Aufgabenbeispiele von Zylinder
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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 19,5 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 19.52 cm² ≈ 1194,59 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1194.59 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1194.59 cm² ⋅ 10 cm ≈ 11945,91 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19.5 cm ≈ 122.52 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1194.59 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 19.5 cm
≈ 2389.18 cm² + 10 cm ⋅ 122.52 cm
≈ 2389.18 cm² + 1225.22 cm²
≈
3614,4 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 31415.9 cm³ = und die Höhe h = 4 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 31415.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = |
|
≈
|
| r2 | = |
|
≈
|
Wir erhalten also r = 50 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 502 cm² ≈ 7853,98 cm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 4 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅50 cm ≈ 314.16 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7853.98 cm² + 4 cm ⋅ 2π ⋅ 50 cm
≈ 15707.96 cm² + 4 cm ⋅ 314.16 cm
≈ 15707.96 cm² + 1256.64 cm²
≈
16964,6 cm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 10291.9 mm² = und den Radius r = 39 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also
2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O
alle gegebenen Größen eingesetzt:
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Wir erhalten also h = 3 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 392 mm² ≈ 4778,36 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4778.36 mm² mit der Höhe h = 3 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 4778.36 mm² ⋅ 3 mm ≈ 14335,09 mm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 2m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,664m² und wird von einer 17 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,664 zu berechen.
Ain = π rin2
3,664 m² = π rin2 | :π
1,166 m² = rin2
1,08 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,08 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,17 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,25 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,252 ≈ 4,909 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,664 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 4,909 m2 - 3,664 m2 = 1,245 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 2 m:
V = 1,245 m2 ⋅ 2 m = 2,489 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:
m = 2,489 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 5475,8 kg.
