Man setzt einfach y = -7 in die Gleichung ein und erhält:

$3x-5\cdot \left(-7\right)$ = $23$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x-5\cdot \left(-7\right)$	=	$23$
$3x+35$	=	$23$	| $-35$
$3x$	=	$-12$	|:$3$
$x$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (-4|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|-7)
denn 1⋅4 -5⋅( - 7 ) = 4 +35 = $39$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-8)
denn 1⋅( - 1 ) -5⋅( - 8 ) = -1 +40 = $39$

Oder : (9|-6)
denn 1⋅9 -5⋅( - 6 ) = 9 +30 = $39$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-3$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-3\right)-2y$	=	$-11$
$-9-2y$	=	$-11$
$-2y-9$	=	$-11$	| $+9$
$-2y$	=	$-2$	|:($-2$)
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-3$

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+1·\left(2+2x\right)$	=	0
$-4x+2+2x$	=	0
$-2x+2$	=	0	| $-2$
$-2x$	=	$-2$	|:($-2$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $2+2\cdot 1$

= $2+2$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$12$
$-3x+3-\frac{3}{2}x$	=	$12$
$-\frac{9}{2}x+3$	=	$12$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{9}{2}x+3\right)$	=	$24$
$-9x+6$	=	$24$	| $-6$
$-9x$	=	$18$	|:($-9$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{3}{2}+\frac{3}{4}\cdot \left(-2\right)$

= $-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $5+\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-2·\left(5+\frac{5}{4}x\right)$	=	$-10$
$-3x-10-\frac{5}{2}x$	=	$-10$
$-\frac{11}{2}x-10$	=	$-10$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{11}{2}x-10\right)$	=	$-20$
$-11x-20$	=	$-20$	| $+20$
$-11x$	=	0	|:($-11$)
$x$	=	0

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $5+\frac{5}{4}\cdot \left(0\right)$

= $5+0$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (0|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x +2y = ?

8x +1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

5x +2y = 15 +8 = 23

8x +1y = 24 +4 = 28

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x +2y = 23

8x +1y = 28

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-3+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-3+3y\right)-12y$	=	$-12$
$-12+12y-12y$	=	$-12$
$-12$	=	$-12$	| $+12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $13-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(13-4y\right)-3y$	=	$9$
$39-12y-3y$	=	$9$
$-15y+39$	=	$9$	| $-39$
$-15y$	=	$-30$	|:($-15$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $13-4\cdot 2$

= $13-8$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|2)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 5

y (y-Wert): 2