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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} + 40 x^{2} - 80 x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 5 x^{3} + 40 x^{2} - 80 x$	=	0
$5 x \cdot (- x^{2} + 8 x - 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 16)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 64}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 8 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 8}{- 2}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 8 x - 16$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 8 x + 16$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 16$ = $16$ $-$ $16$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $4$ ± 0 = $4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $4$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - x - 8$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $x^{2} - x - 8$ = -2.

x^{2} - x - 8

=

- 2

|

+ 2

$x^{2} - x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1+5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{1-5}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 4)}^{3} + 14$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -2, also $- 2 {(x - 4)}^{3} + 14$ = -2.

$- 2 {(x - 4)}^{3} + 14$	=	$- 2$	\| $- 14$
$- 2 {(x - 4)}^{3}$	=	$- 16$	\|: $(- 2)$
${(x - 4)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 4$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$x - 4$	=	$2$	\| $+ 4$
$x$	=	$6$

An der Stelle x₁ = $6$ gilt also f(x)= -2.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 24 x^{2} + 17 x$ und $g(x) =$ $- 3 x^{3} - 4 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 24 x^{2} + 17 x$	=	$- 3 x^{3} - 4 x$	\| $- (- 3 x^{3} - 4 x)$
$3 x^{3} - 24 x^{2} + 17 x + 4 x$	=	0
$3 x^{3} - 24 x^{2} + 21 x$	=	0
$3 x \cdot (x^{2} - 8 x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 8 x + 7$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{64 - 28}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 8 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₂ = $\frac{8 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8+6}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{8 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{8-6}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 4)}^{2} - 7$ = $16$ $-$ $7$ = $9$

x_1,2 = $4$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $4$ - $3$ = 1

x₂ = $4$ + $3$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $- 3 \cdot 0^{3} - 4 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₁(0|0)

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1$ = $- 7$ ⇒ S₂( $1$ | $- 7$ )

g( $7$ ) = $- 3 \cdot 7^{3} - 4 \cdot 7$ = $- 1 057$ ⇒ S₃( $7$ | $- 1 057$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-2| $- 16$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 1$ ) und B(-2| $- 16$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 1$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 16$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 1$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 16$ = $- {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- 1)$

$16$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(1.1), -g(1.1) und -h(1.1), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(1.1) = ${1,1}^{2}$ > 0
-g(1.1) = - ${1,1}^{3}$ < 0
-h(1.1) = - ${1,1}^{4}$ < 0

Da f(1.1) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -g(1.1) > -h(1.1). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.1⁴ =1.1³ ⋅ 1.1, d.h. 1.1⁴ > 1.1³, also gilt - 1.1⁴ < - 1.1³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(1.1)= - ${1,1}^{4}$ < -g(1.1)= - ${1,1}^{3}$ < f(1.1)= ${1,1}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $3 {(- 2 x + 6)}^{4} - 5$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $3 {(- 2 x + 6)}^{4} - 5$ ein:

f(2) = $3 \cdot {(- 2 \cdot 2 + 6)}^{4} - 5$

= $3 \cdot {(- 4 + 6)}^{4} - 5$

= $3 \cdot 2^{4} - 5$

= $3 \cdot 16 - 5$

= $48 - 5$

= $43$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen