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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- x^{2} + 6 x + 7$ mit der x-Achse.

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An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 7}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 28}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 6 \pm \sqrt{64}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 6 + \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6+8}{- 2}$ = $\frac{2}{- 2}$ = $- 1$

x₂ = $\frac{- 6 - \sqrt{64}}{- 2}$ = $\frac{- 6-8}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 6 x + 7$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 6 x - 7$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 3)}^{2} - (- 7)$ = $9$ $+$ $7$ = $16$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $3$ - $4$ = -1

x₂ = $3$ + $4$ = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂( $7$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 3 x - 19$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

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Es gilt f(x) = -1, also $x^{2} + 3 x - 19$ = -1.

x^{2} + 3 x - 19

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x - 1)}^{4} - 77$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

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Es gilt f(x) = 4, also ${(x - 1)}^{4} - 77$ = 4.

${(x - 1)}^{4} - 77$	=	$4$	\| $+ 77$
${(x - 1)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x - 1$	=	$- 3$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 2$

2. Fall

x - 1

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
x₂	=	$4$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= 4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x$ und $g(x) =$ $- x^{2} - 2 x$ .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x$	=	$- x^{2} - 2 x$	\| $- (- x^{2} - 2 x)$
$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + x^{2} - 2 x + 2 x$	=	0
$x^{4} - 3 x^{3} - 4 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 4)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₂ = $\frac{3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3+5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{3-5}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- {(- 1)}^{2} - 2 \cdot (- 1)$ = $1$ ⇒ S₁( $- 1$ | $1$ )

g(0) = $- 0^{2} - 2 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $4$ ) = $- 4^{2} - 2 \cdot 4$ = $- 24$ ⇒ S₃( $4$ | $- 24$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 3$ ) und B(2| $- 48$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 3$ ) und B(2| $- 48$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 3$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 48$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 48$ = $- 3 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{3})$

$16$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 3 x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(0.3), g(-0.3) und h(0.3), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(0.3) = - ${0,3}^{2}$ < 0
g(-0.3) = ${(- 0,3)}^{3}$ < 0
h(0.3) = ${0,3}^{4}$ > 0

Da h(0.3) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(0.3) < g(-0.3). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.3³ =0.3² ⋅ 0.3, d.h. 0.3³ < 0.3², also gilt - 0.3³ > - 0.3².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(0.3)= - ${0,3}^{2}$ < g(-0.3)= ${(- 0,3)}^{3}$ < h(0.3)= ${0,3}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $3 {(- 2 x - 5)}^{3} + 5$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

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Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $3 {(- 2 x - 5)}^{3} + 5$ ein:

f(-2) = $3 \cdot {(- 2 \cdot (- 2) - 5)}^{3} + 5$

= $3 \cdot {(4 - 5)}^{3} + 5$

= $3 \cdot {(- 1)}^{3} + 5$

= $3 \cdot (- 1) + 5$

= $- 3 + 5$

= $2$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen