Aufgabenbeispiele von Zylinder
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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 27,5 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 27.52 mm² ≈ 2375,83 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2375.83 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 2375.83 mm² ⋅ 9 mm ≈ 21382,46 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅27.5 mm ≈ 172.79 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2375.83 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 27.5 mm
≈ 4751.66 mm² + 9 mm ⋅ 172.79 mm
≈ 4751.66 mm² + 1555.09 mm²
≈
6306,75 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 36967.1 mm³ = und die Höhe h = 7 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 36967.1
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = |
|
≈
|
| r2 | = |
|
≈
|
Wir erhalten also r = 41 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 412 mm² ≈ 5281,02 mm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅41 mm ≈ 257.61 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 5281.02 mm² + 7 mm ⋅ 2π ⋅ 41 mm
≈ 10562.03 mm² + 7 mm ⋅ 257.61 mm
≈ 10562.03 mm² + 1803.27 mm²
≈
12365,31 mm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 589 m³ = und den Radius r = 5 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.
Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.
Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 7.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅5 m ≈ 31.42 m
Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:
M = h⋅U
≈ 7.5 m ⋅ 2π ⋅ 5 m
≈ 7.5 m ⋅ 31.42 m
≈ 235,62 m²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 3,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 14 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,28 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 14 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 7 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,28 cm ist, muss also der innere Radius rin = 6,72 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain =
=
= 76,969 cm2 - 70,935 cm2
=
6,034 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 350 cm:
V = 6,034 cm2 ⋅ 350 cm = 2112 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 2112 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 16896 g = 16,896 kg.
