An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${\left(x-1\right)}^3+27$	=	0	| $-27$
${\left(x-1\right)}^3$	=	$-27$	|
$x-1$	=	$-\sqrt[3]{27}$	= $-3$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-2$|0)

Es gilt f(x) = -1, also $x^5-x^2-1$ = -1.

$x^5-x^2-1$	=	$-1$	| $+1$
$x^5-x^2-1+1$	=	0
$x^5-x^2$	=	0
$x^2·\left(x^3-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -1.

Es gilt f(x) = 4, also $x^4+20$ = 4.

$x^4+20$	=	$4$	| $-20$
$x^4$	=	$-16$	|

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Es gibt also keine Stelle x für die f(x)= 4 gilt.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^3+5x^2+4x+8$	=	$5x^2+4x$	| $-8$ $-5x^2$ $-4x$
$x^3$	=	$-8$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{8}$	= $-2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-2$) = $5\cdot {\left(-2\right)}^2+4\cdot \left(-2\right)$ = $12$ ⇒ S₁( $-2$| $12$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{3}{2}$) und B(4|$24$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{2}$ = $a·1^n$
II: $24$ = $a·4^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $24$ = $\frac{3}{2}\cdot 4^n$ | ⋅ $\frac{2}{3}$

$16$ = $4^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{3}{2}{x}^2$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(0.4) = ${\mathrm{0,4}}^2$ > 0
• -g(-0.4) = - ${\left(-\mathrm{0,4}\right)}^3$ > 0
• h(0.4) = ${\mathrm{0,4}}^4$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 0.4 < 1 ist, werden die Werte mit jeder Potenz immer kleiner. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.4³ =0.4² ⋅ 0.4 bzw. 0.4⁴ =0.4³ ⋅ 0.4.

Die richtige Reihenfolge ist also:
h(0.4)= ${\mathrm{0,4}}^4$ < -g(-0.4)= - ${\left(-\mathrm{0,4}\right)}^3$ < f(0.4)= ${\mathrm{0,4}}^2$.

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= ${\left(x-3\right)}^2+4$ ein:

f(2) = ${\left(2-3\right)}^2+4$

= ${\left(-1\right)}^2+4$

= $1+4$

= $5$