Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$2x+3\cdot 6$ = $24$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x+3\cdot 6$	=	$24$
$2x+18$	=	$24$	| $-18$
$2x$	=	$6$	|:$2$
$x$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (3|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|5)
denn 5⋅5 +4⋅5 = 25 +20 = $45$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (9|0)
denn 5⋅9 +4⋅0 = 45 +0 = $45$

Oder : (1|10)
denn 5⋅1 +4⋅10 = 5 +40 = $45$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-4\right)-2y$	=	$-10$
$-16-2y$	=	$-10$
$-2y-16$	=	$-10$	| $+16$
$-2y$	=	$6$	|:($-2$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $21+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-4·\left(21+3x\right)$	=	$-18$
$x-84-12x$	=	$-18$
$-11x-84$	=	$-18$	| $+84$
$-11x$	=	$66$	|:($-11$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $21+3\cdot \left(-6\right)$

= $21-18$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $7+5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(7+5y\right)-5y$	=	$25$
$-35-25y-5y$	=	$25$
$-30y-35$	=	$25$	| $+35$
$-30y$	=	$60$	|:($-30$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $7+5\cdot \left(-2\right)$

= $7-10$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $8+\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{5}x+\frac{3}{2}·\left(8+\frac{5}{2}x\right)$	=	$-\frac{27}{5}$
$\frac{3}{5}x+12+\frac{15}{4}x$	=	$-\frac{27}{5}$
$\frac{87}{20}x+12$	=	$-\frac{27}{5}$	|⋅ 20
$20\left(\frac{87}{20}x+12\right)$	=	$-108$
$87x+240$	=	$-108$	| $-240$
$87x$	=	$-348$	|:$87$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $8+\frac{5}{2}\cdot \left(-4\right)$

= $8-10$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x +4y = ?

-8x +3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 2 einsetzen und ausrechnen:

-5x +4y = 15 +8 = 23

-8x +3y = 24 +6 = 30

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x +4y = 23

-8x +3y = 30

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-4·\left(-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}x\right)$	=	$2$
$6x+2-6x$	=	$2$
$2$	=	$2$	| $-2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-340+\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-5·\left(-340+\frac{5}{2}x\right)$	=	$275$
$3x+1700-\frac{25}{2}x$	=	$275$
$-\frac{19}{2}x+1700$	=	$275$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{19}{2}x+1700\right)$	=	$550$
$-19x+3400$	=	$550$	| $-3400$
$-19x$	=	$-2850$	|:($-19$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-340+\frac{5}{2}\cdot 150$

= $-340+375$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35