Mathebattle EduRandomtasks

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} - 4 x$	=	0
$x \cdot (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 3) \cdot (x - 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 3) \cdot (x - 1)$ = 0.

x (x + 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

(x + 3) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 x^{3} + 253$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $2 x^{3} + 253$ = 3.

$2 x^{3} + 253$	=	$3$	\| $- 253$
$2 x^{3}$	=	$- 250$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

An der Stelle x₁ = $- 5$ gilt also f(x)= 3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 10 x^{3} + 19 x^{2} + 2$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 10 x^{3} + 19 x^{2} + 2$	=	$- 2 x^{2} + 2$	\| $- 2$
$x^{4} - 10 x^{3} + 19 x^{2}$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2 x^{2}$
$x^{4} - 10 x^{3} + 19 x^{2} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{4} - 10 x^{3} + 21 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 10 x + 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 10 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{16}}{2}$

x₂ = $\frac{10 + \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10+4}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{10 - \sqrt{16}}{2}$ = $\frac{10-4}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 21$ = $25$ $-$ $21$ = $4$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $5$ - $2$ = 3

x₂ = $5$ + $2$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 2$ = $2$ ⇒ S₁(0| $2$ )

g( $3$ ) = $- 2 \cdot 3^{2} + 2$ = $- 16$ ⇒ S₂( $3$ | $- 16$ )

g( $7$ ) = $- 2 \cdot 7^{2} + 2$ = $- 96$ ⇒ S₃( $7$ | $- 96$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $2$ ) und B(-3| $18$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $2$ ) und B(-3| $18$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $2$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $18$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $2$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $18$ = $2 \cdot {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

$9$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $2 x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.9), -g(0.9) und -h(0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.9) = ${0,9}^{2}$ > 0
-g(0.9) = - ${0,9}^{3}$ < 0
-h(0.9) = - ${0,9}^{4}$ < 0

Da f(0.9) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -g(0.9) < -h(0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.9⁴ =0.9³ ⋅ 0.9, d.h. 0.9⁴ < 0.9³, also gilt - 0.9⁴ > - 0.9³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(0.9)= - ${0,9}^{3}$ < -h(0.9)= - ${0,9}^{4}$ < f(0.9)= ${0,9}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 4 x^{5} - 2 x^{4} + 7$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $- 4 x^{5} - 2 x^{4} + 7$ ein:

f(-2) = $- 4 \cdot {(- 2)}^{5} - 2 \cdot {(- 2)}^{4} + 7$

= $- 4 \cdot (- 32) - 2 \cdot 16 + 7$

= $128 - 32 + 7$

= $96 + 7$

= $103$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen