An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^4+x$	=	0
$x·\left(x^3+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-1$|0), S₂(0|0)

Es gilt f(x) = -1, also $x^5-x^3-1$ = -1.

$x^5-x^3-1$	=	$-1$	| $+1$
$x^5-x^3-1+1$	=	0
$x^5-x^3$	=	0
$x^3·\left(x^2-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-1$, x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -1.

Es gilt f(x) = -1, also $-2{\left(x-4\right)}^4+161$ = -1.

$-2{\left(x-4\right)}^4+161$	=	$-1$	| $-161$
$-2{\left(x-4\right)}^4$	=	$-162$	|: $\left(-2\right)$
${\left(x-4\right)}^4$	=	$81$	|

1. Fall

2. Fall

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= -1.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^4+4x^2+2$	=	$5x^2+2$	| $-2$
$x^4+4x^2$	=	$5x^2$	| $-5x^2$
$x^4+4x^2-5x^2$	=	0
$x^4-x^2$	=	0
$x^2·\left(x^2-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-1$) = $5\cdot {\left(-1\right)}^2+2$ = $7$ ⇒ S₁( $-1$| $7$)

g(0) = $5\cdot 0^2+2$ = $2$ ⇒ S₂(0| $2$)

g( $1$) = $5\cdot 1^2+2$ = $7$ ⇒ S₃( $1$| $7$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-\frac{3}{4}$) und B(2|$-3$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{3}{4}$ = $a·1^n$
II: $-3$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-\frac{3}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-3$ = $-\frac{3}{4}\cdot 2^n$ | ⋅ $\left(-\frac{4}{3}\right)$

$4$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{4}{x}^2$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• -f(-0.5) = - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^2$ < 0
• -g(-0.5) = - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^3$ > 0
• -h(-0.5) = - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^4$ < 0

Da -g(-0.5) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-0.5) < -h(-0.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5⁴ =0.5² ⋅ 0.5 ⋅ 0.5, d.h. 0.5⁴ < 0.5², also gilt - 0.5⁴ > - 0.5².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.5)= - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^2$ < -h(-0.5)= - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^4$ < -g(-0.5)= - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^3$.

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $2x^4+5$ ein:

f(-2) = $2\cdot {\left(-2\right)}^4+5$

= $2\cdot 16+5$

= $32+5$

= $37$