Aufgabenbeispiele von Potenzfunktionen

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Nullstellen berechnen

Beispiel:

Bestimme die Schnittpunkte der Funktion f mit f(x)= x 6 +8 x 3 mit der x-Achse.

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An den Schnittpunkten mit der x-Achse müssen die Funktionswerte null sein, also müssen wir den Funktionsterm =0 setzen:

x 6 +8 x 3 = 0
x 3 ( x 3 +8 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x 3 = 0 | 3
x1 = 0

2. Fall:

x 3 +8 = 0 | -8
x 3 = -8 | 3
x2 = - 8 3 = -2

Da die y-Werte als Funktionswerte =0 sein müssen, ergeben sich als Schnittpunkte mit der x-Achse:

S1( -2 |0), S2(0|0)

x-Werte berechnen (f(x) gegeben)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x 2 -5x +4 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -2.

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Es gilt f(x) = -2, also x 2 -5x +4 = -2.

x 2 -5x +4 = -2 | +2

x 2 -5x +6 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x1,2 = +5 ± ( -5 ) 2 -4 · 1 · 6 21

x1,2 = +5 ± 25 -24 2

x1,2 = +5 ± 1 2

x1 = 5 + 1 2 = 5 +1 2 = 6 2 = 3

x2 = 5 - 1 2 = 5 -1 2 = 4 2 = 2

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( - 5 2 ) 2 - 6 = 25 4 - 6 = 25 4 - 24 4 = 1 4

x1,2 = 5 2 ± 1 4

x1 = 5 2 - 1 2 = 4 2 = 2

x2 = 5 2 + 1 2 = 6 2 = 3

An den Stellen x1 = 2 und x2 = 3 gilt also f(x)= -2.

x-Werte berechnen (schwerer)

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= ( x +4 ) 3 +7 . Berechne alle Stellen für die gilt: f(x) = -1.

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Es gilt f(x) = -1, also ( x +4 ) 3 +7 = -1.

( x +4 ) 3 +7 = -1 | -7
( x +4 ) 3 = -8 | 3
x +4 = - 8 3 = -2
x +4 = -2 | -4
x = -6

An der Stelle x1 = -6 gilt also f(x)= -1.

Schnittpunkte berechnen

Beispiel:

Berechne die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g mit f(x)= -9 x 2 +5x und g(x)= - x 3 -3 x 2 .

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An den Schnittstellen müssen die Funktionswerte der beiden Graphen gleich sein, also müssen wir die beiden Funktionsterme gleichsetzen:

-9 x 2 +5x = - x 3 -3 x 2 | - ( - x 3 -3 x 2 )
x 3 -9 x 2 +3 x 2 +5x = 0
x 3 -6 x 2 +5x = 0
x ( x 2 -6x +5 ) = 0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x1 = 0

2. Fall:

x 2 -6x +5 = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x1,2 = - b ± b 2 -4a · c 2a ergibt:

x2,3 = +6 ± ( -6 ) 2 -4 · 1 · 5 21

x2,3 = +6 ± 36 -20 2

x2,3 = +6 ± 16 2

x2 = 6 + 16 2 = 6 +4 2 = 10 2 = 5

x3 = 6 - 16 2 = 6 -4 2 = 2 2 = 1

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x1,2 = - p 2 ± ( p 2 ) 2 - q
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ( p 2 ) 2 - q :

D = ( -3 ) 2 - 5 = 9 - 5 = 4

x1,2 = 3 ± 4

x1 = 3 - 2 = 1

x2 = 3 + 2 = 5

Um noch die y-Werte der Schnittpunkte zu erhalten, muss man die Lösungen entweder in f oder in g einsetzen (weil es Schnittpunkte sind, müssen ja bei diesem x-Wert beide y-Werte (also Funktionswerte) gleich sein).

g(0) = - 0 3 -3 0 2 = 0 S1(0|0)

g( 1 ) = - 1 3 -3 1 2 = -4 S2( 1 | -4 )

g( 5 ) = - 5 3 -3 5 2 = -200 S3( 5 | -200 )

Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| - 1 4 ) und B(-2|-4 ) auf dem Graphen der Funktion f mit f(x)= a · x n liegen.

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Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| - 1 4 ) und B(-2|-4 ) in den Funktionsterm f(x)= a · x n ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: - 1 4 = a · 1 n
II: -4 = a · (-2) n

Aus I ergibt sich ja sofort - 1 4 = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: -4 = - 1 4 (-2) n | ⋅ ( -4 )

16 = (-2) n

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n=4

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: f(x)= - 1 4 x 4

Größenvergleich bei Potenzfunktionen

Beispiel:

Gegeben sind die Funktionen f mit f(x)= x 2 , g mit g(x)= x 3 , h mit h(x)= x 4 .
Sortiere die drei Funktionswerte -f(-1.1), g(1.1) und -h(1.1), ohne sie wirklich auszurechnen.

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Das Schaubild rechts zeigt jeweils die Graphen von f (in schwarz), g (in blau) und h (in rot).

Zuerst überlegen wir, welche der Funktionswerte positiv und welche negativ sind:

  • -f(-1.1) = - ( -1,1 ) 2 < 0
  • g(1.1) = 1,1 3 > 0
  • -h(1.1) = - 1,1 4 < 0
  • Da g(1.1) der einzige positive Funktionswert ist, muss dieser also der größte sein.

    Und weil die anderen beiden Werte negativ sind, schauen wir zunächst nur auf die Beträge:

    Dabei gilt -f(-1.1) > -h(1.1). Das sieht man zum einen am Schaubild rechts (f(x)=x2 in schwarz, g(x)=x3 in blau und h(x)=x4 in rot), aber auch direkt an den Zahlen:
    1.14 =1.12 ⋅ 1.1 ⋅ 1.1, d.h. 1.14 > 1.12, also gilt - 1.14 < - 1.12.

    Die richtige Reihenfolge ist also:
    -h(1.1)= - 1,1 4 < -f(-1.1)= - ( -1,1 ) 2 < g(1.1)= 1,1 3 .

Funktionswerte berechnen

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= -2 ( -x -2 ) 2 -2 . Berechne den Funktionswert f(-1).

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Wir setzen -1 einfach für x in f(x)= -2 ( -x -2 ) 2 -2 ein:

f(-1) = -2 ( -( -1 ) -2 ) 2 -2

= -2 ( 1 -2 ) 2 -2

= -2 ( -1 ) 2 -2

= -21 -2

= -2 -2

= -4