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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 16$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + 16$	=	0	\| $- 16$
$x^{4}$	=	$- 16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{4} + x^{3} - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{4} + x^{3} - 1$ = -1.

$x^{4} + x^{3} - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{4} + x^{3} - 1 + 1$	=	0
$x^{4} + x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(8 + 3 x)}^{3} - 4$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also ${(8 + 3 x)}^{3} - 4$ = 4.

${(8 + 3 x)}^{3} - 4$	=	$4$
${(3 x + 8)}^{3} - 4$	=	$4$	\| $+ 4$
${(3 x + 8)}^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x + 8$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

$3 x + 8$	=	$2$	\| $- 8$
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

An der Stelle x₁ = $- 2$ gilt also f(x)= 4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $5 x^{3} - 65 x^{2} + 214 x - 3$ und $g(x) =$ $4 x - 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$5 x^{3} - 65 x^{2} + 214 x - 3$	=	$4 x - 3$	\| $+ 3$
$5 x^{3} - 65 x^{2} + 214 x$	=	$4 x$	\| $- 4 x$
$5 x^{3} - 65 x^{2} + 214 x - 4 x$	=	0
$5 x^{3} - 65 x^{2} + 210 x$	=	0
$5 x \cdot (x^{2} - 13 x + 42)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} - 13 x + 42$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 42}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 168}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₂ = $\frac{13 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13+1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{13 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{13-1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $42$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{168}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $4 \cdot 0 - 3$ = $- 3$ ⇒ S₁(0| $- 3$ )

g( $6$ ) = $4 \cdot 6 - 3$ = $21$ ⇒ S₂( $6$ | $21$ )

g( $7$ ) = $4 \cdot 7 - 3$ = $25$ ⇒ S₃( $7$ | $25$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 2$ ) und B(2| $- 32$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 2$ ) und B(2| $- 32$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 2$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 32$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 2$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 32$ = $- 2 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{2})$

$16$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 2 x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-0.8), -g(0.8) und h(0.8), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-0.8) = ${(- 0,8)}^{2}$ > 0
-g(0.8) = - ${0,8}^{3}$ < 0
h(0.8) = ${0,8}^{4}$ > 0

Da -g(0.8) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-0.8) > h(0.8). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.8⁴ =0.8² ⋅ 0.8 ⋅ 0.8.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(0.8)= - ${0,8}^{3}$ < h(0.8)= ${0,8}^{4}$ < f(-0.8)= ${(- 0,8)}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 x^{2} - 2$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $2 x^{2} - 2$ ein:

f(-2) = $2 \cdot {(- 2)}^{2} - 2$

= $2 \cdot 4 - 2$

= $8 - 2$

= $6$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen