An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^4-x^2$	=	0
$x^2·\left(x^2-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-1$|0), S₂(0|0), S₃( $1$|0)

Es gilt f(x) = 0, also $x{\left(x+2\right)}^2{\left(x-1\right)}^2$ = 0.

$x{\left(x+2\right)}^2{\left(x-1\right)}^2$	=	0
$x{(\left(x+2\right)·\left(x-1\right))}^2$	=	0
${(\left(x+2\right)·\left(x-1\right))}^{2}x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-2$, x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = 5, also $-{\left(x+2\right)}^3-22$ = 5.

$-{\left(x+2\right)}^3-22$	=	$5$	| $+22$
$-{\left(x+2\right)}^3$	=	$27$	|: $\left(-1\right)$
${\left(x+2\right)}^3$	=	$-27$	|
$x+2$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

An der Stelle x₁ = $-5$ gilt also f(x)= 5.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$-2x^4-2x^2+2x-162$	=	$-2x^2+2x$	| $+162$ $+2x^2$ $-2x$
$-2x^4$	=	$162$	|: $\left(-2\right)$
$x^4$	=	$-81$	|

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-\frac{3}{2}$) und B(-2|$12$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{3}{2}$ = $a·1^n$
II: $12$ = $a·{\left(-2\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-\frac{3}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $12$ = $-\frac{3}{2}\cdot {\left(-2\right)}^n$ | ⋅ $\left(-\frac{2}{3}\right)$

$-8$ = ${\left(-2\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-\frac{3}{2}{x}^3$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(1.5) = ${\mathrm{1,5}}^2$ > 0
• g(1.5) = ${\mathrm{1,5}}^3$ > 0
• h(-1.5) = ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 1.5 > 1 ist, werden die Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.5³ =1.5² ⋅ 1.5 bzw. 1.5⁴ =1.5³ ⋅ 1.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
f(1.5)= ${\mathrm{1,5}}^2$ < g(1.5)= ${\mathrm{1,5}}^3$ < h(-1.5)= ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$.

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $-2{\left(x-2\right)}^3-1$ ein:

f(1) = $-2\cdot {\left(1-2\right)}^3-1$

= $-2\cdot {\left(-1\right)}^3-1$

= $-2\cdot \left(-1\right)-1$

= $2-1$

= $1$