Man setzt einfach y = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$x-3\cdot 2$ = $-3$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x-3\cdot 2$	=	$-3$
$x-6$	=	$-3$	| $+6$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|-5)
denn 5⋅( - 7 ) -2⋅( - 5 ) = -35 +10 = $-25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-9|-10)
denn 5⋅( - 9 ) -2⋅( - 10 ) = -45 +20 = $-25$

Oder : (-5|0)
denn 5⋅( - 5 ) -2⋅0 = -25 +0 = $-25$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $3$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+1·3$	=	$-6$
$-3x+3$	=	$-6$	| $-3$
$-3x$	=	$-9$	|:($-3$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $3$

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $9+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(9+2y\right)-3y$	=	$3$
$-18-4y-3y$	=	$3$
$-7y-18$	=	$3$	| $+18$
$-7y$	=	$21$	|:($-7$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $9+2\cdot \left(-3\right)$

= $9-6$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{17}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+5·\left(-\frac{17}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$1$
$-4x-\frac{85}{3}-\frac{10}{3}x$	=	$1$
$-\frac{22}{3}x-\frac{85}{3}$	=	$1$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{22}{3}x-\frac{85}{3}\right)$	=	$3$
$-22x-85$	=	$3$	| $+85$
$-22x$	=	$88$	|:($-22$)
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{17}{3}-\frac{2}{3}\cdot \left(-4\right)$

= $-\frac{17}{3}+\frac{8}{3}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-\frac{19}{3}+\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}·\left(-\frac{19}{3}+\frac{2}{3}x\right)$	=	$\frac{7}{12}$
$-\frac{1}{3}x+\frac{19}{12}-\frac{1}{6}x$	=	$\frac{7}{12}$
$-\frac{1}{2}x+\frac{19}{12}$	=	$\frac{7}{12}$	|⋅ 12
$12\left(-\frac{1}{2}x+\frac{19}{12}\right)$	=	$7$
$-6x+19$	=	$7$	| $-19$
$-6x$	=	$-12$	|:($-6$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-\frac{19}{3}+\frac{2}{3}\cdot 2$

= $-\frac{19}{3}+\frac{4}{3}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +4y = ?

2x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

5x +4y = 10 -4 = 6

2x +1y = 4 -1 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +4y = 6

2x +1y = 3

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(1-x\right)$	=	$3$
$3x+3-3x$	=	$3$
$3$	=	$3$	| $-3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $7-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(7-5y\right)-7y$	=	$-3$
$14-10y-7y$	=	$-3$
$-17y+14$	=	$-3$	| $-14$
$-17y$	=	$-17$	|:($-17$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $7-5\cdot 1$

= $7-5$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|1)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 1