Man setzt einfach y = -5 in die Gleichung ein und erhält:

$2x-4\cdot \left(-5\right)$ = $6$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x-4\cdot \left(-5\right)$	=	$6$
$2x+20$	=	$6$	| $-20$
$2x$	=	$-14$	|:$2$
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|5)
denn -5⋅( - 3 ) +2⋅5 = 15 +10 = $25$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|10)
denn -5⋅( - 1 ) +2⋅10 = 5 +20 = $25$

Oder : (-5|0)
denn -5⋅( - 5 ) +2⋅0 = 25 +0 = $25$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-6\right)+2y$	=	$6$
$18+2y$	=	$6$
$2y+18$	=	$6$	| $-18$
$2y$	=	$-12$	|:$2$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-6$

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-13-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-13-3y\right)+y$	=	$-2$
$26+6y+y$	=	$-2$
$7y+26$	=	$-2$	| $-26$
$7y$	=	$-28$	|:$7$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-13-3\cdot \left(-4\right)$

= $-13+12$

= $-1$

also

x = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-8+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·\left(-8+\frac{1}{2}x\right)$	=	$34$
$4x+16-x$	=	$34$
$3x+16$	=	$34$	| $-16$
$3x$	=	$18$	|:$3$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-8+\frac{1}{2}\cdot 6$

= $-8+3$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-11+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-\frac{1}{4}·\left(-11+3y\right)+\frac{1}{5}y$	=	$\frac{11}{20}$
$\frac{11}{4}-\frac{3}{4}y+\frac{1}{5}y$	=	$\frac{11}{20}$
$-\frac{11}{20}y+\frac{11}{4}$	=	$\frac{11}{20}$	|⋅ 20
$20\left(-\frac{11}{20}y+\frac{11}{4}\right)$	=	$11$
$-11y+55$	=	$11$	| $-55$
$-11y$	=	$-44$	|:($-11$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-11+3\cdot 4$

= $-11+12$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -5y = ?

5x -11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

2x -5y = 10 +20 = 30

5x -11y = 25 +44 = 69

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -5y = 30

5x -11y = 69

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x-4·\left(-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$1$
$-3x+1+3x$	=	$1$
$1$	=	$1$	| $-1$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-370+\frac{7}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-3·\left(-370+\frac{7}{5}x\right)$	=	$750$
$3x+1110-\frac{21}{5}x$	=	$750$
$-\frac{6}{5}x+1110$	=	$750$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{6}{5}x+1110\right)$	=	$3750$
$-6x+5550$	=	$3750$	| $-5550$
$-6x$	=	$-1800$	|:($-6$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-370+\frac{7}{5}\cdot 300$

= $-370+420$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50