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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} - 4 x^{4} + 16 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{5} - 4 x^{4} + 16 x^{3}$	=	0
$- 2 x^{3} (x^{2} + 2 x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + x^{3} + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $x^{4} + x^{3} + 1$ = 1.

$x^{4} + x^{3} + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{4} + x^{3} + 1 - 1$	=	0
$x^{4} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x - 3)}^{4} + 84$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(x - 3)}^{4} + 84$ = 3.

$- {(x - 3)}^{4} + 84$	=	$3$	\| $- 84$
$- {(x - 3)}^{4}$	=	$- 81$	\|: $(- 1)$
${(x - 3)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
x₁	=	0

2. Fall

x - 3

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x - 3$	=	$3$	\| $+ 3$
x₂	=	$6$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $6$ gilt also f(x)= 3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{3} - 65 x^{2} + 211 x + 2$ und $g(x) =$ $x + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{3} - 65 x^{2} + 211 x + 2$	=	$x + 2$	\| $- 2$
$5 x^{3} - 65 x^{2} + 211 x$	=	$x$	\| $- x$
$5 x^{3} - 65 x^{2} + 211 x - x$	=	0
$5 x^{3} - 65 x^{2} + 210 x$	=	0
$5 x (x^{2} - 13 x + 42)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $0 + 2$ = $2$ ⇒ S₁(0| $2$ )

g( $6$ ) = $6 + 2$ = $8$ ⇒ S₂( $6$ | $8$ )

g( $7$ ) = $7 + 2$ = $9$ ⇒ S₃( $7$ | $9$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-3| $- 9$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-3| $- 9$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 9$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 9$ = $- {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $(- 1)$

$9$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.9), -g(-0.9) und h(-0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(0.9) = - ${0,9}^{2}$ < 0
-g(-0.9) = - ${(- 0,9)}^{3}$ > 0
h(-0.9) = ${(- 0,9)}^{4}$ > 0

Da -f(0.9) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt -g(-0.9) > h(-0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.9⁴ =0.9³ ⋅ 0.9.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.9)= - ${0,9}^{2}$ < h(-0.9)= ${(- 0,9)}^{4}$ < -g(-0.9)= - ${(- 0,9)}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $5 x^{2} - 3$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $5 x^{2} - 3$ ein:

f(1) = $5 \cdot 1^{2} - 3$

= $5 \cdot 1 - 3$

= $5 - 3$

= $2$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen