Mathebattle EduRandomtasks

Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{3} + 2 x^{2}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{3} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} + 3 x - 9$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $x^{2} + 3 x - 9$ = -5.

x^{2} + 3 x - 9

=

- 5

|

+ 5

$x^{2} + 3 x - 4$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3+5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{25}}{2}$ = $\frac{- 3-5}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{3}{2})}^{2} - (- 4)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $4$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{16}{4}$ = $\frac{25}{4}$

x_1,2 = $- \frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{25}{4}}$

x₁ = $- \frac{3}{2}$ - $\frac{5}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{3}{2}$ + $\frac{5}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $1$ gilt also f(x)= -5.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(4 + 2 x)}^{3} - 127$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $2 {(4 + 2 x)}^{3} - 127$ = 1.

$2 {(4 + 2 x)}^{3} - 127$	=	$1$
$2 {(2 x + 4)}^{3} - 127$	=	$1$	\| $+ 127$
$2 {(2 x + 4)}^{3}$	=	$128$	\|: $2$
${(2 x + 4)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$2 x + 4$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$2 x + 4$	=	$4$	\| $- 4$
$2 x$	=	0	\|: $2$
$x$	=	0

An der Stelle x₁ = 0 gilt also f(x)= 1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} - 16$ und $g(x) =$ $- 3 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} - 16$	=	$- 3 x^{3} - 3 x^{2}$	\| $+ 16$ $+ 3 x^{3}$ $+ 3 x^{2}$
$x^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{16}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{3} - 3 \cdot {(- 2)}^{2}$ = $12$ ⇒ S₁( $- 2$ | $12$ )

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2^{2}$ = $- 36$ ⇒ S₂( $2$ | $- 36$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{4}{3}$ ) und B(-2| $\frac{128}{3}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{4}{3}$ ) und B(-2| $\frac{128}{3}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{4}{3}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{128}{3}$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{4}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{128}{3}$ = $- \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $(- \frac{3}{4})$

$- 32$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{4}{3} x^{5}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.6), -g(1.6) und h(1.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-1.6) = ${(- 1,6)}^{2}$ > 0
-g(1.6) = - ${1,6}^{3}$ < 0
h(1.6) = ${1,6}^{4}$ > 0

Da -g(1.6) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-1.6) < h(1.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.6⁴ =1.6² ⋅ 1.6 ⋅ 1.6.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(1.6)= - ${1,6}^{3}$ < f(-1.6)= ${(- 1,6)}^{2}$ < h(1.6)= ${1,6}^{4}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(2 x + 3)}^{3} - 3$ . Berechne den Funktionswert f(-2).

Lösung einblenden

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $- 2 {(2 x + 3)}^{3} - 3$ ein:

f(-2) = $- 2 \cdot {(2 \cdot (- 2) + 3)}^{3} - 3$

= $- 2 \cdot {(- 4 + 3)}^{3} - 3$

= $- 2 \cdot {(- 1)}^{3} - 3$

= $- 2 \cdot (- 1) - 3$

= $2 - 3$

= $- 1$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen