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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 4 x^{5} + 12 x^{4} + 16 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 4 x^{5} + 12 x^{4} + 16 x^{3}$	=	0
$4 x^{3} (- x^{2} + 3 x + 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3+5}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{- 2}$ = $\frac{- 3-5}{- 2}$ = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x + 4$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0), S₃( $4$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - 4 x^{2} + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{4} - 4 x^{2} + 3$ = 3.

$x^{4} - 4 x^{2} + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$x^{4} - 4 x^{2} + 3 - 3$	=	0
$x^{4} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x^{2} - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 4$	=	0	\| $+ 4$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₃	=	$\sqrt{4}$	= $2$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 x^{3} - 123$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 x^{3} - 123$ = 5.

$2 x^{3} - 123$	=	$5$	\| $+ 123$
$2 x^{3}$	=	$128$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

An der Stelle x₁ = $4$ gilt also f(x)= 5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 10 x^{3} + 121 x^{2} + 3$ und $g(x) =$ $x^{2} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 5 x^{4} + 10 x^{3} + 121 x^{2} + 3$	=	$x^{2} + 3$	\| $- 3$
$- 5 x^{4} + 10 x^{3} + 121 x^{2}$	=	$x^{2}$	\| $- x^{2}$
$- 5 x^{4} + 10 x^{3} + 121 x^{2} - x^{2}$	=	0
$- 5 x^{4} + 10 x^{3} + 120 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} (- x^{2} + 2 x + 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 2 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 24}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 2+10}{- 2}$ = $\frac{8}{- 2}$ = $- 4$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 2-10}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 2 x + 24$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 3$ = $19$ ⇒ S₁( $- 4$ | $19$ )

g(0) = $0^{2} + 3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$ )

g( $6$ ) = $6^{2} + 3$ = $39$ ⇒ S₃( $6$ | $39$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $1$ ) und B(-2| $16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $1$ ) und B(-2| $16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $16$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $16$ = ${(- 2)}^{n}$ | ⋅ $1$

$16$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.4), g(-0.4) und -h(0.4), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.4) = ${0,4}^{2}$ > 0
g(-0.4) = ${(- 0,4)}^{3}$ < 0
-h(0.4) = - ${0,4}^{4}$ < 0

Da f(0.4) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt g(-0.4) < -h(0.4). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.4⁴ =0.4³ ⋅ 0.4, d.h. 0.4⁴ < 0.4³, also gilt - 0.4⁴ > - 0.4³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
g(-0.4)= ${(- 0,4)}^{3}$ < -h(0.4)= - ${0,4}^{4}$ < f(0.4)= ${0,4}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 4 x^{4} + 4 x + 8$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $- 4 x^{4} + 4 x + 8$ ein:

f(1) = $- 4 \cdot 1^{4} + 4 \cdot 1 + 8$

= $- 4 \cdot 1 + 4 + 8$

= $- 4 + 4 + 8$

= $0 + 8$

= $8$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen