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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $1$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 4) (x - 4)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 4) (x - 4)$ = 0.

$x (x - 4) (x - 4)$	=	0
$x {(x - 4)}^{2}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

${(x - 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 4$	=	0

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 5)}^{3} + 67$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(x - 5)}^{3} + 67$ = 3.

$- {(x - 5)}^{3} + 67$	=	$3$	\| $- 67$
$- {(x - 5)}^{3}$	=	$- 64$	\|: $(- 1)$
${(x - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$x$	=	$9$

An der Stelle x₁ = $9$ gilt also f(x)= 3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + x^{2} + 7 x$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} + x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} + x^{2} + 7 x$	=	$- 3 x^{2} + x$	\| $- (- 3 x^{2} + x)$
$- 2 x^{3} + x^{2} + 3 x^{2} + 7 x - x$	=	0
$- 2 x^{3} + 4 x^{2} + 6 x$	=	0
$2 x (- x^{2} + 2 x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2+4}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{- 2-4}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 1$ = $- 4$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 4$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0^{2} + 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $3$ ) = $- 3 \cdot 3^{2} + 3$ = $- 24$ ⇒ S₃( $3$ | $- 24$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $3$ ) und B(2| $24$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $3$ ) und B(2| $24$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $3$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $24$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $24$ = $3 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{3}$

$8$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $3 x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.8), g(-0.8) und -h(-0.8), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.8) = - ${(- 0,8)}^{2}$ < 0
g(-0.8) = ${(- 0,8)}^{3}$ < 0
-h(-0.8) = - ${(- 0,8)}^{4}$ < 0

Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Und weil 0.8 < 1 ist, werden die Betrags-Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.8³ =0.8² ⋅ 0.8 bzw. 0.8⁴ =0.8³ ⋅ 0.8,
d.h. 0.8³ < 0.8², also gilt - 0.8³ > - 0.8² und 0.8⁴ < 0.8³, also gilt - 0.8⁴ > - 0.8³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.8)= - ${(- 0,8)}^{2}$ < g(-0.8)= ${(- 0,8)}^{3}$ < -h(-0.8)= - ${(- 0,8)}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $5 x^{5} + 2$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $5 x^{5} + 2$ ein:

f(1) = $5 \cdot 1^{5} + 2$

= $5 \cdot 1 + 2$

= $5 + 2$

= $7$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen