Aufgabenbeispiele von Ähnlichkeit u. zentrische Streckung
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Größenverhältnisse
Beispiel:
Das rote Dreieck A'B'C' ist durch Vergrößerung/ Verkleinerung aus dem blauen Dreieck ABC enstanden.
Gib die fehlende Streckenlänge c' an.
Wir erkennen aus der Zeichnung rechts, dass die Länge a=2.5 zur Länge a'=5 vergrößert wurde.
Der Streckfaktor muss also k = = sein.
Wir müssen somit die ursprüngliche Länge c = 2 mit k multiplizieren und erhalten so:
c' = 2 ⋅ 2 = 4
Ähnliche Dreiecke (Zahleneingabe)
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=3cm, b=4cm und c=5.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=11.55cm.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 2.1
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 2.1 ⋅ 4 = 8.4
a' = k ⋅ a = 2.1 ⋅ 3 = 6.3
Ähnliche Dreiecke (Zeichnung)
Beispiel:
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=4cm, b=4cm und c=7.5cm. Finde ein dazu ähnliches Dreieck mit der Seitenlänge c'=12.75cm.
Klicke dazu mit der Maus dort auf die Zeichenfläche wo der gesuchte Punkt C' sein müsste.
Zuerst berechnen wir den Faktor mit dem die Strecke c auf c' gestreckt wurde:
k = = 1.7
Da bei ähnlichen Dreiecken die Seitenverhältnisse gleich bleiben, müssen auch die beiden anderen Seiten a und b mit diesem Streckfaktor gestreckt werden:
b' = k ⋅ b = 1.7 ⋅ 4 = 6.8
a' = k ⋅ a = 1.7 ⋅ 4 = 6.8
Zentrische Streckung mit k
Beispiel:
Das Vieleck ABC mit A(1|0), B(13|0), C(4|9) soll am Zentrum A(1|0) mit dem Faktor k= gestreckt werden. Konstruiere die zentrische Streckung in deinem Heft. Gib dann die Koordinaten von C' dem Bildpunkt von C an.
Zuerst zeichnen wir jeweils eine Halbgerade vom Streckzentrum A durch die anderen Punkte.
Dann vermessen wir jeweils den Abstand zwischen dem Streckzentrum A und dem anderen Punkt und multiplizieren diesen Abstand mit dem Streckfaktor k=.
Diese neue Streckenlänge zeichnen wir dann jeweils auf den Halbgeraden ab und erhalten so die Bildpunkte der zentrischen Streckung.
Für C', den Bildpunkt von C können wir dann die Koordinaten C'(2|3) ablesen.
Zentrische Streckung mit k und S
Beispiel:
Das Vieleck ABCDE mit A(10|2), B(13|2), C(13|3), D(12|4), E(11|3) soll am Zentrum S(14|1) mit dem Faktor k= gestreckt werden. Löse die Aufgabe mithilfe des Schaubildes oder durch Konstruktion im Heft. Gib dann die Koordinaten der Bildpunkte A' und B' an.
Zuerst zeichnen wir jeweils eine Halbgerade vom Streckzentrum S durch die anderen Punkte.
Dann vermessen wir jeweils den Abstand zwischen dem Streckzentrum S und dem anderen Punkt und multiplizieren diesen Abstand mit dem Streckfaktor k=.
Diese neue Streckenlänge zeichnen wir dann jeweils auf den Halbgeraden ab und erhalten so die Bildpunkte der zentrischen Streckung.
Für A', den Bildpunkt von A können wir dann die Koordinaten A'(6|3) ablesen.
Für B', den Bildpunkt von B können wir dann die Koordinaten B'(12|3) ablesen.
Streckzentrum bestimmen
Beispiel:
Gegeben ist das Vieleck ABCDE mit A(3|7), B(5|7), C(5|8), D(4|9), E(4|8) (in rot) und das Vieleck A'B'C'D'E' mit A'(7|1), B'(13|1), C'(13|4), D'(10|7), E'(10|4).
Löse die Aufgabe mithilfe des Schaubildes oder übertrage die Vielecke in dein Heft und versuche ein Streckzentrum zu konstruieren, so dass die eine Figur durch eine zentrische Streckung in die andere übergeht.
Gib dann, falls dies möglich ist, die Koordiaten des Streckzentrums S an.
(Falls es kein Streckzentrum gibt, wähle diese Option in Auswahlfeld)
Wir verbinden jeweils die Punkte mit ihren potentiellen Bildpunkten (also A mit A', B mit B', usw.) durch jeweils eine Gerade.
Wir sehen, dass sich alle Geraden in S(1|10) treffen. Mit S als Streckzentrum kann also das blaue Vieleck durch eine zentrische Streckung auf das rote abgebildet werden.
Konstruierbarkeit mit Kongruenzs.
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: a=6.5cm, b=5cm und c=7.5cm
Entscheide mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt. Falls dies der Fall ist, konstruiere es in deinem Heft und miss die Höhe ha ab.
Wir erkennen schnell, dass wir den Kongruenzsatz sss anwenden und das Dreieck eindeutig konstruieren können:
- Zuerst zeichnen wir die Strecke c unten (waagrecht) ein und benennen die Enden Strecke A und B.
- Da die Strecke b=5cm zwischen A und C liegt, muss C auf einem Kreis um A mit Radius b=5cm liegen.
Wir zeichnen also einen Kreisbogen um A mit Radius b=5cm.
- Analog dazu zeichnen wir einen Kreisbogen um B mit Radius a=6.5cm.
- Die beiden Kreisbögen schneiden sich im Punkt C.
- Wir verbinden den neuen Punkt C jeweils mit A und B und erhalten das fertige Dreieck.
Jetzt können wir die gesuchte Höhe ha ins Dreieck einzeichnen und abmessen: ha ≈ 4.9cm
Kongruenzsätze
Beispiel:
Gegeben sind die folgenden Seitenlängen und Winkel eines Dreiecks: b=5.5cm, γ=110° und α=75°
Entscheide auch mit Hilfe der Kongruenzsätze, ob sich dieses Dreieck eindeutig konstruieren lässt, bzw. überhaupt konstruieren lässt.
Wenn man die Winkelsumme von γ und α anschaut, sieht man dass diese mit 185 größer als 180° ist. Deswegen kann man kein Dreick mit diesen Größen konstruieren.