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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $2 x^{2} - 4 x - 48$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

2 x^{2} - 4 x - 48

= 0 |:2

$x^{2} - 2 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{100}}{2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2+10}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{100}}{2}$ = $\frac{2-10}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 1)}^{2} - (- 24)$ = $1$ $+$ $24$ = $25$

x_1,2 = $1$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $1$ - $5$ = -4

x₂ = $1$ + $5$ = 6

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0), S₂( $6$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $(x - 4) \cdot (x - 5)$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $(x - 4) \cdot (x - 5)$ = 0.

(x - 4) \cdot (x - 5)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₁	=	$4$

2. Fall:

$x - 5$	=	0	\| $+ 5$
x₂	=	$5$

An den Stellen x₁ = $4$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 6 + 3 x)}^{3} + 50$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $2 {(- 6 + 3 x)}^{3} + 50$ = -4.

$2 {(- 6 + 3 x)}^{3} + 50$	=	$- 4$
$2 {(3 x - 6)}^{3} + 50$	=	$- 4$	\| $- 50$
$2 {(3 x - 6)}^{3}$	=	$- 54$	\|: $2$
${(3 x - 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$3 x - 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$3 x - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$3 x$	=	$3$	\|: $3$
$x$	=	$1$

An der Stelle x₁ = $1$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{2} + 6 x - 6$ und $g(x) =$ $- 3 x^{2} - 2$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

- 5 x^{2} + 6 x - 6

=

- 3 x^{2} - 2

|

+ 3 x^{2}

+ 2

- 2 x^{2} + 6 x - 4

= 0 |:2

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $1$ ) = $- 3 \cdot 1^{2} - 2$ = $- 5$ ⇒ S₁( $1$ | $- 5$ )

g( $2$ ) = $- 3 \cdot 2^{2} - 2$ = $- 14$ ⇒ S₂( $2$ | $- 14$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(-2| $12$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(-2| $12$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $12$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $12$ = $\frac{3}{4} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $\frac{4}{3}$

$16$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-1.1), g(-1.1) und -h(-1.1), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-1.1) = ${(- 1,1)}^{2}$ > 0
g(-1.1) = ${(- 1,1)}^{3}$ < 0
-h(-1.1) = - ${(- 1,1)}^{4}$ < 0

Da f(-1.1) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt g(-1.1) > -h(-1.1). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.1⁴ =1.1³ ⋅ 1.1, d.h. 1.1⁴ > 1.1³, also gilt - 1.1⁴ < - 1.1³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.1)= - ${(- 1,1)}^{4}$ < g(-1.1)= ${(- 1,1)}^{3}$ < f(-1.1)= ${(- 1,1)}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 4 x^{3} - 4$ . Berechne den Funktionswert f(-1).

Lösung einblenden

Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= $- 4 x^{3} - 4$ ein:

f(-1) = $- 4 \cdot {(- 1)}^{3} - 4$

= $- 4 \cdot (- 1) - 4$

= $4 - 4$

= 0

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen