An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^4-x^2$	=	0
$x^2·\left(x^2-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-1$|0), S₂(0|0), S₃( $1$|0)

Es gilt f(x) = -1, also $x^4-x^2-1$ = -1.

$x^4-x^2-1$	=	$-1$	| $+1$
$x^4-x^2-1+1$	=	0
$x^4-x^2$	=	0
$x^2·\left(x^2-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-1$, x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -1.

Es gilt f(x) = 2, also $2{\left(x-1\right)}^4+34$ = 2.

$2{\left(x-1\right)}^4+34$	=	$2$	| $-34$
$2{\left(x-1\right)}^4$	=	$-32$	|:$2$
${\left(x-1\right)}^4$	=	$-16$	|

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= 2 gilt.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$-2x^3+4x$	=	$-3x^3+5x$	| $-\left(-3x^3+5x\right)$
$-2x^3+3x^3+4x-5x$	=	0
$x^3-x$	=	0
$x·\left(x^2-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-1$) = $-3\cdot {\left(-1\right)}^3+5\cdot \left(-1\right)$ = $-2$ ⇒ S₁( $-1$| $-2$)

g(0) = $-3\cdot 0^3+5\cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $1$) = $-3\cdot 1^3+5\cdot 1$ = $2$ ⇒ S₃( $1$| $2$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-\frac{1}{3}$) und B(2|$-\frac{8}{3}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{1}{3}$ = $a·1^n$
II: $-\frac{8}{3}$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-\frac{1}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-\frac{8}{3}$ = $-\frac{1}{3}\cdot 2^n$ | ⋅ $\left(-3\right)$

$8$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{3}{x}^3$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• -f(-1.5) = - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^2$ < 0
• -g(1.5) = - ${\mathrm{1,5}}^3$ < 0
• -h(-1.5) = - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$ < 0

Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Und weil 1.5 > 1 ist, werden die Betrags-Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.5³ =1.5² ⋅ 1.5 bzw. 1.5⁴ =1.5³ ⋅ 1.5,
d.h. 1.5³ > 1.5², also gilt - 1.5³ < - 1.5² und 1.5⁴ > 1.5³, also gilt - 1.5⁴ < - 1.5³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.5)= - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^4$ < -g(1.5)= - ${\mathrm{1,5}}^3$ < -f(-1.5)= - ${\left(-\mathrm{1,5}\right)}^2$.

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $-4x^2-x+4$ ein:

f(-1) = $-4\cdot {\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+4$

= $-4\cdot 1+1+4$

= $-4+1+4$

= $-3+4$

= $1$