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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{5} + 10 x^{4} + 28 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{5} + 10 x^{4} + 28 x^{3}$	=	0
$2 x^{3} (- x^{2} + 5 x + 14)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5+9}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₃ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5-9}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $7$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + x^{3} + 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $x^{4} + x^{3} + 1$ = 1.

$x^{4} + x^{3} + 1$	=	$1$	\| $- 1$
$x^{4} + x^{3} + 1 - 1$	=	0
$x^{4} + x^{3}$	=	0
$x^{3} (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 2)}^{4} - 28$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $2 {(x - 2)}^{4} - 28$ = 4.

$2 {(x - 2)}^{4} - 28$	=	$4$	\| $+ 28$
$2 {(x - 2)}^{4}$	=	$32$	\|: $2$
${(x - 2)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 2

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
x₁	=	0

2. Fall

x - 2

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 2$	=	$2$	\| $+ 2$
x₂	=	$4$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 16$ und $g(x) =$ $2 x^{3} - x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 16$	=	$2 x^{3} - x^{2}$	\| $- 16$ $- 2 x^{3}$ $+ x^{2}$
$- x^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $2 \cdot {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2}$ = $- 20$ ⇒ S₁( $- 2$ | $- 20$ )

g( $2$ ) = $2 \cdot 2^{3} - 2^{2}$ = $12$ ⇒ S₂( $2$ | $12$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{3}$ ) und B(-3| $3$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{3}$ ) und B(-3| $3$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $3$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $3$ = $\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $3$

$9$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-0.5), -g(0.5) und h(0.5), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-0.5) = ${(- 0,5)}^{2}$ > 0
-g(0.5) = - ${0,5}^{3}$ < 0
h(0.5) = ${0,5}^{4}$ > 0

Da -g(0.5) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-0.5) > h(0.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5⁴ =0.5² ⋅ 0.5 ⋅ 0.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(0.5)= - ${0,5}^{3}$ < h(0.5)= ${0,5}^{4}$ < f(-0.5)= ${(- 0,5)}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $3 {(3 x + 2)}^{3} + 1$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $3 {(3 x + 2)}^{3} + 1$ ein:

f(-1) = $3 \cdot {(3 \cdot (- 1) + 2)}^{3} + 1$

= $3 \cdot {(- 3 + 2)}^{3} + 1$

= $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 1$

= $3 \cdot (- 1) + 1$

= $- 3 + 1$

= $- 2$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen