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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 2 {(5 - 3 x)}^{3} - 128$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 2 {(5 - 3 x)}^{3} - 128$	=	0
$- 2 {(- 3 x + 5)}^{3} - 128$	=	0	\| $+ 128$
$- 2 {(- 3 x + 5)}^{3}$	=	$128$	\|: $(- 2)$
${(- 3 x + 5)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 5$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$- 3 x + 5$	=	$- 4$	\| $- 5$
$- 3 x$	=	$- 9$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $3$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x + 3) {(x - 3)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x + 3) {(x - 3)}^{2}$ = 0.

$x (x + 3) {(x - 3)}^{2}$	=	0
$x {(x - 3)}^{2} (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x - 3)}^{2} (x + 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 3)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 3$	=	0

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₂	=	$3$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₃	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 3$ , x₂ = 0 und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 3)}^{3} - 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also ${(x + 3)}^{3} - 4$ = 4.

${(x + 3)}^{3} - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
${(x + 3)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 3$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x + 3$	=	$2$	\| $- 3$
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $3 x^{3} - 40 x^{2} + 91 x$ und $g(x) =$ $- x^{3} - 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$3 x^{3} - 40 x^{2} + 91 x$	=	$- x^{3} - 5 x$	\| $- (- x^{3} - 5 x)$
$3 x^{3} + x^{3} - 40 x^{2} + 91 x + 5 x$	=	0
$4 x^{3} - 40 x^{2} + 96 x$	=	0
$4 x (x^{2} - 10 x + 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 10 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 10 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₂ = $\frac{10 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10+2}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{10 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{10-2}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 5)}^{2} - 24$ = $25$ $-$ $24$ = $1$

x_1,2 = $5$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $5$ - $1$ = 4

x₂ = $5$ + $1$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 0^{3} - 5 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $4$ ) = $- 4^{3} - 5 \cdot 4$ = $- 84$ ⇒ S₂( $4$ | $- 84$ )

g( $6$ ) = $- 6^{3} - 5 \cdot 6$ = $- 246$ ⇒ S₃( $6$ | $- 246$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $2$ ) und B(2| $64$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $2$ ) und B(2| $64$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $2$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $64$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $2$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $64$ = $2 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{2}$

$32$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $2 x^{5}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.7), g(-1.7) und h(1.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-1.7) = ${(- 1,7)}^{2}$ > 0
g(-1.7) = ${(- 1,7)}^{3}$ < 0
h(1.7) = ${1,7}^{4}$ > 0

Da g(-1.7) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-1.7) < h(1.7). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.7⁴ =1.7² ⋅ 1.7 ⋅ 1.7.

Die richtige Reihenfolge ist also:
g(-1.7)= ${(- 1,7)}^{3}$ < f(-1.7)= ${(- 1,7)}^{2}$ < h(1.7)= ${1,7}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(2 x - 6)}^{2} - 1$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $- {(2 x - 6)}^{2} - 1$ ein:

f(2) = $- {(2 \cdot 2 - 6)}^{2} - 1$

= $- {(4 - 6)}^{2} - 1$

= $- {(- 2)}^{2} - 1$

= $- 4 - 1$

= $- 5$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen