$x^{-4}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^4}$.

Also ist $-7x^{-4}$ das gleiche wie $-7·\frac{1}{x^4}$ = $-\frac{7}{x^4}$.

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[7]{x^5}$ = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{7}$} = $x^{\frac{5}{7}}$

$x^{-3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^3}$.

Also ist $-2x^{-3}$ das gleiche wie $-2·\frac{1}{x^3}$ = $-\frac{2}{x^3}$.

${64}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2$

= $4^2$

= 16

${\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

${\mathrm{0,008}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,2}}^2$

= $\mathrm{0,04}$

${\left(8^4\right)}^{-\frac{1}{3}}$

= $8^{4·\left(-\frac{1}{3}\right)}$

= $8^{\frac{1}{3}·\left(-4\right)}$

= ${\left(8^{\frac{1}{3}}\right)}^{-4}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^4}$

= $\frac{1}{2^4}$

= $\frac{1}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^2}·\sqrt[5]{x^2})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{10}}\cdot x^{\frac{2}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{2}{5}})}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{1}{5}+\frac{2}{5}}\right)}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}}\right)}^{10}$

= $x^{\frac{3}{5}·10}$

= $x^6$

$\frac{\frac{10}{b^4}}{9b^{-1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{10}{b^4}}{\frac{9}{b}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{10}{b^4}·\frac{b}{9}$

= $\frac{10}{9b^3}$