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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $2 x - 5 y$ = $- 30$ .

Bestimme x so, dass (x|4) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Man setzt einfach y = 4 in die Gleichung ein und erhält:

$2 x - 5 \cdot 4$ = $- 30$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$2 x - 5 \cdot 4$	=	$- 30$
$2 x - 20$	=	$- 30$	\| $+ 20$
$2 x$	=	$- 10$	\|: $2$
$x$	=	$- 5$

Die Lösung ist somit: (-5|4)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: $- 3 x - 4 y$ = $- 12$ .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (4|0)
denn -3⋅4 -4⋅0 = -12 +0 = $- 12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (0|3)
denn -3⋅0 -4⋅3 = 0 -12 = $- 12$

Oder : (8|-3)
denn -3⋅8 -4⋅( - 3 ) = -24 +12 = $- 12$

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & = & 4 & (I) \\ 4 x & - 2 y & = & 12 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $4$

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$4 \cdot 4 - 2 y$	=	$12$
$16 - 2 y$	=	$12$
$- 2 y + 16$	=	$12$	\| $- 16$
$- 2 y$	=	$- 4$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ 3 x & + y & = & 11 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$3 x + y$	=	$11$
$y + 3 x$	=	$11$	\| $- 3 x$
$y$	=	$11 - 3 x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} - x & + 2 y & = & - 6 & (I) \\ + y & = & (11 - 3 x) & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $11 - 3 x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- x + 2 \cdot (11 - 3 x)$	=	$- 6$
$- x + 22 - 6 x$	=	$- 6$
$- 7 x + 22$	=	$- 6$	\| $- 22$
$- 7 x$	=	$- 28$	\|:( $- 7$ )
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $11 - 3 \cdot 4$

= $11 - 12$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (4|-1)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 26 & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 2 x & - 3 y & = & - 26 & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$2 x - 3 y$	=	$- 26$
$- 3 y + 2 x$	=	$- 26$	\| $- 2 x$
$- 3 y$	=	$- 26 - 2 x$	\|:( $- 3$ )
$y$	=	$\frac{26}{3} + \frac{2}{3} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{26}{3} + \frac{2}{3} x) & (I) \\ - 5 x & - 4 y & = & - 4 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{26}{3} + \frac{2}{3} x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 5 x - 4 \cdot (\frac{26}{3} + \frac{2}{3} x)$	=	$- 4$
$- 5 x - \frac{104}{3} - \frac{8}{3} x$	=	$- 4$
$- \frac{23}{3} x - \frac{104}{3}$	=	$- 4$	\|⋅ 3
$3 (- \frac{23}{3} x - \frac{104}{3})$	=	$- 12$
$- 23 x - 104$	=	$- 12$	\| $+ 104$
$- 23 x$	=	$92$	\|:( $- 23$ )
$x$	=	$- 4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{26}{3} + \frac{2}{3} \cdot (- 4)$

= $\frac{26}{3} - \frac{8}{3}$

= $6$

also

y = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|6)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} \frac{3}{2} x & - \frac{3}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} \frac{3}{2} x & - \frac{3}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ \frac{1}{2} x & - y & = & 0 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

$\frac{1}{2} x - y$	=	0
$- y + \frac{1}{2} x$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- y + \frac{1}{2} x)$	=	0
$- 2 y + x$	=	0	\| $- x$
$- 2 y$	=	$- x$	\|:( $- 2$ )
$y$	=	$\frac{1}{2} x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} \frac{3}{2} x & - \frac{3}{2} y & = & - \frac{3}{2} & (I) \\ + y & = & \frac{1}{2} x & (II) \end{matrix}

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $\frac{1}{2} x$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x$	=	$- \frac{3}{2}$
$\frac{3}{2} x - \frac{3}{4} x$	=	$- \frac{3}{2}$
$\frac{3}{4} x$	=	$- \frac{3}{2}$	\|⋅ 4
$3 x$	=	$- 6$	\|: $3$
$x$	=	$- 2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{1}{2} \cdot (- 2)$

= $- 1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x -5y = ?

4x -8y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

2x -5y = -10 -15 = -25

4x -8y = -20 -24 = -44

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x -5y = -25

4x -8y = -44

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

\begin{matrix} 8 x & + 8 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Lösung einblenden

\begin{matrix} 8 x & + 8 y & = & 4 & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

$8 x + 8 y$	=	$4$
$8 y + 8 x$	=	$4$	\| $- 8 x$
$8 y$	=	$4 - 8 x$	\|: $8$
$y$	=	$\frac{1}{2} - x$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} + y & = & (\frac{1}{2} - x) & (I) \\ - 4 x & - 4 y & = & - 2 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2} - x$ ) ersetzen und dann nach x auflösen:

$- 4 x - 4 \cdot (\frac{1}{2} - x)$	=	$- 2$
$- 4 x - 2 + 4 x$	=	$- 2$
$- 2$	=	$- 2$	\| $+ 2$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 3-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 12. Wenn man aber vom 6-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man 3. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

\begin{matrix} x & + 3 y & = & 12 & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

$x + 3 y$	=	$12$	\| $- 3 y$
$x$	=	$12 - 3 y$

Als neues LGS erhält man so:

\begin{matrix} x & = & (12 - 3 y) & (I) \\ 6 x & - 5 y & = & 3 & (II) \end{matrix}

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $12 - 3 y$ ) ersetzen und dann nach y auflösen:

$6 \cdot (12 - 3 y) - 5 y$	=	$3$
$72 - 18 y - 5 y$	=	$3$
$- 23 y + 72$	=	$3$	\| $- 72$
$- 23 y$	=	$- 69$	\|:( $- 23$ )
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $12 - 3 \cdot 3$

= $12 - 9$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 3

Aufgabenbeispiele von LGS

Wert zum Einsetzen finden

Wert zum Einsetzen finden (offen)

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

LGS (Standard)

LGS (vorher umformen)

LGS zu Lösungen finden

LGS Lösungsvielfalt erkennen

LGS Anwendungen