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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit $f(x) =$ ${(x + 2)}^{4} - 16$ mit der x-Achse.

An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

${(x + 2)}^{4} - 16$	=	0	\| $+ 16$
${(x + 2)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 2

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x + 2$	=	$- 2$	\| $- 2$
x₁	=	$- 4$

2. Fall

x + 2

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x + 2$	=	$2$	\| $- 2$
x₂	=	0

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S₁( $- 4$ |0), S₂(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $x^{2} - 4 x - 2$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = 3.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = 3, also $x^{2} - 4 x - 2$ = 3.

x^{2} - 4 x - 2

=

3

|

- 3

$x^{2} - 4 x - 5$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 5)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 4 \pm \sqrt{36}}{2}$

x₁ = $\frac{4 + \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4+6}{2}$ = $\frac{10}{2}$ = $5$

x₂ = $\frac{4 - \sqrt{36}}{2}$ = $\frac{4-6}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - (- 5)$ = $4$ $+$ $5$ = $9$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{9}$

x₁ = $2$ - $3$ = -1

x₂ = $2$ + $3$ = 5

An den Stellen x₁ = $- 1$ und x₂ = $5$ gilt also f(x)= 3.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $2 {(x + 4)}^{4} - 37$ . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -5.

Lösung einblenden

Es gilt f(x) = -5, also $2 {(x + 4)}^{4} - 37$ = -5.

$2 {(x + 4)}^{4} - 37$	=	$- 5$	\| $+ 37$
$2 {(x + 4)}^{4}$	=	$32$	\|: $2$
${(x + 4)}^{4}$	=	$16$	\| $\sqrt[4]{\cdot}$

1. Fall

x + 4

=

- \sqrt[4]{16}

=

- 2

$x + 4$	=	$- 2$	\| $- 4$
x₁	=	$- 6$

2. Fall

x + 4

=

\sqrt[4]{16}

=

2

$x + 4$	=	$2$	\| $- 4$
x₂	=	$- 2$

An den Stellen x₁ = $- 6$ und x₂ = $- 2$ gilt also f(x)= -5.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit $f(x) =$ $- 5 x^{4} + 20 x^{3} - 15 x^{2} + x + 5$ und $g(x) =$ $x + 5$ .

Lösung einblenden

An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

$- 5 x^{4} + 20 x^{3} - 15 x^{2} + x + 5$	=	$x + 5$	\| $- 5$
$- 5 x^{4} + 20 x^{3} - 15 x^{2} + x$	=	$x$	\| $- x$
$- 5 x^{4} + 20 x^{3} - 15 x^{2} + x - x$	=	0
$- 5 x^{4} + 20 x^{3} - 15 x^{2}$	=	0
$5 x^{2} \cdot (- x^{2} + 4 x - 3)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x^{2}$	=	$0$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	0

2. Fall:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12}}{- 2}$

x_2,3 = $\frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{- 2}$

x₂ = $\frac{- 4 + \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4+2}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₃ = $\frac{- 4 - \sqrt{4}}{- 2}$ = $\frac{- 4-2}{- 2}$ = $\frac{- 6}{- 2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 4 x - 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 4 x + 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- 2)}^{2} - 3$ = $4$ $-$ $3$ = $1$

x_1,2 = $2$ ± $\sqrt{1}$

x₁ = $2$ - $1$ = 1

x₂ = $2$ + $1$ = 3

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = $0 + 5$ = $5$ ⇒ S₁(0| $5$ )

g( $1$ ) = $1 + 5$ = $6$ ⇒ S₂( $1$ | $6$ )

g( $3$ ) = $3 + 5$ = $8$ ⇒ S₃( $3$ | $8$ )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $- \frac{3}{2}$ ) und B(-3| $\frac{81}{2}$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $- \frac{3}{2}$ ) und B(-3| $\frac{81}{2}$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $- \frac{3}{2}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $\frac{81}{2}$ = $a \cdot {(- 3)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $- \frac{3}{2}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $\frac{81}{2}$ = $- \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{n}$ | ⋅ $(- \frac{2}{3})$

$- 27$ = ${(- 3)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $- \frac{3}{2} x^{3}$

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= $x^{2}$ , g mit g(x)= $x^{3}$ , h mit h(x)= $x^{4}$ .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-1.7), -g(1.7) und -h(-1.7), ohne sie wirklich auszurechnen.

Lösung einblenden

Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

-f(-1.7) = - ${(- 1,7)}^{2}$ < 0
-g(1.7) = - ${1,7}^{3}$ < 0
-h(-1.7) = - ${(- 1,7)}^{4}$ < 0

Da alle Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

Und weil 1.7 > 1 ist, werden die Betrags-Werte natürlich mit jeder Potenz immer größer. Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x² in schwarz, g(x)=x³ in blau und h(x)=x⁴ in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
1.7³ =1.7² ⋅ 1.7 bzw. 1.7⁴ =1.7³ ⋅ 1.7,
d.h. 1.7³ > 1.7², also gilt - 1.7³ < - 1.7² und 1.7⁴ > 1.7³, also gilt - 1.7⁴ < - 1.7³.

Die richtige Reihenfolge ist also:
-h(-1.7)= - ${(- 1,7)}^{4}$ < -g(1.7)= - ${1,7}^{3}$ < -f(-1.7)= - ${(- 1,7)}^{2}$ .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= $3 x^{4} - 1$ . Berechne den Funktionswert f(1).

Lösung einblenden

Wir setzen 1 einfach für x in f(x)= $3 x^{4} - 1$ ein:

f(1) = $3 \cdot 1^{4} - 1$

= $3 \cdot 1 - 1$

= $3 - 1$

= $2$

Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

Nullstellen berechnen

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

x-Werte berechnen (schwerer)

Schnittpunkte berechnen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Termbestimmung mit Punktproben

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Funktionswerte berechnen