Man setzt einfach x = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot 4+5y$ = $12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot 4+5y$	=	$12$
$-8+5y$	=	$12$
$5y-8$	=	$12$	| $+8$
$5y$	=	$20$	|:$5$
$y$	=	$4$

Die Lösung ist somit: (4|4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|5)
denn 1⋅( - 6 ) -4⋅5 = -6 -20 = $-26$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-10|4)
denn 1⋅( - 10 ) -4⋅4 = -10 -16 = $-26$

Oder : (-2|6)
denn 1⋅( - 2 ) -4⋅6 = -2 -24 = $-26$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·1+3y$	=	$5$
$-4+3y$	=	$5$
$3y-4$	=	$5$	| $+4$
$3y$	=	$9$	|:$3$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-10+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-10+4y\right)-2y$	=	$-20$
$20-8y-2y$	=	$-20$
$-10y+20$	=	$-20$	| $-20$
$-10y$	=	$-40$	|:($-10$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-10+4\cdot 4$

= $-10+16$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(15-2y\right)+3y$	=	$30$
$60-8y+3y$	=	$30$
$-5y+60$	=	$30$	| $-60$
$-5y$	=	$-30$	|:($-5$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15-2\cdot 6$

= $15-12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{13}{4}+\frac{1}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(\frac{13}{4}+\frac{1}{4}x\right)$	=	$-11$
$x-\frac{39}{4}-\frac{3}{4}x$	=	$-11$
$\frac{1}{4}x-\frac{39}{4}$	=	$-11$	|⋅ 4
$4\left(\frac{1}{4}x-\frac{39}{4}\right)$	=	$-44$
$x-39$	=	$-44$	| $+39$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{13}{4}+\frac{1}{4}\cdot \left(-5\right)$

= $\frac{13}{4}-\frac{5}{4}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|2)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +3y = ?

-2x +8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +3y = -2 -9 = -11

-2x +8y = -4 -24 = -28

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +3y = -11

-2x +8y = -28

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-8-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+2·\left(-8-x\right)$	=	$20$
$-4x-16-2x$	=	$20$
$-6x-16$	=	$20$	| $+16$
$-6x$	=	$36$	|:($-6$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-8-\left(-6\right)$

= $-8+6$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-2)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $23-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(23-4y\right)-2y$	=	$-4$
$46-8y-2y$	=	$-4$
$-10y+46$	=	$-4$	| $-46$
$-10y$	=	$-50$	|:($-10$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $23-4\cdot 5$

= $23-20$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5