$x^{-7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^7}$.

Also ist $-x^{-7}$ das gleiche wie $-1·\frac{1}{x^7}$ = $-\frac{1}{x^7}$.

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[8]{x}\right)}^7$ = ${\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^7$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^7$ = x^{$\frac{1}{8}$⋅7} = $x^{\frac{7}{8}}$

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$ = $\frac{1}{{\left(x^4\right)}^{\frac{1}{3}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^4\right)}^{\frac{1}{3}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}·4}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ = $x^{-\frac{4}{3}}$

${27}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{27}$

= $3$

$4^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{4}}$

= $\frac{1}{2}$

${\mathrm{0,001}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,001}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,1}}^2$

= $\mathrm{0,01}$

${\left(5^{-\frac{1}{7}}\right)}^7$

= $5^{-\frac{1}{7}·7}$

= $5^{-1}$

= $\frac{1}{5}$

= $\frac{1}{5}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${({\left(\sqrt[5]{x}\right)}^2·\sqrt[5]{x^6})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{2}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{2}{5}+\frac{6}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{8}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{8}{5}·15}$

= $x^{24}$

$\frac{\frac{5}{d}}{12d^{-4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{d}}{\frac{12}{d^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{d}·\frac{d^4}{12}$

= $\frac{5}{12}{d}^3$