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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{4} - 32$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{4} - 32$	=	0	\| $+ 32$
$2 x^{4}$	=	$32$	\|: $2$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 3) \cdot (x - 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0.

x (x + 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

(x + 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 13)}^{3} + 56$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $- 2 {(x^{2} - 13)}^{3} + 56$ = 2.

$- 2 {(x^{2} - 13)}^{3} + 56$	=	$2$	\| $- 56$
$- 2 {(x^{2} - 13)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 13)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 13$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x^{2} - 13$	=	$3$	\| $+ 13$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 2.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 7 x^{2} + 56 x - 195$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 7 x^{2} + 56 x - 195

=

- 3 x^{2} + 1

|

+ 3 x^{2}

- 1

- 4 x^{2} + 56 x - 196

= 0 |:4

$- x^{2} + 14 x - 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 49)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 49$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $7$ ) = $- 3 \cdot 7^{2} + 1$ = $- 146$ ⇒ S₁( $7$ | $- 146$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 2$ ) und B(-2| $- 8$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 2$ ) und B(-2| $- 8$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 2$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 8$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 2$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 8$ = $- 2 \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{2})$

$4$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 2 x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.5), -g(0.5) und -h(-0.5), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(0.5) = - ${0,5}^{2}$ < 0
-g(0.5) = - ${0,5}^{3}$ < 0
-h(-0.5) = - ${(- 0,5)}^{4}$ < 0

Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Und weil 0.5 < 1 ist, werden die Betrags-Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5³ =0.5² ⋅ 0.5 bzw. 0.5⁴ =0.5³ ⋅ 0.5,
d.h. 0.5³ < 0.5², also gilt - 0.5³ > - 0.5² und 0.5⁴ < 0.5³, also gilt - 0.5⁴ > - 0.5³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.5)= - ${0,5}^{2}$ < -g(0.5)= - ${0,5}^{3}$ < -h(-0.5)= - ${(- 0,5)}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $4 x^{5} - 2 x^{3} - 9$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $4 x^{5} - 2 x^{3} - 9$ ein:

f(1) = $4 \cdot 1^{5} - 2 \cdot 1^{3} - 9$

= $4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 9$

= $4 - 2 - 9$

= $2 - 9$

= $- 7$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen