Man setzt einfach y = 6 in die Gleichung ein und erhält:

$5x-5\cdot 6$ = $-65$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x-5\cdot 6$	=	$-65$
$5x-30$	=	$-65$	| $+30$
$5x$	=	$-35$	|:$5$
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-2|0)
denn -4⋅( - 2 ) +1⋅0 = 8 +0 = $8$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|4)
denn -4⋅( - 1 ) +1⋅4 = 4 +4 = $8$

Oder : (-3|-4)
denn -4⋅( - 3 ) +1⋅( - 4 ) = 12 -4 = $8$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $5$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-1·5$	=	$19$
$-4x-5$	=	$19$	| $+5$
$-4x$	=	$24$	|:($-4$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $18-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-1·\left(18-4x\right)$	=	$-6$
$-2x-18+4x$	=	$-6$
$2x-18$	=	$-6$	| $+18$
$2x$	=	$12$	|:$2$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $18-4\cdot 6$

= $18-24$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $2+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(2+2y\right)+2y$	=	$2$
$-4-4y+2y$	=	$2$
$-2y-4$	=	$2$	| $+4$
$-2y$	=	$6$	|:($-2$)
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $2+2\cdot \left(-3\right)$

= $2-6$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6+\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{5}x-\frac{1}{3}·\left(6+\frac{3}{2}x\right)$	=	$-\frac{1}{5}$
$\frac{1}{5}x-2-\frac{1}{2}x$	=	$-\frac{1}{5}$
$-\frac{3}{10}x-2$	=	$-\frac{1}{5}$	|⋅ 10
$10\left(-\frac{3}{10}x-2\right)$	=	$-2$
$-3x-20$	=	$-2$	| $+20$
$-3x$	=	$18$	|:($-3$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6+\frac{3}{2}\cdot \left(-6\right)$

= $6-9$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x +1y = ?

-2x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-3x +1y = -9 +3 = -6

-2x +2y = -6 +6 = 0

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x +1y = -6

-2x +2y = 0

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1+4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-8x+2·\left(1+4x\right)$	=	$3$
$-8x+2+8x$	=	$3$
$2$	=	$3$	| $-2$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-95+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-4·\left(-95+x\right)$	=	$530$
$5x+380-4x$	=	$530$
$x+380$	=	$530$	| $-380$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-95+150$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55