Wir suchen alle Teiler von 80. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.

Wenn eine Zahl ein Teiler von 80 ist, teilen wir 80 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 80 ergeben).

Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.

1 ist Teiler von 80, denn 80 = 1 ⋅ 80, also ist auch 80 ein Teiler.

2 ist Teiler von 80, denn 80 = 2 ⋅ 40, also ist auch 40 ein Teiler.

3 ist kein Teiler von 80, denn 80 = 3 ⋅ 26 + 2.

4 ist Teiler von 80, denn 80 = 4 ⋅ 20, also ist auch 20 ein Teiler.

5 ist Teiler von 80, denn 80 = 5 ⋅ 16, also ist auch 16 ein Teiler.

6 ist kein Teiler von 80, denn 80 = 6 ⋅ 13 + 2.

7 ist kein Teiler von 80, denn 80 = 7 ⋅ 11 + 3.

8 ist Teiler von 80, denn 80 = 8 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.

Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9 = 81 > 80, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 80:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.

Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 5⬜.

Bei den 50er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 52, 56 durch 4 teilbar sind.

2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.

2: Dann wäre die Zahl 1052, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 5 + 2 = 8, also nicht durch 3 teilbar.

6: Dann wäre die Zahl 1056, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 5 + 6 = 12, also durch 3 teilbar.

Die einzige mögliche Ziffer ist also 6.

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 30 bilden:

2 + 28 = 30, dabei ist 28 aber keine Primzahl

3 + 27 = 30, dabei ist 27 aber keine Primzahl

5 + 25 = 30, dabei ist 25 aber keine Primzahl

7 + 23 = 30, dabei ist 23 auch eine Primzahl

7 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 7 + 23 = 30

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 50 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

50
= 2 ⋅ 25
= 2 ⋅ 5 ⋅ 5

Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 140 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:

140
= 2 ⋅ 70
= 2 ⋅ 2 ⋅ 35
= 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7

Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 140 :

1 Teiler

2 = 2
5 = 5
7 = 7

2 Teiler

2 ⋅ 2 = 4
2 ⋅ 5 = 10
2 ⋅ 7 = 14
5 ⋅ 7 = 35

3 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 28
2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 70

4 Teiler

2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 140

Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.

Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 140:
1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140