Aufgabenbeispiele von Prismen

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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 1 m³. Berechne die Kantenlänge.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3

Es gilt somit:

1 m³ = ⬜3

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 1 m funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

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Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

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Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = 1 2 ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = 1 2 ⋅ 13 cm ⋅ 6 cm = 39 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 39 cm² ⋅ 6 cm = 234 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

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Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 100 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

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Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

ADreieck = 1 2 c ⋅ hc

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

hc2 + ( 9 2 )2 = 92 |-( 9 2 )2

hc2 = 92 - ( 9 2 )2 = 92 - 4.52 = 81 - 20.25= 60.75

Daraus ergibt sich:

hc = 60,75 ≈ 7.794

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche ADreieck:

ADreieck = 1 2 c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 9 ⋅ 7.794 ≈ 35.1

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
ADreieck = 3 4 a2 = 3 4 81 ≈ 35.1

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche ADreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ ADreieck ≈ 6 ⋅ 35.1 ≈ 210.4

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=100 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 210.4 cm² ⋅ 100 cm ≈ 21044.4 cm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

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Ein Prisma hat das Volumen V = 3247.6 mm³, die Höhe h = 50 mm und als Grundfläche das abgebildete regelmäßige Sechseck.
Berechne die rote Strecke x.

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Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = V h 3247.6 50 ≈ 64.95

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = 1 6 G ≈ 64.95 6 ≈ 10.83 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

hc2 + ( x 2 )2 = x2 |-( x 2 )2

hc2 = x2 - ( x 2 )2 = x2 - 1 4 x2 = 3 4 x2

Daraus ergibt sich:

hc = 3 2 a

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche ADreieck:

ADreieck = 1 2 a ⋅ hc = 1 2 ⋅ a ⋅ 3 2 a ≈ 3 4 x2

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche ADreieck = 10.83 einsetzen:

10.83 ≈ 3 4 x2 | ⋅4: 3

25 ≈ x2

x ≈ 25 ≈ 5

Für x = 5 mm ist somit die Grundfläche ADreieck ≈ 10.8 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 3247.6 mm³