Mathebattle EduRandomtasks

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(3 + 2 x)}^{3} - 250$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(3 + 2 x)}^{3} - 250$	=	0
$- 2 {(2 x + 3)}^{3} - 250$	=	0	\| $+ 250$
$- 2 {(2 x + 3)}^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
${(2 x + 3)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 3$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$2 x + 3$	=	$- 5$	\| $- 3$
$2 x$	=	$- 8$	\|: $2$
$x$	=	$- 4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + x - 34$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $x^{2} + x - 34$ = -4.

x^{2} + x - 34

=

- 4

|

+ 4

$x^{2} + x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 30)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1+11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 1-11}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 30)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $30$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 3)}^{3} - 10$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also ${(x - 3)}^{3} - 10$ = -2.

${(x - 3)}^{3} - 10$	=	$- 2$	\| $+ 10$
${(x - 3)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 3$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
$x$	=	$5$

An der Stelle x₁ = $5$ gilt also f(x)= -2.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{3} - 6 x^{2}$ und $g(x) =$ $- x^{3} + 2 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - x^{3} - 6 x^{2}$	=	$- x^{3} + 2 x^{2}$	\| $- (- x^{3} + 2 x^{2})$
$x^{5} - x^{3} + x^{3} - 6 x^{2} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{5} - 8 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 8$	=	0	\| $+ 8$
$x^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 0^{3} + 2 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$ ) = $- 2^{3} + 2 \cdot 2^{2}$ = 0 ⇒ S₂( $2$ |0)

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(3| $\frac{81}{4}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(3| $\frac{81}{4}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{81}{4}$ = $a \cdot 3^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{81}{4}$ = $\frac{3}{4} \cdot 3^{n}$ | ⋅ $\frac{4}{3}$

$27$ = $3^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(1.3), g(1.3) und h(1.3), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(1.3) = - ${1,3}^{2}$ < 0
g(1.3) = ${1,3}^{3}$ > 0
h(1.3) = ${1,3}^{4}$ > 0

Da -f(1.3) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt g(1.3) < h(1.3). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.3⁴ =1.3³ ⋅ 1.3.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(1.3)= - ${1,3}^{2}$ < g(1.3)= ${1,3}^{3}$ < h(1.3)= ${1,3}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 5 x^{2} - 3 x - 9$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $- 5 x^{2} - 3 x - 9$ ein:

f(2) = $- 5 \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2 - 9$

= $- 5 \cdot 4 - 6 - 9$

= $- 20 - 6 - 9$

= $- 26 - 9$

= $- 35$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen