Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -5x -2y = 18 .

Bestimme y so, dass (-6|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -6 in die Gleichung ein und erhält:

-5( -6 ) -2y = 18

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

-5( -6 ) -2y = 18
30 -2y = 18
-2y +30 = 18 | -30
-2y = -12 |:(-2 )
y = 6

Die Lösung ist somit: (-6|6)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: x -3y = 4 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|-3)
denn 1⋅( - 5 ) -3( - 3 ) = -5 +9 = 4

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-8|-4)
denn 1⋅( - 8 ) -3( - 4 ) = -8 +12 = 4

Oder : (-2|-2)
denn 1⋅( - 2 ) -3( - 2 ) = -2 +6 = 4

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

4x +3y = 16 (I) x = 1 (II)

Lösung einblenden

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das x gegeben ist.

x = 1


Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch 1 ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · 1 +3y = 16
4 +3y = 16
3y +4 = 16 | -4
3y = 12 |:3
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|4)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +2y = -7 (I) -3x +y = 0 (II)

Lösung einblenden
x +2y = -7 (I) -3x +y = 0 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-3x + y = 0
y -3x = 0 | +3x
y = 3x

Als neues LGS erhält man so:

x +2y = -7 (I) +y = 3 x (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch 3x ersetzen und dann nach x auflösen:

x + 2 · 3x = -7
x +6x = -7
7x = -7 |:7
x = -1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = 3( -1 )

= -3

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-3)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-x +2y = -10 (I) -2x +5y = -25 (II)

Lösung einblenden
-x +2y = -10 (I) -2x +5y = -25 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

-x +2y = -10 | -2y
-x = -10 -2y |:(-1 )
x = 10 +2y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 10 +2y ) (I) -2x +5y = -25 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 10 +2y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

-2 · ( 10 +2y ) +5y = -25
-20 -4y +5y = -25
y -20 = -25 | +20
y = -5

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 10 +2( -5 )

= 10 -10

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-5)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

2( -x +2 )-2y = 2 (I)
28 = 5( -x + y) +3 (II)

Lösung einblenden

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

2( -x +2 )-2y = 2 (I)
28 = 5( -x + y) +3 (II)
-2x +4 -2y = 2 | -4 (I)
28 = -5x +3 +5y | -28 +5x -5y (II)
-2x -2y = -2 (I) 5x -5y = -25 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

-2x -2y = -2
-2y -2x = -2 | +2x
-2y = -2 +2x |:(-2 )
y = 1 - x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 1 - x ) (I) 5x -5y = -25 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 1 - x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

5x -5 · ( 1 - x ) = -25
5x -5 +5x = -25
10x -5 = -25 | +5
10x = -20 |:10
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 1 - ( -2 )

= 1 +2

= 3

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = 2 und y = 3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -2y = ?

-2x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

-5x -2y = -10 -6 = -16

-2x -4y = -4 -12 = -16

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -2y = -16

-2x -4y = -16

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

5x -4y = 22 (I) -3x -2y = 0 (II)

Lösung einblenden
5x -4y = 22 (I) -3x -2y = 0 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

5x -4y = 22
-4y +5x = 22 | -5x
-4y = 22 -5x |:(-4 )
y = - 11 2 + 5 4 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( - 11 2 + 5 4 x ) (I) -3x -2y = 0 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( - 11 2 + 5 4 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-3x -2 · ( - 11 2 + 5 4 x ) = 0
-3x +11 - 5 2 x = 0
- 11 2 x +11 = 0 |⋅ 2
2( - 11 2 x +11 ) = 0
-11x +22 = 0 | -22
-11x = -22 |:(-11 )
x = 2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = - 11 2 + 5 4 2

= - 11 2 + 5 2

= -3

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-3)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 4-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 18. Wenn man aber vom 5-fachen von x 7 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -18. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +4y = 18 (I) 5x -7y = -18 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +4y = 18 | -4y
x = 18 -4y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 18 -4y ) (I) 5x -7y = -18 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 18 -4y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

5 · ( 18 -4y ) -7y = -18
90 -20y -7y = -18
-27y +90 = -18 | -90
-27y = -108 |:(-27 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 18 -44

= 18 -16

= 2

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 4