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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 128$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} + 128$	=	0	\| $- 128$
$2 x^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 7 x + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{2} - 7 x + 3$ = -3.

x^{2} - 7 x + 3

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 7 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7+5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{7-5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{7}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{7}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{7}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 4)}^{4} - 20$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also ${(x - 4)}^{4} - 20$ = -4.

${(x - 4)}^{4} - 20$	=	$- 4$	\| $+ 20$
${(x - 4)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
x₁	=	$2$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
x₂	=	$6$

An den Stellen x₁ = $2$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} - 32$ und $g(x) =$ $- 3 x^{3} - 5 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} - 32$	=	$- 3 x^{3} - 5 x^{2}$	\| $+ 32$ $+ 3 x^{3}$ $+ 5 x^{2}$
$- 2 x^{4}$	=	$32$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $1$ ) und B(2| $4$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $1$ ) und B(2| $4$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $4$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $4$ = $2^{n}$ | ⋅ $1$

$4$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.7), -g(0.7) und -h(0.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.7) = ${0,7}^{2}$ > 0
-g(0.7) = - ${0,7}^{3}$ < 0
-h(0.7) = - ${0,7}^{4}$ < 0

Da f(0.7) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -g(0.7) < -h(0.7). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.7⁴ =0.7³ ⋅ 0.7, d.h. 0.7⁴ < 0.7³, also gilt - 0.7⁴ > - 0.7³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(0.7)= - ${0,7}^{3}$ < -h(0.7)= - ${0,7}^{4}$ < f(0.7)= ${0,7}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $4 x^{4} - 3 x - 9$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $4 x^{4} - 3 x - 9$ ein:

f(2) = $4 \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2 - 9$

= $4 \cdot 16 - 6 - 9$

= $64 - 6 - 9$

= $58 - 9$

= $49$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen