Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

$x^4·x^2$

= $x^{4+2}$

= $x^6$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{3^5}{3^2}$

= $\frac{3·3·3·3·3}{3·3}$

= 3 · 3 · 3

= $27$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>5</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>3</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= $3^{5-2}$

= $3^3$

= $27$

$\frac{-x^7}{2x^9}$ = $\frac{-1·x^7}{2·x^9}$ = $-\frac{1}{2}\frac{x^7}{x^9}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{1}{2}$ $x^{7-9}$

= $-\frac{1}{2}{x}^{-2}$

= $-\frac{1}{2x^2}$

$-7x^4·2x^6$ = $(-7·x^4)·2·x^6$ = $-14x^4·x^6$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $-14$ $x^{4+6}$

= $-14x^{10}$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${\left(4x\right)}^3$

= $4^3·x^3$

= $64x^3$

= $\frac{{26}^2}{2^2}$

= $\frac{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>26</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>26</mn></mrow></mrow></math>}}{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></math>}}$

= $\frac{26}{2}·\frac{26}{2}$

= ${\left(\frac{26}{2}\right)}^2$

= ${13}^2$

= $169$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(x^2\right)}^5$

= $x^{2·5}$

= $x^{10}$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2x^5\right)}^5$

= $2^5·{\left(x^5\right)}^5$

= $2^5·x^{5·5}$

= $32x^{25}$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$3^5·6^{-5}$

= $\frac{3^5}{6^5}$

= ${\left(\frac{3}{6}\right)}^5$

= ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$

= $\frac{1}{32}$

${\left(2x\right)}^5-4x^5$

= $2^5·x^5-4x^5$

= $32x^5-4x^5$

= $28x^5$

Hier sollte man erkennen, dass man die 21 als 3 ⋅ 7 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{21·7^5+2·7^6}{7^6}$

= $\frac{3\cdot 7·7^5+2·7^6}{7^6}$

= $\frac{3·7^6+2·7^6}{7^6}$

= $\frac{\left(3+2\right)·7^6}{7^6}$

= $3+2$

= $5$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(x^2-8x+16\right)}^2}{{\left(x^2-16\right)}^2}$

= $\frac{{\left({\left(x-4\right)}^2\right)}^2}{{(\left(x-4\right)·\left(x+4\right))}^2}$

= $\frac{{\left(x-4\right)}^4}{{\left(x-4\right)}^2·{\left(x+4\right)}^2}$

= $\frac{{\left(x-4\right)}^2}{1·{\left(x+4\right)}^2}$

= $\frac{{\left(x-4\right)}^2}{{\left(x+4\right)}^2}$

= ${\left(\frac{x-4}{x+4}\right)}^2$