An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

$x^5-4x^3$	=	0
$x^3·\left(x^2-4\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $-2$|0), S₂(0|0), S₃( $2$|0)

Es gilt f(x) = -2, also $x^4-x^2-2$ = -2.

$x^4-x^2-2$	=	$-2$	| $+2$
$x^4-x^2-2+2$	=	0
$x^4-x^2$	=	0
$x^2·\left(x^2-1\right)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

2. Fall:

An den Stellen x₁ = $-1$, x₂ = 0 und x₃ = $1$ gilt also f(x)= -2.

Es gilt f(x) = 2, also $-2{\left(x^2-5\right)}^3+130$ = 2.

$-2{\left(x^2-5\right)}^3+130$	=	$2$	| $-130$
$-2{\left(x^2-5\right)}^3$	=	$-128$	|: $\left(-2\right)$
${\left(x^2-5\right)}^3$	=	$64$	|
$x^2-5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

An den Stellen x₁ = $-3$ und x₂ = $3$ gilt also f(x)= 2.

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$-2x^3+4x+59$	=	$4x+5$	| $-59$
$-2x^3+4x$	=	$4x-54$	| $-4x$
$-2x^3$	=	$-54$	|: $\left(-2\right)$
$x^3$	=	$27$	|
$x$	=	$\sqrt[3]{27}$	= $3$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $3$) = $4\cdot 3+5$ = $17$ ⇒ S₁( $3$| $17$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-3$) und B(2|$-48$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a·x^n$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-3$ = $a·1^n$
II: $-48$ = $a·2^n$

Aus I ergibt sich ja sofort $-3$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $-48$ = $-3\cdot 2^n$ | ⋅ $\left(-\frac{1}{3}\right)$

$16$ = $2^n$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=$4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $\text{f(x)}=$ $-3x^4$

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

• f(1.5) = ${\mathrm{1,5}}^2$ > 0
• -g(1.5) = - ${\mathrm{1,5}}^3$ < 0
• -h(1.5) = - ${\mathrm{1,5}}^4$ < 0

Da f(1.5) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -g(1.5) > -h(1.5). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.5⁴ =1.5³ ⋅ 1.5, d.h. 1.5⁴ > 1.5³, also gilt - 1.5⁴ < - 1.5³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(1.5)= - ${\mathrm{1,5}}^4$ < -g(1.5)= - ${\mathrm{1,5}}^3$ < f(1.5)= ${\mathrm{1,5}}^2$.

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $3{\left(3x-2\right)}^2-2$ ein:

f(1) = $3\cdot {\left(3\cdot 1-2\right)}^2-2$

= $3\cdot {\left(3-2\right)}^2-2$

= $3\cdot 1^2-2$

= $3\cdot 1-2$

= $3-2$

= $1$