Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$3\cdot 5-5y$ = $30$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$3\cdot 5-5y$	=	$30$
$15-5y$	=	$30$
$-5y+15$	=	$30$	| $-15$
$-5y$	=	$15$	|:($-5$)
$y$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (5|-3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|5)
denn -5⋅5 +1⋅5 = -25 +5 = $-20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (6|10)
denn -5⋅6 +1⋅10 = -30 +10 = $-20$

Oder : (4|0)
denn -5⋅4 +1⋅0 = -20 +0 = $-20$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $2$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-2·2$	=	$2$
$x-4$	=	$2$	| $+4$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $6+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x+2·\left(6+3x\right)$	=	0
$-2x+12+6x$	=	0
$4x+12$	=	0	| $-12$
$4x$	=	$-12$	|:$4$
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $6+3\cdot \left(-3\right)$

= $6-9$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{2}-\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x+5·\left(\frac{7}{2}-\frac{3}{4}x\right)$	=	$20$
$5x+\frac{35}{2}-\frac{15}{4}x$	=	$20$
$\frac{5}{4}x+\frac{35}{2}$	=	$20$	|⋅ 4
$4\left(\frac{5}{4}x+\frac{35}{2}\right)$	=	$80$
$5x+70$	=	$80$	| $-70$
$5x$	=	$10$	|:$5$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{7}{2}-\frac{3}{4}\cdot 2$

= $\frac{7}{2}-\frac{3}{2}$

= $2$

also

y = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $7-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+1·\left(7-4x\right)$	=	$3$
$2x+7-4x$	=	$3$
$-2x+7$	=	$3$	| $-7$
$-2x$	=	$-4$	|:($-2$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $7-4\cdot 2$

= $7-8$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x +2y = ?

-3x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-2x +2y = -8 +6 = -2

-3x +6y = -12 +18 = 6

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x +2y = -2

-3x +6y = 6

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{3}{4}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-8x-8·\left(\frac{3}{4}-x\right)$	=	$-6$
$-8x-6+8x$	=	$-6$
$-6$	=	$-6$	| $+6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-35+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-35+\frac{3}{5}x\right)$	=	$230$
$3x+140-\frac{12}{5}x$	=	$230$
$\frac{3}{5}x+140$	=	$230$	|⋅ 5
$5\left(\frac{3}{5}x+140\right)$	=	$1150$
$3x+700$	=	$1150$	| $-700$
$3x$	=	$450$	|:$3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-35+\frac{3}{5}\cdot 150$

= $-35+90$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55