Man setzt einfach y = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$2x-2\cdot \left(-4\right)$ = $20$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2x-2\cdot \left(-4\right)$	=	$20$
$2x+8$	=	$20$	| $-8$
$2x$	=	$12$	|:$2$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-4)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-3|-2)
denn 4⋅( - 3 ) +5⋅( - 2 ) = -12 -10 = $-22$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (2|-6)
denn 4⋅2 +5⋅( - 6 ) = 8 -30 = $-22$

Oder : (-8|2)
denn 4⋅( - 8 ) +5⋅2 = -32 +10 = $-22$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·1+4y$	=	$16$
$4+4y$	=	$16$
$4y+4$	=	$16$	| $-4$
$4y$	=	$12$	|:$4$
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $1$

Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $23+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+2·\left(23+3x\right)$	=	$-14$
$4x+46+6x$	=	$-14$
$10x+46$	=	$-14$	| $-46$
$10x$	=	$-60$	|:$10$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $23+3\cdot \left(-6\right)$

= $23-18$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-20-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-20-3y\right)+4y$	=	$-28$
$-40-6y+4y$	=	$-28$
$-2y-40$	=	$-28$	| $+40$
$-2y$	=	$12$	|:($-2$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-20-3\cdot \left(-6\right)$

= $-20+18$

= $-2$

also

x = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{5}{4}-\frac{1}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-\frac{2}{5}·\left(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}x\right)$	=	$10$
$2x-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}x$	=	$10$
$\frac{21}{10}x-\frac{1}{2}$	=	$10$	|⋅ 10
$10\left(\frac{21}{10}x-\frac{1}{2}\right)$	=	$100$
$21x-5$	=	$100$	| $+5$
$21x$	=	$105$	|:$21$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cdot 5$

= $\frac{5}{4}-\frac{5}{4}$

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

5x -4y = ?

3x -1y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

5x -4y = -20 +4 = -16

3x -1y = -12 +1 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

5x -4y = -16

3x -1y = -11

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-3+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-3+3y\right)+12y$	=	$12$
$12-12y+12y$	=	$12$
$12$	=	$12$	| $-12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{115}{7}-\frac{2}{7}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x+5·\left(\frac{115}{7}-\frac{2}{7}x\right)$	=	$90$
$3x+\frac{575}{7}-\frac{10}{7}x$	=	$90$
$\frac{11}{7}x+\frac{575}{7}$	=	$90$	|⋅ 7
$7\left(\frac{11}{7}x+\frac{575}{7}\right)$	=	$630$
$11x+575$	=	$630$	| $-575$
$11x$	=	$55$	|:$11$
$x$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{115}{7}-\frac{2}{7}\cdot 5$

= $\frac{115}{7}-\frac{10}{7}$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (5|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 5

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15