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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x + 5)}^{4} + 32$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x + 5)}^{4} + 32$	=	0	\| $- 32$
$- 2 {(x + 5)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x + 5)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x + 5$	=	$- 2$	\| $- 5$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 5

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
x₂	=	$- 3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 7$ |0), S₂( $- 3$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 5) \cdot (x + 5)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 5) \cdot (x + 5)$ = 0.

$(x + 5) \cdot (x + 5)$	=	0
${(x + 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 5$	=	0

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
$x$	=	$- 5$

An der Stelle x₁ = $- 5$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 3)}^{3} - 62$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $- {(x - 3)}^{3} - 62$ = 2.

$- {(x - 3)}^{3} - 62$	=	$2$	\| $+ 62$
$- {(x - 3)}^{3}$	=	$64$	\|: $(- 1)$
${(x - 3)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$x - 3$	=	$- 4$	\| $+ 3$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 2.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{3} + 3 x^{2} + 19 x$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{3} + 3 x^{2} + 19 x$	=	$- x^{2} - 2 x$	\| $- (- x^{2} - 2 x)$
$- x^{3} + 3 x^{2} + x^{2} + 19 x + 2 x$	=	0
$- x^{3} + 4 x^{2} + 21 x$	=	0
$x \cdot (- x^{2} + 4 x + 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 4 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 21}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4+10}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4-10}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot (- 3)$ = $- 3$ ⇒ S₁( $- 3$ | $- 3$ )

g(0) = $- 0^{2} - 2 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $7$ ) = $- 7^{2} - 2 \cdot 7$ = $- 63$ ⇒ S₃( $7$ | $- 63$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(3| $\frac{81}{2}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(3| $\frac{81}{2}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{81}{2}$ = $a \cdot 3^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{81}{2}$ = $\frac{3}{2} \cdot 3^{n}$ | ⋅ $\frac{2}{3}$

$27$ = $3^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.6), -g(0.6) und h(0.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.6) = ${0,6}^{2}$ > 0
-g(0.6) = - ${0,6}^{3}$ < 0
h(0.6) = ${0,6}^{4}$ > 0

Da -g(0.6) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(0.6) > h(0.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.6⁴ =0.6² ⋅ 0.6 ⋅ 0.6.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(0.6)= - ${0,6}^{3}$ < h(0.6)= ${0,6}^{4}$ < f(0.6)= ${0,6}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(3 x + 2)}^{2} + 5$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $- {(3 x + 2)}^{2} + 5$ ein:

f(-1) = $- {(3 \cdot (- 1) + 2)}^{2} + 5$

= $- {(- 3 + 2)}^{2} + 5$

= $- {(- 1)}^{2} + 5$

= $- 1 + 5$

= $4$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen