Aufgabenbeispiele von Zylinder

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 50 mm und die Höhe h = 9 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 50 2 mm = 25mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 252 mm² ≈ 1963,5 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1963.5 mm² mit der Höhe h = 9 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1963.5 mm² ⋅ 9 mm ≈ 17671,46 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅25 mm ≈ 157.08 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1963.5 mm² + 9 mm ⋅ 2π ⋅ 25 mm
≈ 3926.99 mm² + 9 mm ⋅ 157.08 mm
≈ 3926.99 mm² + 1413.72 mm²
5340,71 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1105.8 m² = und die Höhe h = 8 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · r · 8 = 1105.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

50,264r = 1105,8

50,264r = 1105,8 |:50,264
r = 21,9998

Wir erhalten also r = 22 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 222 m² ≈ 1520,53 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1520.53 m² mit der Höhe h = 8 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1520.53 m² ⋅ 8 m ≈ 12164,25 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 22619.5 m³ = und die Höhe h = 4.5 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 4,5 = 22619.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

14,139 r 2 = 22619,5

14,139 r 2 = 22619,5 |:14,139
r 2 = 1599,79489 | 2
r1 = - 1599,79489 -39,997
r2 = 1599,79489 39,997

Wir erhalten also r = 40 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 4.5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅40 m ≈ 251.33 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 4.5 m ⋅ 2π ⋅ 40 m
≈ 4.5 m ⋅ 251.33 m
1130,97 m²

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,324m² und wird von einer 14 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,324 zu berechen.

Ain = π rin2

2,324 m² = π rin2 | :π

0,74 m² = rin2

0,86 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,86 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,14 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 12 ≈ 3,142 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,324 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 3,142 m2 - 2,324 m2 = 0,818 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,818 m2 ⋅ 4 m = 3,272 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m3:

m = 3,272 m3 ⋅ 2400 kg/m3 = 7852,8 kg.