Aufgabenbeispiele von Flächen
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Umfang von Figuren
Beispiel:
Bestimme den Umfang der Figur in cm. (2 Kästchen sind 1 cm lang)
Wir zählen einfach alle Teilstrecken - beginnend links unten gegen den Uhrzeigersinn - der Reihe nach zusammen,:
U = 4 cm + 3 cm + 1 cm + 1 cm + 3 cm + 2 cm = 14 cm.
Umfang Rechteck
Beispiel:
Berechne den Umfang des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 9 km, b = 70 km
Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 9 km + 2 ⋅ 70 km
= 158 km
Umfang
Beispiel:
Zeichne das Viereck ABCD mit A(1|7), B(5|4), C(8|4) und D(8|7) in eine Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.
Bestimme den Umfang des Vierecks.
Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man die Teilstrecken abmessen und dann addieren:
U =
+
+
+
+
= 5 cm + 3 cm + 3 cm + 7 cm
=18 cm
Umfang rückwärts
Beispiel:
Ein Rechteck ist 90 m breit und hat einen Umfang von 192 m. Wie lang ist es?
Den Umfang eines Rechtecks berechnet man durch durchs Addieren der 4 Seitem, von denen jeweils zwei gleich lang sind:
U = 2⋅a + 2⋅b
Also gilt: 192 m = 2⋅⬜ + 2⋅90 m
192 m = 2⋅⬜ + 180 m
Also muss der Abstand zwischen 192 und 180 (=12) gerade so groß wie 2⋅⬜ sein.
12 m² = 2⋅⬜
Das Kästchen muss also die Hälfte von 12 m, also 6 m sein.
Flächeninhalt Rechteck
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 7 m, b = 5 m
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 7 m ⋅ 5 m
= 35 m²
Flächeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle die Fläche in die angegebene Einheit um: 2190000 mm² = ..... cm²
2190000 mm² = 21900 cm²
Flächeneinheit finden
Beispiel:
Bestimme die richtige Einheit: 42 ha = 420000⬜
Die nächst kleinere Flächeneinheit ist ja a, also sind 1 ha = 100 a.
Das bedeutet, dass 42 ha = 4200 a sind.
Die nächst kleinere Flächeneinheit ist dann ja m², also sind 1 a = 100 m², und 1 ha = 10 000 m².
Das bedeutet, dass 42 ha = 420000 m² sind.
Flächen (mit Komma)
Beispiel:
Wandle die Flächenangabe in die angegebene Einheit um: 99,5 dm² = ..... a
99,5 dm² = 0,00995 a
Flächeninhalt rückwärts
Beispiel:
Ein Rechteck ist 5 cm breit und hat einen Flächeninhalt von 30 cm². Wie lang ist es?
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: A = a ⋅ b
Also gilt: 30 cm² = ⬜ ⋅5 cm
Das Kästchen kann man also mit 30 cm : 5 cm = 6 cm berechnen.
Flächeneinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in m² an
94 a + 14 m²
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
94 a = 9400 m²
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
94 a + 14 m²
= 9400 m² + 14 m²
= 9414 m²
Umfang und Flächeninhalt Rechteck
Beispiel:
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 8 cm, b = 3 cm.
Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 8 cm + 2 ⋅ 3 cm
= 22 cm
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 8 cm ⋅ 3 cm
= 24 cm²
Umfang und Flächeninhalt gemischt
Beispiel:
Ein Rechteck ist 30 km breit und 2 km lang. Bestimme den Flächeninhalt A und den Umfang U des Rechetcks.
Den Flächeninhalt des Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 2 km ⋅ 30 km
= 60 km²
Beim Umfang des Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 2 km + 2 ⋅ 30 km
= 64 km
Flächeninhalt und Umfang - Knobeln
Beispiel:
Ein Rechteck hat den Flächeninhalt A = 60 dm² und den Umfang U = 46 dm. Bestimme die Seitenlängen a und b.
Der Flächeninhalt A = 60 des Rechtecks berechnet sich ja durch Multiplizieren der Seitenlängen. Also probieren wir alle Teiler von 60 dm² durch:
60 = 1 ⋅ 60, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 60 = 122
60 = 2 ⋅ 30, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 30 = 64
60 = 3 ⋅ 20, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 20 = 46
Mit den Seitenlängen 3 dm und 20 dm ist also der Flächeninhalt des Rechtecks A = 60 dm² und der Umfang U=46 dm.