$\frac{1}{x^5}$ kann man auch als $x^{-5}$ schreiben.

Also ist $\frac{-3}{x^5}$ = $-3·\frac{1}{x^5}$ das gleiche wie $-3x^{-5}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{7}{9}}$ = x^{7⋅$\frac{1}{9}$} = ${\left(x^7\right)}^{\frac{1}{9}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{9}$} immer das gleiche ist wie die 9-te Wurzel, also:

${\left(x^7\right)}^{\frac{1}{9}}$ = $\sqrt[9]{x^7}$

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[8]{x^7}}$ = $\frac{1}{{\left(x^7\right)}^{-\frac{1}{8}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^7\right)}^{-\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8}·7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{8}}}$ = $x^{-\frac{7}{8}}$

${16}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{16}\right)}^3$

= $2^3$

= 8

$\frac{4^{41}}{4^{39}}$

= $4^{41-39}$

= $4^2$

= 16

${\mathrm{0,0016}}^{\frac{1}{4}}$

= $\sqrt[4]{\mathrm{0,0016}}$

= $\mathrm{0,2}$

${\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^{-14}\right)}^{-\frac{1}{7}}$

= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-14·\left(-\frac{1}{7}\right)}$

= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$

= $\frac{4}{9}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^4}·{\left(\sqrt[8]{x}\right)}^{10})}^{12}$

= ${(x^{\frac{4}{8}}\cdot x^{\frac{10}{8}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{4}}\right)}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{7}{4}}\right)}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4}·12}$

= $x^{21}$

$\frac{11a^{-4}}{\frac{8}{a^3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{11}{a^4}}{\frac{8}{a^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{11}{a^4}·\frac{a^3}{8}$

= $\frac{11}{8a}$