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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{2} - x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{2} - x$	=	0
$x \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $1$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 3 x - 21$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{2} + 3 x - 21$ = -3.

x^{2} + 3 x - 21

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} + 3 x - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3+9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{- 3-9}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{12}{2}$ = -6

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 1)}^{3} - 26$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also ${(x + 1)}^{3} - 26$ = 1.

${(x + 1)}^{3} - 26$	=	$1$	\| $+ 26$
${(x + 1)}^{3}$	=	$27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

$x + 1$	=	$3$	\| $- 1$
$x$	=	$2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= 1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- x^{3} + 4 x^{2} - 60$ und $g(x) =$ $4 x^{2} + 4$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- x^{3} + 4 x^{2} - 60$	=	$4 x^{2} + 4$	\| $+ 60$
$- x^{3} + 4 x^{2}$	=	$4 x^{2} + 64$	\| $- 4 x^{2}$
$- x^{3}$	=	$64$	\|: $(- 1)$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $4 \cdot {(- 4)}^{2} + 4$ = $68$ ⇒ S₁( $- 4$ | $68$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $3$ ) und B(2| $24$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $3$ ) und B(2| $24$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $3$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $24$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $24$ = $3 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{3}$

$8$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $3 x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(0.9), -g(0.9) und h(-0.9), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(0.9) = ${0,9}^{2}$ > 0
-g(0.9) = - ${0,9}^{3}$ < 0
h(-0.9) = ${(- 0,9)}^{4}$ > 0

Da -g(0.9) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(0.9) > h(-0.9). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.9⁴ =0.9² ⋅ 0.9 ⋅ 0.9.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(0.9)= - ${0,9}^{3}$ < h(-0.9)= ${(- 0,9)}^{4}$ < f(0.9)= ${0,9}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(3 x + 4)}^{3} - 3$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $- 2 {(3 x + 4)}^{3} - 3$ ein:

f(-1) = $- 2 \cdot {(3 \cdot (- 1) + 4)}^{3} - 3$

= $- 2 \cdot {(- 3 + 4)}^{3} - 3$

= $- 2 \cdot 1^{3} - 3$

= $- 2 \cdot 1 - 3$

= $- 2 - 3$

= $- 5$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen