Aufgabenbeispiele von Zylinder
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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 32 mm und die Höhe h = 6 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = mm = 16mm
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 162 mm² ≈ 804,25 mm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 804.25 mm² mit der Höhe h = 6 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 804.25 mm² ⋅ 6 mm ≈ 4825,49 mm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅16 mm ≈ 100.53 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 804.25 mm² + 6 mm ⋅ 2π ⋅ 16 mm
≈ 1608.5 mm² + 6 mm ⋅ 100.53 mm
≈ 1608.5 mm² + 603.19 mm²
≈
2211,68 mm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 3969.4 mm³ = und die Höhe h = 3.5 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 3969.4
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = | | | ||
| r1 | = |
|
≈
|
| r2 | = |
|
≈
|
Wir erhalten also r = 19 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 192 mm² ≈ 1134,11 mm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅19 mm ≈ 119.38 mm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1134.11 mm² + 3.5 mm ⋅ 2π ⋅ 19 mm
≈ 2268.23 mm² + 3.5 mm ⋅ 119.38 mm
≈ 2268.23 mm² + 417.83 mm²
≈
2686,06 mm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 21714.7 m³ = und den Radius r = 48 m. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
|
|
= |
|
|: |
|
|
= |
|
Wir erhalten also h = 3 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 482 m² ≈ 7238,23 m²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 3 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅48 m ≈ 301.59 m
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 7238.23 m² + 3 m ⋅ 2π ⋅ 48 m
≈ 14476.46 m² + 3 m ⋅ 301.59 m
≈ 14476.46 m² + 904.78 m²
≈
15381,24 m²
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 5m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 3,871m² und wird von einer 19 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2400 kg wiegt?
Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 3,871 zu berechen.
Ain = π rin2
3,871 m² = π rin2 | :π
1,232 m² = rin2
1,11 m ≈ rin
Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 1,11 m.
Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,19 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1,3 m.
Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 1,32 ≈ 5,309 m2
Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 3,871 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten)
Kreisrings
G = Aout - Ain = 5,309 m2 - 3,871 m2 = 1,438 m2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 5 m:
V = 1,438 m2 ⋅ 5 m = 7,193 m3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2400 kg/m3:
m = 7,193 m3 ⋅ 2400 kg/m3 = 17263,2 kg.
