Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$-3\cdot \left(-6\right)+5y$ = $-12$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-3\cdot \left(-6\right)+5y$	=	$-12$
$18+5y$	=	$-12$
$5y+18$	=	$-12$	| $-18$
$5y$	=	$-30$	|:$5$
$y$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-7|5)
denn -2⋅( - 7 ) +1⋅5 = 14 +5 = $19$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|7)
denn -2⋅( - 6 ) +1⋅7 = 12 +7 = $19$

Oder : (-8|3)
denn -2⋅( - 8 ) +1⋅3 = 16 +3 = $19$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = $-2$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·\left(-2\right)+4y$	=	$24$
$4+4y$	=	$24$
$4y+4$	=	$24$	| $-4$
$4y$	=	$20$	|:$4$
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $10-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(10-3y\right)-3y$	=	$-22$
$-40+12y-3y$	=	$-22$
$9y-40$	=	$-22$	| $+40$
$9y$	=	$18$	|:$9$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $10-3\cdot 2$

= $10-6$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x+5·\left(-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}x\right)$	=	$10$
$2x-\frac{45}{4}-\frac{25}{4}x$	=	$10$
$-\frac{17}{4}x-\frac{45}{4}$	=	$10$	|⋅ 4
$4\left(-\frac{17}{4}x-\frac{45}{4}\right)$	=	$40$
$-17x-45$	=	$40$	| $+45$
$-17x$	=	$85$	|:($-17$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{9}{4}-\frac{5}{4}\cdot \left(-5\right)$

= $-\frac{9}{4}+\frac{25}{4}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{34}{5}-\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-2x-3·\left(-\frac{34}{5}-\frac{3}{5}x\right)$	=	$21$
$-2x+\frac{102}{5}+\frac{9}{5}x$	=	$21$
$-\frac{1}{5}x+\frac{102}{5}$	=	$21$	|⋅ 5
$5\left(-\frac{1}{5}x+\frac{102}{5}\right)$	=	$105$
$-x+102$	=	$105$	| $-102$
$-x$	=	$3$	|:($-1$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{34}{5}-\frac{3}{5}\cdot \left(-3\right)$

= $-\frac{34}{5}+\frac{9}{5}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-3x -1y = ?

-5x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-3x -1y = -3 +2 = -1

-5x -4y = -5 +8 = 3

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-3x -1y = -1

-5x -4y = 3

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $2-3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x+3·\left(2-3x\right)$	=	$6$
$9x+6-9x$	=	$6$
$6$	=	$6$	| $-6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(19-4y\right)-2y$	=	$1$
$57-12y-2y$	=	$1$
$-14y+57$	=	$1$	| $-57$
$-14y$	=	$-56$	|:($-14$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19-4\cdot 4$

= $19-16$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 4