Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

54 cm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 54 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 54, also 9 ergeben.

9 cm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 3 cm funktioniert.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6.5 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 10 cm ⋅ 7 cm = 35 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 35 cm² ⋅ 6.5 cm = 227.5 cm³

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ($\frac{8}{2}$)² = 8² |-($\frac{8}{2}$)²

h_c² = 8² - ($\frac{8}{2}$)² = 8² - 4² = 64 - 16= 48

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{48}$ ≈ 6.928

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 8 ⋅ 6.928 ≈ 27.7

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G = a² = 64 ≈ 27.7

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=80 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 27.7 m² ⋅ 80 m ≈ 2217 m³

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{\mathrm{612.5}}{\mathrm{50}}$ ≈ 12.25

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$x² = $\frac{1}{4}$x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 12.25 einsetzen:

12.25 ≈ $\frac{1}{4}$x² | ⋅4

49 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{\mathrm{49}}$ ≈ 7

Für x = 7 mm ist somit die Grundfläche G ≈ 12.3 mm² und das Volumen des Prismas V ≈ 612.5 mm³