Aufgabenbeispiele von Zylinder
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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 38 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = mm = 19mm
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 192 mm² ≈ 1134,11 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1134.11 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 1134.11 mm² ⋅ 8 mm ≈ 9072,92 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19 mm ≈ 119.38 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1134.11 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 19 mm
≈ 2268.23 mm² + 8 mm ⋅ 119.38 mm
≈ 2268.23 mm² + 955.04 mm²
≈
3223,27 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 835.7 mm² = und den Radius r = 38 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 835.7
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 382 mm² ≈ 4536,46 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4536.46 mm² mit der Höhe h = 3.5 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 4536.46 mm² ⋅ 3.5 mm ≈ 15877,61 mm³
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 23561.9 cm³ = und die Höhe h = 3 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 23561.9
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = |
|
≈
|
| r2 | = |
|
≈
|
Wir erhalten also r = 50 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 502 cm² ≈ 7853,98 cm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅50 cm ≈ 314.16 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7853.98 cm² + 3 cm ⋅ 2π ⋅ 50 cm
≈ 15707.96 cm² + 3 cm ⋅ 314.16 cm
≈ 15707.96 cm² + 942.48 cm²
≈
16650,44 cm²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 6 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 16 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,32 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 16 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,32 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,68 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain =
=
= 100,531 cm2 - 92,649 cm2
=
7,882 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 600 cm:
V = 7,882 cm2 ⋅ 600 cm = 4729 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 4729 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 37832 g = 37,832 kg.
