Aufgabenbeispiele von Flächen
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Umfang von Figuren
Beispiel:
Bestimme den Umfang der Figur in cm. (2 Kästchen sind 1 cm lang)
Wir zählen einfach alle Teilstrecken - beginnend links unten gegen den Uhrzeigersinn - der Reihe nach zusammen,:
U = 1 cm + 3 cm + 1 cm + 3 cm = 8 cm.
Umfang Rechteck
Beispiel:
Berechne den Umfang des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 3 cm, b = 4 cm
Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 3 cm + 2 ⋅ 4 cm
= 14 cm
Umfang
Beispiel:
Zeichne das Viereck ABCD mit A(1|5), B(5|2), C(9|5) und D(5|8) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.
Bestimme den Umfang des Vierecks.
Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man die Teilstrecken abmessen und dann addieren:
U =
+
+
+
+
= 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm
=20 cm
Umfang rückwärts
Beispiel:
Ein Rechteck ist 6 km breit und hat einen Umfang von 34 km. Wie lang ist es?
Den Umfang eines Rechtecks berechnet man durch durchs Addieren der 4 Seitem, von denen jeweils zwei gleich lang sind:
U = 2⋅a + 2⋅b
Also gilt: 34 km = 2⋅⬜ + 2⋅6 km
34 km = 2⋅⬜ + 12 km
Also muss der Abstand zwischen 34 und 12 (=22) gerade so groß wie 2⋅⬜ sein.
22 km² = 2⋅⬜
Das Kästchen muss also die Hälfte von 22 km, also 11 km sein.
Flächeninhalt Rechteck
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 7 km, b = 8 km
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 7 km ⋅ 8 km
= 56 km²
Flächeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle die Fläche in die angegebene Einheit um: 111 ha = ..... m²
111 ha = 1110000 m²
Flächeneinheit finden
Beispiel:
Bestimme die richtige Einheit: 92 km² = 920000⬜
Die nächst kleinere Flächeneinheit ist ja ha, also sind 1 km² = 100 ha.
Das bedeutet, dass 92 km² = 9200 ha sind.
Die nächst kleinere Flächeneinheit ist dann ja a, also sind 1 ha = 100 a, und 1 km² = 10 000 a.
Das bedeutet, dass 92 km² = 920000 a sind.
Flächen (mit Komma)
Beispiel:
Wandle die Flächenangabe in die angegebene Einheit um: 89,1 mm² = ..... dm²
89,1 mm² = 0,00891 dm²
Flächeninhalt rückwärts
Beispiel:
Ein Rechteck ist 5 km breit und hat einen Flächeninhalt von 40 km². Wie lang ist es?
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: A = a ⋅ b
Also gilt: 40 km² = ⬜ ⋅5 km
Das Kästchen kann man also mit 40 km : 5 km = 8 km berechnen.
Flächeneinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in m² an
15 ha + 103 m²
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
15 ha = 1500 a = 150000 m²
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
15 ha + 103 m²
= 150000 m² + 103 m²
= 150103 m²
Umfang und Flächeninhalt Rechteck
Beispiel:
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 3 km, b = 6 km.
Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 3 km + 2 ⋅ 6 km
= 18 km
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 3 km ⋅ 6 km
= 18 km²
Umfang und Flächeninhalt gemischt
Beispiel:
Ein Rechteck ist 90 dm lang und hat einen Umfang von 202 dm. Bestimme die Breite b und den Flächeninhalt A des Rechetcks.
Den Umfang eines Rechtecks berechnet man durch durchs Addieren der 4 Seiten, von denen jeweils zwei gleich lang sind:
U = 2⋅a + 2⋅b
Also gilt: 202 dm = 2⋅⬜ + 2⋅90 dm
202 dm = 2⋅⬜ + 180 dm
Also muss der Abstand zwischen 202 und 180 (=22) gerade so groß wie 2⋅⬜ sein.
22 dm² = 2⋅⬜
Das Kästchen muss also die Hälfte von 22 dm, also 11 dm sein.
Den Flächeninhalt des Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 11 dm ⋅ 90 dm
= 990 dm²
Flächeninhalt und Umfang - Knobeln
Beispiel:
Ein Rechteck hat den Flächeninhalt A = 144 km² und den Umfang U = 80 km. Bestimme die Seitenlängen a und b.
Der Flächeninhalt A = 144 des Rechtecks berechnet sich ja durch Multiplizieren der Seitenlängen. Also probieren wir alle Teiler von 144 km² durch:
144 = 1 ⋅ 144, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 144 = 290
144 = 2 ⋅ 72, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 72 = 148
144 = 3 ⋅ 48, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 48 = 102
144 = 4 ⋅ 36, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 36 = 80
Mit den Seitenlängen 36 km und 4 km ist also der Flächeninhalt des Rechtecks A = 144 km² und der Umfang U=80 km.