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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{5} + 2 x^{4} - 8 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{5} + 2 x^{4} - 8 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} + 2 x - 8)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2+6}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{- 2-6}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 8)$ = $1$ $+$ $8$ = $9$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $- 1$ - $3$ = -4

x₂ = $- 1$ + $3$ = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0), S₂(0|0), S₃( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 5 x - 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{2} + 5 x - 11$ = 3.

x^{2} + 5 x - 11

=

3

|

- 3

$x^{2} + 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5+9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 5-9}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 x^{3} + 53$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- 2 x^{3} + 53$ = -1.

$- 2 x^{3} + 53$	=	$- 1$	\| $- 53$
$- 2 x^{3}$	=	$- 54$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} - x^{3} + 4 x + 3$ und $g(x) =$ $4 x + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} - x^{3} + 4 x + 3$	=	$4 x + 3$	\| $- 3$
$x^{5} - x^{3} + 4 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$x^{5} - x^{3} + 4 x - 4 x$	=	0
$x^{5} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $4 \cdot (- 1) + 3$ = $- 1$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 1$ )

g(0) = $4 \cdot 0 + 3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$ )

g( $1$ ) = $4 \cdot 1 + 3$ = $7$ ⇒ S₃( $1$ | $7$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{4}$ ) und B(3| $\frac{9}{4}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{4}$ ) und B(3| $\frac{9}{4}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{9}{4}$ = $a \cdot 3^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{9}{4}$ = $\frac{1}{4} \cdot 3^{n}$ | ⋅ $4$

$9$ = $3^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.3), -g(-0.3) und h(0.3), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.3) = ${0,3}^{2}$ > 0
-g(-0.3) = - ${(- 0,3)}^{3}$ > 0
h(0.3) = ${0,3}^{4}$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 0.3 < 1 ist, werden die Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.3³ =0.3² ⋅ 0.3 bzw. 0.3⁴ =0.3³ ⋅ 0.3.

Die richtige Reihenfolge ist also:
h(0.3)= ${0,3}^{4}$ < -g(-0.3)= - ${(- 0,3)}^{3}$ < f(0.3)= ${0,3}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 3 {(3 x + 4)}^{4} - 4$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $- 3 {(3 x + 4)}^{4} - 4$ ein:

f(-2) = $- 3 \cdot {(3 \cdot (- 2) + 4)}^{4} - 4$

= $- 3 \cdot {(- 6 + 4)}^{4} - 4$

= $- 3 \cdot {(- 2)}^{4} - 4$

= $- 3 \cdot 16 - 4$

= $- 48 - 4$

= $- 52$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen