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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + x^{2}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} + x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 8 x + 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $x^{4} - 8 x + 2$ = 2.

$x^{4} - 8 x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
$x^{4} - 8 x + 2 - 2$	=	0
$x^{4} - 8 x$	=	0
$x (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 5)}^{3} + 14$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $2 {(x + 5)}^{3} + 14$ = -2.

$2 {(x + 5)}^{3} + 14$	=	$- 2$	\| $- 14$
$2 {(x + 5)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
${(x + 5)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 5$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$x + 5$	=	$- 2$	\| $- 5$
$x$	=	$- 7$

An der Stelle x₁ = $- 7$ gilt also f(x)= -2.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 62$ und $g(x) =$ $- 4 x^{3} + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 4 x^{3} + 3 x^{2} + 12 x - 62

=

- 4 x^{3} + 1

|

+ 4 x^{3}

- 1

3 x^{2} + 12 x - 63

= 0 |:3

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $- 4 \cdot {(- 7)}^{3} + 1$ = $1 373$ ⇒ S₁( $- 7$ | $1 373$ )

g( $3$ ) = $- 4 \cdot 3^{3} + 1$ = $- 107$ ⇒ S₂( $3$ | $- 107$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{2}{3}$ ) und B(-3| $18$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{2}{3}$ ) und B(-3| $18$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{2}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $18$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{2}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $18$ = $- \frac{2}{3} \cdot {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $(- \frac{3}{2})$

$- 27$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{2}{3} x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.7), -g(-0.7) und -h(-0.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.7) = ${0,7}^{2}$ > 0
-g(-0.7) = - ${(- 0,7)}^{3}$ > 0
-h(-0.7) = - ${(- 0,7)}^{4}$ < 0

Da -h(-0.7) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(0.7) > -g(-0.7). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.7³ =0.7² ⋅ 0.7.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-0.7)= - ${(- 0,7)}^{4}$ < -g(-0.7)= - ${(- 0,7)}^{3}$ < f(0.7)= ${0,7}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 3 {(3 x - 5)}^{4} + 1$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $- 3 {(3 x - 5)}^{4} + 1$ ein:

f(2) = $- 3 \cdot {(3 \cdot 2 - 5)}^{4} + 1$

= $- 3 \cdot {(6 - 5)}^{4} + 1$

= $- 3 \cdot 1^{4} + 1$

= $- 3 \cdot 1 + 1$

= $- 3 + 1$

= $- 2$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen