Mathebattle EduRandomtasks

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- {(x - 4)}^{4} + 16$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- {(x - 4)}^{4} + 16$	=	0	\| $- 16$
$- {(x - 4)}^{4}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
${(x - 4)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 4

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 4$	=	$- 2$	\| $+ 4$
x₁	=	$2$

2. Fall

x - 4

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
x₂	=	$6$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $2$ |0), S₂( $6$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{5} + x^{2} + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $x^{5} + x^{2} + 5$ = 5.

$x^{5} + x^{2} + 5$	=	$5$	\| $- 5$
$x^{5} + x^{2} + 5 - 5$	=	0
$x^{5} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 x^{3} - 255$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $- 2 x^{3} - 255$ = -5.

$- 2 x^{3} - 255$	=	$- 5$	\| $+ 255$
$- 2 x^{3}$	=	$250$	\|: $(- 2)$
$x^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

An der Stelle x₁ = $- 5$ gilt also f(x)= -5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{3} + x^{2} + 5 x - 2$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{3} + x^{2} + 5 x - 2$	=	$- 3 x^{2} - 2$	\| $+ 2$
$- x^{3} + x^{2} + 5 x$	=	$- 3 x^{2}$	\| $+ 3 x^{2}$
$- x^{3} + x^{2} + 3 x^{2} + 5 x$	=	0
$- x^{3} + 4 x^{2} + 5 x$	=	0
$x \cdot (- x^{2} + 4 x + 5)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 5}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{36}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4+6}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{36}}{- 2}$ = $\frac{- 4-6}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 5$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 2$ = $- 5$ ⇒ S₁( $- 1$ | $- 5$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0^{2} - 2$ = $- 2$ ⇒ S₂(0| $- 2$ )

g( $5$ ) = $- 3 \cdot 5^{2} - 2$ = $- 77$ ⇒ S₃( $5$ | $- 77$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{4}{3}$ ) und B(-2| $\frac{64}{3}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{4}{3}$ ) und B(-2| $\frac{64}{3}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{4}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{64}{3}$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{4}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{64}{3}$ = $\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $\frac{3}{4}$

$16$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{4}{3} x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.9), -g(0.9) und h(-0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.9) = - ${(- 0,9)}^{2}$ < 0
-g(0.9) = - ${0,9}^{3}$ < 0
h(-0.9) = ${(- 0,9)}^{4}$ > 0

Da h(-0.9) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-0.9) < -g(0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.9³ =0.9² ⋅ 0.9, d.h. 0.9³ < 0.9², also gilt - 0.9³ > - 0.9².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.9)= - ${(- 0,9)}^{2}$ < -g(0.9)= - ${0,9}^{3}$ < h(-0.9)= ${(- 0,9)}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(3 x + 2)}^{3} + 4$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $- 2 {(3 x + 2)}^{3} + 4$ ein:

f(-1) = $- 2 \cdot {(3 \cdot (- 1) + 2)}^{3} + 4$

= $- 2 \cdot {(- 3 + 2)}^{3} + 4$

= $- 2 \cdot {(- 1)}^{3} + 4$

= $- 2 \cdot (- 1) + 4$

= $2 + 4$

= $6$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen