Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen
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Nullstellen berechnen
Beispiel:
Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 2x3+250 mit der x-Achse.
An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:
| 2x3+250 | = | | -250 | |
| 2x3 | = | -250 | |:2 |
| x3 | = | -125 | | 3√⋅ |
| x | = | -3√125 | = -5 |
Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:
S1( -5|0)x-Werte berechnen (f(x) gegeben)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x6+8x3+2. Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.
Es gilt f(x) = 2, also x6+8x3+2 = 2.
| x6+8x3+2 | = | 2 | | -2 |
| x6+8x3+2-2 | = | ||
| x6+8x3 | = | ||
| x3(x3+8) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x3 | = | 0 | | 3√⋅ |
| x1 | = |
2. Fall:
| x3+8 | = | | -8 | |
| x3 | = | -8 | | 3√⋅ |
| x2 | = | -3√8 | = -2 |
An den Stellen x1 =
-2 und x2 =
x-Werte berechnen (schwerer)
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2x4+161. Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.
Es gilt f(x) = -1, also -2x4+161 = -1.
| -2x4+161 | = | -1 | | -161 |
| -2x4 | = | -162 | |: (-2) |
| x4 | = | 81 | | 4√⋅ |
| x1 | = | -4√81 | = -3 |
| x2 | = | 4√81 | = 3 |
An den Stellen x1 = -3 und x2 = 3 gilt also f(x)= -1.
Schnittpunkte berechnen
Beispiel:
Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -x2-3 und g(x)= -x3-3.
An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:
| -x2-3 | = | -x3-3 | | +3 |
| -x2 | = | -x3 | | +x3 |
| x3-x2 | = | ||
| x2(x-1) | = |
Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.
1. Fall:
| x2 | = | 0 | | 2√⋅ |
| x1 | = |
2. Fall:
| x-1 | = | | +1 | |
| x2 | = | 1 |
Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).
g(
g( 1) = -13-3 = -4 ⇒ S2( 1| -4)
Termbestimmung mit Punktproben
Beispiel:
Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|-1) und B(3|-9) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a·xn liegen.
Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|-1) und B(3|-9) in den Funktionsterm f(x)= a·xn ein und erhalten so die beiden Gleichungen:
I: -1 =
a·1n
II: -9 =
a·3n
Aus I ergibt sich ja sofort -1 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:
II: -9 = -3n | ⋅ (-1)
9 = 3n
Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=2
Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= -x2
Größenvergleich bei Potenzfunktionen
Beispiel:
Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x2, g mit g(x)= x3, h mit h(x)= x4.
Sortiere die drei Funktionswerte f(1.6), g(1.6) und h(1.6), ohne sie wirklich auszurechnen.
Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).
Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:
- f(1.6) = 1,62 > 0
- g(1.6) = 1,63 > 0
- h(1.6) = 1,64 > 0
Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:
Und weil 1.6 > 1 ist, werden die Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und
h(x)=x4 in rot),
aber auch direkt an den Zahlen:
1.63 =1.62 ⋅ 1.6 bzw. 1.64 =1.63 ⋅ 1.6.
Die richtige Reihenfolge ist also:
f(1.6)=
1,62 < g(1.6)=
1,63 < h(1.6)=
1,64.
Funktionswerte berechnen
Beispiel:
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2x3+2x+5. Berechne den Funktionswert f(1).
Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= 2x3+2x+5 ein:
f(1) = 2⋅13+2⋅1+5
= 2⋅1+2+5
= 2+2+5
= 4+5
= 9