An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^5+x^2$	=	0
$x^2\left(x^3+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-1$|0), S₂(0|0)

Es gilt f(x) = 0, also $x{\left(x-2\right)}^2\left(x-1\right)$ = 0.

$x{\left(x-2\right)}^2\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = 0, x₂ = $1$ und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = -1, also $-2{\left(x^2-5\right)}^3+127$ = -1.

$-2{\left(x^2-5\right)}^3+127$	=	$-1$	| $-127$
$-2{\left(x^2-5\right)}^3$	=	$-128$	|: $\left(-2\right)$
${\left(x^2-5\right)}^3$	=	$64$	|
$x^2-5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $-3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= -1.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^4+3x^3+2x$	=	$5x^3+2x$	| $-\left(5x^3+2x\right)$
$x^4+3x^3-5x^3+2x-2x$	=	0
$x^4-2x^3$	=	0
$x^3\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $5\cdot 0^3+2\cdot 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $2$) = $5\cdot 2^3+2\cdot 2$ = $44$ ⇒ S₂( $2$| $44$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{1}{3}$) und B(-2|$\frac{16}{3}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $a·1^n$
II: $\frac{16}{3}$ = $a·{\left(-2\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{16}{3}$ = $\frac{1}{3}\cdot {\left(-2\right)}^n$ | ⋅ $3$

$16$ = ${\left(-2\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^4$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(-1.1) = ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^2$ > 0
• -g(1.1) = - ${\mathrm{1,1}}^3$ < 0
• h(1.1) = ${\mathrm{1,1}}^4$ > 0

Da -g(1.1) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-1.1) < h(1.1). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.1⁴ =1.1² ⋅ 1.1 ⋅ 1.1.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(1.1)= - ${\mathrm{1,1}}^3$ < f(-1.1)= ${\left(-\mathrm{1,1}\right)}^2$ < h(1.1)= ${\mathrm{1,1}}^4$.

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $4x^3-x-8$ ein:

f(1) = $4\cdot 1^3-1-8$

= $4\cdot 1-1-8$

= $4-1-8$

= $3-8$

= $-5$