Aufgabenbeispiele von Zylinder

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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 10 mm und die Höhe h = 5 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 102 mm² ≈ 314,16 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 314.16 mm² mit der Höhe h = 5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 314.16 mm² ⋅ 5 mm ≈ 1570,8 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅10 mm ≈ 62.83 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 314.16 mm² + 5 mm ⋅ 2π ⋅ 10 mm
≈ 628.32 mm² + 5 mm ⋅ 62.83 mm
≈ 628.32 mm² + 314.16 mm²
942,48 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1256.6 cm² = und den Radius r = 25 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · 25 · h = 1256.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

157,075h = 1256,6

157,075h = 1256,6 |:157,075
h = 8

Wir erhalten also h = 8 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 252 cm² ≈ 1963,5 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1963.5 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1963.5 cm² ⋅ 8 cm ≈ 15707,96 cm³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1803.3 cm² = und den Radius r = 41 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · 41 · h = 1803.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

257,603h = 1803,3

257,603h = 1803,3 |:257,603
h = 7,0003

Wir erhalten also h = 7 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 412 cm² ≈ 5281,02 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5281.02 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5281.02 cm² ⋅ 7 cm ≈ 36967,12 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 4,524m² und wird von einer 25 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2200 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 4,524 zu berechen.

Ain = π rin2

4,524 m² = π rin2 | :π

1,44 m² = rin2

1,2 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,2 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,25 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,45 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,452 ≈ 6,605 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 4,524 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 6,605 m2 - 4,524 m2 = 2,081 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 2,081 m2 ⋅ 4 m = 8,325 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2200 kg/m3:

m = 8,325 m3 ⋅ 2200 kg/m3 = 18315 kg.