Aufgabenbeispiele von Körper
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Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(1|3), B(6|3), C(7|4) und G(7|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 5 Einheiten (oder 10 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(7-5|4) = D(2|4).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-4 = 6. Somit muss auch der Punkt E genau 6 Einheiten über dem Punkt A(1|3) liegen, also bei E(1|3+6) = E(1|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 6 Einheiten über dem Punkt B(6|3) liegen muss, also bei F(6|3+6) = F(6|9).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 6 Einheiten über dem Punkt D(2|4) liegen muss, also bei H(2|4+6) = H(2|10).
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 dm lang, 10 dm breit und 10 dm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 dm⋅10 dm + 2⋅6 dm⋅10 dm
+ 2⋅10 dm⋅10 dm
= 120 dm² + 120 dm² + 200 dm²
= 440 dm²
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 4 m³ = ..... cm³
4 m³ = 4000000 cm³
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 5 m lang, 10 m breit und 2 m hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 5 m ⋅ 10 m ⋅ 2 m
= 100 m³
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 5 mm breit, 8 mm hoch und hat das Volumen V = 320 mm³. Bestimme die Länge a des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 320 mm³ = ⬜ ⋅ 5 mm ⋅ 8 mm
320 mm³ = ⬜ ⋅ 40 mm²
Das Kästchen kann man also mit 320 mm³ : 40 mm² = 8 mm berechnen.
Quader: Volumen + Oberfläche
Beispiel:
Ein Quader ist 8 cm lang, 4 cm breit und hat das Volumen V = 160 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 160 cm³ = 8 cm ⋅ 4 cm ⋅ ⬜
160 cm³ = ⬜ ⋅ 32 cm²
Das Kästchen kann man also mit 160 cm³ : 32 cm² = 5 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅8 cm⋅4 cm + 2⋅8 cm⋅5 cm
+ 2⋅4 cm⋅5 cm
= 64 cm² + 80 cm² + 40 cm²
= 184 cm²
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in cm³ an:
118 l - 1120 cm³
Als erstes ersetzen wir die Liter (l) durch dm³ :
118 dm³ - 1120 cm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
118 dm³ = 118000 cm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
118 dm³ - 1120 cm³
= 118000 cm³ - 1120 cm³
= 116880 cm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 10 ml Wasser ?
1 ml entspricht ja 1 cm³
1 cm³ ≙ 1 g
Somit wiegen 10 ml Wasser eben 10 g
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 100 cm³. Jede der drei Kantenlänge ist größer als 1 cm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 cm
b = 2 cm
c = 25 cm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 cm ⋅ 2 cm ⋅ 25 cm = 100 cm³.