Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$-4x+3\cdot 5$ = $43$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-4x+3\cdot 5$	=	$43$
$-4x+15$	=	$43$	| $-15$
$-4x$	=	$28$	|:($-4$)
$x$	=	$-7$

Die Lösung ist somit: (-7|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|5)
denn 5⋅( - 1 ) +4⋅5 = -5 +20 = $15$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|0)
denn 5⋅3 +4⋅0 = 15 +0 = $15$

Oder : (-5|10)
denn 5⋅( - 5 ) +4⋅10 = -25 +40 = $15$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-2·6-2y$	=	$-16$
$-12-2y$	=	$-16$
$-2y-12$	=	$-16$	| $+12$
$-2y$	=	$-4$	|:($-2$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-11+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x+3·\left(-11+2x\right)$	=	$9$
$x-33+6x$	=	$9$
$7x-33$	=	$9$	| $+33$
$7x$	=	$42$	|:$7$
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-11+2\cdot 6$

= $-11+12$

= $1$

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-2+2y\right)+y$	=	$11$
$6-6y+y$	=	$11$
$-5y+6$	=	$11$	| $-6$
$-5y$	=	$5$	|:($-5$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-2+2\cdot \left(-1\right)$

= $-2-2$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{16}{3}+\frac{1}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}·\left(-\frac{16}{3}+\frac{1}{3}x\right)$	=	$-\frac{23}{6}$
$-\frac{1}{2}x-\frac{32}{9}+\frac{2}{9}x$	=	$-\frac{23}{6}$
$-\frac{5}{18}x-\frac{32}{9}$	=	$-\frac{23}{6}$	|⋅ 18
$18\left(-\frac{5}{18}x-\frac{32}{9}\right)$	=	$-69$
$-5x-64$	=	$-69$	| $+64$
$-5x$	=	$-5$	|:($-5$)
$x$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{16}{3}+\frac{1}{3}\cdot 1$

= $-\frac{16}{3}+\frac{1}{3}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-2x -4y = ?

-6x -13y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 1 und y = 1 einsetzen und ausrechnen:

-2x -4y = -2 -4 = -6

-6x -13y = -6 -13 = -19

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-2x -4y = -6

-6x -13y = -19

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{7}{12}+\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$2x-4·\left(\frac{7}{12}+\frac{1}{2}x\right)$	=	$-3$
$2x-\frac{7}{3}-2x$	=	$-3$
$-\frac{7}{3}$	=	$-3$	| $+\frac{7}{3}$
0	=	$-\frac{2}{3}$

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Da diese Gleichung keine Lösung hat, ist auch die Lösungsmenge des LGS leer.

Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $18-\frac{3}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x+5·\left(18-\frac{3}{2}x\right)$	=	$83$
$4x+90-\frac{15}{2}x$	=	$83$
$-\frac{7}{2}x+90$	=	$83$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{7}{2}x+90\right)$	=	$166$
$-7x+180$	=	$166$	| $-180$
$-7x$	=	$-14$	|:($-7$)
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $18-\frac{3}{2}\cdot 2$

= $18-3$

= $15$

also

y = 15

Die Lösung des LGS ist damit: (2|15)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 2

Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 15