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Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= - x 4 +13 x 3 -42 x 2 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

- x 4 +13 x 3 -42 x 2 = 0
x 2 · ( - x 2 +13x -42 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 2 = 0 | ⋅2
x1 = 0

2. Fall:

- x 2 +13x -42 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = -13 ± 13 2 -4 · ( -1 ) · ( -42 ) 2⋅( -1 )

x2,3 = -13 ± 169 -168 -2

x2,3 = -13 ± 1 -2

x2 = -13 + 1 -2 = -13 +1 -2 = -12 -2 = 6

x3 = -13 - 1 -2 = -13 -1 -2 = -14 -2 = 7

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch "-1 " teilen:

- x 2 +13x -42 = 0 |: -1

x 2 -13x +42 = 0

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 13 2 ) 2 - 42 = 169 4 - 42 = 169 4 - 168 4 = 1 4

x1,2 = 13 2 ± 1 4

x1 = 13 2 - 1 2 = 12 2 = 6

x2 = 13 2 + 1 2 = 14 2 = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1(0|0), S2( 6 |0), S3( 7 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 4 - x 3 -1 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 4 - x 3 -1 = -1.

x 4 - x 3 -1 = -1 | +1
x 4 - x 3 -1 +1 = 0
x 4 - x 3 = 0
x 3 · ( x -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x -1 = 0 | +1
x2 = 1

An den Stellen x1 = 0 und x2 = 1 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= 2 x 3 -251 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also 2 x 3 -251 = -1.

2 x 3 -251 = -1 | +251
2 x 3 = 250 |:2
x 3 = 125 | ⋅3
x = 125 3 = 5

An der Stelle x1 = 5 gilt also f(x)= -1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= x 5 -4 x 3 - x 2 -1 und g(x)= - x 2 -1 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x 5 -4 x 3 - x 2 -1 = - x 2 -1 | +1
x 5 -4 x 3 - x 2 = - x 2 | + x 2
x 5 -4 x 3 - x 2 + x 2 = 0
x 5 -4 x 3 = 0
x 3 · ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | ⋅2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( -2 ) = - ( -2 ) 2 -1 = -5 ⇒ S1( -2 | -5 )

g(0) = - 0 2 -1 = -1 ⇒ S2(0| -1 )

g( 2 ) = - 2 2 -1 = -5 ⇒ S3( 2 | -5 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| - 1 2 ) und B(-2|16 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| - 1 2 ) und B(-2|16 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: - 1 2 = a · 1 n
II: 16 = a · (-2) n

Aus I ergibt sich ja sofort - 1 2 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 16 = - 1 2 ⋅ (-2) n | ⋅ ( -2 )

-32 = (-2) n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=5

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= - 1 2 x 5

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-1.5), -g(1.5) und h(1.5), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden
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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • -f(-1.5) = - ( -1,5 ) 2 < 0
  • -g(1.5) = - 1,5 3 < 0
  • h(1.5) = 1,5 4 > 0

    • Da h(1.5) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

    Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Dabei gilt -f(-1.5) > -g(1.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    1.53 =1.52 ⋅ 1.5, d.h. 1.53 > 1.52, also gilt - 1.53 < - 1.52.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -g(1.5)= - 1,5 3 < -f(-1.5)= - ( -1,5 ) 2 < h(1.5)= 1,5 4 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -3 x 4 -4 x 2 -8 . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= -3 x 4 -4 x 2 -8 ein:

f(-1) = -3⋅ ( -1 ) 4 -4⋅ ( -1 ) 2 -8

= -3⋅1 -4⋅1 -8

= -3 -4 -8

= -7 -8

= -15