$\frac{1}{x^6}$ kann man auch als $x^{-6}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^6}$ = $1·\frac{1}{x^6}$ das gleiche wie $x^{-6}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{9}{7}}$ = x^{9⋅$\frac{1}{7}$} = ${\left(x^9\right)}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${\left(x^9\right)}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^9}$

$x^{-6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^6}$.

Also ist $-7x^{-6}$ das gleiche wie $-7·\frac{1}{x^6}$ = $-\frac{7}{x^6}$.

$8^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{8}$

= $2$

${\left(\frac{64}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

${\mathrm{1,21}}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{\mathrm{1,21}}$

= $\mathrm{1,1}$

${\left(2^{16}\right)}^{-\frac{1}{4}}$

= $2^{16·\left(-\frac{1}{4}\right)}$

= $2^{-4}$

= $\frac{1}{2^4}$

= $\frac{1}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[8]{x}\right)}^4·\sqrt[4]{x^5})}^8$

= ${(x^{\frac{4}{8}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^8$

= ${(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^8$

= ${\left(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{4}}\right)}^8$

= ${\left(x^{\frac{7}{4}}\right)}^8$

= $x^{\frac{7}{4}·8}$

= $x^{14}$

$\frac{12c^{-3}}{6c^{-2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{c^3}}{\frac{6}{c^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{c^3}·\frac{c^2}{6}$

= $\frac{2}{c}$