Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

$\frac{x^7}{x^9}$

= $x^{7-9}$

= $x^{-2}$

= $\frac{1}{x^2}$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{{\left(-3\right)}^4}{{\left(-3\right)}^6}$

= $\frac{\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)}{\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)·\left($ -3$\right)}$

= $\frac{1}{\mathrm{<mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></math><mo>)</mo><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow></math><mo>)</mo></mrow>}}$

= $\frac{1}{9}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>4</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mo>(</mo><mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow><mo>)</mo></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= ${\left(-3\right)}^{4-6}$

= ${\left(-3\right)}^{-2}$

= $\frac{1}{{\left(-3\right)}^2}$

= $\frac{1}{9}$

$\frac{-2x^6}{2x^3}$ = $\frac{-2·x^6}{2·x^3}$ = $-\frac{x^6}{x^3}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-1$ $x^{6-3}$

= $-x^3$

$6x^{-5}·5x^{-4}$ = $6·x^{-5}·5·x^{-4}$ = $30x^{-5}·x^{-4}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $30$ $x^{-5+\left(-4\right)}$

= $30x^{-9}$

= $\frac{30}{x^9}$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${\left(4x\right)}^3$

= $4^3·x^3$

= $64x^3$

= $5^6·2^6$

= $5·5·5·5·5·5$ ⋅ $2·2·2·2·2·2$

= $5·2·5·2·5·2·5·2·5·2·5·2$

= ${(5·2)}^6$

= ${10}^6$

= $1000000$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(3^x\right)}^4$

= $3^{x·4}$

= $3^{4x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(3^4\right)}^x$

= ${81}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2x^4\right)}^4$

= $2^4·{\left(x^4\right)}^4$

= $2^4·x^{4·4}$

= $16x^{16}$

Man muss hier eben erkennen, dass das Produkt der beiden Basen im Zähler also $3$ ⋅ $10$ gerade gleich der Basis des Nenners ($30$) ist.
Wenn man nun die ${10}^{10}$ so zerlegt, dass ein Teil davon auch die 7 als Hochzahl hat, kann man mit Hilfe der Potenzgesetze sehr viel wegkürzen.

$\frac{3^7}{{30}^7}·{10}^{10}$

= $\frac{3^7·{10}^{10}}{{30}^7}$

= $\frac{3^7·{10}^{7+3}}{{30}^7}$

= $\frac{3^7·{10}^7·{10}^3}{{30}^7}$

= $\frac{{\left(3\cdot 10\right)}^7}{{30}^7}·{10}^3$

= $\frac{{30}^7}{{30}^7}·{10}^3$

= $1000$

$-4x^2+\left(x^{-3}+x^3\right)·x^5$

= $-4x^2+(x^{-3}·x^5+x^3·x^5)$

= $-4x^2+x^2+x^8$

= $x^8-3x^2$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (12 = 3 ⋅ 4)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{3^4·4^7+3^8·4^7}{{12}^7}$

= $\frac{\left(3^4+3^8\right)·4^7}{{\left(3\cdot 4\right)}^7}$

= $\frac{\left(3^4+3^8\right)·4^7}{3^7·4^7}$

= $\frac{3^4+3^8}{3^7}$

= $\frac{3^4·\left(1+3^4\right)}{3^7}$

= $\frac{1+81}{3^3}$

= $\frac{82}{27}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(x^2-8x+16\right)}^4}{{\left(x-4\right)}^5}$

= $\frac{{\left({\left(x-4\right)}^2\right)}^4}{{\left(x-4\right)}^5}$

= $\frac{{\left(x-4\right)}^8}{{\left(x-4\right)}^5}$

= $\frac{{\left(x-4\right)}^3}{1}$

= ${\left(x-4\right)}^3$