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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $x^{4} + 81$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^{4} + 81$	=	0	\| $- 81$
$x^{4}$	=	$- 81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

Diese Gleichung hat keine (reele) Lösung!

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x {(x + 2)}^{2} \cdot (x - 3)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x {(x + 2)}^{2} \cdot (x - 3)$ = 0.

x {(x + 2)}^{2} \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x + 2)}^{2} \cdot (x - 3)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x + 2)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x + 2$	=	0

$x + 2$	=	0	\| $- 2$
x₂	=	$- 2$

2. Fall:

$x - 3$	=	0	\| $+ 3$
x₃	=	$3$

An den Stellen x₁ = $- 2$ , x₂ = 0 und x₃ = $3$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(x + 5)}^{4} + 33$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $- 2 {(x + 5)}^{4} + 33$ = 1.

$- 2 {(x + 5)}^{4} + 33$	=	$1$	\| $- 33$
$- 2 {(x + 5)}^{4}$	=	$- 32$	\|: $(- 2)$
${(x + 5)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 5

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x + 5$	=	$- 2$	\| $- 5$
x₁	=	$- 7$

2. Fall

x + 5

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x + 5$	=	$2$	\| $- 5$
x₂	=	$- 3$

An den Stellen x₁ = $- 7$ und x₂ = $- 3$ gilt also f(x)= 1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} - 5 x^{3} - 9 x^{2} - 5 x$ und $g(x) =$ $5 x^{2} - 5 x$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} - 5 x^{3} - 9 x^{2} - 5 x$	=	$5 x^{2} - 5 x$	\| $- (5 x^{2} - 5 x)$
$x^{4} - 5 x^{3} - 9 x^{2} - 5 x^{2} - 5 x + 5 x$	=	0
$x^{4} - 5 x^{3} - 14 x^{2}$	=	0
$x^{2} \cdot (x^{2} - 5 x - 14)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_2,3 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₂ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₃ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 2$ ) = $5 \cdot {(- 2)}^{2} - 5 \cdot (- 2)$ = $30$ ⇒ S₁( $- 2$ | $30$ )

g(0) = $5 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0$ = 0 ⇒ S₂(0|0)

g( $7$ ) = $5 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7$ = $210$ ⇒ S₃( $7$ | $210$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $4$ ) und B(-4| $64$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $4$ ) und B(-4| $64$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $4$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $64$ = $a \cdot {(- 4)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $4$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $64$ = $4 \cdot {(- 4)}^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{4}$

$16$ = ${(- 4)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $4 x^{2}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.6), g(1.6) und -h(1.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-1.6) = ${(- 1,6)}^{2}$ > 0
g(1.6) = ${1,6}^{3}$ > 0
-h(1.6) = - ${1,6}^{4}$ < 0

Da -h(1.6) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(-1.6) < g(1.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.6³ =1.6² ⋅ 1.6.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(1.6)= - ${1,6}^{4}$ < f(-1.6)= ${(- 1,6)}^{2}$ < g(1.6)= ${1,6}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 x^{4} - 2$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $- 2 x^{4} - 2$ ein:

f(2) = $- 2 \cdot 2^{4} - 2$

= $- 2 \cdot 16 - 2$

= $- 32 - 2$

= $- 34$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen