An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$2{\left(x^2-23\right)}^3-16$	=	0	| $+16$
$2{\left(x^2-23\right)}^3$	=	$16$	|:$2$
${\left(x^2-23\right)}^3$	=	$8$	|
$x^2-23$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-5$|0), S₂( $5$|0)

Es gilt f(x) = 0, also $\left(x-2\right)·\left(x-5\right)$ = 0.

$\left(x-2\right)·\left(x-5\right)$

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $2$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 0.

Es gilt f(x) = 2, also $-{\left(x+5\right)}^3+29$ = 2.

$-{\left(x+5\right)}^3+29$	=	$2$	| $-29$
$-{\left(x+5\right)}^3$	=	$-27$	|: $\left(-1\right)$
${\left(x+5\right)}^3$	=	$27$	|
$x+5$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

An der Stelle x₁ = $-2$ gilt also f(x)= 2.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^5-4x^3+x^2+5$	=	$-4x^3+5$	| $-5$
$x^5-4x^3+x^2$	=	$-4x^3$	| $+4x^3$
$x^5-4x^3+4x^3+x^2$	=	0
$x^5+x^2$	=	0
$x^2·\left(x^3+1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $-1$) = $-4\cdot {\left(-1\right)}^3+5$ = $9$ ⇒ S₁( $-1$| $9$)

g(0) = $-4\cdot 0^3+5$ = $5$ ⇒ S₂(0| $5$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$\frac{1}{2}$) und B(-3|$\frac{9}{2}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{1}{2}$ = $a·1^n$
II: $\frac{9}{2}$ = $a·{\left(-3\right)}^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{1}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{9}{2}$ = $\frac{1}{2}\cdot {\left(-3\right)}^n$ | ⋅ $2$

$9$ = ${\left(-3\right)}^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$2$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}{x}^2$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(1.2) = ${\mathrm{1,2}}^2$ > 0
• -g(-1.2) = - ${\left(-\mathrm{1,2}\right)}^3$ > 0
• -h(1.2) = - ${\mathrm{1,2}}^4$ < 0

Da -h(1.2) der einzige negative Funktionswert ist, muss dieser also der kleinste sein.

Und weil die anderen beiden Werte positiv sind, schauen wir nur auf die Beträge:

Dabei gilt f(1.2) < -g(-1.2). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.2³ =1.2² ⋅ 1.2.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(1.2)= - ${\mathrm{1,2}}^4$ < f(1.2)= ${\mathrm{1,2}}^2$ < -g(-1.2)= - ${\left(-\mathrm{1,2}\right)}^3$.

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $3{\left(-3x-5\right)}^3+2$ ein:

f(-1) = $3\cdot {\left(-3\cdot \left(-1\right)-5\right)}^3+2$

= $3\cdot {\left(3-5\right)}^3+2$

= $3\cdot {\left(-2\right)}^3+2$

= $3\cdot \left(-8\right)+2$

= $-24+2$

= $-22$