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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} - 2 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 2 x - 23$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $x^{2} + 2 x - 23$ = 1.

x^{2} + 2 x - 23

=

1

|

- 1

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x + 2)}^{3} - 50$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $- 2 {(x + 2)}^{3} - 50$ = 4.

$- 2 {(x + 2)}^{3} - 50$	=	$4$	\| $+ 50$
$- 2 {(x + 2)}^{3}$	=	$54$	\|: $(- 2)$
${(x + 2)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 2$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x + 2$	=	$- 3$	\| $- 2$
$x$	=	$- 5$

An der Stelle x₁ = $- 5$ gilt also f(x)= 4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{4} - 50 x^{3} + 105 x^{2} - 2 x + 1$ und $g(x) =$ $- 2 x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{4} - 50 x^{3} + 105 x^{2} - 2 x + 1$	=	$- 2 x + 1$	\| $- 1$
$5 x^{4} - 50 x^{3} + 105 x^{2} - 2 x$	=	$- 2 x$	\| $+ 2 x$
$5 x^{4} - 50 x^{3} + 105 x^{2} - 2 x + 2 x$	=	0
$5 x^{4} - 50 x^{3} + 105 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} \cdot (x^{2} - 10 x + 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 2 \cdot 0 + 1$ = $1$ ⇒ S₁(0| $1$ )

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3 + 1$ = $- 5$ ⇒ S₂( $3$ | $- 5$ )

g( $7$ ) = $- 2 \cdot 7 + 1$ = $- 13$ ⇒ S₃( $7$ | $- 13$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $4$ ) und B(2| $32$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $4$ ) und B(2| $32$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $4$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $32$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $4$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $32$ = $4 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{4}$

$8$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $4 x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.8), -g(-0.8) und -h(-0.8), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(0.8) = - ${0,8}^{2}$ < 0
-g(-0.8) = - ${(- 0,8)}^{3}$ > 0
-h(-0.8) = - ${(- 0,8)}^{4}$ < 0

Da -g(-0.8) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(0.8) < -h(-0.8). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.8⁴ =0.8² ⋅ 0.8 ⋅ 0.8, d.h. 0.8⁴ < 0.8², also gilt - 0.8⁴ > - 0.8².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.8)= - ${0,8}^{2}$ < -h(-0.8)= - ${(- 0,8)}^{4}$ < -g(-0.8)= - ${(- 0,8)}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 x^{2} - 2 x + 2$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $2 x^{2} - 2 x + 2$ ein:

f(2) = $2 \cdot 2^{2} - 2 \cdot 2 + 2$

= $2 \cdot 4 - 4 + 2$

= $8 - 4 + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen