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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 2 x^{3}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + 2 x^{3}$	=	0
$x^{3} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{3}$	=	$0$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 2$ |0), S₂(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 3 x - 31$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $x^{2} - 3 x - 31$ = -3.

x^{2} - 3 x - 31

=

- 3

|

+ 3

$x^{2} - 3 x - 28$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 28)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{121}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3+11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{121}}{2}$ = $\frac{3-11}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 28)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $28$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{112}{4}$ = $\frac{121}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{121}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{11}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{11}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

An den Stellen x₁ = $- 4$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= -3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(4 - 2 x)}^{3} - 19$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -3, also $- 2 {(4 - 2 x)}^{3} - 19$ = -3.

$- 2 {(4 - 2 x)}^{3} - 19$	=	$- 3$
$- 2 {(- 2 x + 4)}^{3} - 19$	=	$- 3$	\| $+ 19$
$- 2 {(- 2 x + 4)}^{3}$	=	$16$	\|: $(- 2)$
${(- 2 x + 4)}^{3}$	=	$- 8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x + 4$	=	$- \sqrt[3]{8}$	= $- 2$

$- 2 x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
$- 2 x$	=	$- 6$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$3$

An der Stelle x₁ = $3$ gilt also f(x)= -3.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2$ und $g(x) =$ $- 3 x^{3} + 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 2 x^{3} + 2 x^{2} + 2$	=	$- 3 x^{3} + 2$	\| $- 2$
$- 2 x^{3} + 2 x^{2}$	=	$- 3 x^{3}$	\| $+ 3 x^{3}$
$- 2 x^{3} + 3 x^{3} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{3} + 2 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x + 2)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $- 3 \cdot {(- 2)}^{3} + 2$ = $26$ ⇒ S₁( $- 2$ | $26$ )

g(0) = $- 3 \cdot 0^{3} + 2$ = $2$ ⇒ S₂(0| $2$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(3| $\frac{9}{2}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{1}{2}$ ) und B(3| $\frac{9}{2}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{9}{2}$ = $a \cdot 3^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{9}{2}$ = $\frac{1}{2} \cdot 3^{n}$ | ⋅ $2$

$9$ = $3^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-0.7), g(-0.7) und -h(0.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-0.7) = ${(- 0,7)}^{2}$ > 0
g(-0.7) = ${(- 0,7)}^{3}$ < 0
-h(0.7) = - ${0,7}^{4}$ < 0

Da f(-0.7) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt g(-0.7) < -h(0.7). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.7⁴ =0.7³ ⋅ 0.7, d.h. 0.7⁴ < 0.7³, also gilt - 0.7⁴ > - 0.7³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
g(-0.7)= ${(- 0,7)}^{3}$ < -h(0.7)= - ${0,7}^{4}$ < f(-0.7)= ${(- 0,7)}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 3 x^{5} + x^{3} + 8$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $- 3 x^{5} + x^{3} + 8$ ein:

f(1) = $- 3 \cdot 1^{5} + 1^{3} + 8$

= $- 3 \cdot 1 + 1 + 8$

= $- 3 + 1 + 8$

= $- 2 + 8$

= $6$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen