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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{6} - x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{6} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x^{3} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{3} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{3}$	=	$1$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₂	=	$\sqrt[3]{1}$	= $1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x + 3) {(x + 5)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x + 3) {(x + 5)}^{2}$ = 0.

$(x + 3) {(x + 5)}^{2}$	=	0
${(x + 5)}^{2} \cdot (x + 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 5)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 5$	=	0

$x + 5$	=	0	\| $- 5$
x₁	=	$- 5$

2. Fall:

$x + 3$	=	0	\| $- 3$
x₂	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 5$ und x₂ = $- 3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x - 5)}^{3} - 123$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 {(x - 5)}^{3} - 123$ = 5.

$2 {(x - 5)}^{3} - 123$	=	$5$	\| $+ 123$
$2 {(x - 5)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(x - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$x$	=	$9$

An der Stelle x₁ = $9$ gilt also f(x)= 5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} - 9 x^{2} - 48 x + 3$ und $g(x) =$ $- 5 x^{2} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} - 9 x^{2} - 48 x + 3$	=	$- 5 x^{2} + 3$	\| $- 3$
$2 x^{3} - 9 x^{2} - 48 x$	=	$- 5 x^{2}$	\| $+ 5 x^{2}$
$2 x^{3} - 9 x^{2} + 5 x^{2} - 48 x$	=	0
$2 x^{3} - 4 x^{2} - 48 x$	=	0
$2 x \cdot (x^{2} - 2 x - 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₂ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₃ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $- 5 \cdot {(- 4)}^{2} + 3$ = $- 77$ ⇒ S₁( $- 4$ | $- 77$ )

g(0) = $- 5 \cdot 0^{2} + 3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$ )

g( $6$ ) = $- 5 \cdot 6^{2} + 3$ = $- 177$ ⇒ S₃( $6$ | $- 177$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{4}{3}$ ) und B(2| $\frac{64}{3}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{4}{3}$ ) und B(2| $\frac{64}{3}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{4}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{64}{3}$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{4}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{64}{3}$ = $\frac{4}{3} \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{3}{4}$

$16$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{4}{3} x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-0.5), g(0.5) und -h(-0.5), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-0.5) = - ${(- 0,5)}^{2}$ < 0
g(0.5) = ${0,5}^{3}$ > 0
-h(-0.5) = - ${(- 0,5)}^{4}$ < 0

Da g(0.5) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-0.5) < -h(-0.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5⁴ =0.5² ⋅ 0.5 ⋅ 0.5, d.h. 0.5⁴ < 0.5², also gilt - 0.5⁴ > - 0.5².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-f(-0.5)= - ${(- 0,5)}^{2}$ < -h(-0.5)= - ${(- 0,5)}^{4}$ < g(0.5)= ${0,5}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 x^{3} - 3$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $- 2 x^{3} - 3$ ein:

f(2) = $- 2 \cdot 2^{3} - 3$

= $- 2 \cdot 8 - 3$

= $- 16 - 3$

= $- 19$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen