Mathebattle EduRandomtasks

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - 2 x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{2} - 2 x$	=	0
$x (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 5 x - 8$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{2} - 5 x - 8$ = -2.

x^{2} - 5 x - 8

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5+7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{5-7}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(- 4 + 2 x)}^{3} + 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $- 2 {(- 4 + 2 x)}^{3} + 11$ = -5.

$- 2 {(- 4 + 2 x)}^{3} + 11$	=	$- 5$
$- 2 {(2 x - 4)}^{3} + 11$	=	$- 5$	\| $- 11$
$- 2 {(2 x - 4)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $(- 2)$
${(2 x - 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x - 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$2 x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$2 x$	=	$6$	\|: $2$
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 81$ und $g(x) =$ $- 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} - 2 x^{3} + 2 x^{2} + 81$	=	$- 2 x^{3} + 2 x^{2}$	\| $- 81$ $+ 2 x^{3}$ $- 2 x^{2}$
$- x^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- 2 \cdot {(- 3)}^{3} + 2 \cdot {(- 3)}^{2}$ = $72$ ⇒ S₁( $- 3$ | $72$ )

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2}$ = $- 36$ ⇒ S₂( $3$ | $- 36$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{4}$ ) und B(4| $4$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{4}$ ) und B(4| $4$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $4$ = $a \cdot 4^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $4$ = $\frac{1}{4} \cdot 4^{n}$ | ⋅ $4$

$16$ = $4^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-0.4), -g(-0.4) und h(0.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-0.4) = ${(- 0,4)}^{2}$ > 0
-g(-0.4) = - ${(- 0,4)}^{3}$ > 0
h(0.4) = ${0,4}^{4}$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 0.4 < 1 ist, werden die Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.4³ =0.4² ⋅ 0.4 bzw. 0.4⁴ =0.4³ ⋅ 0.4.

Die richtige Reihenfolge ist also:
h(0.4)= ${0,4}^{4}$ < -g(-0.4)= - ${(- 0,4)}^{3}$ < f(-0.4)= ${(- 0,4)}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $4 x^{3} - 4 x^{2} - 7$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $4 x^{3} - 4 x^{2} - 7$ ein:

f(-2) = $4 \cdot {(- 2)}^{3} - 4 \cdot {(- 2)}^{2} - 7$

= $4 \cdot (- 8) - 4 \cdot 4 - 7$

= $- 32 - 16 - 7$

= $- 48 - 7$

= $- 55$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen