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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(- 6 - 3 x)}^{3} + 27$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(- 6 - 3 x)}^{3} + 27$	=	0
${(- 3 x - 6)}^{3} + 27$	=	0	\| $- 27$
${(- 3 x - 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x - 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$- 3 x - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 13 x + 38$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $x^{2} - 13 x + 38$ = -4.

x^{2} - 13 x + 38

=

- 4

|

+ 4

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

An den Stellen x₁ = $6$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 5)}^{3} - 245$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 {(x - 5)}^{3} - 245$ = 5.

$2 {(x - 5)}^{3} - 245$	=	$5$	\| $+ 245$
$2 {(x - 5)}^{3}$	=	$250$	\|: $2$
${(x - 5)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x - 5$	=	$5$	\| $+ 5$
$x$	=	$10$

An der Stelle x₁ = $10$ gilt also f(x)= 5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{4} - x + 33$ und $g(x) =$ $- x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{4} - x + 33$	=	$- x + 1$	\| $- 33$
$2 x^{4} - x$	=	$- x - 32$	\| $+ x$
$2 x^{4}$	=	$- 32$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-3| $27$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-3| $27$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $27$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $27$ = $- {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $(- 1)$

$- 27$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(1.5), g(1.5) und -h(1.5), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(1.5) = - ${1,5}^{2}$ < 0
g(1.5) = ${1,5}^{3}$ > 0
-h(1.5) = - ${1,5}^{4}$ < 0

Da g(1.5) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(1.5) > -h(1.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.5⁴ =1.5² ⋅ 1.5 ⋅ 1.5, d.h. 1.5⁴ > 1.5², also gilt - 1.5⁴ < - 1.5².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(1.5)= - ${1,5}^{4}$ < -f(1.5)= - ${1,5}^{2}$ < g(1.5)= ${1,5}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 3 x^{5} - 2 x - 7$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $- 3 x^{5} - 2 x - 7$ ein:

f(1) = $- 3 \cdot 1^{5} - 2 \cdot 1 - 7$

= $- 3 \cdot 1 - 2 - 7$

= $- 3 - 2 - 7$

= $- 5 - 7$

= $- 12$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen