Aufgabenbeispiele von Koordinatensystem
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Punkt im Koordinatensystem bestimmen
Beispiel:
Gib die Koordinaten des markierten Punkts P im Koordinatensystem an.
Der erste Wert ist der x-Wert.
Diesen kann man auf der waagrechten x-Achse ablesen: 4
Der zweite Wert ist der y-Wert.
Diesen kann man auf der senkrechten y-Achse ablesen: 6
Der gesuchte Punkt ist also P(4|6).
Punkt auf Geraden finden
Beispiel:
Gegeben sind die Punkte A(9|7) und B(0|1). Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und bestimme die y-Koordinate des Punkts C(6|?) so, dass C auf der Geraden durch A und B liegt.
Man zeichnet einfach A und B in ein Koordinatensystem und verbindet die beiden Punkte zu einer Geraden.
Jetzt muss man eben den Punkt auf dieser Geraden suchen, der als x-Wert 6 hat.
Es muss also C(6|5) gelten.
Schnittpunkt der Diagonalen
Beispiel:
Gegeben ist das Viereck mit den Punkten A(2|0), B(7|0), C(8|4) und D(3|4). Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem und bestimme den Diagonalenschnittpunkt S. Gib dann seine Koordinaten ein.
Man zeichnet die vier Punkte A, B, C und D in das Koordinatensystem und verbindet die Punkte in der richtigen Reihenfolge. So entsteht ein Parallelogramm.
Dann muss man eigentlich nur noch die gegenüberliegenden Punkte A und C sowie B und D jeweils mit einer Geraden verbinden.
Jetzt können wir die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden ablesen: S(5|2)
Vierter Punkt eines Parallelogramms
Beispiel:
Gegeben sind die Punkte A(0|0), B(2|2) und C(5|6). Zeichne die drei Punkte in ein Koordinatensystem und ergänze sie um einen Punkt D, so dass ein Parallelogramm ABCD entsteht.
Wenn ABCD ein Parallelogramm sein soll, muss ja die Seite AD parallel zu BC sein. Deswegen zeichnen wir eine Parallele zu BC durch A ein (blau), auf der D somit liegen muss. Aus dem selben Grund zeichnen wir eine Parallele zu AB durch C ein. Der einzige gemeinsame Punkt dieser beiden (blauen) Parallelen, ihr Schnittpunkt, muss somit D sein, weil dieser ja auf beiden Parallelen liegen musss.
Jetzt können wir dessen Koordinaten ablesen: D(3|4)
Punkt auf der Senkrechten finden
Beispiel:
Gegeben sind die Punkte A(1|5) und B(2|3). Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und bestimme die x-Koordinate des Punkts C(?|5) so, dass die Strecke BC senkrecht zur Strecke AB ist.
Man zeichnet einfach A und B in ein Koordinatensystem und verbindet die beiden Punkte zu einer Geraden.
Wenn die Strecke BC senkrecht zur Strecke AB sein soll, muss der Punkt C auf einer zu AB senkrechten Geraden durch den Punkt B liegen. Diese Senkrechte zeichnen wir ein. Jetzt muss man nur noch den Punkt auf dieser Senkrechte suchen, der als y-Wert 5 hat.
Es muss also C(6|5) gelten.
Punkt auf der Parallelen finden
Beispiel:
Gegeben sind die Punkte A(3|6), B(5|5) und C(3|1). Zeichne die drei Punkte in ein Koordinatensystem ein und bestimme die y-Koordinate des Punkts D(1|?) so, dass die Strecke CD parallel zur Strecke AB ist.
Man zeichnet einfach A und B in ein Koordinatensystem und verbindet die beiden Punkte zu einer Geraden.
Wenn die Strecke CD parallel zur Strecke AB sein soll, muss der Punkt D auf einer zu AB parallelen Geraden durch den Punkt C liegen. Diese Parallele durch den Punkt C zeichnen wir ein. Jetzt muss man nur noch den Punkt auf dieser Parallelen suchen, der als x-Wert 1 hat.
Es muss also D(1|2) gelten.
Abstand zweier Geraden
Beispiel:
Die Gerade g verläuft durch die beiden Punkte A(1|0) und B(3|2), die Gerade h durch die beiden Punkte C(1|2) und D(3|4). Zeichne die beiden Geraden in ein Koordinatensystem ein und bestimme anschließend den Abstand der Geraden g und h.
Man zeichnet einfach A und B in ein Koordinatensystem und verbindet die beiden Punkte zu einer Geraden g. Ebenso zeichnet man die Punkte C und D ins Koordinatensystem und verbindet die beiden Punkte zur Geraden h.
Man kann nun erkennen, dass die Geraden parallel sind und somit einen Abstand haben.
Um diesen (kürzest möglichen) Abstand zwischen g und h messen zu können, müssen wir an einem beliebigen Punkt (in der Abbildung rechts z.B. am Punkt C) eine Senkrechte zu einer der beiden Geraden einzeichnen. Diese Senkrechte schneidet dann die andere Gerade im Punkt S.
Der Abstand dieser beiden Punkte (in der Abbildung CS in rot gezeichnet) ist auch der Abstand zwischen den Geraden g uns h. Diesen kann man messen: d ≈ 1.4 .
Umfang im KoSy
Beispiel:
Zeichne das Viereck ABCD mit A(0|7), B(4|4), C(6|4) und D(6|7) in eine Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.
Bestimme den Umfang des Vierecks.
Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man die Teilstrecken abmessen und dann addieren:
U =
+
+
+
+
= 5 cm + 2 cm + 3 cm + 6 cm
=16 cm