Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 6 + x 3 mit der x-Achse.

Lösung einblenden

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 6 + x 3 = 0
x 3 ( x 3 +1 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +1 = 0 | -1
x 3 = -1 | 3
x2 = - 1 3 = -1

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -1 |0), S2(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 3 -4x -1 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -1, also x 3 -4x -1 = -1.

x 3 -4x -1 = -1 | +1
x 3 -4x -1 +1 = 0
x 3 -4x = 0
x ( x 2 -4 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -4 = 0 | +4
x 2 = 4 | 2
x2 = - 4 = -2
x3 = 4 = 2

An den Stellen x1 = -2 , x2 = 0 und x3 = 2 gilt also f(x)= -1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= - ( x +2 ) 4 +85 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 4, also - ( x +2 ) 4 +85 = 4.

- ( x +2 ) 4 +85 = 4 | -85
- ( x +2 ) 4 = -81 |: ( -1 )
( x +2 ) 4 = 81 | 4

1. Fall

x +2 = - 81 4 = -3
x +2 = -3 | -2
x1 = -5

2. Fall

x +2 = 81 4 = 3
x +2 = 3 | -2
x2 = 1

An den Stellen x1 = -5 und x2 = 1 gilt also f(x)= 4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -2 x 3 -2x +49 und g(x)= -2x -5 .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-2 x 3 -2x +49 = -2x -5 | -49
-2 x 3 -2x = -2x -54 | +2x
-2 x 3 = -54 |: ( -2 )
x 3 = 27 | 3
x = 27 3 = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( 3 ) = -23 -5 = -11 S1( 3 | -11 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| 1 2 ) und B(2|16 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| 1 2 ) und B(2|16 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: 1 2 = a · 1 n
II: 16 = a · 2 n

Aus I ergibt sich ja sofort 1 2 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: 16 = 1 2 2 n | ⋅ 2

32 = 2 n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=5

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= 1 2 x 5

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.6), g(-1.6) und -h(1.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • f(-1.6) = ( -1,6 ) 2 > 0
  • g(-1.6) = ( -1,6 ) 3 < 0
  • -h(1.6) = - 1,6 4 < 0
  • Da f(-1.6) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

    Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Dabei gilt g(-1.6) > -h(1.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    1.64 =1.63 ⋅ 1.6, d.h. 1.64 > 1.63, also gilt - 1.64 < - 1.63.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -h(1.6)= - 1,6 4 < g(-1.6)= ( -1,6 ) 3 < f(-1.6)= ( -1,6 ) 2 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -3 ( 3x -4 ) 2 +5 . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= -3 ( 3x -4 ) 2 +5 ein:

f(1) = -3 ( 31 -4 ) 2 +5

= -3 ( 3 -4 ) 2 +5

= -3 ( -1 ) 2 +5

= -31 +5

= -3 +5

= 2