$\frac{1}{x^7}$ kann man auch als $x^{-7}$ schreiben.

Also ist $\frac{3}{x^7}$ = $3·\frac{1}{x^7}$ das gleiche wie $3x^{-7}$.

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{6}{5}}$ = $x^{6·\frac{1}{5}}$ = ${\left(x^6\right)}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${\left(x^6\right)}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^6}$

${16}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

${\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

${\mathrm{0,09}}^{\frac{3}{2}}$

= ${\left(\sqrt{\mathrm{0,09}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,3}}^3$

= $\mathrm{0,027}$

${\left({16}^3\right)}^{\frac{1}{2}}$

= ${16}^{3·\frac{1}{2}}$

= ${16}^{\frac{1}{2}·3}$

= ${\left({16}^{\frac{1}{2}}\right)}^3$

= ${\left(\sqrt{16}\right)}^3$

= $4^3$

= $64$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x^2}·\sqrt[8]{x^6})}^{12}$

= ${(x^{\frac{2}{4}}\cdot x^{\frac{6}{8}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{3}{4}})}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{1}{2}+\frac{3}{4}}\right)}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{5}{4}}\right)}^{12}$

= $x^{\frac{5}{4}·12}$

= $x^{15}$

$\frac{\frac{13}{b}}{5b^{-3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{b}}{\frac{5}{b^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{b}·\frac{b^3}{5}$

= $\frac{13}{5}{b}^2$