Mathebattle EduRandomtasks

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{4} \cdot x^{6}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{4} \cdot x^{6}$

= $x^{4 + 6}$

= $x^{10}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{{(- 3)}^{2}}{{(- 3)}^{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{{(- 3)}^{2}}{{(- 3)}^{5}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{(- 3)}^{2}}{{(- 3)}^{5}}$

= $\frac{(- 3) \cdot (- 3)}{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}$

= $\frac{1}{(- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3)}$

= $- \frac{1}{27}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{{(- 3)}^{2}}{{(- 3)}^{5}}$

= ${(- 3)}^{2 - 5}$

= ${(- 3)}^{- 3}$

= $\frac{1}{{(- 3)}^{3}}$

= $- \frac{1}{27}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 4 x^{3} \cdot 6 x^{7}$

Lösung einblenden

$- 4 x^{3} \cdot 6 x^{7}$ = $(- 4 \cdot x^{3}) \cdot 6 \cdot x^{7}$ = $- 24 x^{3} \cdot x^{7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

= $- 24$ $x^{3 + 7}$

= $- 24 x^{10}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{4^{x}}{2^{x}}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$\frac{4^{x}}{2^{x}}$

= ${(\frac{4}{2})}^{x}$

= $2^{x}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $2^{9}$ ⋅ $5^{9}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $2^{9} \cdot 5^{9}$

= $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ ⋅ $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

= $2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 5$

= ${(2 \cdot 5)}^{9}$

= $10^{9}$

= $1 000 000 000$

3. PG: Potenzen potenzieren

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(2^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(2^{x})}^{3}$

= $2^{x \cdot 3}$

= $2^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(2^{3})}^{x}$

= $8^{x}$

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot {(2^{x})}^{4}$

= $3^{4} \cdot 2^{x \cdot 4}$

= $81 \cdot 2^{4 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81 \cdot {(2^{4})}^{x}$

= $81 \cdot 16^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $\frac{2 \cdot 2^{6}}{4^{7}}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Man muss hier eben erkennen, dass die beiden Potenzen im Zähler die gleiche Basis haben und man sie deswegen gut mit einander multilpizieren kann. Da die Summe der zugehörigen Hochzahlen gerade gleich der Hochzahl des Nenners (7) wird, können wir so das 2. Potenzgesetz anwenden.

$\frac{2 \cdot 2^{6}}{4^{7}}$

= $\frac{2^{6} \cdot 2}{4^{7}}$

= $\frac{2^{6 + 1}}{4^{7}}$

= $\frac{2^{7}}{4^{7}}$

= ${(\frac{2}{4})}^{7}$

= ${(\frac{1}{2})}^{7}$

= $\frac{1}{128}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 x)}^{4} - 4 x^{4}$

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${(3 x)}^{4} - 4 x^{4}$

= $3^{4} \cdot x^{4} - 4 x^{4}$

= $81 x^{4} - 4 x^{4}$

= $77 x^{4}$

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{4^{3} \cdot 8^{5} + 4^{6} \cdot 8^{5}}{32^{5}}$

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Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (32 = 4 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4^{3} \cdot 8^{5} + 4^{6} \cdot 8^{5}}{32^{5}}$

= $\frac{(4^{3} + 4^{6}) \cdot 8^{5}}{{(4 \cdot 8)}^{5}}$

= $\frac{(4^{3} + 4^{6}) \cdot 8^{5}}{4^{5} \cdot 8^{5}}$

= $\frac{4^{3} + 4^{6}}{4^{5}}$

= $\frac{4^{3} \cdot (1 + 4^{3})}{4^{5}}$

= $\frac{1 + 64}{4^{2}}$

= $\frac{65}{16}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{4}}{{(2 x - 5)}^{5}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

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Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{4}}{{(2 x - 5)}^{5}}$

= $\frac{{({(2 x - 5)}^{2})}^{4}}{{(2 x - 5)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{8}}{{(2 x - 5)}^{5}}$

= $\frac{{(2 x - 5)}^{3}}{1}$

= ${(2 x - 5)}^{3}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

3. PG: Potenzen potenzieren

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Potenzen multiplizieren

Vereinfachen von Potenzen

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Potenzen mit binom. Formeln