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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + x$	=	0
$x \cdot (x^{3} + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{3} + 1$	=	0	\| $- 1$
$x^{3}$	=	$- 1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt[3]{1}$	= $- 1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 1$ |0), S₂(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 2 x - 11$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also $x^{2} + 2 x - 11$ = 4.

x^{2} + 2 x - 11

=

4

|

- 4

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₁ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 4.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 6 + 3 x)}^{3} + 51$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $2 {(- 6 + 3 x)}^{3} + 51$ = -3.

$2 {(- 6 + 3 x)}^{3} + 51$	=	$- 3$
$2 {(3 x - 6)}^{3} + 51$	=	$- 3$	\| $- 51$
$2 {(3 x - 6)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(3 x - 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$3 x - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= -3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x^{2} + x$ und $g(x) =$ $x^{3} + x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{3} + 2 x^{2} + x$	=	$x^{3} + x^{2}$	\| $- (x^{3} + x^{2})$
$x^{3} - x^{3} + 2 x^{2} - x^{2} + x$	=	0
$x^{2} + x$	=	0
$x \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = ${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2}$ = 0 ⇒ S₁( $- 1$ |0)

g(0) = $0^{3} + 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{3}$ ) und B(-3| $3$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{3}$ ) und B(-3| $3$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $3$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $3$ = $\frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $3$

$9$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.9), g(-0.9) und h(0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.9) = - ${(- 0,9)}^{2}$ < 0
g(-0.9) = ${(- 0,9)}^{3}$ < 0
h(0.9) = ${0,9}^{4}$ > 0

Da h(0.9) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-0.9) < g(-0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.9³ =0.9² ⋅ 0.9, d.h. 0.9³ < 0.9², also gilt - 0.9³ > - 0.9².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.9)= - ${(- 0,9)}^{2}$ < g(-0.9)= ${(- 0,9)}^{3}$ < h(0.9)= ${0,9}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(3 x - 7)}^{3} + 4$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= ${(3 x - 7)}^{3} + 4$ ein:

f(2) = ${(3 \cdot 2 - 7)}^{3} + 4$

= ${(6 - 7)}^{3} + 4$

= ${(- 1)}^{3} + 4$

= $(- 1) + 4$

= $3$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen