An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$4x^5-144x^3$	=	0
$4x^3·\left(x^2-36\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-6$|0), S₂(0|0), S₃( $6$|0)

Es gilt f(x) = 1, also $x^6-8x^3+1$ = 1.

$x^6-8x^3+1$	=	$1$	| $-1$
$x^6-8x^3+1-1$	=	0
$x^6-8x^3$	=	0
$x^3·\left(x^3-8\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = 0 und x₂ = $2$ gilt also f(x)= 1.

Es gilt f(x) = 2, also $-2x^3-126$ = 2.

$-2x^3-126$	=	$2$	| $+126$
$-2x^3$	=	$128$	|: $\left(-2\right)$
$x^3$	=	$-64$	|
$x$	=	$-\sqrt[3]{64}$	= $-4$

An der Stelle x₁ = $-4$ gilt also f(x)= 2.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$-4x^4+16x^3+84x^2+4x+2$	=	$4x+2$	| $-2$
$-4x^4+16x^3+84x^2+4x$	=	$4x$	| $-4x$
$-4x^4+16x^3+84x^2+4x-4x$	=	0
$-4x^4+16x^3+84x^2$	=	0
$4x^2·\left(-x^2+4x+21\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-3$) = $4\cdot \left(-3\right)+2$ = $-10$ ⇒ S₁( $-3$| $-10$)

g(0) = $4\cdot 0+2$ = $2$ ⇒ S₂(0| $2$)

g( $7$) = $4\cdot 7+2$ = $30$ ⇒ S₃( $7$| $30$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-3$) und B(-4|$-48$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-3$ = $a·1^n$
II: $-48$ = $a·{\left(-4\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-48$ = $-3\cdot {\left(-4\right)}^n$ | ⋅ $\left(-\frac{1}{3}\right)$

$16$ = ${\left(-4\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-3x^2$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(1.3) = ${\mathrm{1,3}}^2$ > 0
• -g(1.3) = - ${\mathrm{1,3}}^3$ < 0
• h(-1.3) = ${\left(-\mathrm{1,3}\right)}^4$ > 0

Da -g(1.3) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(1.3) < h(-1.3). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.3⁴ =1.3² ⋅ 1.3 ⋅ 1.3.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(1.3)= - ${\mathrm{1,3}}^3$ < f(1.3)= ${\mathrm{1,3}}^2$ < h(-1.3)= ${\left(-\mathrm{1,3}\right)}^4$.

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $2{\left(-3x+2\right)}^2-2$ ein:

f(1) = $2\cdot {\left(-3\cdot 1+2\right)}^2-2$

= $2\cdot {\left(-3+2\right)}^2-2$

= $2\cdot {\left(-1\right)}^2-2$

= $2\cdot 1-2$

= $2-2$

= 0