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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} + x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{2} + x$	=	0
$x (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 11$ = 5.

$x^{2} - 11$	=	$5$	\| $+ 11$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 2)}^{4} + 77$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- {(x + 2)}^{4} + 77$ = -4.

$- {(x + 2)}^{4} + 77$	=	$- 4$	\| $- 77$
$- {(x + 2)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x + 2)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
x₁	=	$- 5$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x + 2$	=	$3$	\| $- 2$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 44 x$ und $g(x) =$ $- x^{3} + 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 5 x^{3} - 12 x^{2} + 44 x$	=	$- x^{3} + 4 x$	\| $- (- x^{3} + 4 x)$
$- 5 x^{3} + x^{3} - 12 x^{2} + 44 x - 4 x$	=	0
$- 4 x^{3} - 12 x^{2} + 40 x$	=	0
$- 4 x (x^{2} + 3 x - 10)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 10)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3+7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{- 3-7}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{10}{2}$ = -5

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $- {(- 5)}^{3} + 4 \cdot (- 5)$ = $105$ ⇒ S₁( $- 5$ | $105$ )

g(0) = $- 0^{3} + 4 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $2$ ) = $- 2^{3} + 4 \cdot 2$ = 0 ⇒ S₃( $2$ |0)

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 3$ ) und B(2| $- 24$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 3$ ) und B(2| $- 24$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 3$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 24$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 24$ = $- 3 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{3})$

$8$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 3 x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.7), g(0.7) und h(0.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(0.7) = - ${0,7}^{2}$ < 0
g(0.7) = ${0,7}^{3}$ > 0
h(0.7) = ${0,7}^{4}$ > 0

Da -f(0.7) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt g(0.7) > h(0.7). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.7⁴ =0.7³ ⋅ 0.7.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.7)= - ${0,7}^{2}$ < h(0.7)= ${0,7}^{4}$ < g(0.7)= ${0,7}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x + 5)}^{3} + 1$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $2 {(2 x + 5)}^{3} + 1$ ein:

f(-2) = $2 \cdot {(2 \cdot (- 2) + 5)}^{3} + 1$

= $2 \cdot {(- 4 + 5)}^{3} + 1$

= $2 \cdot 1^{3} + 1$

= $2 \cdot 1 + 1$

= $2 + 1$

= $3$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen