An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^5-4x^3$	=	0
$x^3·\left(x^2-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-2$|0), S₂(0|0), S₃( $2$|0)

Es gilt f(x) = 0, also $x\left(x+4\right)·\left(x-4\right)$ = 0.

$x\left(x+4\right)·\left(x-4\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-4$, x₂ = 0 und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = 3, also ${\left(x-1\right)}^4-13$ = 3.

${\left(x-1\right)}^4-13$	=	$3$	| $+13$
${\left(x-1\right)}^4$	=	$16$	|

1. Fall

2. Fall

An den Stellen x₁ = $-1$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 3.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^3+2x^2-4x-5$	=	$2x^2-5$	| $+5$
$x^3+2x^2-4x$	=	$2x^2$	| $-2x^2$
$x^3+2x^2-2x^2-4x$	=	0
$x^3-4x$	=	0
$x·\left(x^2-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-2$) = $2\cdot {\left(-2\right)}^2-5$ = $3$ ⇒ S₁( $-2$| $3$)

g(0) = $2\cdot 0^2-5$ = $-5$ ⇒ S₂(0| $-5$)

g( $2$) = $2\cdot 2^2-5$ = $3$ ⇒ S₃( $2$| $3$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-1$) und B(-2|$32$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-1$ = $a·1^n$
II: $32$ = $a·{\left(-2\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $32$ = $-{\left(-2\right)}^n$ | ⋅ $\left(-1\right)$

$-32$ = ${\left(-2\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-x^5$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• -f(0.5) = - ${\mathrm{0,5}}^2$ < 0
• -g(-0.5) = - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^3$ > 0
• h(0.5) = ${\mathrm{0,5}}^4$ > 0

Da -f(0.5) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt -g(-0.5) > h(0.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5⁴ =0.5³ ⋅ 0.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.5)= - ${\mathrm{0,5}}^2$ < h(0.5)= ${\mathrm{0,5}}^4$ < -g(-0.5)= - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^3$.

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $-{\left(3x-2\right)}^3-1$ ein:

f(1) = $-{\left(3\cdot 1-2\right)}^3-1$

= $-{\left(3-2\right)}^3-1$

= $-1^3-1$

= $-1-1$

= $-2$