Man setzt einfach x = 0 in die Gleichung ein und erhält:

$4\cdot 0+5y$ = $-5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$4\cdot 0+5y$	=	$-5$
$5y$	=	$-5$	|:$5$
$y$	=	$-1$

Die Lösung ist somit: (0|-1)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (6|-3)
denn 2⋅6 -5⋅( - 3 ) = 12 +15 = $27$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (1|-5)
denn 2⋅1 -5⋅( - 5 ) = 2 +25 = $27$

Oder : (11|-1)
denn 2⋅11 -5⋅( - 1 ) = 22 +5 = $27$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-2\right)+2y$	=	$-14$
$-8+2y$	=	$-14$
$2y-8$	=	$-14$	| $+8$
$2y$	=	$-6$	|:$2$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $8+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(8+3y\right)-4y$	=	$9$
$8+3y-4y$	=	$9$
$-y+8$	=	$9$	| $-8$
$-y$	=	$1$	|:($-1$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $8+3\cdot \left(-1\right)$

= $8-3$

= $5$

also

x = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (5|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{7}{5}+\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x-3·\left(-\frac{7}{5}+\frac{4}{5}x\right)$	=	$-18$
$-5x+\frac{21}{5}-\frac{12}{5}x$	=	$-18$
$-\frac{37}{5}x+\frac{21}{5}$	=	$-18$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{37}{5}x+\frac{21}{5}\right)$	=	$-90$
$-37x+21$	=	$-90$	| $-21$
$-37x$	=	$-111$	|:($-37$)
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{7}{5}+\frac{4}{5}\cdot 3$

= $-\frac{7}{5}+\frac{12}{5}$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (3|1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{33}{5}-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+2·\left(-\frac{33}{5}-\frac{3}{5}x\right)$	=	$-14$
$2x-\frac{66}{5}-\frac{6}{5}x$	=	$-14$
$\frac{4}{5}x-\frac{66}{5}$	=	$-14$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x-\frac{66}{5}\right)$	=	$-70$
$4x-66$	=	$-70$	| $+66$
$4x$	=	$-4$	|:$4$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{33}{5}-\frac{3}{5}\cdot \left(-1\right)$

= $-\frac{33}{5}+\frac{3}{5}$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +2y = ?

-1x -2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

2x +2y = 10 -2 = 8

-1x -2y = -5 +2 = -3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +2y = 8

-1x -2y = -3

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{12}-x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+3·\left(\frac{1}{12}-x\right)$	=	$1$
$3x+\frac{1}{4}-3x$	=	$1$
$\frac{1}{4}$	=	$1$	| $-\frac{1}{4}$
0	=	$\frac{3}{4}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-570+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$7x-3·\left(-570+2x\right)$	=	$2010$
$7x+1710-6x$	=	$2010$
$x+1710$	=	$2010$	| $-1710$
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-570+2\cdot 300$

= $-570+600$

= $30$

also

y = 30

Die Lösung des LGS ist damit: (300|30)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 30