Wir wenden einfach die Volumenformel für einen Kegel (mit einem Kreis als Grundfläche an):

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ π r² ⋅ h
= $\frac{1}{3}$ ⋅ π (4 cm)² ⋅ 5 cm
= $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ 16 cm² ⋅ 5 cm
≈ 26.667 π cm³
≈ 83.8 cm³

Wir setzen einfach alle gegebenen Werte in die Volumenformel für einen Kegel ein:

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h
V = $\frac{1}{3}$ ⋅ π r² ⋅ h
159 cm³ = $\frac{1}{3}$ ⋅ π (4 cm)² ⋅ h
159 cm³ = $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ 16 cm² ⋅ h
159 cm³ = 16.76 cm² ⋅ h | :16.76 cm²
9.5 cm ≈ h

In der Abbildung erkennen wir, dass man mit dem Satz des Pythagoras die fürs Volumen notwendige Höhe des Kegels berechnen kann:

r² + h² = s²

h² = s² - r²
= 13² - 5²
≈ 144

h ≈ 12

Jetzt können wir mit der Volumenformel den Rauminhalt des Kegels berechnen:

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ π r² ⋅ h
= $\frac{1}{3}$ ⋅ π (5 m)² ⋅ 12 m
= $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ 25 m² ⋅ 12 m
≈ 100 π m³
≈ 314.2 m³

Der Mantel eines Kegels hat die Form eines Kreisausschnitts. Dabei entspricht die Bogenlänge des Kreisausschnitts dem Umfang des Grundkreises des Kegels.

Der Radius des Kreisausschnitts ist dabei die Kantenlänge s des Kegels. Deswegen berechnen wir diese als erstes mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:

s² = r² + h² = 4 + 100 = 104

s ≈ 10.2

Dieses s ist jetzt der Radius des Kreisausschnitts. Um dessen Flächeninhalt berechnen zu können, benötigen wir noch den Öffnungswinkel α. Diesen bekommen wir über die Bogenlänge des Kreisausschnitts, die ja dem Umfang des Grundkreises des Kegels entspricht, also:

$\frac{\alpha }{\mathrm{360°}}$ ⋅ 2π ⋅ s = 2π ⋅ r | : 2π

$\frac{\alpha }{\mathrm{360°}}$ ⋅ s = r

Statt das α jetzt auszurechnen (Ergebnis wäre 70.6°) schauen wir uns direkt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnitts und damit des Kegelmantels an und setzen die obige Gleichung ein:

M = $\frac{\alpha }{\mathrm{360°}}$ ⋅ π ⋅ s²
= $\frac{\alpha }{\mathrm{360°}}$ ⋅ s π ⋅ s
= r π ⋅ s
= π ⋅ 2 cm⋅ 10.2 cm
≈ 64.1 cm²

Die Formel für den Mantelflächeninhalt ist also: M = π ⋅ r ⋅ s

Die Oberfläche eines Kegels besteht aus dem Mantel und der kreisförmigen Grundfläche G.

Für zweitere gilt:
G = π ⋅ r² = π ⋅ (5 m)² ≈ 78.5 m²

Wenn wir diese 78.5 m² vom Oberflächeninhalt abziehen, erhalten wir den Flächeninhalt des Mantels:

M = 226.7 m² - 78.5 m² ≈ 148.2 m²

Die Formel für den Flächeninhalt des Mantel lautet:
M = π ⋅ r ⋅ s
148.2 m² = π ⋅ 5 m ⋅ s | : (π⋅5 m)

9.43 m ≈ s

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras die fürs Volumen notwendige Höhe des Kegels berechnen:

r² + h² = s²

h² = s² - r²
= 9.43² - 5²
≈ 64

h ≈ 8

Jetzt können wir mit der Volumenformel den Rauminhalt des Kegels berechnen:

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ π r² ⋅ h
= $\frac{1}{3}$ ⋅ π (5 m)² ⋅ 8 m
= $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ 25 m² ⋅ 8 m
≈ 66.674 π m³
≈ 209.5 m³

Der Mantel eines Kegels hat die Form eines Kreisausschnitts. Dabei entspricht die Bogenlänge des Kreisausschnitts dem Umfang des Grundkreises des Kegels.

Der Radius des Kreisausschnitts, der der Kantenlänge des Kegels entspricht, nennen wir s. Damit gilt für den Flächeninhalt des Kegelmantels, der die Form eines Kreisausschnitts mit Radius s hat:

M = $\frac{\alpha }{\mathrm{360°}}$ ⋅ π ⋅ s²
52 = $\frac{\mathrm{87}}{\mathrm{360}}$ ⋅ π ⋅ s² | ⋅$\frac{\mathrm{360}}{\mathrm{87}}$ : π
s² ≈ 68.49
s ≈ 8.28

Auf der anderen Seite wissen wir ja aber auch, dass die Bogenlänge l = $\frac{\mathrm{87}}{\mathrm{360}}$ ⋅ 2π ⋅ s des Mantels gerade dem Kreisumfang des Grundkreises des Kegels (2π ⋅ r) entspricht, also:

2π ⋅ r = $\frac{\mathrm{87}}{\mathrm{360}}$ ⋅ 2π ⋅ 8.28 mm | : 2π

r = $\frac{\mathrm{87}}{\mathrm{360}}$ ⋅ 8.28 mm ≈ 2 mm

Jetzt können wir mit dem Satz des Pythagoras die fürs Volumen notwendige Höhe des Kegels berechnen:

r² + h² = s²

h² = s² - r²
= 8.28² - 2²
≈ 64.5

h ≈ 8.03

Jetzt können wir mit der Volumenformel den Rauminhalt des Kegels berechnen:

V = $\frac{1}{3}$ ⋅ G ⋅ h = $\frac{1}{3}$ ⋅ π r² ⋅ h
= $\frac{1}{3}$ ⋅ π (2 mm)² ⋅ 8.03 mm
= $\frac{1}{3}$ ⋅ π ⋅ 4 mm² ⋅ 8.03 mm
≈ 10.708 π mm³
≈ 33.6 mm³