$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{-1}$ schreiben.

Also ist $\frac{5}{x}$ = $5·\frac{1}{x}$ das gleiche wie $5x^{-1}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{6}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{6}$} = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}$ = $\sqrt[6]{x^5}$

$x^{-3}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^3}$.

Also ist $-6x^{-3}$ das gleiche wie $-6·\frac{1}{x^3}$ = $-\frac{6}{x^3}$.

${16}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3$

= $2^3$

= 8

$-{16}^{\frac{1}{2}}$

= $-\sqrt{16}$

= $-4$

${\mathrm{0,0016}}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{\mathrm{0,0016}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,2}}^3$

= $\mathrm{0,008}$

${\left(8^4\right)}^{-\frac{1}{3}}$

= $8^{4·\left(-\frac{1}{3}\right)}$

= $8^{\frac{1}{3}·\left(-4\right)}$

= ${\left(8^{\frac{1}{3}}\right)}^{-4}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^4}$

= $\frac{1}{2^4}$

= $\frac{1}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x^3}·\sqrt[6]{x^8})}^6$

= ${(x^{\frac{3}{9}}\cdot x^{\frac{8}{6}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{4}{3}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{3}+\frac{4}{3}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{5}{3}}\right)}^6$

= $x^{\frac{5}{3}·6}$

= $x^{10}$

$\frac{6b^{-4}}{\frac{7}{b^2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{6}{b^4}}{\frac{7}{b^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{6}{b^4}·\frac{b^2}{7}$

= $\frac{6}{7b^2}$