An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^5-8x^2$	=	0
$x^2·\left(x^3-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁(0|0), S₂( $2$|0)

Es gilt f(x) = 1, also $x^3+x^2+1$ = 1.

$x^3+x^2+1$	=	$1$	| $-1$
$x^3+x^2+1-1$	=	0
$x^3+x^2$	=	0
$x^2·\left(x+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= 1.

Es gilt f(x) = 4, also $x^3+31$ = 4.

$x^3+31$	=	$4$	| $-31$
$x^3$	=	$-27$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

An der Stelle x₁ = $-3$ gilt also f(x)= 4.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$-5x^4+19x^2-x$	=	$-x^2-x$	| $-\left(-x^2-x\right)$
$-5x^4+19x^2+x^2-x+x$	=	0
$-5x^4+20x^2$	=	0
$5x^2·\left(-x^2+4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-2$) = $-{\left(-2\right)}^2-\left(-2\right)$ = $-2$ ⇒ S₁( $-2$| $-2$)

g(0) = $-0^2-0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $2$) = $-2^2-2$ = $-6$ ⇒ S₃( $2$| $-6$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-\frac{1}{2}$) und B(2|$-2$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-\frac{1}{2}$ = $a·1^n$
II: $-2$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-2$ = $-\frac{1}{2}\cdot 2^n$ | ⋅ $\left(-2\right)$

$4$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-\frac{1}{2}{x}^2$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(-0.5) = ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^2$ > 0
• -g(-0.5) = - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^3$ > 0
• h(0.5) = ${\mathrm{0,5}}^4$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 0.5 < 1 ist, werden die Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5³ =0.5² ⋅ 0.5 bzw. 0.5⁴ =0.5³ ⋅ 0.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
h(0.5)= ${\mathrm{0,5}}^4$ < -g(-0.5)= - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^3$ < f(-0.5)= ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^2$.

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $-3x^5+4x^3-3$ ein:

f(2) = $-3\cdot 2^5+4\cdot 2^3-3$

= $-3\cdot 32+4\cdot 8-3$

= $-96+32-3$

= $-64-3$

= $-67$