Aufgabenbeispiele von Zylinder
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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 44,5 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 44.52 mm² ≈ 6221,14 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 6221.14 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 6221.14 mm² ⋅ 8 mm ≈ 49769,11 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅44.5 mm ≈ 279.6 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 6221.14 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 44.5 mm
≈ 12442.28 mm² + 8 mm ⋅ 279.6 mm
≈ 12442.28 mm² + 2236.81 mm²
≈
14679,09 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1592.8 mm² = und die Höhe h = 6.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 1592.8
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 39 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 392 mm² ≈ 4778,36 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4778.36 mm² mit der Höhe h = 6.5 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 4778.36 mm² ⋅ 6.5 mm ≈ 31059,36 mm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 36560.3 mm³ = und die Höhe h = 9.5 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.
Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 36560.3
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = |
|
≈
|
| r2 | = |
|
≈
|
Wir erhalten also r = 35 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.
Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 9.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅35 mm ≈ 219.91 mm
Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:
M = h⋅U
≈ 9.5 mm ⋅ 2π ⋅ 35 mm
≈ 9.5 mm ⋅ 219.91 mm
≈ 2089,16 mm²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 1,863m² und wird von einer 8 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 1,863 zu berechen.
Ain = π rin2
1,863 m² = π rin2 | :π
0,593 m² = rin2
0,77 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,77 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,08 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,85 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,852 ≈ 2,27 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 1,863 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,27 m2 - 1,863 m2 = 0,407 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:
V = 0,407 m2 ⋅ 4 m = 1,629 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:
m = 1,629 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 3583,8 kg.
