An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$5x^2-55x+140$ = 0 |:5

$x^2-11x+28$ = 0

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $4$|0), S₂( $7$|0)

Es gilt f(x) = 0, also $\left(x-4\right)·\left(x+2\right)$ = 0.

$\left(x-4\right)·\left(x+2\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-2$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = -4, also $-2{\left(x^2-12\right)}^3-58$ = -4.

$-2{\left(x^2-12\right)}^3-58$	=	$-4$	| $+58$
$-2{\left(x^2-12\right)}^3$	=	$54$	|: $\left(-2\right)$
${\left(x^2-12\right)}^3$	=	$-27$	|
$x^2-12$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

An den Stellen x₁ = $-3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= -4.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^4-4x^3-9x$	=	$-4x^3-x$	| $-\left(-4x^3-x\right)$
$x^4-4x^3+4x^3-9x+x$	=	0
$x^4-8x$	=	0
$x·\left(x^3-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $-4\cdot 0^3-0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$) = $-4\cdot 2^3-2$ = $-34$ ⇒ S₂( $2$| $-34$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{1}{3}$) und B(2|$\frac{32}{3}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $a·1^n$
II: $\frac{32}{3}$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{32}{3}$ = $\frac{1}{3}\cdot 2^n$ | ⋅ $3$

$32$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^5$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(-1.5) = ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^2$ > 0
• -g(-1.5) = - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^3$ > 0
• -h(-1.5) = - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$ < 0

Da -h(-1.5) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-1.5) < -g(-1.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.5³ =1.5² ⋅ 1.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.5)= - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$ < f(-1.5)= ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^2$ < -g(-1.5)= - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^3$.

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $3{\left(-x+2\right)}^4+5$ ein:

f(1) = $3\cdot {\left(-1+2\right)}^4+5$

= $3\cdot 1^4+5$

= $3\cdot 1+5$

= $3+5$

= $8$