$\frac{1}{x^8}$ kann man auch als $x^{-8}$ schreiben.

Also ist $\frac{-2}{x^8}$ = $-2·\frac{1}{x^8}$ das gleiche wie $-2x^{-8}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{6}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{6}$} = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{6}$} immer das gleiche ist wie die 6-te Wurzel, also:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{6}}$ = $\sqrt[6]{x^5}$

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

${100}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{100}$

= $10$

$\frac{3^{12}}{3^{10}}$

= $3^{12-10}$

= $3^2$

= 9

${\mathrm{0,001}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,1}}^2$

= $\mathrm{0,01}$

${\left({10}^{-\frac{1}{5}}\right)}^{-40}$

= ${10}^{-\frac{1}{5}·\left(-40\right)}$

= ${10}^8$

= $100000000$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^6}·{\left(\sqrt[12]{x}\right)}^{15})}^8$

= ${(x^{\frac{6}{12}}\cdot x^{\frac{15}{12}})}^8$

= ${(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^8$

= ${\left(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{4}}\right)}^8$

= ${\left(x^{\frac{7}{4}}\right)}^8$

= $x^{\frac{7}{4}·8}$

= $x^{14}$

$\frac{\frac{5}{s}}{6s^{-2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{s}}{\frac{6}{s^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{s}·\frac{s^2}{6}$

= $\frac{5}{6}s$