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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{3} - 16 x^{2} - 48 x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$4 x^{3} - 16 x^{2} - 48 x$	=	0
$4 x (x^{2} - 4 x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4+8}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{4-8}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $2$ - $4$ = -2

x₂ = $2$ + $4$ = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $6$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 12 x + 39$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{2} - 12 x + 39$ = 3.

x^{2} - 12 x + 39

=

3

|

- 3

$x^{2} - 12 x + 36$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 12 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 6)}^{2} - 36$ = $36$ $-$ $36$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $6$ ± 0 = $6$

An der Stelle x₁ = $6$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 1)}^{4} + 12$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- {(x - 1)}^{4} + 12$ = -4.

$- {(x - 1)}^{4} + 12$	=	$- 4$	\| $- 12$
$- {(x - 1)}^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x - 1)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 1$	=	$- 2$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall

x - 1

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 1$	=	$2$	\| $+ 1$
x₂	=	$3$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 x^{2} + 15 x - 22$ und $g(x) =$ $- 3 x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

3 x^{2} + 15 x - 22

=

- 3 x - 1

|

+ 3 x

+ 1

3 x^{2} + 18 x - 21

= 0 |:3

$x^{2} + 6 x - 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 7)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6+8}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 6-8}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $3^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $- 3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 3$ - $4$ = -7

x₂ = $- 3$ + $4$ = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $- 3 \cdot (- 7) - 1$ = $20$ ⇒ S₁( $- 7$ | $20$ )

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1 - 1$ = $- 4$ ⇒ S₂( $1$ | $- 4$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(-4| $12$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(-4| $12$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $12$ = $a \cdot {(- 4)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $12$ = $\frac{3}{4} \cdot {(- 4)}^{n}$ | ⋅ $\frac{4}{3}$

$16$ = ${(- 4)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.4), g(-0.4) und -h(-0.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.4) = ${0,4}^{2}$ > 0
g(-0.4) = ${(- 0,4)}^{3}$ < 0
-h(-0.4) = - ${(- 0,4)}^{4}$ < 0

Da f(0.4) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt g(-0.4) < -h(-0.4). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.4⁴ =0.4³ ⋅ 0.4, d.h. 0.4⁴ < 0.4³, also gilt - 0.4⁴ > - 0.4³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
g(-0.4)= ${(- 0,4)}^{3}$ < -h(-0.4)= - ${(- 0,4)}^{4}$ < f(0.4)= ${0,4}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- x^{3} + 3 x^{2} + 9$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $- x^{3} + 3 x^{2} + 9$ ein:

f(-1) = $- {(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} + 9$

= $- (- 1) + 3 \cdot 1 + 9$

= $1 + 3 + 9$

= $4 + 9$

= $13$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen