Mathebattle EduRandomtasks

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 128$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{3} - 128$	=	0	\| $+ 128$
$- 2 x^{3}$	=	$128$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} - 8 x^{2} - 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{5} - 8 x^{2} - 3$ = -3.

$x^{5} - 8 x^{2} - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
$x^{5} - 8 x^{2} - 3 + 3$	=	0
$x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 1)}^{4} + 79$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $- {(x + 1)}^{4} + 79$ = -2.

$- {(x + 1)}^{4} + 79$	=	$- 2$	\| $- 79$
$- {(x + 1)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x + 1)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 1

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x + 1$	=	$- 3$	\| $- 1$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + 1

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x + 1$	=	$3$	\| $- 1$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -2.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 12 x + 54$ und $g(x) =$ $- 3 x + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 5 x^{2} + 12 x + 54

=

- 3 x + 4

|

+ 3 x

- 4

- 5 x^{2} + 15 x + 50

= 0 |:5

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 10}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 40}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3+7}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 3-7}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 10$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 10$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 10)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $10$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{40}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot (- 2) + 4$ = $10$ ⇒ S₁( $- 2$ | $10$ )

g( $5$ ) = $- 3 \cdot 5 + 4$ = $- 11$ ⇒ S₂( $5$ | $- 11$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{2}$ ) und B(2| $- 8$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{2}$ ) und B(2| $- 8$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 8$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 8$ = $- \frac{1}{2} \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- 2)$

$16$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.4), -g(1.4) und h(-1.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-1.4) = ${(- 1,4)}^{2}$ > 0
-g(1.4) = - ${1,4}^{3}$ < 0
h(-1.4) = ${(- 1,4)}^{4}$ > 0

Da -g(1.4) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-1.4) < h(-1.4). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.4⁴ =1.4² ⋅ 1.4 ⋅ 1.4.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(1.4)= - ${1,4}^{3}$ < f(-1.4)= ${(- 1,4)}^{2}$ < h(-1.4)= ${(- 1,4)}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $4 x^{3} - 2$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $4 x^{3} - 2$ ein:

f(-1) = $4 \cdot {(- 1)}^{3} - 2$

= $4 \cdot (- 1) - 2$

= $- 4 - 2$

= $- 6$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen