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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 18 x^{3} - 36 x^{2}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} + 18 x^{3} - 36 x^{2}$	=	0
$2 x^{2} \cdot (- x^{2} + 9 x - 18)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 18)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 72}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 9 + \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9+3}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 9 - \sqrt{9}}{- 2}$ = $\frac{- 9-3}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 18$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 18$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $18$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $3$ |0), S₃( $6$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 5 x - 9$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{2} + 5 x - 9$ = -3.

x^{2} + 5 x - 9

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 5 x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5+7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 5-7}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 x^{3} - 249$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $- 2 x^{3} - 249$ = 1.

$- 2 x^{3} - 249$	=	$1$	\| $+ 249$
$- 2 x^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

An der Stelle x₁ = $- 5$ gilt also f(x)= 1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} - 2 x + 17$ und $g(x) =$ $- 2 x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} - 2 x + 17$	=	$- 2 x + 1$	\| $- 17$
$- x^{4} - 2 x$	=	$- 2 x - 16$	\| $+ 2 x$
$- x^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 2 \cdot (- 2) + 1$ = $5$ ⇒ S₁( $- 2$ | $5$ )

g( $2$ ) = $- 2 \cdot 2 + 1$ = $- 3$ ⇒ S₂( $2$ | $- 3$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(-2| $8$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(-2| $8$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $8$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $8$ = $\frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $2$

$16$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.3), -g(-0.3) und -h(0.3), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.3) = ${0,3}^{2}$ > 0
-g(-0.3) = - ${(- 0,3)}^{3}$ > 0
-h(0.3) = - ${0,3}^{4}$ < 0

Da -h(0.3) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(0.3) > -g(-0.3). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.3³ =0.3² ⋅ 0.3.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(0.3)= - ${0,3}^{4}$ < -g(-0.3)= - ${(- 0,3)}^{3}$ < f(0.3)= ${0,3}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $5 x^{3} + x + 7$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $5 x^{3} + x + 7$ ein:

f(2) = $5 \cdot 2^{3} + 2 + 7$

= $5 \cdot 8 + 2 + 7$

= $40 + 2 + 7$

= $42 + 7$

= $49$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen