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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 63 x$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$- 3 x^{3} + 12 x^{2} + 63 x$	=	0
$3 x \cdot (- x^{2} + 4 x + 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 4 x + 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 21}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4+10}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{- 2}$ = $\frac{- 4-10}{- 2}$ = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x + 21$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x - 21$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $2$ - $5$ = -3

x₂ = $2$ + $5$ = 7

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂(0|0), S₃( $7$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} - x^{3} - 3$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{4} - x^{3} - 3$ = -3.

$x^{4} - x^{3} - 3$	=	$- 3$	\| $+ 3$
$x^{4} - x^{3} - 3 + 3$	=	0
$x^{4} - x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₂	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(x + 4)}^{3} - 120$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also ${(x + 4)}^{3} - 120$ = 5.

${(x + 4)}^{3} - 120$	=	$5$	\| $+ 120$
${(x + 4)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 4$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x + 4$	=	$5$	\| $- 4$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= 5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{3} + 83 x + 1$ und $g(x) =$ $3 x + 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 5 x^{3} + 83 x + 1$	=	$3 x + 1$	\| $- 1$
$- 5 x^{3} + 83 x$	=	$3 x$	\| $- 3 x$
$- 5 x^{3} + 83 x - 3 x$	=	0
$- 5 x^{3} + 80 x$	=	0
$5 x \cdot (- x^{2} + 16)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$- x^{2} + 16$	=	0	\| $- 16$
$- x^{2}$	=	$- 16$	\|: $(- 1)$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₃	=	$\sqrt{16}$	= $4$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 4$ ) = $3 \cdot (- 4) + 1$ = $- 11$ ⇒ S₁( $- 4$ | $- 11$ )

g(0) = $3 \cdot 0 + 1$ = $1$ ⇒ S₂(0| $1$ )

g( $4$ ) = $3 \cdot 4 + 1$ = $13$ ⇒ S₃( $4$ | $13$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{1}{4}$ ) und B(3| $- \frac{27}{4}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{1}{4}$ ) und B(3| $- \frac{27}{4}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{1}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- \frac{27}{4}$ = $a \cdot 3^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{1}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- \frac{27}{4}$ = $- \frac{1}{4} \cdot 3^{n}$ | ⋅ $(- 4)$

$27$ = $3^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{1}{4} x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(1.7), g(-1.7) und -h(1.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(1.7) = ${1,7}^{2}$ > 0
g(-1.7) = ${(- 1,7)}^{3}$ < 0
-h(1.7) = - ${1,7}^{4}$ < 0

Da f(1.7) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt g(-1.7) > -h(1.7). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.7⁴ =1.7³ ⋅ 1.7, d.h. 1.7⁴ > 1.7³, also gilt - 1.7⁴ < - 1.7³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(1.7)= - ${1,7}^{4}$ < g(-1.7)= ${(- 1,7)}^{3}$ < f(1.7)= ${1,7}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(2 x - 2)}^{3} - 1$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $- {(2 x - 2)}^{3} - 1$ ein:

f(2) = $- {(2 \cdot 2 - 2)}^{3} - 1$

= $- {(4 - 2)}^{3} - 1$

= $- 2^{3} - 1$

= $- 8 - 1$

= $- 9$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen