An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$5x^5+10x^4-75x^3$	=	0
$5x^3·\left(x^2+2x-15\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-5$|0), S₂(0|0), S₃( $3$|0)

Es gilt f(x) = 0, also $x{\left(x+3\right)}^2·\left(x-1\right)$ = 0.

$x{\left(x+3\right)}^2·\left(x-1\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-3$, x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = 2, also $-2x^4+164$ = 2.

$-2x^4+164$	=	$2$	| $-164$
$-2x^4$	=	$-162$	|: $\left(-2\right)$
$x^4$	=	$81$	|
x1	=	$-\sqrt[4]{81}$	= $-3$
x2	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

An den Stellen x₁ = $-3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 2.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^3-2x^2-2x+1$	=	$-2x+1$	| $-1$
$x^3-2x^2-2x$	=	$-2x$	| $+2x$
$x^3-2x^2-2x+2x$	=	0
$x^3-2x^2$	=	0
$x^2·\left(x-2\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $-2\cdot 0+1$ = $1$ ⇒ S₁(0| $1$)

g( $2$) = $-2\cdot 2+1$ = $-3$ ⇒ S₂( $2$| $-3$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-\frac{1}{4}$) und B(-4|$-4$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{1}{4}$ = $a·1^n$
II: $-4$ = $a·{\left(-4\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-\frac{1}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-4$ = $-\frac{1}{4}\cdot {\left(-4\right)}^n$ | ⋅ $\left(-4\right)$

$16$ = ${\left(-4\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{4}{x}^2$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(-0.4) = ${\left(-\mathrm{0,4}\right)}^2$ > 0
• -g(-0.4) = - ${\left(-\mathrm{0,4}\right)}^3$ > 0
• h(-0.4) = ${\left(-\mathrm{0,4}\right)}^4$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 0.4 < 1 ist, werden die Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.4³ =0.4² ⋅ 0.4 bzw. 0.4⁴ =0.4³ ⋅ 0.4.

Die richtige Reihenfolge ist also:
h(-0.4)= ${\left(-\mathrm{0,4}\right)}^4$ < -g(-0.4)= - ${\left(-\mathrm{0,4}\right)}^3$ < f(-0.4)= ${\left(-\mathrm{0,4}\right)}^2$.

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $4x^2-4$ ein:

f(-2) = $4\cdot {\left(-2\right)}^2-4$

= $4\cdot 4-4$

= $16-4$

= $12$