Aufgabenbeispiele von Zylinder

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen


Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 17 cm und die Höhe h = 8 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 172 cm² ≈ 907,92 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 907.92 cm² mit der Höhe h = 8 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 907.92 cm² ⋅ 8 cm ≈ 7263,36 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅17 cm ≈ 106.81 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 907.92 cm² + 8 cm ⋅ 2π ⋅ 17 cm
≈ 1815.84 cm² + 8 cm ⋅ 106.81 cm
≈ 1815.84 cm² + 854.51 cm²
2670,35 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 23605.9 mm³ = und die Höhe h = 6.5 mm. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 6,5 = 23605.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

20,423 r 2 = 23605,9

20,423 r 2 = 23605,9 |:20,423
r 2 = 1155,8488 | 2
r1 = - 1155,8488 -33,998
r2 = 1155,8488 33,998

Wir erhalten also r = 34 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅34 mm ≈ 213.63 mm

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 6.5 mm ⋅ 2π ⋅ 34 mm
≈ 6.5 mm ⋅ 213.63 mm
1388,58 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 1071.3 mm² = und den Radius r = 11 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · 11 2 + 2π · 11 · h = 1071.3

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

69,113h +760,243 = 1071,3

69,113h +760,243 = 1071,3 | -760,243
69,113h = 311,057 |:69,113
h = 4,5007

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 112 mm² ≈ 380,13 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 380.13 mm² mit der Höhe h = 4.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 380.13 mm² ⋅ 4.5 mm ≈ 1710,6 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 5,5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 17 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,34 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

Lösung einblenden
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 17 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8,5 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,34 cm ist, muss also der innere Radius rin = 8,16 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (8,5 cm)2 - 1 2 π (8,16 cm)2
= 113,49 cm2 - 104,592 cm2
= 8,898 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 550 cm:

V = 8,898 cm2 ⋅ 550 cm = 4894 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 4894 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 39152 g = 39,152 kg.