Aufgabenbeispiele von Prismen
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Würfel V+O rückwärts
Beispiel:
Ein Würfel hat das Volumen V = 8 mm³. Berechne die Kantenlänge.
Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3
Es gilt somit:
8 mm³ = ⬜3
Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 mm funktioniert.
Volumen eines Prisma
Beispiel:
Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.
Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:
A = ⋅ 14 cm ⋅ 8 cm = 56 cm²
Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 56 cm² ⋅ 6 cm = 336 cm³
Volumen eines Prisma 2
Beispiel:
Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 100 mm. Berechne das Volumen des Prismas.
Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:
G = c ⋅ hc
Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:
hc2 + ()2 = 72 |-()2
hc2 = 72 - ()2 = 72 - 42 = 49 - 16= 33
Daraus ergibt sich:
hc = ≈ 5.745
Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:
G = c ⋅ hc = ⋅ 8 ⋅ 5.745 ≈ 23
Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=100 mm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 23 mm² ⋅ 100 mm ≈ 2297.8 mm³
Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)
Beispiel:
Ein Prisma hat das Volumen V = 375 mm³, die Höhe h = 60 mm und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.
Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = ≈ ≈ 6.25
Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):
Nach dem Satz des Pythagoras gilt:
s2 + s2 = x2
also 2s2 = x2 oder eben s2 = x2
Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = s ⋅ s = ⋅ s2
mit s2 = x2 gilt somit;
A = ⋅ x2 = x2
Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 6.25 einsetzen:
6.25 ≈ x2 | ⋅4
25 ≈ x2
x ≈ ≈ 5
Für x = 5 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 6.3 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 375 mm³