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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ $4 x^{4} + 8 x^{3} - 60 x^{2}$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$4 x^{4} + 8 x^{3} - 60 x^{2}$	=	0
$4 x^{2} \cdot (x^{2} + 2 x - 15)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$x^{2} + 2 x - 15$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15)}}{2 \cdot 1}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2}$

x_2,3 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{64}}{2}$

x₂ = $\frac{- 2 + \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2+8}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

x₃ = $\frac{- 2 - \sqrt{64}}{2}$ = $\frac{- 2-8}{2}$ = $\frac{- 10}{2}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 15)$ = $1$ $+$ $15$ = $16$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{16}$

x₁ = $- 1$ - $4$ = -5

x₂ = $- 1$ + $4$ = 3

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 5$ |0), S₂(0|0), S₃( $3$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x (x - 1) {(x - 4)}^{2}$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 0.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 0, also $x (x - 1) {(x - 4)}^{2}$ = 0.

$x (x - 1) {(x - 4)}^{2}$	=	0
$x {(x - 4)}^{2} \cdot (x - 1)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

{(x - 4)}^{2} \cdot (x - 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

${(x - 4)}^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
$x - 4$	=	0

$x - 4$	=	0	\| $+ 4$
x₂	=	$4$

2. Fall:

$x - 1$	=	0	\| $+ 1$
x₃	=	$1$

An den Stellen x₁ = 0, x₂ = $1$ und x₃ = $4$ gilt also f(x)= 0.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(- 6 - 3 x)}^{3} - 58$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -4.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -4, also $- 2 {(- 6 - 3 x)}^{3} - 58$ = -4.

$- 2 {(- 6 - 3 x)}^{3} - 58$	=	$- 4$
$- 2 {(- 3 x - 6)}^{3} - 58$	=	$- 4$	\| $+ 58$
$- 2 {(- 3 x - 6)}^{3}$	=	$54$	\|: $(- 2)$
${(- 3 x - 6)}^{3}$	=	$- 27$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 3 x - 6$	=	$- \sqrt[3]{27}$	= $- 3$

$- 3 x - 6$	=	$- 3$	\| $+ 6$
$- 3 x$	=	$3$	\|:( $- 3$ )
$x$	=	$- 1$

An der Stelle x₁ = $- 1$ gilt also f(x)= -4.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{4} + 5 x - 82$ und $g(x) =$ $5 x - 1$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$x^{4} + 5 x - 82$	=	$5 x - 1$	\| $+ 82$
$x^{4} + 5 x$	=	$5 x + 81$	\| $- 5 x$
$x^{4}$	=	$81$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt[4]{81}$	= $- 3$
x₂	=	$\sqrt[4]{81}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $- 3$ ) = $5 \cdot (- 3) - 1$ = $- 16$ ⇒ S₁( $- 3$ | $- 16$ )

g( $3$ ) = $5 \cdot 3 - 1$ = $14$ ⇒ S₂( $3$ | $14$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(-2| $- 12$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{2}$ ) und B(-2| $- 12$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 12$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 12$ = $\frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $\frac{2}{3}$

$- 8$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-1.6), g(1.6) und -h(-1.6), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-1.6) = - ${(- 1,6)}^{2}$ < 0
g(1.6) = ${1,6}^{3}$ > 0
-h(-1.6) = - ${(- 1,6)}^{4}$ < 0

Da g(1.6) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -f(-1.6) > -h(-1.6). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.6⁴ =1.6² ⋅ 1.6 ⋅ 1.6, d.h. 1.6⁴ > 1.6², also gilt - 1.6⁴ < - 1.6².

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.6)= - ${(- 1,6)}^{4}$ < -f(-1.6)= - ${(- 1,6)}^{2}$ < g(1.6)= ${1,6}^{3}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ${(- 2 x + 3)}^{2} + 2$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= ${(- 2 x + 3)}^{2} + 2$ ein:

f(2) = ${(- 2 \cdot 2 + 3)}^{2} + 2$

= ${(- 4 + 3)}^{2} + 2$

= ${(- 1)}^{2} + 2$

= $1 + 2$

= $3$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen