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Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 -2 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 -2 x 3 = 0
x 3 · ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 2 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -10x +21 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

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Es gilt f(x) = -4, also x 2 -10x +21 = -4.

x 2 -10x +21 = -4 | +4

x 2 -10x +25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +10 ± ( -10 ) 2 -4 · 1 · 25 2⋅1

x1,2 = +10 ± 100 -100 2

x1,2 = +10 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 10 2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 25 = 25 - 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 5 ± 0 = 5

An der Stelle x1 = 5 gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 -22 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also x 3 -22 = 5.

x 3 -22 = 5 | +22
x 3 = 27 | ⋅3
x = 27 3 = 3

An der Stelle x1 = 3 gilt also f(x)= 5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 5 x 3 + x 2 und g(x)= 5 x 3 - x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

5 x 3 + x 2 = 5 x 3 - x | - ( 5 x 3 - x )
5 x 3 -5 x 3 + x 2 + x = 0
x 2 + x = 0
x · ( x +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x +1 = 0 | -1
x2 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = 5⋅ ( -1 ) 3 - ( -1 ) = -4 ⇒ S1( -1 | -4 )

g(0) = 5⋅ 0 3 - 0 = 0 ⇒ S2(0|0)

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| - 1 4 ) und B(2|-8 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| - 1 4 ) und B(2|-8 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: - 1 4 = a · 1 n
II: -8 = a · 2 n

Aus I ergibt sich ja sofort - 1 4 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: -8 = - 1 4 ⋅ 2 n | ⋅ ( -4 )

32 = 2 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=5

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= - 1 4 x 5

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.9), g(0.9) und -h(-0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • f(0.9) = 0,9 2 > 0
  • g(0.9) = 0,9 3 > 0
  • -h(-0.9) = - ( -0,9 ) 4 < 0

    • Da -h(-0.9) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

    Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

    Dabei gilt f(0.9) > g(0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    0.93 =0.92 ⋅ 0.9.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -h(-0.9)= - ( -0,9 ) 4 < g(0.9)= 0,9 3 < f(0.9)= 0,9 2 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 5 x 4 +5 x 2 +9 . Berechne den Funktionswert f(-1).

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Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= 5 x 4 +5 x 2 +9 ein:

f(-1) = 5⋅ ( -1 ) 4 +5⋅ ( -1 ) 2 +9

= 5⋅1 +5⋅1 +9

= 5 +5 +9

= 10 +9

= 19