An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$4x^5-44x^4+120x^3$	=	0
$4x^3\left(x^2-11x+30\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $5$|0), S₃( $6$|0)

Es gilt f(x) = -3, also $x^2-39$ = -3.

$x^2-39$	=	$-3$	| $+39$
$x^2$	=	$36$	|
x1	=	$-\sqrt{36}$	= $-6$
x2	=	$\sqrt{36}$	= $6$

An den Stellen x₁ = $-6$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -3.

Es gilt f(x) = 3, also $-2x^3+57$ = 3.

$-2x^3+57$	=	$3$	| $-57$
$-2x^3$	=	$-54$	|: $\left(-2\right)$
$x^3$	=	$27$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= 3.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$4x^3+22$	=	$3x^3-5$	| $-22$
$4x^3$	=	$3x^3-27$	| $-3x^3$
$x^3$	=	$-27$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-3$) = $3\cdot {\left(-3\right)}^3-5$ = $-86$ ⇒ S₁( $-3$| $-86$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{4}{3}$) und B(2|$\frac{128}{3}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{4}{3}$ = $a·1^n$
II: $\frac{128}{3}$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{4}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{128}{3}$ = $\frac{4}{3}\cdot 2^n$ | ⋅ $\frac{3}{4}$

$32$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{4}{3}{x}^5$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(-1.6) = ${\left(-\mathrm{1,6}\right)}^2$ > 0
• g(1.6) = ${\mathrm{1,6}}^3$ > 0
• -h(-1.6) = - ${\left(-\mathrm{1,6}\right)}^4$ < 0

Da -h(-1.6) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-1.6) < g(1.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.6³ =1.6² ⋅ 1.6.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.6)= - ${\left(-\mathrm{1,6}\right)}^4$ < f(-1.6)= ${\left(-\mathrm{1,6}\right)}^2$ < g(1.6)= ${\mathrm{1,6}}^3$.

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $2{\left(x-1\right)}^3+1$ ein:

f(2) = $2\cdot {\left(2-1\right)}^3+1$

= $2\cdot 1^3+1$

= $2\cdot 1+1$

= $2+1$

= $3$