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Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 - x 2 mit der x-Achse.

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An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 - x 2 = 0
x 2 · ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 1 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x ( x -4 ) ( x +3 ) 2 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

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Es gilt f(x) = 0, also x ( x -4 ) ( x +3 ) 2 = 0.

x ( x -4 ) ( x +3 ) 2 = 0
x ( x +3 ) 2 · ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

( x +3 ) 2 · ( x -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

( x +3 ) 2 = 0 | ⋅2
x +3 = 0
x +3 = 0 | -3
x2 = -3

2. Fall:

x -4 = 0 | +4
x3 = 4

An den Stellen x1 = -3 , x2 = 0 und x3 = 4 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 4 +166 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

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Es gilt f(x) = 4, also 2 x 4 +166 = 4.

2 x 4 +166 = 4 | -166
2 x 4 = -162 |:2
x 4 = -81 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= 4 gilt.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -3 x 3 +35 x 2 -75x +1 und g(x)= 5 x 2 +1 .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-3 x 3 +35 x 2 -75x +1 = 5 x 2 +1 | -1
-3 x 3 +35 x 2 -75x = 5 x 2 | -5 x 2
-3 x 3 +35 x 2 -5 x 2 -75x = 0
-3 x 3 +30 x 2 -75x = 0
3 x · ( - x 2 +10x -25 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +10x -25 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -10 ± 10 2 -4 · ( -1 ) · ( -25 ) 2⋅( -1 )

x2,3 = -10 ± 100 -100 -2

x2,3 = -10 ± 0 -2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = -10 -2 = 5

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +10x -25 = 0 |: -1

x 2 -10x +25 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -5 ) 2 - 25 = 25 - 25 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 5 ± 0 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = 5⋅ 0 2 +1 = 1 ⇒ S1(0| 1 )

g( 5 ) = 5⋅ 5 2 +1 = 126 ⇒ S2( 5 | 126 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| 1 2 ) und B(2|4 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| 1 2 ) und B(2|4 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 1 2 = a · 1 n
II: 4 = a · 2 n

Aus I ergibt sich ja sofort 1 2 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 4 = 1 2 ⋅ 2 n | ⋅ 2

8 = 2 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=3

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= 1 2 x 3

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.4), g(-0.4) und h(-0.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden
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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • -f(0.4) = - 0,4 2 < 0
  • g(-0.4) = ( -0,4 ) 3 < 0
  • h(-0.4) = ( -0,4 ) 4 > 0

    • Da h(-0.4) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

    Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Dabei gilt -f(0.4) < g(-0.4). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    0.43 =0.42 ⋅ 0.4, d.h. 0.43 < 0.42, also gilt - 0.43 > - 0.42.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -f(0.4)= - 0,4 2 < g(-0.4)= ( -0,4 ) 3 < h(-0.4)= ( -0,4 ) 4 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( -2x +5 ) 2 +2 . Berechne den Funktionswert f(2).

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Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= 2 ( -2x +5 ) 2 +2 ein:

f(2) = 2⋅ ( -2⋅2 +5 ) 2 +2

= 2⋅ ( -4 +5 ) 2 +2

= 2⋅ 1 2 +2

= 2⋅1 +2

= 2 +2

= 4