Aufgabenbeispiele von Zylinder

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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 61 cm und die Höhe h = 9 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 61 2 cm = 30.5cm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 30.52 cm² ≈ 2922,47 cm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 2922.47 cm² mit der Höhe h = 9 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 2922.47 cm² ⋅ 9 cm ≈ 26302,2 cm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 9 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅30.5 cm ≈ 191.64 cm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 2922.47 cm² + 9 cm ⋅ 2π ⋅ 30.5 cm
≈ 5844.93 cm² + 9 cm ⋅ 191.64 cm
≈ 5844.93 cm² + 1724.73 cm²
7569,67 cm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 4021.2 m³ = und den Radius r = 16 m. Bestimme den Mantelflächeninhalt M dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · 16 2 · h = 4021.2

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

804,352h = 4021,2

804,352h = 4021,2 |:804,352
h = 4,9993

Wir erhalten also h = 5 und können nun damit den gesuchten Mantelflächeninhalt M berechnen.

Der Mantel hat die Form eines Rechtecks, bei dem eine Seite die Höhe h = 5 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅16 m ≈ 100.53 m

Somit gilt für den Mantelflächeninhalt:

M = h⋅U
≈ 5 m ⋅ 2π ⋅ 16 m
≈ 5 m ⋅ 100.53 m
502,65 m²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 769.7 mm² = und die Höhe h = 2.5 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · r · 2,5 = 769.7

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

15,7075r = 769,7

15,7075r = 769,7 |:15,7075
r = 49,0021

Wir erhalten also r = 49 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 492 mm² ≈ 7542,96 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 7542.96 mm² mit der Höhe h = 2.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 7542.96 mm² ⋅ 2.5 mm ≈ 18857,41 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Einen 4 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 12 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,24 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?

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Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 12 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 6 cm.

Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,24 cm ist, muss also der innere Radius rin = 5,76 cm sein.

Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:

G = Aout - Ain = 1 2 π r2 - 1 2 π rin2 =
= 1 2 π (6 cm)2 - 1 2 π (5,76 cm)2
= 56,549 cm2 - 52,115 cm2
= 4,434 cm2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 400 cm:

V = 4,434 cm2 ⋅ 400 cm = 1773 cm3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:

m = 1773 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 14184 g = 14,184 kg.