Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

96 mm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 96 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 96, also 16 ergeben.

16 mm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 mm funktioniert.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 16 cm ⋅ 8 cm = 64 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 64 cm² ⋅ 5 cm = 320 cm³

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ($\frac{9}{2}$)² = 9² |-($\frac{9}{2}$)²

h_c² = 9² - ($\frac{9}{2}$)² = 9² - 4.5² = 81 - 20.25= 60.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{\mathrm{60,75}}$ ≈ 7.794

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9 ⋅ 7.794 ≈ 35.1

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G = a² = 81 ≈ 35.1

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=60 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 35.1 cm² ⋅ 60 cm ≈ 2104.4 cm³

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{\mathrm{3247.6}}{\mathrm{50}}$ ≈ 64.95

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen muss der Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke eben gerade A = $\frac{1}{6}$ G ≈ $\frac{\mathrm{64.95}}{6}$ ≈ 10.83 sein

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ($\frac{x}{2}$)² = x² |-($\frac{x}{2}$)²

h_c² = x² - ($\frac{x}{2}$)² = x² - $\frac{1}{4}$x² = $\frac{3}{4}$x²

Daraus ergibt sich:

h_c = x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ x ≈ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche A_Dreieck = 10.83 einsetzen:

10.83 ≈ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

25 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{\mathrm{25}}$ ≈ 5

Für x = 5 m ist somit die Grundfläche A_Dreieck ≈ 10.8 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 3247.6 m³