Aufgabenbeispiele von Zylinder

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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 76 m und die Höhe h = 8 m. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 76 2 m = 38m

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 382 m² ≈ 4536,46 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4536.46 m² mit der Höhe h = 8 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 4536.46 m² ⋅ 8 m ≈ 36291,68 m³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 m und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅38 m ≈ 238.76 m

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4536.46 m² + 8 m ⋅ 2π ⋅ 38 m
≈ 9072.92 m² + 8 m ⋅ 238.76 m
≈ 9072.92 m² + 1910.09 m²
10983,01 m²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 1508 m² = und die Höhe h = 7.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · r · 7,5 = 1508

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

47,1225r = 1508

47,1225r = 1508 |:47,1225
r = 32,0017

Wir erhalten also r = 32 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 322 m² ≈ 3216,99 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 3216.99 m² mit der Höhe h = 7.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 3216.99 m² ⋅ 7.5 m ≈ 24127,43 m³

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 329.9 mm² = und den Radius r = 15 mm. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also

2π ⋅ r ⋅ h = M

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2π · 15 · h = 329.9

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

94,245h = 329,9

94,245h = 329,9 |:94,245
h = 3,5005

Wir erhalten also h = 3.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 152 mm² ≈ 706,86 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 706.86 mm² mit der Höhe h = 3.5 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 706.86 mm² ⋅ 3.5 mm ≈ 2474 mm³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,164m² und wird von einer 12 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,164 zu berechen.

Ain = π rin2

2,164 m² = π rin2 | :π

0,689 m² = rin2

0,83 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,83 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,12 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 0,95 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 0,952 ≈ 2,835 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,164 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 2,835 m2 - 2,164 m2 = 0,671 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,671 m2 ⋅ 4 m = 2,684 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 2,684 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 5368 kg.