An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$3x^4+12x^3-15x^2$	=	0
$3x^2·\left(x^2+4x-5\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-5$|0), S₂(0|0), S₃( $1$|0)

Es gilt f(x) = 0, also $x{\left(x+2\right)}^2{\left(x-2\right)}^2$ = 0.

$x{\left(x+2\right)}^2{\left(x-2\right)}^2$	=	0
$x{(\left(x+2\right)·\left(x-2\right))}^2$	=	0
${(\left(x+2\right)·\left(x-2\right))}^{2}x$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-2$, x₂ = 0 und x₃ = $2$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = 1, also $-2{\left(x-3\right)}^3+251$ = 1.

$-2{\left(x-3\right)}^3+251$	=	$1$	| $-251$
$-2{\left(x-3\right)}^3$	=	$-250$	|: $\left(-2\right)$
${\left(x-3\right)}^3$	=	$125$	|
$x-3$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

An der Stelle x₁ = $8$ gilt also f(x)= 1.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^4+5x^3-21$	=	$5x^3-5$	| $+21$
$x^4+5x^3$	=	$5x^3+16$	| $-5x^3$
$x^4$	=	$16$	|
x1	=	$-\sqrt[4]{16}$	= $-2$
x2	=	$\sqrt[4]{16}$	= $2$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-2$) = $5\cdot {\left(-2\right)}^3-5$ = $-45$ ⇒ S₁( $-2$| $-45$)

g( $2$) = $5\cdot 2^3-5$ = $35$ ⇒ S₂( $2$| $35$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{1}{3}$) und B(2|$\frac{8}{3}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{3}$ = $a·1^n$
II: $\frac{8}{3}$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{3}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{8}{3}$ = $\frac{1}{3}\cdot 2^n$ | ⋅ $3$

$8$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{3}{x}^3$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(-0.5) = ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^2$ > 0
• g(0.5) = ${\mathrm{0,5}}^3$ > 0
• -h(-0.5) = - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^4$ < 0

Da -h(-0.5) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-0.5) > g(0.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.5³ =0.5² ⋅ 0.5.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-0.5)= - ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^4$ < g(0.5)= ${\mathrm{0,5}}^3$ < f(-0.5)= ${\left(-\mathrm{0,5}\right)}^2$.

Wir setzen -2 einfach für x in f(x)= $3x^5+3x^2-5$ ein:

f(-2) = $3\cdot {\left(-2\right)}^5+3\cdot {\left(-2\right)}^2-5$

= $3\cdot \left(-32\right)+3\cdot 4-5$

= $-96+12-5$

= $-84-5$

= $-89$