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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} - 8 x^{3} + 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $x^{6} - 8 x^{3} + 4$ = 4.

$x^{6} - 8 x^{3} + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$x^{6} - 8 x^{3} + 4 - 4$	=	0
$x^{6} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 18$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{4} - 18$ = -2.

$x^{4} - 18$	=	$- 2$	\| $+ 18$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -2.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{3} - 13 x^{2} - 17 x$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} - 2 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{3} - 13 x^{2} - 17 x$	=	$- 3 x^{2} - 2 x$	\| $- (- 3 x^{2} - 2 x)$
$5 x^{3} - 13 x^{2} + 3 x^{2} - 17 x + 2 x$	=	0
$5 x^{3} - 10 x^{2} - 15 x$	=	0
$5 x (x^{2} - 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1)$ = $- 1$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 1$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $3$ ) = $- 3 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3$ = $- 33$ ⇒ S₃( $3$ | $- 33$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{4}$ ) und B(-2| $8$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{4}$ ) und B(-2| $8$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $8$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $8$ = $- \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- 4)$

$- 32$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{5}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.9), -g(-0.9) und h(-0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(0.9) = - ${0,9}^{2}$ < 0
-g(-0.9) = - ${(- 0,9)}^{3}$ > 0
h(-0.9) = ${(- 0,9)}^{4}$ > 0

Da -f(0.9) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt -g(-0.9) > h(-0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.9⁴ =0.9³ ⋅ 0.9.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.9)= - ${0,9}^{2}$ < h(-0.9)= ${(- 0,9)}^{4}$ < -g(-0.9)= - ${(- 0,9)}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 1)}^{3} + 2$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= ${(x - 1)}^{3} + 2$ ein:

f(-1) = ${(- 1 - 1)}^{3} + 2$

= ${(- 2)}^{3} + 2$

= $(- 8) + 2$

= $- 6$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen