Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$5-4y$ = $21$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5-4y$	=	$21$
$5-4y$	=	$21$
$-4y+5$	=	$21$	| $-5$
$-4y$	=	$16$	|:($-4$)
$y$	=	$-4$

Die Lösung ist somit: (5|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|-4)
denn -5⋅( - 1 ) +4⋅( - 4 ) = 5 -16 = $-11$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|1)
denn -5⋅3 +4⋅1 = -15 +4 = $-11$

Oder : (-5|-9)
denn -5⋅( - 5 ) +4⋅( - 9 ) = 25 -36 = $-11$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-5\right)+4y$	=	$-15$
$5+4y$	=	$-15$
$4y+5$	=	$-15$	| $-5$
$4y$	=	$-20$	|:$4$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-17+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-1·\left(-17+3y\right)+2y$	=	$12$
$17-3y+2y$	=	$12$
$-y+17$	=	$12$	| $-17$
$-y$	=	$-5$	|:($-1$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-17+3\cdot 5$

= $-17+15$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $4-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+3·\left(4-4x\right)$	=	$-8$
$2x+12-12x$	=	$-8$
$-10x+12$	=	$-8$	| $-12$
$-10x$	=	$-20$	|:($-10$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $4-4\cdot 2$

= $4-8$

= $-4$

also

y = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $4+\frac{1}{2}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{1}{3}·\left(4+\frac{1}{2}y\right)-\frac{1}{3}y$	=	$2$
$\frac{4}{3}+\frac{1}{6}y-\frac{1}{3}y$	=	$2$
$-\frac{1}{6}y+\frac{4}{3}$	=	$2$	|⋅ 6
$6\left(-\frac{1}{6}y+\frac{4}{3}\right)$	=	$12$
$-y+8$	=	$12$	| $-8$
$-y$	=	$4$	|:($-1$)
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $4+\frac{1}{2}\cdot \left(-4\right)$

= $4-2$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -3y = ?

4x -9y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

2x -3y = -8 -12 = -20

4x -9y = -16 -36 = -52

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -3y = -20

4x -9y = -52

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-2+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+4·\left(-2+x\right)$	=	$-7$
$-4x-8+4x$	=	$-7$
$-8$	=	$-7$	| $+8$
0	=	$1$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-260+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-3·\left(-260+x\right)$	=	$1980$
$7x+780-3x$	=	$1980$
$4x+780$	=	$1980$	| $-780$
$4x$	=	$1200$	|:$4$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-260+300$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (300|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40