An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${\left(x-4\right)}^4+81$	=	0	| $-81$
${\left(x-4\right)}^4$	=	$-81$	|

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Es gilt f(x) = 0, also ${\left(x-1\right)}^2·\left(x-2\right)$ = 0.

${\left(x-1\right)}^2·\left(x-2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = -5, also $-{\left(x+1\right)}^3+59$ = -5.

$-{\left(x+1\right)}^3+59$	=	$-5$	| $-59$
$-{\left(x+1\right)}^3$	=	$-64$	|: $\left(-1\right)$
${\left(x+1\right)}^3$	=	$64$	|
$x+1$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -5.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$-4x^3-x^2+5$	=	$-5x^3+5$	| $-5$
$-4x^3-x^2$	=	$-5x^3$	| $+5x^3$
$-4x^3+5x^3-x^2$	=	0
$x^3-x^2$	=	0
$x^2·\left(x-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $-5\cdot 0^3+5$ = $5$ ⇒ S₁(0| $5$)

g( $1$) = $-5\cdot 1^3+5$ = 0 ⇒ S₂( $1$|0)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-2$) und B(2|$-32$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-2$ = $a·1^n$
II: $-32$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-2$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-32$ = $-2\cdot 2^n$ | ⋅ $\left(-\frac{1}{2}\right)$

$16$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-2x^4$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(1.3) = ${\mathrm{1,3}}^2$ > 0
• -g(-1.3) = - ${\left(-\mathrm{1,3}\right)}^3$ > 0
• h(-1.3) = ${\left(-\mathrm{1,3}\right)}^4$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 1.3 > 1 ist, werden die Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.3³ =1.3² ⋅ 1.3 bzw. 1.3⁴ =1.3³ ⋅ 1.3.

Die richtige Reihenfolge ist also:
f(1.3)= ${\mathrm{1,3}}^2$ < -g(-1.3)= - ${\left(-\mathrm{1,3}\right)}^3$ < h(-1.3)= ${\left(-\mathrm{1,3}\right)}^4$.

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $-4x^3+2$ ein:

f(-1) = $-4\cdot {\left(-1\right)}^3+2$

= $-4\cdot \left(-1\right)+2$

= $4+2$

= $6$