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Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 5 - x 3 mit der x-Achse.

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An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 5 - x 3 = 0
x 3 ( x 2 -1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | ⋅3
x1 = 0

2. Fall:

x 2 -1 = 0 | +1
x 2 = 1 | ⋅2
x2 = - 1 = -1
x3 = 1 = 1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0), S3( 1 |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -2x -16 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

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Es gilt f(x) = -1, also x 2 -2x -16 = -1.

x 2 -2x -16 = -1 | +1

x 2 -2x -15 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +2 ± ( -2 ) 2 -4 · 1 · ( -15 ) 2⋅1

x1,2 = +2 ± 4 +60 2

x1,2 = +2 ± 64 2

x1 = 2 + 64 2 = 2 +8 2 = 10 2 = 5

x2 = 2 - 64 2 = 2 -8 2 = -6 2 = -3

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -1 ) 2 - ( -15 ) = 1+ 15 = 16

x1,2 = 1 ± 16

x1 = 1 - 4 = -3

x2 = 1 + 4 = 5

An den Stellen x1 = -3 und x2 = 5 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x 2 -18 ) 3 -13 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

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Es gilt f(x) = -5, also - ( x 2 -18 ) 3 -13 = -5.

- ( x 2 -18 ) 3 -13 = -5 | +13
- ( x 2 -18 ) 3 = 8 |: ( -1 )
( x 2 -18 ) 3 = -8 | ⋅3
x 2 -18 = - 8 3 = -2
x 2 -18 = -2 | +18
x 2 = 16 | ⋅2
x1 = - 16 = -4
x2 = 16 = 4

An den Stellen x1 = -4 und x2 = 4 gilt also f(x)= -5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= 2 x 3 +2x -50 und g(x)= 2x +4 .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

2 x 3 +2x -50 = 2x +4 | +50
2 x 3 +2x = 2x +54 | -2x
2 x 3 = 54 |:2
x 3 = 27 | ⋅3
x = 27 3 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( 3 ) = 2⋅3 +4 = 10 ⇒ S1( 3 | 10 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1|-1) und B(2|-16 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|-1) und B(2|-16 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: -1 = a · 1 n
II: -16 = a · 2 n

Aus I ergibt sich ja sofort -1 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: -16 = - 2 n | ⋅ ( -1 )

16 = 2 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=4

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= - x 4

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(1.6), g(-1.6) und h(1.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • -f(1.6) = - 1,6 2 < 0
  • g(-1.6) = ( -1,6 ) 3 < 0
  • h(1.6) = 1,6 4 > 0

    • Da h(1.6) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

    Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Dabei gilt -f(1.6) > g(-1.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    1.63 =1.62 ⋅ 1.6, d.h. 1.63 > 1.62, also gilt - 1.63 < - 1.62.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    g(-1.6)= ( -1,6 ) 3 < -f(1.6)= - 1,6 2 < h(1.6)= 1,6 4 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -3 ( -2x -6 ) 2 -1 . Berechne den Funktionswert f(-2).

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Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= -3 ( -2x -6 ) 2 -1 ein:

f(-2) = -3⋅ ( -2⋅( -2 ) -6 ) 2 -1

= -3⋅ ( 4 -6 ) 2 -1

= -3⋅ ( -2 ) 2 -1

= -3⋅4 -1

= -12 -1

= -13