An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^5-x^2$	=	0
$x^2\left(x^3-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$|0)

Es gilt f(x) = -2, also $x^3-x-2$ = -2.

$x^3-x-2$	=	$-2$	| $+2$
$x^3-x-2+2$	=	0
$x^3-x$	=	0
$x\left(x^2-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-1$, x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -2.

Es gilt f(x) = 5, also $x^3+69$ = 5.

$x^3+69$	=	$5$	| $-69$
$x^3$	=	$-64$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{64}$	= $-4$

An der Stelle x₁ = $-4$ gilt also f(x)= 5.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$-x^4+20x^2+3$	=	$-5x^2+3$	| $-3$
$-x^4+20x^2$	=	$-5x^2$	| $+5x^2$
$-x^4+20x^2+5x^2$	=	0
$-x^4+25x^2$	=	0
$x^2\left(-x^2+25\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-5$) = $-5\cdot {\left(-5\right)}^2+3$ = $-122$ ⇒ S₁( $-5$| $-122$)

g(0) = $-5\cdot 0^2+3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$)

g( $5$) = $-5\cdot 5^2+3$ = $-122$ ⇒ S₃( $5$| $-122$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{1}{2}$) und B(-2|$-4$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a·1^n$
II: $-4$ = $a·{\left(-2\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-4$ = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-2\right)}^n$ | ⋅ $2$

$-8$ = ${\left(-2\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^3$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(0.8) = ${\mathrm{0,8}}^2$ > 0
• g(0.8) = ${\mathrm{0,8}}^3$ > 0
• -h(0.8) = - ${\mathrm{0,8}}^4$ < 0

Da -h(0.8) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(0.8) > g(0.8). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.8³ =0.8² ⋅ 0.8.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(0.8)= - ${\mathrm{0,8}}^4$ < g(0.8)= ${\mathrm{0,8}}^3$ < f(0.8)= ${\mathrm{0,8}}^2$.

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $-2x^3+2x+7$ ein:

f(1) = $-2\cdot 1^3+2\cdot 1+7$

= $-2\cdot 1+2+7$

= $-2+2+7$

= $0+7$

= $7$