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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 4 x^{2} - 30 x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} - 4 x^{2} - 30 x$	=	0
$2 x \cdot (x^{2} - 2 x - 15)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2+8}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{2-8}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $1$ - $4$ = -3

x₂ = $1$ + $4$ = 5

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂(0|0), S₃( $5$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 4 x - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} - 4 x - 1$ = -5.

x^{2} - 4 x - 1

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} - 4 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 4$ = $4$ $-$ $4$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $2$ ± 0 = $2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 5 + 2 x)}^{3} + 55$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(- 5 + 2 x)}^{3} + 55$ = 1.

$2 {(- 5 + 2 x)}^{3} + 55$	=	$1$
$2 {(2 x - 5)}^{3} + 55$	=	$1$	\| $- 55$
$2 {(2 x - 5)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(2 x - 5)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x - 5$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$2 x - 5$	=	$- 3$	\| $+ 5$
$2 x$	=	$2$	\|: $2$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= 1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 126$ und $g(x) =$ $x^{3} - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 126$	=	$x^{3} - 1$	\| $+ 126$
$2 x^{3}$	=	$x^{3} + 125$	\| $- x^{3}$
$x^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $5$ ) = $5^{3} - 1$ = $124$ ⇒ S₁( $5$ | $124$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{3}$ ) und B(-2| $\frac{16}{3}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{3}$ ) und B(-2| $\frac{16}{3}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{16}{3}$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{16}{3}$ = $\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $3$

$16$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.5), -g(-0.5) und h(-0.5), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.5) = ${0,5}^{2}$ > 0
-g(-0.5) = - ${(- 0,5)}^{3}$ > 0
h(-0.5) = ${(- 0,5)}^{4}$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 0.5 < 1 ist, werden die Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5³ =0.5² ⋅ 0.5 bzw. 0.5⁴ =0.5³ ⋅ 0.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
h(-0.5)= ${(- 0,5)}^{4}$ < -g(-0.5)= - ${(- 0,5)}^{3}$ < f(0.5)= ${0,5}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(3 x + 5)}^{3} + 5$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= ${(3 x + 5)}^{3} + 5$ ein:

f(-2) = ${(3 \cdot (- 2) + 5)}^{3} + 5$

= ${(- 6 + 5)}^{3} + 5$

= ${(- 1)}^{3} + 5$

= $(- 1) + 5$

= $4$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen