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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 5 x + 14$ mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 14}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 5 \pm \sqrt{81}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 5 + \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5+9}{- 2}$ = $\frac{4}{- 2}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{- 5 - \sqrt{81}}{- 2}$ = $\frac{- 5-9}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 5 x + 14$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂( $7$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 20$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

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Es gilt f(x) = 5, also $x^{2} - 20$ = 5.

$x^{2} - 20$	=	$5$	\| $+ 20$
$x^{2}$	=	$25$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{25}$	= $- 5$
x₂	=	$\sqrt{25}$	= $5$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 4)}^{4} + 14$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

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Es gilt f(x) = -2, also ${(x - 4)}^{4} + 14$ = -2.

${(x - 4)}^{4} + 14$	=	$- 2$	\| $- 14$
${(x - 4)}^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= -2 gilt.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{5} + 4 x^{3} - 3 x^{2}$ und $g(x) =$ $4 x^{3} - 2 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{5} + 4 x^{3} - 3 x^{2}$	=	$4 x^{3} - 2 x^{2}$	\| $- (4 x^{3} - 2 x^{2})$
$x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{5} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $4 \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2}$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $1$ ) = $4 \cdot 1^{3} - 2 \cdot 1^{2}$ = $2$ ⇒ S₂( $1$ | $2$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $1$ ) und B(2| $32$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $1$ ) und B(2| $32$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $1$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $32$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $32$ = $2^{n}$ | ⋅ $1$

$32$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $x^{5}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.7), g(-1.7) und h(-1.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-1.7) = ${(- 1,7)}^{2}$ > 0
g(-1.7) = ${(- 1,7)}^{3}$ < 0
h(-1.7) = ${(- 1,7)}^{4}$ > 0

Da g(-1.7) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-1.7) < h(-1.7). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.7⁴ =1.7² ⋅ 1.7 ⋅ 1.7.

Die richtige Reihenfolge ist also:
g(-1.7)= ${(- 1,7)}^{3}$ < f(-1.7)= ${(- 1,7)}^{2}$ < h(-1.7)= ${(- 1,7)}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $3 {(- x + 3)}^{2} - 5$ . Berechne den Funktionswert f(2).

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Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $3 {(- x + 3)}^{2} - 5$ ein:

f(2) = $3 \cdot {(- 2 + 3)}^{2} - 5$

= $3 \cdot 1^{2} - 5$

= $3 \cdot 1 - 5$

= $3 - 5$

= $- 2$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen