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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{2} + 4 x - 24$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

4 x^{2} + 4 x - 24

= 0 |:4

$x^{2} + x - 6$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 1 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 1 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1+5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 1 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 1-5}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{1}{2})}^{2} - (- 6)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $6$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{24}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{1}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $- \frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 3$ |0), S₂( $2$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2}$ = 0.

$x {(x - 3)}^{2} {(x + 4)}^{2}$	=	0
$x {((x - 3) \cdot (x + 4))}^{2}$	=	0
${((x - 3) \cdot (x + 4))}^{2} x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${((x - 3) \cdot (x + 4))}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$(x - 3) \cdot (x + 4)$	=	0

(x - 3) \cdot (x + 4)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₁	=	$3$

2. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₂	=	$- 4$

2. Fall:

x₃

=

0

An den Stellen x₁ = $- 4$ , x₂ = 0 und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- {(x + 1)}^{3} + 128$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $- {(x + 1)}^{3} + 128$ = 3.

$- {(x + 1)}^{3} + 128$	=	$3$	\| $- 128$
$- {(x + 1)}^{3}$	=	$- 125$	\|: $(- 1)$
${(x + 1)}^{3}$	=	$125$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x + 1$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

$x + 1$	=	$5$	\| $- 1$
$x$	=	$4$

An der Stelle x₁ = $4$ gilt also f(x)= 3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 3 x^{2} + 5$ und $g(x) =$ $- 2 x^{2} + 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 3 x^{2} + 5$	=	$- 2 x^{2} + 5$	\| $- 5$
$x^{4} - 3 x^{2}$	=	$- 2 x^{2}$	\| $+ 2 x^{2}$
$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{4} - x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 1$	=	0	\| $+ 1$
$x^{2}$	=	$1$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₂	=	$- \sqrt{1}$	= $- 1$
x₃	=	$\sqrt{1}$	= $1$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 1$ ) = $- 2 \cdot {(- 1)}^{2} + 5$ = $3$ ⇒ S₁( $- 1$ | $3$ )

g(0) = $- 2 \cdot 0^{2} + 5$ = $5$ ⇒ S₂(0| $5$ )

g( $1$ ) = $- 2 \cdot 1^{2} + 5$ = $3$ ⇒ S₃( $1$ | $3$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- 3$ ) und B(-3| $81$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- 3$ ) und B(-3| $81$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- 3$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $81$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- 3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $81$ = $- 3 \cdot {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $(- \frac{1}{3})$

$- 27$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- 3 x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.1), -g(-1.1) und -h(-1.1), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-1.1) = ${(- 1,1)}^{2}$ > 0
-g(-1.1) = - ${(- 1,1)}^{3}$ > 0
-h(-1.1) = - ${(- 1,1)}^{4}$ < 0

Da -h(-1.1) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-1.1) < -g(-1.1). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.1³ =1.1² ⋅ 1.1.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.1)= - ${(- 1,1)}^{4}$ < f(-1.1)= ${(- 1,1)}^{2}$ < -g(-1.1)= - ${(- 1,1)}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 3 x - 8)}^{4} + 2$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $2 {(- 3 x - 8)}^{4} + 2$ ein:

f(-2) = $2 \cdot {(- 3 \cdot (- 2) - 8)}^{4} + 2$

= $2 \cdot {(6 - 8)}^{4} + 2$

= $2 \cdot {(- 2)}^{4} + 2$

= $2 \cdot 16 + 2$

= $32 + 2$

= $34$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen