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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 x^{4} + 32$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 x^{4} + 32$	=	0	\| $- 32$
$- 2 x^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{3} - 2 x^{2} + 3$ = 3.

$x^{3} - 2 x^{2} + 3$	=	$3$	\| $- 3$
$x^{3} - 2 x^{2} + 3 - 3$	=	0
$x^{3} - 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x - 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 2$	=	0	\| $+ 2$
x₂	=	$2$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(5 + 3 x)}^{3} - 132$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(5 + 3 x)}^{3} - 132$ = -4.

$- 2 {(5 + 3 x)}^{3} - 132$	=	$- 4$
$- 2 {(3 x + 5)}^{3} - 132$	=	$- 4$	\| $+ 132$
$- 2 {(3 x + 5)}^{3}$	=	$128$	\|: $(- 2)$
${(3 x + 5)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 5$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$3 x + 5$	=	$- 4$	\| $- 5$
$3 x$	=	$- 9$	\|: $3$
$x$	=	$- 3$

An der Stelle x₁ = $- 3$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 4 x^{4} - 11 x^{3} + 111 x^{2}$ und $g(x) =$ $x^{3} - x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 4 x^{4} - 11 x^{3} + 111 x^{2}$	=	$x^{3} - x^{2}$	\| $- (x^{3} - x^{2})$
$- 4 x^{4} - 11 x^{3} - x^{3} + 111 x^{2} + x^{2}$	=	0
$- 4 x^{4} - 12 x^{3} + 112 x^{2}$	=	0
$- 4 x^{2} (x^{2} + 3 x - 28)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₂ = $\frac{- 3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3+11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{- 3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{- 3-11}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = ${(- 7)}^{3} - {(- 7)}^{2}$ = $- 392$ ⇒ S₁( $- 7$ | $- 392$ )

g(0) = $0^{3} - 0^{2}$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $4$ ) = $4^{3} - 4^{2}$ = $48$ ⇒ S₃( $4$ | $48$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(2| $16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(2| $16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $16$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $16$ = $\frac{1}{2} \cdot 2^{n}$ | ⋅ $2$

$32$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{5}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.6), -g(-0.6) und -h(-0.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.6) = - ${(- 0,6)}^{2}$ < 0
-g(-0.6) = - ${(- 0,6)}^{3}$ > 0
-h(-0.6) = - ${(- 0,6)}^{4}$ < 0

Da -g(-0.6) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-0.6) < -h(-0.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.6⁴ =0.6² ⋅ 0.6 ⋅ 0.6, d.h. 0.6⁴ < 0.6², also gilt - 0.6⁴ > - 0.6².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.6)= - ${(- 0,6)}^{2}$ < -h(-0.6)= - ${(- 0,6)}^{4}$ < -g(-0.6)= - ${(- 0,6)}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(2 x - 3)}^{3} - 3$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $2 {(2 x - 3)}^{3} - 3$ ein:

f(1) = $2 \cdot {(2 \cdot 1 - 3)}^{3} - 3$

= $2 \cdot {(2 - 3)}^{3} - 3$

= $2 \cdot {(- 1)}^{3} - 3$

= $2 \cdot (- 1) - 3$

= $- 2 - 3$

= $- 5$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen