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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $5 x^{3} - 10 x^{2} - 15 x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$5 x^{3} - 10 x^{2} - 15 x$	=	0
$5 x \cdot (x^{2} - 2 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2+4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{2-4}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $1$ - $2$ = -1

x₂ = $1$ + $2$ = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $3$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 31$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 31$ = 5.

$x^{2} - 31$	=	$5$	\| $+ 31$
$x^{2}$	=	$36$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{36}$	= $- 6$
x₂	=	$\sqrt{36}$	= $6$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 2)}^{3} + 50$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(x - 2)}^{3} + 50$ = -4.

$- 2 {(x - 2)}^{3} + 50$	=	$- 4$	\| $- 50$
$- 2 {(x - 2)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
${(x - 2)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 2$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x - 2$	=	$3$	\| $+ 2$
$x$	=	$5$

An der Stelle x₁ = $5$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{2} - x - 4$ und $g(x) =$ $x - 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{2} - x - 4$	=	$x - 4$	\| $+ 4$
$x^{2} - x$	=	$x$	\| $- x$
$x^{2} - x - x$	=	0
$x^{2} - 2 x$	=	0
$x \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $0 - 4$ = $- 4$ ⇒ S₁(0| $- 4$ )

g( $2$ ) = $2 - 4$ = $- 2$ ⇒ S₂( $2$ | $- 2$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 4$ ) und B(2| $- 32$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 4$ ) und B(2| $- 32$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 4$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 32$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 4$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 32$ = $- 4 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{4})$

$8$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 4 x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.7), -g(-1.7) und h(1.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-1.7) = ${(- 1,7)}^{2}$ > 0
-g(-1.7) = - ${(- 1,7)}^{3}$ > 0
h(1.7) = ${1,7}^{4}$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 1.7 > 1 ist, werden die Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.7³ =1.7² ⋅ 1.7 bzw. 1.7⁴ =1.7³ ⋅ 1.7.

Die richtige Reihenfolge ist also:
f(-1.7)= ${(- 1,7)}^{2}$ < -g(-1.7)= - ${(- 1,7)}^{3}$ < h(1.7)= ${1,7}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x + 1)}^{2} + 4$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $- 2 {(x + 1)}^{2} + 4$ ein:

f(1) = $- 2 \cdot {(1 + 1)}^{2} + 4$

= $- 2 \cdot 2^{2} + 4$

= $- 2 \cdot 4 + 4$

= $- 8 + 4$

= $- 4$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen