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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{5} + 8 x^{4} - 12 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{5} + 8 x^{4} - 12 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (- x^{2} + 8 x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 12)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 8 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8+4}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 8 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 8-4}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 12$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 12$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 12$ = $16$ $-$ $12$ = $4$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $4$ - $2$ = 2

x₂ = $4$ + $2$ = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0), S₃( $6$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{6} - x^{3} - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{6} - x^{3} - 2$ = -2.

$x^{6} - x^{3} - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{6} - x^{3} - 2 + 2$	=	0
$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 4)}^{3} + 12$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(x - 4)}^{3} + 12$ = -4.

$- 2 {(x - 4)}^{3} + 12$	=	$- 4$	\| $- 12$
$- 2 {(x - 4)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $(- 2)$
${(x - 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$x$	=	$6$

An der Stelle x₁ = $6$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 15$ und $g(x) =$ $x^{3} - 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 15

=

x^{3} - 4 x

|

- x^{3}

+ 4 x

3 x^{2} - 12 x - 15

= 0 |:3

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{3} - 4 \cdot (- 1)$ = $3$ ⇒ S₁( $- 1$ | $3$ )

g( $5$ ) = $5^{3} - 4 \cdot 5$ = $105$ ⇒ S₂( $5$ | $105$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $1$ ) und B(2| $32$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $1$ ) und B(2| $32$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $32$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $32$ = $2^{n}$ | ⋅ $1$

$32$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $x^{5}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.4), -g(-0.4) und -h(-0.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.4) = - ${(- 0,4)}^{2}$ < 0
-g(-0.4) = - ${(- 0,4)}^{3}$ > 0
-h(-0.4) = - ${(- 0,4)}^{4}$ < 0

Da -g(-0.4) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-0.4) < -h(-0.4). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.4⁴ =0.4² ⋅ 0.4 ⋅ 0.4, d.h. 0.4⁴ < 0.4², also gilt - 0.4⁴ > - 0.4².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.4)= - ${(- 0,4)}^{2}$ < -h(-0.4)= - ${(- 0,4)}^{4}$ < -g(-0.4)= - ${(- 0,4)}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 4 x^{2} + 2 x + 3$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $- 4 x^{2} + 2 x + 3$ ein:

f(-2) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) + 3$

= $- 4 \cdot 4 - 4 + 3$

= $- 16 - 4 + 3$

= $- 20 + 3$

= $- 17$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen