Man setzt einfach y = 3 in die Gleichung ein und erhält:

$x-5\cdot 3$ = $-15$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x-5\cdot 3$	=	$-15$
$x-15$	=	$-15$	| $+15$
$x$	=	0

Die Lösung ist somit: (0|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|7)
denn 1⋅( - 2 ) -3⋅7 = -2 -21 = $-23$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-5|6)
denn 1⋅( - 5 ) -3⋅6 = -5 -18 = $-23$

Oder : (1|8)
denn 1⋅1 -3⋅8 = 1 -24 = $-23$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-4\right)-2y$	=	$26$
$16-2y$	=	$26$
$-2y+16$	=	$26$	| $-16$
$-2y$	=	$10$	|:($-2$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+2·\left(1+4x\right)$	=	$9$
$-x+2+8x$	=	$9$
$7x+2$	=	$9$	| $-2$
$7x$	=	$7$	|:$7$
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $1+4\cdot 1$

= $1+4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $14-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(14-2y\right)-2y$	=	$-26$
$-56+8y-2y$	=	$-26$
$6y-56$	=	$-26$	| $+56$
$6y$	=	$30$	|:$6$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $14-2\cdot 5$

= $14-10$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-1-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-1·\left(-1-\frac{3}{5}x\right)$	=	$-11$
$-3x+1+\frac{3}{5}x$	=	$-11$
$-\frac{12}{5}x+1$	=	$-11$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{12}{5}x+1\right)$	=	$-55$
$-12x+5$	=	$-55$	| $-5$
$-12x$	=	$-60$	|:($-12$)
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-1-\frac{3}{5}\cdot 5$

= $-1-3$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -4y = ?

1x +4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-2x -4y = 10 +12 = 22

1x +4y = -5 -12 = -17

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -4y = 22

1x +4y = -17

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-2·\left(1-x\right)$	=	$-2$
$-2x-2+2x$	=	$-2$
$-2$	=	$-2$	| $+2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-85+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-4·\left(-85+\frac{2}{5}x\right)$	=	$1360$
$5x+340-\frac{8}{5}x$	=	$1360$
$\frac{17}{5}x+340$	=	$1360$	|⋅ 5
$5\left(\frac{17}{5}x+340\right)$	=	$6800$
$17x+1700$	=	$6800$	| $-1700$
$17x$	=	$5100$	|:$17$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-85+\frac{2}{5}\cdot 300$

= $-85+120$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (300|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35