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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x^{5} - 15 x^{4} + 18 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$3 x^{5} - 15 x^{4} + 18 x^{3}$	=	0
$3 x^{3} \cdot (x^{2} - 5 x + 6)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 5 x + 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{5 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5+1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{5 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{5-1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - 6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $6$ = $\frac{25}{4}$ $-$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0), S₃( $3$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 2) {(x - 4)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 2) {(x - 4)}^{2}$ = 0.

$(x + 2) {(x - 4)}^{2}$	=	0
${(x - 4)}^{2} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 4$	=	0

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₁	=	$4$

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(- 4 - 2 x)}^{3} - 125$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- 2 {(- 4 - 2 x)}^{3} - 125$ = 3.

$- 2 {(- 4 - 2 x)}^{3} - 125$	=	$3$
$- 2 {(- 2 x - 4)}^{3} - 125$	=	$3$	\| $+ 125$
$- 2 {(- 2 x - 4)}^{3}$	=	$128$	\|: $(- 2)$
${(- 2 x - 4)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x - 4$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$- 2 x - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

An der Stelle x₁ = 0 gilt also f(x)= 3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 5 x^{2} + 24$ und $g(x) =$ $5 x^{2} - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 5 x^{2} + 24$	=	$5 x^{2} - 3$	\| $- 24$
$x^{3} + 5 x^{2}$	=	$5 x^{2} - 27$	\| $- 5 x^{2}$
$x^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $5 \cdot {(- 3)}^{2} - 3$ = $42$ ⇒ S₁( $- 3$ | $42$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(3| $\frac{27}{2}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(3| $\frac{27}{2}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{27}{2}$ = $a \cdot 3^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{27}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot 3^{n}$ | ⋅ $2$

$27$ = $3^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-0.3), g(0.3) und h(-0.3), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-0.3) = ${(- 0,3)}^{2}$ > 0
g(0.3) = ${0,3}^{3}$ > 0
h(-0.3) = ${(- 0,3)}^{4}$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 0.3 < 1 ist, werden die Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.3³ =0.3² ⋅ 0.3 bzw. 0.3⁴ =0.3³ ⋅ 0.3.

Die richtige Reihenfolge ist also:
h(-0.3)= ${(- 0,3)}^{4}$ < g(0.3)= ${0,3}^{3}$ < f(-0.3)= ${(- 0,3)}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 5 x^{2} - 1$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $- 5 x^{2} - 1$ ein:

f(1) = $- 5 \cdot 1^{2} - 1$

= $- 5 \cdot 1 - 1$

= $- 5 - 1$

= $- 6$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen