Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.63cm}}{\mathrm{6.5cm}}$=0.866 und somit β=60°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 30°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+30°=β=60° gilt nun: α = 30°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 31° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 31° = 59°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59°) = $\frac{g}{\mathrm{6.5cm}}$

Damit folgt g = sin(59°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.6cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+31°) gleich groß sein. Damit gilt 59° = α + 31°, woraus folgt: α = 28°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 28° = 62°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(62°)=$\frac{\mathrm{5.6}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.6}}{\mathrm{sin(62°)}}$ ≈ 6.3cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(25°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(18.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 12}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(25°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(25°) ⋅ x =h |:tan(25°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(25°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(18.4°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 12}}$ | ⋅ (x+ 12)

(II) tan(18.4°) ⋅ (x+ 12) = h |:tan(25°)

(II) x + 12= $\frac{h}{\mathrm{tan(18.4°)}}$ | -12

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(18.4°)}}$ - 12

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(25°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(18.4°)}}$ - 12

$\frac{h}{\mathrm{0.4663}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3327}}$ - 12

$\frac{1}{\mathrm{0.4663}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3327}}$ ⋅ h - 12

2.1445 h = 3.0061 h - 12 | - 2.1445 + 12

12 = 0.8616 h | : 0.8616

13.9275 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=13.9m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 7 und (zwischen A und B) c = 3 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 7² + 3²

b² = 49 + 9

b² = 58

b = $\sqrt{\mathrm{58}}$ ≈ 7.62

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{7}{3}$ ≈ 2.333

Daraus folgt: α = arctan(2.333) ≈ 66.8°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-66.8° = 23.2°