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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{3} + 128$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2 x^{3} + 128$	=	0	\| $- 128$
$2 x^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
$x^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{3} + x^{2} - 1$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also $x^{3} + x^{2} - 1$ = -1.

$x^{3} + x^{2} - 1$	=	$- 1$	\| $+ 1$
$x^{3} + x^{2} - 1 + 1$	=	0
$x^{3} + x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = 0 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x - 3)}^{4} + 28$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(x - 3)}^{4} + 28$ = -4.

$- 2 {(x - 3)}^{4} + 28$	=	$- 4$	\| $- 28$
$- 2 {(x - 3)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x - 3)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x - 3

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
x₁	=	$1$

2. Fall

x - 3

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x - 3$	=	$2$	\| $+ 3$
x₂	=	$5$

An den Stellen x₁ = $1$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 3 x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 3$ und $g(x) =$ $- 3 x + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 3 x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 3$	=	$- 3 x + 3$	\| $- 3$
$- 3 x^{3} - 12 x^{2} + 60 x$	=	$- 3 x$	\| $+ 3 x$
$- 3 x^{3} - 12 x^{2} + 60 x + 3 x$	=	0
$- 3 x^{3} - 12 x^{2} + 63 x$	=	0
$- 3 x \cdot (x^{2} + 4 x - 21)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$x^{2} + 4 x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4+10}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{- 4-10}{2}$ = $\frac{- 14}{2}$ = $- 7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $2^{2} - (- 21)$ = $4$ $+$ $21$ = $25$

x_1,2 = $- 2$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $- 2$ - $5$ = -7

x₂ = $- 2$ + $5$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 7$ ) = $- 3 \cdot (- 7) + 3$ = $24$ ⇒ S₁( $- 7$ | $24$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0 + 3$ = $3$ ⇒ S₂(0| $3$ )

g( $3$ ) = $- 3 \cdot 3 + 3$ = $- 6$ ⇒ S₃( $3$ | $- 6$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(2| $6$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(2| $6$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $6$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $6$ = $\frac{3}{2} \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{2}{3}$

$4$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(1.6), g(1.6) und h(-1.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(1.6) = ${1,6}^{2}$ > 0
g(1.6) = ${1,6}^{3}$ > 0
h(-1.6) = ${(- 1,6)}^{4}$ > 0

Da alle Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Und weil 1.6 > 1 ist, werden die Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.6³ =1.6² ⋅ 1.6 bzw. 1.6⁴ =1.6³ ⋅ 1.6.

Die richtige Reihenfolge ist also:
f(1.6)= ${1,6}^{2}$ < g(1.6)= ${1,6}^{3}$ < h(-1.6)= ${(- 1,6)}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $3 x^{2} - 5$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $3 x^{2} - 5$ ein:

f(2) = $3 \cdot 2^{2} - 5$

= $3 \cdot 4 - 5$

= $12 - 5$

= $7$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen