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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - x$	=	0
$x (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - x - 40$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $x^{2} - x - 40$ = 2.

x^{2} - x - 40

=

2

|

- 2

$x^{2} - x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1+13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{1-13}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x^{2} - 21)}^{3} - 247$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- 2 {(x^{2} - 21)}^{3} - 247$ = 3.

$- 2 {(x^{2} - 21)}^{3} - 247$	=	$3$	\| $+ 247$
$- 2 {(x^{2} - 21)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(x^{2} - 21)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 21$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x^{2} - 21$	=	$- 5$	\| $+ 21$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{2} - x$ und $g(x) =$ $2 x^{2} - x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 2 x^{2} - x$	=	$2 x^{2} - x$	\| $- (2 x^{2} - x)$
$x^{4} - 2 x^{2} - 2 x^{2} - x + x$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2)$ = $10$ ⇒ S₁( $- 2$ | $10$ )

g(0) = $2 \cdot 0^{2} - 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $2$ ) = $2 \cdot 2^{2} - 2$ = $6$ ⇒ S₃( $2$ | $6$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{3}$ ) und B(-3| $9$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{3}$ ) und B(-3| $9$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $9$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $9$ = $- \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $(- 3)$

$- 27$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{3} x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.4), g(0.4) und -h(-0.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.4) = - ${(- 0,4)}^{2}$ < 0
g(0.4) = ${0,4}^{3}$ > 0
-h(-0.4) = - ${(- 0,4)}^{4}$ < 0

Da g(0.4) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-0.4) < -h(-0.4). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.4⁴ =0.4² ⋅ 0.4 ⋅ 0.4, d.h. 0.4⁴ < 0.4², also gilt - 0.4⁴ > - 0.4².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.4)= - ${(- 0,4)}^{2}$ < -h(-0.4)= - ${(- 0,4)}^{4}$ < g(0.4)= ${0,4}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 4 x^{5} + 5 x + 7$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $- 4 x^{5} + 5 x + 7$ ein:

f(-2) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{5} + 5 \cdot (- 2) + 7$

= $- 4 \cdot (- 32) - 10 + 7$

= $128 - 10 + 7$

= $118 + 7$

= $125$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen