$\frac{1}{x^3}$ kann man auch als $x^{-3}$ schreiben.

Also ist $\frac{4}{x^3}$ = $4·\frac{1}{x^3}$ das gleiche wie $4x^{-3}$.

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[9]{x}\right)}^{10}$ = ${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^{10}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^{10}$ = x^{$\frac{1}{9}$⋅10} = $x^{\frac{10}{9}}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}$ = $\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{-\frac{1}{5}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{-\frac{1}{5}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}·3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ = $x^{-\frac{3}{5}}$

${81}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{81}\right)}^3$

= $3^3$

= 27

${\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$

= $\frac{3}{2}$

${\mathrm{0,09}}^{\frac{3}{2}}$

= ${\left(\sqrt{\mathrm{0,09}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,3}}^3$

= $\mathrm{0,027}$

${\left({27}^4\right)}^{-\frac{1}{3}}$

= ${27}^{4·\left(-\frac{1}{3}\right)}$

= ${27}^{\frac{1}{3}·\left(-4\right)}$

= ${\left({27}^{\frac{1}{3}}\right)}^{-4}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{27}\right)}^4}$

= $\frac{1}{3^4}$

= $\frac{1}{81}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[5]{x^3}·\sqrt[5]{x^6})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}+\frac{6}{5}}\right)}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{9}{5}}\right)}^{10}$

= $x^{\frac{9}{5}·10}$

= $x^{18}$

$\frac{8s^{-2}}{\frac{8}{s^4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{s^2}}{\frac{8}{s^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{s^2}·\frac{s^4}{8}$

= $s^2$