An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$-2{\left(x-3\right)}^4-32$	=	0	| $+32$
$-2{\left(x-3\right)}^4$	=	$32$	|: $\left(-2\right)$
${\left(x-3\right)}^4$	=	$-16$	|

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

Es gilt f(x) = -2, also $x^5-8x^2-2$ = -2.

$x^5-8x^2-2$	=	$-2$	| $+2$
$x^5-8x^2-2+2$	=	0
$x^5-8x^2$	=	0
$x^2\left(x^3-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -2.

Es gilt f(x) = -3, also $x^3-11$ = -3.

$x^3-11$	=	$-3$	| $+11$
$x^3$	=	$8$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= -3.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$-2x^4+3x+158$	=	$3x-4$	| $-158$
$-2x^4+3x$	=	$3x-162$	| $-3x$
$-2x^4$	=	$-162$	|: $\left(-2\right)$
$x^4$	=	$81$	|
x1	=	$-\sqrt[4]{81}$	= $-3$
x2	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-3$) = $3\cdot \left(-3\right)-4$ = $-13$ ⇒ S₁( $-3$| $-13$)

g( $3$) = $3\cdot 3-4$ = $5$ ⇒ S₂( $3$| $5$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-\frac{1}{2}$) und B(-4|$-8$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{1}{2}$ = $a·1^n$
II: $-8$ = $a·{\left(-4\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-8$ = $-\frac{1}{2}\cdot {\left(-4\right)}^n$ | ⋅ $\left(-2\right)$

$16$ = ${\left(-4\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• -f(-1.5) = - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^2$ < 0
• -g(-1.5) = - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^3$ > 0
• -h(-1.5) = - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$ < 0

Da -g(-1.5) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-1.5) > -h(-1.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.5⁴ =1.5² ⋅ 1.5 ⋅ 1.5, d.h. 1.5⁴ > 1.5², also gilt - 1.5⁴ < - 1.5².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.5)= - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$ < -f(-1.5)= - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^2$ < -g(-1.5)= - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^3$.

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $5x^2+1$ ein:

f(2) = $5\cdot 2^2+1$

= $5\cdot 4+1$

= $20+1$

= $21$