Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

54 dm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.

9 dm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 dm funktioniert.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9 cm ⋅ 7 cm = 31.5 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 31.5 cm² ⋅ 6 cm = 189 cm³

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ($\frac{8}{2}$)² = 6² |-($\frac{8}{2}$)²

h_c² = 6² - ($\frac{8}{2}$)² = 6² - 4² = 36 - 16= 20

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{20}$ ≈ 4.472

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 ⋅ 4.472 ≈ 17.9

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=100 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 17.9 mm² ⋅ 100 mm ≈ 1788.9 mm³

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{\mathrm{4364.8}}{\mathrm{70}}$ ≈ 62.35

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ($\frac{x}{2}$)² = x² |-($\frac{x}{2}$)²

h_c² = x² - ($\frac{x}{2}$)² = x² - $\frac{1}{4}$x² = $\frac{3}{4}$x²

Daraus ergibt sich:

h_c = x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ x ≈ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 62.35 einsetzen:

62.35 ≈ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

144 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{\mathrm{144}}$ ≈ 12

Für x = 12 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 62.4 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 4364.8 mm³