Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

$x^2·x^5$

= $x^{2+5}$

= $x^7$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= $2^2·\frac{1}{2^{-3}}$

= $2^2·2^3$

= 2 · 2·2 · 2 · 2

= $32$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mo>-</mo><mn>3</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= $2^2·\frac{1}{2^{-3}}$

= $2^2·2^3$

= $2^{2+3}$

= $2^5$

= $32$

$-x^7·5x^9$ = $(-1·x^7)·5·x^9$ = $-5x^7·x^9$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $-5$ $x^{7+9}$

= $-5x^{16}$

$\frac{-x^8}{2x^9}$ = $\frac{-1·x^8}{2·x^9}$ = $-\frac{1}{2}\frac{x^8}{x^9}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{1}{2}$ $x^{8-9}$

= $-\frac{1}{2}{x}^{-1}$

= $-\frac{1}{2x}$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${\left(2x\right)}^3$

= $2^3·x^3$

= $8x^3$

= $\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>7</mn></mrow>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{7^2}{\frac{1}{2^2}}$

= $7^2·2^2$

= $7·7$ ⋅ $2·2$

= $7·2·7·2$

= ${(7·2)}^2$

= ${14}^2$

= $196$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(5^x\right)}^2$

= $5^{x·2}$

= $5^{2x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(5^2\right)}^x$

= ${25}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(3x^2\right)}^3$

= $3^3·{\left(x^2\right)}^3$

= $3^3·x^{2·3}$

= $27x^6$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{-6}·8^3$

= $\frac{8^3}{2^6}$

= $\frac{{\left(2^3\right)}^3}{2^6}$

= $\frac{2^9}{2^6}$

= $2^{9-6}$

= $2^3$

= $8$

$\left(x^5+1\right)·x^5-2x^5$

= $x^5·x^5+1·x^5-2x^5$

= $x^{10}+x^5-2x^5$

= $x^{10}-x^5$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (28 = 4 ⋅ 7)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{7^5·4^3+7^5·4^5}{{28}^5}$

= $\frac{7^5·\left(4^3+4^5\right)}{{\left(7\cdot 4\right)}^5}$

= $\frac{7^5·\left(4^3+4^5\right)}{7^5·4^5}$

= $\frac{4^3+4^5}{4^5}$

= $\frac{4^3·\left(1+4^2\right)}{4^5}$

= $\frac{1+16}{4^2}$

= $\frac{17}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(2x-1\right)}^5}{{\left(4x^2-4x+1\right)}^3}$

= $\frac{{\left(2x-1\right)}^5}{{\left({\left(2x-1\right)}^2\right)}^3}$

= $\frac{{\left(2x-1\right)}^5}{{\left(2x-1\right)}^6}$

= $\frac{1}{2x-1}$