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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{5} + 6 x^{4} - 56 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{5} + 6 x^{4} - 56 x^{3}$	=	0
$2 x^{3} \cdot (x^{2} + 3 x - 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 7$ |0), S₂(0|0), S₃( $4$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + 8 x + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{4} + 8 x + 5$ = 5.

$x^{4} + 8 x + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{4} + 8 x + 5 - 5$	=	0
$x^{4} + 8 x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} + 8$	=	0	\| $- 8$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x + 3)}^{3} + 246$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(x + 3)}^{3} + 246$ = -4.

$- 2 {(x + 3)}^{3} + 246$	=	$- 4$	\| $- 246$
$- 2 {(x + 3)}^{3}$	=	$- 250$	\|: $(- 2)$
${(x + 3)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x + 3$	=	$5$	\| $- 3$
$x$	=	$2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{3} - 2 x^{2} - 2$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2} - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - x^{3} - 2 x^{2} - 2$	=	$- 2 x^{2} - 2$	\| $+ 2$
$x^{5} - x^{3} - 2 x^{2}$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2 x^{2}$
$x^{5} - x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} - 2$ = $- 4$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 4$ )

g(0) = $- 2 \cdot 0^{2} - 2$ = $- 2$ ⇒ S₂(0| $- 2$ )

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} - 2$ = $- 4$ ⇒ S₃( $1$ | $- 4$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 3$ ) und B(2| $- 24$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 3$ ) und B(2| $- 24$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 3$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 24$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 24$ = $- 3 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{3})$

$8$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 3 x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.9), g(-0.9) und -h(-0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.9) = - ${(- 0,9)}^{2}$ < 0
g(-0.9) = ${(- 0,9)}^{3}$ < 0
-h(-0.9) = - ${(- 0,9)}^{4}$ < 0

Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Und weil 0.9 < 1 ist, werden die Betrags-Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.9³ =0.9² ⋅ 0.9 bzw. 0.9⁴ =0.9³ ⋅ 0.9,
d.h. 0.9³ < 0.9², also gilt - 0.9³ > - 0.9² und 0.9⁴ < 0.9³, also gilt - 0.9⁴ > - 0.9³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.9)= - ${(- 0,9)}^{2}$ < g(-0.9)= ${(- 0,9)}^{3}$ < -h(-0.9)= - ${(- 0,9)}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 4 x^{5} + 2 x^{3} + 1$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $- 4 x^{5} + 2 x^{3} + 1$ ein:

f(-1) = $- 4 \cdot {(- 1)}^{5} + 2 \cdot {(- 1)}^{3} + 1$

= $- 4 \cdot (- 1) + 2 \cdot (- 1) + 1$

= $4 - 2 + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen