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Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 4 -2 x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 4 -2 x 3 = 0
x 3 ( x -2 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x -2 = 0 | +2
x2 = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 2 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -14x +50 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

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Es gilt f(x) = 1, also x 2 -14x +50 = 1.

x 2 -14x +50 = 1 | -1

x 2 -14x +49 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +14 ± ( -14 ) 2 -4 · 1 · 49 2⋅1

x1,2 = +14 ± 196 -196 2

x1,2 = +14 ± 0 2

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = 14 2 = 7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -7 ) 2 - 49 = 49 - 49 = 0

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = 7 ± 0 = 7

An der Stelle x1 = 7 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x -2 ) 3 +69 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

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Es gilt f(x) = 5, also - ( x -2 ) 3 +69 = 5.

- ( x -2 ) 3 +69 = 5 | -69
- ( x -2 ) 3 = -64 |: ( -1 )
( x -2 ) 3 = 64 | ⋅3
x -2 = 64 3 = 4
x -2 = 4 | +2
x = 6

An der Stelle x1 = 6 gilt also f(x)= 5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 6 - x 3 -4 x 2 + x und g(x)= -4 x 2 + x .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 6 - x 3 -4 x 2 + x = -4 x 2 + x | - ( -4 x 2 + x )
x 6 - x 3 -4 x 2 +4 x 2 + x - x = 0
x 6 - x 3 = 0
x 3 ( x 3 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 -1 = 0 | +1
x 3 = 1 | ⋅3
x2 = 1 3 = 1

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = -4⋅ 0 2 +0 = 0 ⇒ S1(0|0)

g( 1 ) = -4⋅ 1 2 +1 = -3 ⇒ S2( 1 | -3 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|1) und B(3|9 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|1) und B(3|9 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 1 = a · 1 n
II: 9 = a · 3 n

Aus I ergibt sich ja sofort 1 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 9 = 3 n | ⋅ 1

9 = 3 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=2

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= x 2

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-0.6), -g(-0.6) und -h(0.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • f(-0.6) = ( -0,6 ) 2 > 0
  • -g(-0.6) = - ( -0,6 ) 3 > 0
  • -h(0.6) = - 0,6 4 < 0

    • Da -h(0.6) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

    Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

    Dabei gilt f(-0.6) > -g(-0.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    0.63 =0.62 ⋅ 0.6.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -h(0.6)= - 0,6 4 < -g(-0.6)= - ( -0,6 ) 3 < f(-0.6)= ( -0,6 ) 2 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -5 x 2 + x -4 . Berechne den Funktionswert f(-1).

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Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= -5 x 2 + x -4 ein:

f(-1) = -5⋅ ( -1 ) 2 -1 -4

= -5⋅1 -1 -4

= -5 -1 -4

= -6 -4

= -10