Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.5cm}}{\mathrm{5cm}}$=0.9 und somit β=64.2°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 25.8°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+25.8°=β=64.2° gilt nun: α = 38.3°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 31° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 31° = 59°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59°) = $\frac{g}{\mathrm{5.5cm}}$

Damit folgt g = sin(59°) ⋅ 5.5cm ≈ 4.7cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+31°) gleich groß sein. Damit gilt 59° = α + 31°, woraus folgt: α = 28°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 28° = 62°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(62°)=$\frac{\mathrm{4.7}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.7}}{\mathrm{sin(62°)}}$ ≈ 5.3cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(24°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(13.8°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 22}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(24°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(24°) ⋅ x =h |:tan(24°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(24°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(13.8°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 22}}$ | ⋅ (x+ 22)

(II) tan(13.8°) ⋅ (x+ 22) = h |:tan(24°)

(II) x + 22= $\frac{h}{\mathrm{tan(13.8°)}}$ | -22

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(13.8°)}}$ - 22

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(24°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(13.8°)}}$ - 22

$\frac{h}{\mathrm{0.4452}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.2456}}$ - 22

$\frac{1}{\mathrm{0.4452}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.2456}}$ ⋅ h - 22

2.246 h = 4.0713 h - 22 | - 2.246 + 22

22 = 1.8252 h | : 1.8252

12.0532 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=12.1m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 6 und (zwischen A und B) c = 8 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 6² + 8²

b² = 36 + 64

b² = 100

b = $\sqrt{\mathrm{100}}$ ≈ 10

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{6}{8}$ = 0.75

Daraus folgt: α = arctan(0.75) ≈ 36.9°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-36.9° = 53.1°