An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$3x^4-24x^3+36x^2$	=	0
$3x^2·\left(x^2-8x+12\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$|0), S₃( $6$|0)

Es gilt f(x) = 3, also $x^4+x+3$ = 3.

$x^4+x+3$	=	$3$	| $-3$
$x^4+x+3-3$	=	0
$x^4+x$	=	0
$x·\left(x^3+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 3.

Es gilt f(x) = 4, also $-{\left(x+4\right)}^4+85$ = 4.

$-{\left(x+4\right)}^4+85$	=	$4$	| $-85$
$-{\left(x+4\right)}^4$	=	$-81$	|: $\left(-1\right)$
${\left(x+4\right)}^4$	=	$81$	|

1. Fall

2. Fall

An den Stellen x₁ = $-7$ und x₂ = $-1$ gilt also f(x)= 4.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^6-8x^3+2x+5$	=	$2x+5$	| $-5$
$x^6-8x^3+2x$	=	$2x$	| $-2x$
$x^6-8x^3+2x-2x$	=	0
$x^6-8x^3$	=	0
$x^3·\left(x^3-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $2\cdot 0+5$ = $5$ ⇒ S₁(0| $5$)

g( $2$) = $2\cdot 2+5$ = $9$ ⇒ S₂( $2$| $9$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{1}{2}$) und B(-3|$-\frac{27}{2}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a·1^n$
II: $-\frac{27}{2}$ = $a·{\left(-3\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-\frac{27}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^n$ | ⋅ $2$

$-27$ = ${\left(-3\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• -f(0.4) = - ${\mathrm{0,4}}^2$ < 0
• -g(0.4) = - ${\mathrm{0,4}}^3$ < 0
• h(0.4) = ${\mathrm{0,4}}^4$ > 0

Da h(0.4) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(0.4) < -g(0.4). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.4³ =0.4² ⋅ 0.4, d.h. 0.4³ < 0.4², also gilt - 0.4³ > - 0.4².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.4)= - ${\mathrm{0,4}}^2$ < -g(0.4)= - ${\mathrm{0,4}}^3$ < h(0.4)= ${\mathrm{0,4}}^4$.

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $24x^3+2$ ein:

f(1) = $24\cdot 1^3+2$

= $24\cdot 1+2$

= $24+2$

= $26$