Man setzt einfach x = 2 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot 2-3y$ = $31$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot 2-3y$	=	$31$
$10-3y$	=	$31$
$-3y+10$	=	$31$	| $-10$
$-3y$	=	$21$	|:($-3$)
$y$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (2|-7)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|1)
denn 5⋅5 -2⋅1 = 25 -2 = $23$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|-4)
denn 5⋅3 -2⋅( - 4 ) = 15 +8 = $23$

Oder : (7|6)
denn 5⋅7 -2⋅6 = 35 -12 = $23$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·2-y$	=	$-1$
$2-y$	=	$-1$
$-y+2$	=	$-1$	| $-2$
$-y$	=	$-3$	|:($-1$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $2$

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-18-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-18-4y\right)+2y$	=	$-18$
$72+16y+2y$	=	$-18$
$18y+72$	=	$-18$	| $-72$
$18y$	=	$-90$	|:$18$
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-18-4\cdot \left(-5\right)$

= $-18+20$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-17+5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-5x+2·\left(-17+5x\right)$	=	$-19$
$-5x-34+10x$	=	$-19$
$5x-34$	=	$-19$	| $+34$
$5x$	=	$15$	|:$5$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-17+5\cdot 3$

= $-17+15$

= $-2$

also

y = -2

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{24}{5}-\frac{1}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x-\frac{2}{5}·\left(\frac{24}{5}-\frac{1}{5}x\right)$	=	$\frac{18}{5}$
$-x-\frac{48}{25}+\frac{2}{25}x$	=	$\frac{18}{5}$
$-\frac{23}{25}x-\frac{48}{25}$	=	$\frac{18}{5}$	|⋅ 25
$25\left(-\frac{23}{25}x-\frac{48}{25}\right)$	=	$90$
$-23x-48$	=	$90$	| $+48$
$-23x$	=	$138$	|:($-23$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{24}{5}-\frac{1}{5}\cdot \left(-6\right)$

= $\frac{24}{5}+\frac{6}{5}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +3y = ?

-2x +5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

-4x +3y = -20 +12 = -8

-2x +5y = -10 +20 = 10

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +3y = -8

-2x +5y = 10

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-3-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-3-4y\right)-16y$	=	$12$
$12+16y-16y$	=	$12$
$12$	=	$12$	| $-12$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $11-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(11-2y\right)-7y$	=	$-33$
$22-4y-7y$	=	$-33$
$-11y+22$	=	$-33$	| $-22$
$-11y$	=	$-55$	|:($-11$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $11-2\cdot 5$

= $11-10$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 1

y (y-Wert): 5