Aufgabenbeispiele von Prismen

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Würfel V+O rückwärts

Beispiel:

Ein Würfel hat das Volumen V = 1000 m³. Berechne die Kantenlänge.

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Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a3

Es gilt somit:

1000 m³ = ⬜3

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 10 m funktioniert.

Volumen eines Prisma

Beispiel:

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Berechne das Volumen des dargestellten, senkrechten Prismas.

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Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = 1 2 ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = 1 2 ⋅ 10 cm ⋅ 8 cm = 40 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 40 cm² ⋅ 5 cm = 200 cm³

Volumen eines Prisma 2

Beispiel:

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Ein Prisma hat die abgebildete Figur als Grundfläche und
die Höhe h = 70 cm. Berechne das Volumen des Prismas.

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Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = 1 2 c ⋅ hc

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe hc mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

hc2 + ( 8 2 )2 = 82 |-( 8 2 )2

hc2 = 82 - ( 8 2 )2 = 82 - 42 = 64 - 16= 48

Daraus ergibt sich:

hc = 48 ≈ 6.928

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = 1 2 c ⋅ hc = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 6.928 ≈ 27.7

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G = 3 4 a2 = 3 4 64 ≈ 27.7

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=70 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 27.7 cm² ⋅ 70 cm ≈ 1939.9 cm³

Prismavolumen rückwärts (Skizze Grundfläche)

Beispiel:

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Ein Prisma hat das Volumen V = 112.5 mm³, die Höhe h = 50 mm und als Grundfläche das abgebildete rechtwinklige gleichschenklige Dreieck.
Berechne die rote Strecke x.

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Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = V h 112.5 50 ≈ 2.25

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s2 + s2 = x2

also 2s2 = x2 oder eben s2 = 1 2 x2

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = 1 2 s ⋅ s = 1 2 s2

mit s2 = 1 2 x2 gilt somit;

A = 1 2 1 2 x2 = 1 4 x2

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 2.25 einsetzen:

2.25 ≈ 1 4 x2 | ⋅4

9 ≈ x2

x ≈ 9 ≈ 3

Für x = 3 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 2.3 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 112.5 mm³