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Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= 5 x 3 +10 x 2 -40x mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

5 x 3 +10 x 2 -40x = 0
5 x · ( x 2 +2x -8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 +2x -8 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -2 ± 2 2 -4 · 1 · ( -8 ) 2⋅1

x2,3 = -2 ± 4 +32 2

x2,3 = -2 ± 36 2

x2 = -2 + 36 2 = -2 +6 2 = 4 2 = 2

x3 = -2 - 36 2 = -2 -6 2 = -8 2 = -4

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = 1 2 - ( -8 ) = 1+ 8 = 9

x1,2 = -1 ± 9

x1 = -1 - 3 = -4

x2 = -1 + 3 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -4 |0), S2(0|0), S3( 2 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 + x +5 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

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Es gilt f(x) = 5, also x 4 + x +5 = 5.

x 4 + x +5 = 5 | -5
x 4 + x +5 -5 = 0
x 4 + x = 0
x · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

An den Stellen x1 = -1 und x2 = 0 gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 +15 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

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Es gilt f(x) = -1, also x 4 +15 = -1.

x 4 +15 = -1 | -15
x 4 = -16 | ⋅4

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -1 gilt.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 6 + x 3 +5 x 2 - x und g(x)= 5 x 2 - x .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 + x 3 +5 x 2 - x = 5 x 2 - x | - ( 5 x 2 - x )
x 6 + x 3 +5 x 2 -5 x 2 - x + x = 0
x 6 + x 3 = 0
x 3 · ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | ⋅3
x2 = - 1 3 = -1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -1 ) = 5⋅ ( -1 ) 2 - ( -1 ) = 6 ⇒ S1( -1 | 6 )

g(0) = 5⋅ 0 2 - 0 = 0 ⇒ S2(0|0)

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|3) und B(-2|12 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|3) und B(-2|12 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 3 = a · 1 n
II: 12 = a · (-2) n

Aus I ergibt sich ja sofort 3 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 12 = 3⋅ (-2) n | ⋅ 1 3

4 = (-2) n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=2

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= 3 x 2

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.9), -g(0.9) und -h(-0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden
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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • -f(0.9) = - 0,9 2 < 0
  • -g(0.9) = - 0,9 3 < 0
  • -h(-0.9) = - ( -0,9 ) 4 < 0

    • Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Und weil 0.9 < 1 ist, werden die Betrags-Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    0.93 =0.92 ⋅ 0.9 bzw. 0.94 =0.93 ⋅ 0.9,
    d.h. 0.93 < 0.92, also gilt - 0.93 > - 0.92 und 0.94 < 0.93, also gilt - 0.94 > - 0.93.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -f(0.9)= - 0,9 2 < -g(0.9)= - 0,9 3 < -h(-0.9)= - ( -0,9 ) 4 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 ( 2x +3 ) 2 +1 . Berechne den Funktionswert f(-2).

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Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= 2 ( 2x +3 ) 2 +1 ein:

f(-2) = 2⋅ ( 2⋅( -2 ) +3 ) 2 +1

= 2⋅ ( -4 +3 ) 2 +1

= 2⋅ ( -1 ) 2 +1

= 2⋅1 +1

= 2 +1

= 3