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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{2}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 3) \cdot (x + 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 3) \cdot (x + 1)$ = 0.

x (x + 3) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

(x + 3) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₃	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = $- 1$ und x₃ = 0 gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x^{2} - 33)}^{3} - 23$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also ${(x^{2} - 33)}^{3} - 23$ = 4.

${(x^{2} - 33)}^{3} - 23$	=	$4$	\| $+ 23$
${(x^{2} - 33)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x^{2} - 33$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x^{2} - 33$	=	$3$	\| $+ 33$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{3} - 2 x^{2} + 19 x + 3$ und $g(x) =$ $4 x + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{3} - 2 x^{2} + 19 x + 3$	=	$4 x + 3$	\| $- 3$
$- x^{3} - 2 x^{2} + 19 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$- x^{3} - 2 x^{2} + 19 x - 4 x$	=	0
$- x^{3} - 2 x^{2} + 15 x$	=	0
$- x \cdot (x^{2} + 2 x - 15)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 5$ ) = $4 \cdot (- 5) + 3$ = $- 17$ ⇒ S₁( $- 5$ | $- 17$ )

g(0) = $4 \cdot 0 + 3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$ )

g( $3$ ) = $4 \cdot 3 + 3$ = $15$ ⇒ S₃( $3$ | $15$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 4$ ) und B(-3| $108$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 4$ ) und B(-3| $108$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 4$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $108$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 4$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $108$ = $- 4 \cdot {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{4})$

$- 27$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 4 x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-1.4), g(-1.4) und h(1.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-1.4) = - ${(- 1,4)}^{2}$ < 0
g(-1.4) = ${(- 1,4)}^{3}$ < 0
h(1.4) = ${1,4}^{4}$ > 0

Da h(1.4) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-1.4) > g(-1.4). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.4³ =1.4² ⋅ 1.4, d.h. 1.4³ > 1.4², also gilt - 1.4³ < - 1.4².

Die richtige Reihenfolge ist also:
g(-1.4)= ${(- 1,4)}^{3}$ < -f(-1.4)= - ${(- 1,4)}^{2}$ < h(1.4)= ${1,4}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 5 x + 9$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $x^{2} - 5 x + 9$ ein:

f(2) = $2^{2} - 5 \cdot 2 + 9$

= $4 - 10 + 9$

= $3$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen