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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 {(x - 1)}^{3} + 250$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 {(x - 1)}^{3} + 250$	=	0	\| $- 250$
$2 {(x - 1)}^{3}$	=	$- 250$	\|: $2$
${(x - 1)}^{3}$	=	$- 125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 1$	=	$- \sqrt[3]{125}$	= $- 5$

$x - 1$	=	$- 5$	\| $+ 1$
$x$	=	$- 4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + x - 43$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{2} + x - 43$ = -1.

x^{2} + x - 43

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} + x - 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 42)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{169}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1+13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{169}}{2}$ = $\frac{- 1-13}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 42)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $42$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{169}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{169}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{13}{2}$ = $- \frac{14}{2}$ = -7

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{13}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $6$ gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(- 5 - 2 x)}^{3} - 24$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(- 5 - 2 x)}^{3} - 24$ = 3.

$- {(- 5 - 2 x)}^{3} - 24$	=	$3$
$- {(- 2 x - 5)}^{3} - 24$	=	$3$	\| $+ 24$
$- {(- 2 x - 5)}^{3}$	=	$27$	\|: $(- 1)$
${(- 2 x - 5)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x - 5$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$- 2 x - 5$	=	$- 3$	\| $+ 5$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= 3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 4 x^{2} - 45 x + 2$ und $g(x) =$ $3 x + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$2 x^{3} + 4 x^{2} - 45 x + 2$	=	$3 x + 2$	\| $- 2$
$2 x^{3} + 4 x^{2} - 45 x$	=	$3 x$	\| $- 3 x$
$2 x^{3} + 4 x^{2} - 45 x - 3 x$	=	0
$2 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x$	=	0
$2 x \cdot (x^{2} + 2 x - 24)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2+10}{2}$ = $\frac{8}{2}$ = $4$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 2-10}{2}$ = $\frac{- 12}{2}$ = $- 6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 1$ - $5$ = -6

x₂ = $- 1$ + $5$ = 4

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 6$ ) = $3 \cdot (- 6) + 2$ = $- 16$ ⇒ S₁( $- 6$ | $- 16$ )

g(0) = $3 \cdot 0 + 2$ = $2$ ⇒ S₂(0| $2$ )

g( $4$ ) = $3 \cdot 4 + 2$ = $14$ ⇒ S₃( $4$ | $14$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{4}{3}$ ) und B(-2| $- \frac{16}{3}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{4}{3}$ ) und B(-2| $- \frac{16}{3}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{4}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- \frac{16}{3}$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{4}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- \frac{16}{3}$ = $- \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- \frac{3}{4})$

$4$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{4}{3} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-1.2), -g(1.2) und h(1.2), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-1.2) = - ${(- 1,2)}^{2}$ < 0
-g(1.2) = - ${1,2}^{3}$ < 0
h(1.2) = ${1,2}^{4}$ > 0

Da h(1.2) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-1.2) > -g(1.2). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.2³ =1.2² ⋅ 1.2, d.h. 1.2³ > 1.2², also gilt - 1.2³ < - 1.2².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(1.2)= - ${1,2}^{3}$ < -f(-1.2)= - ${(- 1,2)}^{2}$ < h(1.2)= ${1,2}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 3 x - 5)}^{2} + 2$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $2 {(- 3 x - 5)}^{2} + 2$ ein:

f(-1) = $2 \cdot {(- 3 \cdot (- 1) - 5)}^{2} + 2$

= $2 \cdot {(3 - 5)}^{2} + 2$

= $2 \cdot {(- 2)}^{2} + 2$

= $2 \cdot 4 + 2$

= $8 + 2$

= $10$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen