Aufgabenbeispiele von Körper
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Schrägbild zeichnen
Beispiel:
Zeichne in ein Koordinatensystem die Eckpunkte A(2|2), B(6|2), C(9|5) und G(9|10) ein und verbinde diese der Reihe nach.
Ergänze die Zeichnung zum Schrägbild und gib dann die Koordinaten der restlichen Eckpunkte des Quaders an.
Da bei einem Quader die Bodenfläche ja immer ein Rechteck ist, muss die hintere Kante zwischen D und C parallel und gleich lang wie die vordere Kante zwischen A und B sein - also 4 Einheiten (oder 8 Kästchen) in x-Richtung und 0 Kästchen nach oben. Somit gilt für den Punkt D des Schrägbilds D(9-4|5) = D(5|5).
An der Kante zwischen C und G kann man gut die Höhe des Quaders ablesen: 10-5 = 5. Somit muss auch der Punkt E genau 5 Einheiten über dem Punkt A(2|2) liegen, also bei E(2|2+5) = E(2|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt F, der genau 5 Einheiten über dem Punkt B(6|2) liegen muss, also bei F(6|2+5) = F(6|7).
Gleiches gilt auch für den Punkt H, der genau 5 Einheiten über dem Punkt D(5|5) liegen muss, also bei H(5|5+5) = H(5|10).
Oberfläche eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 6 cm lang, 5 cm breit und 4 cm hoch. Bestimme die Oberfläche O des Quaders.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅6 cm⋅5 cm + 2⋅6 cm⋅4 cm
+ 2⋅5 cm⋅4 cm
= 60 cm² + 48 cm² + 40 cm²
= 148 cm²
Volumeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle das Volumen in die angegebene Einheit um: 497 m³ = ..... dm³
497 m³ = 497000 dm³
Volumen eines Quaders
Beispiel:
Ein Quader ist 7 dm lang, 8 dm breit und 5 dm hoch. Bestimme das Volumen V des Quaders.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
V = a ⋅ b ⋅ c
= 7 dm ⋅ 8 dm ⋅ 5 dm
= 280 dm³
Volumen auch rückwärts
Beispiel:
Ein Quader ist 6 m lang, 10 m hoch und hat das Volumen V = 240 m³. Bestimme die Breite b des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 240 m³ = 6 m ⋅ ⬜ ⋅ 10 m
240 m³ = ⬜ ⋅ 60 m²
Das Kästchen kann man also mit 240 m³ : 60 m² = 4 m berechnen.
Quader: Volumen + Oberfläche
Beispiel:
Ein Quader ist 5 cm lang, 5 cm breit und hat das Volumen V = 250 cm³. Bestimme die Höhe c und die Oberfläche O des Quaders.
Das Volumen eines Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Also gilt: 250 cm³ = 5 cm ⋅ 5 cm ⋅ ⬜
250 cm³ = ⬜ ⋅ 25 cm²
Das Kästchen kann man also mit 250 cm³ : 25 cm² = 10 cm berechnen.
Bei der Oberfläche des Quaders kommt jede Seitenfläche zweimal vor (links und rechts, vorne und hinten, oben und unten):
O = 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c + 2⋅b⋅c
= 2⋅5 cm⋅5 cm + 2⋅5 cm⋅10 cm
+ 2⋅5 cm⋅10 cm
= 50 cm² + 100 cm² + 100 cm²
= 250 cm²
Raumeinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm³ an:
19 m³ - 660 dm³
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
19 m³ = 19000 dm³
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
19 m³ - 660 dm³
= 19000 dm³ - 660 dm³
= 18340 dm³
Volumen - Masse bei Wasser
Beispiel:
Ein Kubikzentimeter Wasser wiegt ein Gramm.
Wie viel wiegen 2 dm³ Wasser ?
1 cm³ ≙ 1 g
1000 cm³ ≙ 1000 g
also 1 dm³ ≙ 1 kg
Somit wiegen 2 dm³ Wasser eben 2 kg
Quadervolumen offen
Beispiel:
Ein Quader ist hat das Volumen 48 dm³. Jede der drei Kantenlängen ist größer als 1 dm.
Bestimme mögliche Kantenlängen a, b und c.
Mögliche Werte wären z.B.:
a = 2 dm
b = 2 dm
c = 12 dm,
denn V = a ⋅ b ⋅ c = 2 dm ⋅ 2 dm ⋅ 12 dm = 48 dm³.