Aufgabenbeispiele von Zylinder

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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Radius 6,5 cm und die Höhe h = 5 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

Lösung einblenden

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 6.52 cm² ≈ 132,73 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 132.73 cm² mit der Höhe h = 5 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 132.73 cm² ⋅ 5 cm ≈ 663,66 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅6.5 cm ≈ 40.84 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 132.73 cm² + 5 cm ⋅ 2π ⋅ 6.5 cm
≈ 265.46 cm² + 5 cm ⋅ 40.84 cm
≈ 265.46 cm² + 204.2 cm²
469,67 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 7068.6 mm³ = und den Radius r = 15 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 15 2 · h = 7068.6

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

706,95h = 7068,6

706,95h = 7068,6 |:706,95
h = 9,9987

Wir erhalten also h = 10 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 152 mm² ≈ 706,86 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅15 mm ≈ 94.25 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 706.86 mm² + 10 mm ⋅ 2π ⋅ 15 mm
≈ 1413.72 mm² + 10 mm ⋅ 94.25 mm
≈ 1413.72 mm² + 942.48 mm²
2356,19 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 395.8 cm² = und die Höhe h = 7 cm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

Lösung einblenden

Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · r · 7 = 395.8

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

43,981r = 395,8

43,981r = 395,8 |:43,981
r = 8,9993

Wir erhalten also r = 9 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 92 cm² ≈ 254,47 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 254.47 cm² mit der Höhe h = 7 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 254.47 cm² ⋅ 7 cm ≈ 1781,28 cm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,112m² und wird von einer 13 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,112 zu berechen.

Ain = π rin2

2,112 m² = π rin2 | :π

0,672 m² = rin2

0,82 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,82 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,13 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,95 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,952 ≈ 2,835 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,112 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,835 m2 - 2,112 m2 = 0,723 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,723 m2 ⋅ 4 m = 2,892 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 2,892 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 5784 kg.