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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(x + 1)}^{3} + 54$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(x + 1)}^{3} + 54$	=	0	\| $- 54$
$- 2 {(x + 1)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
${(x + 1)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x + 1$	=	$3$	\| $- 1$
$x$	=	$2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 2 x^{3} - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{4} - 2 x^{3} - 2$ = -2.

$x^{4} - 2 x^{3} - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
$x^{4} - 2 x^{3} - 2 + 2$	=	0
$x^{4} - 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x + 4)}^{3} - 52$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $- 2 {(x + 4)}^{3} - 52$ = 2.

$- 2 {(x + 4)}^{3} - 52$	=	$2$	\| $+ 52$
$- 2 {(x + 4)}^{3}$	=	$54$	\|: $(- 2)$
${(x + 4)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$x + 4$	=	$- 3$	\| $- 4$
$x$	=	$- 7$

An der Stelle x₁ = $- 7$ gilt also f(x)= 2.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 3 x^{4} - 12 x^{3} + 61 x^{2} - x$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2} - x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 3 x^{4} - 12 x^{3} + 61 x^{2} - x$	=	$- 2 x^{2} - x$	\| $- (- 2 x^{2} - x)$
$- 3 x^{4} - 12 x^{3} + 61 x^{2} + 2 x^{2} - x + x$	=	0
$- 3 x^{4} - 12 x^{3} + 63 x^{2}$	=	0
$- 3 x^{2} \cdot (x^{2} + 4 x - 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $- 2 \cdot {(- 7)}^{2} - (- 7)$ = $- 91$ ⇒ S₁( $- 7$ | $- 91$ )

g(0) = $- 2 \cdot 0^{2} - 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} - 3$ = $- 21$ ⇒ S₃( $3$ | $- 21$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{2}$ ) und B(-2| $- 8$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{2}$ ) und B(-2| $- 8$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 8$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 8$ = $- \frac{1}{2} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- 2)$

$16$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(1.4), -g(1.4) und h(-1.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(1.4) = ${1,4}^{2}$ > 0
-g(1.4) = - ${1,4}^{3}$ < 0
h(-1.4) = ${(- 1,4)}^{4}$ > 0

Da -g(1.4) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(1.4) < h(-1.4). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.4⁴ =1.4² ⋅ 1.4 ⋅ 1.4.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(1.4)= - ${1,4}^{3}$ < f(1.4)= ${1,4}^{2}$ < h(-1.4)= ${(- 1,4)}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $3 x^{3} - 2$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $3 x^{3} - 2$ ein:

f(2) = $3 \cdot 2^{3} - 2$

= $3 \cdot 8 - 2$

= $24 - 2$

= $22$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen