Man setzt einfach x = 7 in die Gleichung ein und erhält:

$-2\cdot 7+y$ = $-19$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-2\cdot 7+y$	=	$-19$
$-14+y$	=	$-19$
$y-14$	=	$-19$	| $+14$
$y$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (7|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|0)
denn 2⋅( - 7 ) +5⋅0 = -14 +0 = $-14$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-2|-2)
denn 2⋅( - 2 ) +5⋅( - 2 ) = -4 -10 = $-14$

Oder : (-12|2)
denn 2⋅( - 12 ) +5⋅2 = -24 +10 = $-14$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·4+4y$	=	$12$
$16+4y$	=	$12$
$4y+16$	=	$12$	| $-16$
$4y$	=	$-4$	|:$4$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $17-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(17-3y\right)+2y$	=	$13$
$17-3y+2y$	=	$13$
$-y+17$	=	$13$	| $-17$
$-y$	=	$-4$	|:($-1$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $17-3\cdot 4$

= $17-12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|4)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+5·\left(-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}x\right)$	=	$2$
$4x-\frac{10}{3}-\frac{20}{3}x$	=	$2$
$-\frac{8}{3}x-\frac{10}{3}$	=	$2$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{8}{3}x-\frac{10}{3}\right)$	=	$6$
$-8x-10$	=	$6$	| $+10$
$-8x$	=	$16$	|:($-8$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $-\frac{2}{3}+\frac{8}{3}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|2)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-7-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(-7-3y\right)-4y$	=	$41$
$-35-15y-4y$	=	$41$
$-19y-35$	=	$41$	| $+35$
$-19y$	=	$76$	|:($-19$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-7-3\cdot \left(-4\right)$

= $-7+12$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-3x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = 20 +16 = 36

-3x -1y = 12 +4 = 16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = 36

-3x -1y = 16

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+4·\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$2$
$2x+2-2x$	=	$2$
$2$	=	$2$	| $-2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-115+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-3·\left(-115+x\right)$	=	$945$
$7x+345-3x$	=	$945$
$4x+345$	=	$945$	| $-345$
$4x$	=	$600$	|:$4$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-115+150$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35