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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x + 3)}^{3} - 128$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x + 3)}^{3} - 128$	=	0	\| $+ 128$
$2 {(x + 3)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(x + 3)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x + 3$	=	$4$	\| $- 3$
$x$	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $1$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 1) \cdot (x - 1)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 1) \cdot (x - 1)$ = 0.

(x + 1) \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₁	=	$- 1$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 1)}^{4} + 161$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $- 2 {(x - 1)}^{4} + 161$ = -1.

$- 2 {(x - 1)}^{4} + 161$	=	$- 1$	\| $- 161$
$- 2 {(x - 1)}^{4}$	=	$- 162$	\|: $(- 2)$
${(x - 1)}^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 1

=

- \sqrt[4]{81}

=

- 3

$x - 1$	=	$- 3$	\| $+ 1$
x₁	=	$- 2$

2. Fall

x - 1

=

\sqrt[4]{81}

=

3

$x - 1$	=	$3$	\| $+ 1$
x₂	=	$4$

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $4$ gilt also f(x)= -1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $6 x^{3} + 16 x^{2} - 48 x + 3$ und $g(x) =$ $2 x^{3} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$6 x^{3} + 16 x^{2} - 48 x + 3$	=	$2 x^{3} + 3$	\| $- 3$
$6 x^{3} + 16 x^{2} - 48 x$	=	$2 x^{3}$	\| $- 2 x^{3}$
$6 x^{3} - 2 x^{3} + 16 x^{2} - 48 x$	=	0
$4 x^{3} + 16 x^{2} - 48 x$	=	0
$4 x \cdot (x^{2} + 4 x - 12)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x - 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4+8}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 4-8}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 12)$ = $4$ $+$ $12$ = $16$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 2$ - $4$ = -6

x₂ = $- 2$ + $4$ = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 6$ ) = $2 \cdot {(- 6)}^{3} + 3$ = $- 429$ ⇒ S₁( $- 6$ | $- 429$ )

g(0) = $2 \cdot 0^{3} + 3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$ )

g( $2$ ) = $2 \cdot 2^{3} + 3$ = $19$ ⇒ S₃( $2$ | $19$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{2}$ ) und B(2| $- 16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{2}$ ) und B(2| $- 16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 16$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 16$ = $- \frac{1}{2} \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- 2)$

$32$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{2} x^{5}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.7), g(-0.7) und -h(0.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.7) = - ${(- 0,7)}^{2}$ < 0
g(-0.7) = ${(- 0,7)}^{3}$ < 0
-h(0.7) = - ${0,7}^{4}$ < 0

Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Und weil 0.7 < 1 ist, werden die Betrags-Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.7³ =0.7² ⋅ 0.7 bzw. 0.7⁴ =0.7³ ⋅ 0.7,
d.h. 0.7³ < 0.7², also gilt - 0.7³ > - 0.7² und 0.7⁴ < 0.7³, also gilt - 0.7⁴ > - 0.7³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.7)= - ${(- 0,7)}^{2}$ < g(-0.7)= ${(- 0,7)}^{3}$ < -h(0.7)= - ${0,7}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(2 x - 6)}^{2} + 2$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= ${(2 x - 6)}^{2} + 2$ ein:

f(2) = ${(2 \cdot 2 - 6)}^{2} + 2$

= ${(4 - 6)}^{2} + 2$

= ${(- 2)}^{2} + 2$

= $4 + 2$

= $6$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen