$x^{-8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^8}$.

Also ist $x^{-8}$ das gleiche wie $1·\frac{1}{x^8}$ = $\frac{1}{x^8}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{8}{7}}$ = x^{8⋅$\frac{1}{7}$} = ${\left(x^8\right)}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${\left(x^8\right)}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^8}$

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[6]{x^5}}$ = $\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{-\frac{1}{6}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{-\frac{1}{6}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{6}·5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{6}}}$ = $x^{-\frac{5}{6}}$

${81}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{81}$

= $3$

${64}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>64</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{64}}$

= $\frac{1}{8}$

${\mathrm{0,16}}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{\mathrm{0,16}}$

= $\mathrm{0,4}$

${\left(1^{\frac{1}{3}}\right)}^{27}$

= $1^{\frac{1}{3}·27}$

= $1^9$

= $1$

$\frac{11b^{-4}}{11b^{-1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{b^4}}{\frac{11}{b}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{b^4}·\frac{b}{11}$

= $\frac{1}{b^3}$