Nach dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis gilt immer:

(sin(α))² + (cos(α))² = 1

Umgestellt nach sin(α):

(sin(α))² = 1 - (cos(α))²

= 1 - ${\left(\frac{\sqrt{51}}{10}\right)}^2$

= 1 - $\frac{51}{100}$

= $\frac{49}{100}$

Damit glit für sin(α):

sin(α) = $\frac{7}{10}$ = 0.7

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(37°) und cos(37°) ablesen:

cos(37°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(37°) ≈ 0.8

Am Einheitskreis kann man den Wert für α ablesen:

cos(α) = 0.8 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.8 sein muss. Wenn man den den Winkel auf 36.9° setzt, so sieht man, dass der cos(36.9)°, also die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.8 ist.

cos(36.9°) ≈ 0.8

Am Einheitskreis kann man die Werte für sin(327°) und cos(327°) ablesen:

cos(327°) ist der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, also die (vorzeichenbehaftete) Länge der orangen Strecke.
Am besten ablesen kann man diesen Wert, wenn man die (grüne) senkrechte Linie zur x-Aches verfolgt:

cos(327°) ≈ 0.84

Am Einheitskreis kann man die beiden Werte für α ablesen:

cos(α) = 0.85 bedeutet, dass der x-Wert des Schnittpunktes der roten Geraden mit dem (blauen) Einheitskreis, 0.85 sein muss. In der Skizze sieht man, dass dies sowohl für α₁ = 31.8° als auch für α₂ = 360° - α₁ = 328.2° der Fall ist, weil in beiden Fällen die Länge der orangen Strecke eben ≈ 0.85 ist.

cos(31.8°) ≈ 0.85 und cos(328.2°) ≈ 0.85

So erhalten wir die Funktion f(α) = 10 ⋅ sin(α).

1. Gesuchte Höhe zur Zeit t = 0.6 min

Um nun die gesuchte Höhe zur gegebenen Zeit zu berechnen, müssen wir zuerst den Winkel bestimmen, der nach 0.6 min erreicht wurde. Weil ja immer gleich viel Winkel pro Zeit 'zurückgelegt' wird, genügt hierfür ein Dreisatz :

4 min ≙ 360°
1 min ≙ $\frac{\mathrm{360}}{4}$ ° = 90°
0.6 min ≙ 90 ⋅ 0.6° ≈ 54°

sin(54°) ≈ 0.81, entsprechend ist 10 ⋅ sin(54°) ≈ 8.09

Also ist nach 0.6 min der y-Wert 8.09 m über dem Ausgangsniveau.

Weil das Ausgangsniveau ja 12 m ist, beträgt die gesuchte Höhe also 12 m +8.09 m
= 20.09 m.

2. Gesuchte Zeit zur gegebenen Höhe h = 19.5 m

Die gegebenen Höhe von h = 19.5 m entspricht gerade der Höhe 19.5 m - 12 m = 7.5 m über dem Nullniveau um das die Sinusfunktion schwingt.

Wir können nun nach dem Winkel suchen, bei dem f(α) = 10 ⋅ sin(α) = 7.5 gilt.

10 ⋅ sin(α) = 7.5 |: 10

sin(α) = 0.75 | arcsin(⋅) (WTR: sin^-1)

α ≈ 48.6°

Jetzt müssen wir den Dreisatz eben anders rum wie oben machen:

360° ≙ 4 min
1 ° ≙ $\frac{4}{\mathrm{360}}$ min = $\frac{1}{90}$ min
48.6° ≙ $\frac{1}{90}$ ⋅ 48.6 min ≈ 0.54 min

Somit ist nach 0,54 min die Höhe h = 19,5 m erreicht.

Am Schaubild sehen wir, dass es aber auch noch einen zweiten Winkel β mit 10 ⋅ sin(α) = 7.5 bzw. sin(β) = 0.75. Durch die Symmetrie erkennen wir, dass dieser weitere Winkel β gleich weit von 180° entfernt ist wie α, es gilt also β = 180°-α = 180°-48.6 = 131.4°.

Auch hier müssen wir wieder mit dem Dreisatz die zugehörige Zeit ermitteln:

360° ≙ 4 min
1 ° ≙ $\frac{4}{\mathrm{360}}$ min = $\frac{1}{90}$ min
131.4° ≙ $\frac{1}{90}$ ⋅ 131.4 min ≈ 1.46 min

Somit ist nach auch 1,46 min die Höhe h = 19,5 m erreicht.