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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 16$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} + 16$	=	0	\| $- 16$
$2 x^{3}$	=	$- 16$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 4 x + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 2, also $x^{2} - 4 x + 5$ = 2.

x^{2} - 4 x + 5

=

2

|

- 2

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{4}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4+2}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{4}}{2}$ = $\frac{4-2}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(8 - 3 x)}^{3} + 5$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- {(8 - 3 x)}^{3} + 5$ = -3.

$- {(8 - 3 x)}^{3} + 5$	=	$- 3$
$- {(- 3 x + 8)}^{3} + 5$	=	$- 3$	\| $- 5$
$- {(- 3 x + 8)}^{3}$	=	$- 8$	\|: $(- 1)$
${(- 3 x + 8)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$- 3 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$- 3 x$	=	$- 6$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$2$

An der Stelle x₁ = $2$ gilt also f(x)= -3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 55 x - 153$ und $g(x) =$ $- 2 x^{3} - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 2 x^{3} - 5 x^{2} + 55 x - 153

=

- 2 x^{3} - 3

|

+ 2 x^{3}

+ 3

- 5 x^{2} + 55 x - 150

= 0 |:5

$- x^{2} + 11 x - 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 30)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 120}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 11 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 11 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11+1}{- 2}$ = $\frac{- 10}{- 2}$ = $5$

x₂ = $\frac{- 11 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 11-1}{- 2}$ = $\frac{- 12}{- 2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 11 x - 30$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 11 x + 30$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{11}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{121}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{11}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{11}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = 5

x₂ = $\frac{11}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $5$ ) = $- 2 \cdot 5^{3} - 3$ = $- 253$ ⇒ S₁( $5$ | $- 253$ )

g( $6$ ) = $- 2 \cdot 6^{3} - 3$ = $- 435$ ⇒ S₂( $6$ | $- 435$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $3$ ) und B(2| $48$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $3$ ) und B(2| $48$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $3$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $48$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $48$ = $3 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{3}$

$16$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $3 x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(1.3), -g(1.3) und -h(-1.3), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(1.3) = - ${1,3}^{2}$ < 0
-g(1.3) = - ${1,3}^{3}$ < 0
-h(-1.3) = - ${(- 1,3)}^{4}$ < 0

Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Und weil 1.3 > 1 ist, werden die Betrags-Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.3³ =1.3² ⋅ 1.3 bzw. 1.3⁴ =1.3³ ⋅ 1.3,
d.h. 1.3³ > 1.3², also gilt - 1.3³ < - 1.3² und 1.3⁴ > 1.3³, also gilt - 1.3⁴ < - 1.3³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.3)= - ${(- 1,3)}^{4}$ < -g(1.3)= - ${1,3}^{3}$ < -f(1.3)= - ${1,3}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 x^{4} + 1$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $2 x^{4} + 1$ ein:

f(-2) = $2 \cdot {(- 2)}^{4} + 1$

= $2 \cdot 16 + 1$

= $32 + 1$

= $33$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen