und B(-3|$12$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{4}{3}$ = $a·1^n$
II: $12$ = $a·{\left(-3\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{4}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $12$ = $\frac{4}{3}\cdot {\left(-3\right)}^n$ | ⋅ $\frac{3}{4}$

$9$ = ${\left(-3\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^2$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(1.5) = ${\mathrm{1,5}}^2$ > 0
• -g(1.5) = - ${\mathrm{1,5}}^3$ < 0
• h(-1.5) = ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$ > 0

Da -g(1.5) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(1.5) < h(-1.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.5⁴ =1.5² ⋅ 1.5 ⋅ 1.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(1.5)= - ${\mathrm{1,5}}^3$ < f(1.5)= ${\mathrm{1,5}}^2$ < h(-1.5)= ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$.

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $-3{\left(-3x-4\right)}^2+5$ ein:

f(-2) = $-3\cdot {\left(-3\cdot \left(-2\right)-4\right)}^2+5$

= $-3\cdot {\left(6-4\right)}^2+5$

= $-3\cdot 2^2+5$

= $-3\cdot 4+5$

= $-12+5$

= $-7$