Aufgabenbeispiele von Flächen
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Umfang von Figuren
Beispiel:
Bestimme den Umfang der Figur in cm. (2 Kästchen sind 1 cm lang)
Wir zählen einfach alle Teilstrecken - beginnend links unten gegen den Uhrzeigersinn - der Reihe nach zusammen,:
U = 4 cm + 3 cm + 2 cm + 1 cm + 2 cm + 2 cm = 14 cm.
Umfang Rechteck
Beispiel:
Berechne den Umfang des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 7 km, b = 4 km
Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 7 km + 2 ⋅ 4 km
= 22 km
Umfang
Beispiel:
Zeichne das Viereck ABCD mit A(1|5), B(5|2), C(8|2) und D(8|5) in eine Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.
Bestimme den Umfang des Vierecks.
Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man die Teilstrecken abmessen und dann addieren:
U =
+
+
+
+
= 5 cm + 3 cm + 3 cm + 7 cm
=18 cm
Umfang rückwärts
Beispiel:
Ein Rechteck ist 7 km breit und hat einen Umfang von 22 km. Wie lang ist es?
Den Umfang eines Rechtecks berechnet man durch durchs Addieren der 4 Seitem, von denen jeweils zwei gleich lang sind:
U = 2⋅a + 2⋅b
Also gilt: 22 km = 2⋅⬜ + 2⋅7 km
22 km = 2⋅⬜ + 14 km
Also muss der Abstand zwischen 22 und 14 (=8) gerade so groß wie 2⋅⬜ sein.
8 km² = 2⋅⬜
Das Kästchen muss also die Hälfte von 8 km, also 4 km sein.
Flächeninhalt Rechteck
Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 4 mm, b = 80 mm
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 4 mm ⋅ 80 mm
= 320 mm²
Flächeneinheiten umrechnen
Beispiel:
Wandle die Fläche in die angegebene Einheit um: 297000000 mm² = ..... dm²
297000000 mm² = 29700 dm²
Flächeneinheit finden
Beispiel:
Bestimme die richtige Einheit: 34 dm² = 3400⬜
Die nächst kleinere Flächeneinheit ist ja cm², also sind 1 dm² = 100 cm².
Das bedeutet, dass 34 dm² = 3400 cm² sind.
Flächen (mit Komma)
Beispiel:
Wandle die Flächenangabe in die angegebene Einheit um: 0,788 km² = ..... a
0,788 km² = 7880 a
Flächeninhalt rückwärts
Beispiel:
Ein Rechteck ist 100 cm breit und hat einen Flächeninhalt von 1000 cm². Wie lang ist es?
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: A = a ⋅ b
Also gilt: 1000 cm² = ⬜ ⋅100 cm
Das Kästchen kann man also mit 1000 cm : 100 cm = 10 cm berechnen.
Flächeneinheiten verrechnen
Beispiel:
Berechne und gib das Ergebnis in dm² an
55 a + 111 m²
Um die beiden Werte miteinander verrechnen zu können, rechnen wir erst mal den Wert mit der größeren Einheit in die kleinere Einheit um:
55 a = 5500 m²
Jetzt können wir die beiden Werte gut verrechnen:
55 a + 111 m²
= 5500 m² + 111 m²
= 5611 m²
= 561100 dm²
Umfang und Flächeninhalt Rechteck
Beispiel:
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen: a = 11 m, b = 100 m.
Beim Umfang eines Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 11 m + 2 ⋅ 100 m
= 222 m
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen:
A = a ⋅ b
= 11 m ⋅ 100 m
= 1100 m²
Umfang und Flächeninhalt gemischt
Beispiel:
Ein Rechteck ist 40 m lang und hat den Flächeninhalt A=280 m². Bestimme die Breite b und den Umfang U des Rechetcks.
Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: A = a ⋅ b
Also gilt: 280 m² = ⬜ ⋅40 m
Das Kästchen kann man also mit 280 m² : 40 m = 7 m berechnen.
Beim Umfang des Rechtecks kommt jede Seite zweimal vor (links und rechts, oben und unten):
U = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
= 2 ⋅ 7 m + 2 ⋅ 40 m
= 94 m
Flächeninhalt und Umfang - Knobeln
Beispiel:
Ein Rechteck hat den Flächeninhalt A = 144 km² und den Umfang U = 102 km. Bestimme die Seitenlängen a und b.
Der Flächeninhalt A = 144 des Rechtecks berechnet sich ja durch Multiplizieren der Seitenlängen. Also probieren wir alle Teiler von 144 km² durch:
144 = 1 ⋅ 144, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 144 = 290
144 = 2 ⋅ 72, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ 72 = 148
144 = 3 ⋅ 48, dann wäre der Umfang: U = 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 48 = 102
Mit den Seitenlängen 48 km und 3 km ist also der Flächeninhalt des Rechtecks A = 144 km² und der Umfang U=102 km.