Aufgabenbeispiele von Zylinder
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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Radius 13 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 132 cm² ≈ 530,93 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 530.93 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 530.93 cm² ⋅ 8 cm ≈ 4247,43 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅13 cm ≈ 81.68 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 530.93 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 13 cm
≈ 1061.86 cm² + 8 cm ⋅ 81.68 cm
≈ 1061.86 cm² + 653.45 cm²
≈
1715,31 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 14126.2 cm³ = und die Höhe h = 8.5 cm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.
Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 14126.2
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = |
|
≈
|
| r2 | = |
|
≈
|
Wir erhalten also r = 23 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.
Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 8.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅23 cm ≈ 144.51 cm
Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:
M = h⋅U
≈ 8.5 cm ⋅ 2π ⋅ 23 cm
≈ 8.5 cm ⋅ 144.51 cm
≈ 1228,36 cm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 7539.8 mm² = und die Höhe h = 5.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also
2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O
alle gegebenen Größen eingesetzt:
Wir teilen auf beiden Seiten durch 2π
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
|
|
= |
|
|
|
Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):
eingesetzt in x1,2 =
r1,2 =
r1,2 =
r1,2 =
r1 =
r2 =
Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):
vor dem Einsetzen in x1,2 =
berechnen wir zuerst die Diskriminante D =
D =
x1,2 =
x1 =
x2 =
Wir erhalten also r = 32 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 322 mm² ≈ 3216,99 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3216.99 mm² mit der Höhe h = 5.5 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 3216.99 mm² ⋅ 5.5 mm ≈ 17693,45 mm³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 3m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,433m² und wird von einer 12 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2600 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,433 zu berechen.
Ain = π rin2
2,433 m² = π rin2 | :π
0,774 m² = rin2
0,88 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,88 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,12 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 12 ≈ 3,142 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,433 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 3,142 m2 - 2,433 m2 = 0,709 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 3 m:
V = 0,709 m2 ⋅ 3 m = 2,126 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2600 kg/m3:
m = 2,126 m3 ⋅ 2600 kg/m3 = 5527,6 kg.
