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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x - 5)}^{3} - 64$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x - 5)}^{3} - 64$	=	0	\| $+ 64$
${(x - 5)}^{3}$	=	$64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x - 5$	=	$\sqrt[3]{64}$	= $4$

$x - 5$	=	$4$	\| $+ 5$
$x$	=	$9$

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $9$ |0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 5 x - 13$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 1.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 1, also $x^{2} - 5 x - 13$ = 1.

x^{2} - 5 x - 13

=

1

|

- 1

$x^{2} - 5 x - 14$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 14)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{25 + 56}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 5 \pm \sqrt{81}}{2}$

x₁ = $\frac{5 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5+9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = $7$

x₂ = $\frac{5 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{5-9}{2}$ = $\frac{- 4}{2}$ = $- 2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{5}{2})}^{2} - (- 14)$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $14$ = $\frac{25}{4}$ $+$ $\frac{56}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{5}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{5}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{4}{2}$ = -2

x₂ = $\frac{5}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{14}{2}$ = 7

An den Stellen x₁ = $- 2$ und x₂ = $7$ gilt also f(x)= 1.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(- 4 - 2 x)}^{3} + 133$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 5, also $2 {(- 4 - 2 x)}^{3} + 133$ = 5.

$2 {(- 4 - 2 x)}^{3} + 133$	=	$5$
$2 {(- 2 x - 4)}^{3} + 133$	=	$5$	\| $- 133$
$2 {(- 2 x - 4)}^{3}$	=	$- 128$	\|: $2$
${(- 2 x - 4)}^{3}$	=	$- 64$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$- 2 x - 4$	=	$- \sqrt[3]{64}$	= $- 4$

$- 2 x - 4$	=	$- 4$	\| $+ 4$
$- 2 x$	=	0	\|:( $- 2$ )
$x$	=	0

An der Stelle x₁ = 0 gilt also f(x)= 5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $x^{3} - 4 x^{2} + 56 x - 193$ und $g(x) =$ $x^{3} + 3$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

x^{3} - 4 x^{2} + 56 x - 193

=

x^{3} + 3

|

- x^{3}

- 3

- 4 x^{2} + 56 x - 196

= 0 |:4

$- x^{2} + 14 x - 49$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{14^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 49)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{196 - 196}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 14 \pm \sqrt{0}}{- 2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 14}{- 2}$ = $7$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 14 x - 49$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 14 x + 49$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 7)}^{2} - 49$ = $49$ $-$ $49$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $7$ ± 0 = $7$

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g( $7$ ) = $7^{3} + 3$ = $346$ ⇒ S₁( $7$ | $346$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $4$ ) und B(2| $64$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $4$ ) und B(2| $64$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $4$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $64$ = $a \cdot 2^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $4$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $64$ = $4 \cdot 2^{n}$ | ⋅ $\frac{1}{4}$

$16$ = $2^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $4$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $4 x^{4}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte f(-0.3), -g(0.3) und -h(-0.3), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

f(-0.3) = ${(- 0,3)}^{2}$ > 0
-g(0.3) = - ${0,3}^{3}$ < 0
-h(-0.3) = - ${(- 0,3)}^{4}$ < 0

Da f(-0.3) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Dabei gilt -g(0.3) < -h(-0.3). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
0.3⁴ =0.3³ ⋅ 0.3, d.h. 0.3⁴ < 0.3³, also gilt - 0.3⁴ > - 0.3³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-g(0.3)= - ${0,3}^{3}$ < -h(-0.3)= - ${(- 0,3)}^{4}$ < f(-0.3)= ${(- 0,3)}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $- 2 {(- 3 x + 7)}^{4} - 1$ . Berechne den Funktionswert f(2).

Lösung einblenden

Wir setzen 2 einfach für x in f(x)= $- 2 {(- 3 x + 7)}^{4} - 1$ ein:

f(2) = $- 2 \cdot {(- 3 \cdot 2 + 7)}^{4} - 1$

= $- 2 \cdot {(- 6 + 7)}^{4} - 1$

= $- 2 \cdot 1^{4} - 1$

= $- 2 \cdot 1 - 1$

= $- 2 - 1$

= $- 3$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen