Man setzt einfach x = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$-5\cdot 5-4y$ = $-5$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$-5\cdot 5-4y$	=	$-5$
$-25-4y$	=	$-5$
$-4y-25$	=	$-5$	| $+25$
$-4y$	=	$20$	|:($-4$)
$y$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (5|-5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-6|-2)
denn -1⋅( - 6 ) +5⋅( - 2 ) = 6 -10 = $-4$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-1|-1)
denn -1⋅( - 1 ) +5⋅( - 1 ) = 1 -5 = $-4$

Oder : (-11|-3)
denn -1⋅( - 11 ) +5⋅( - 3 ) = 11 -15 = $-4$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-1$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$-4·\left(-1\right)-2y$	=	$8$
$4-2y$	=	$8$
$-2y+4$	=	$8$	| $-4$
$-2y$	=	$4$	|:($-2$)
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-1$

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-1-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-1·\left(-1-4x\right)$	=	$-7$
$4x+1+4x$	=	$-7$
$8x+1$	=	$-7$	| $-1$
$8x$	=	$-8$	|:$8$
$x$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-1-4\cdot \left(-1\right)$

= $-1+4$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{17}{3}+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$5x-4·\left(\frac{17}{3}+\frac{4}{3}x\right)$	=	$-22$
$5x-\frac{68}{3}-\frac{16}{3}x$	=	$-22$
$-\frac{1}{3}x-\frac{68}{3}$	=	$-22$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{1}{3}x-\frac{68}{3}\right)$	=	$-66$
$-x-68$	=	$-66$	| $+68$
$-x$	=	$2$	|:($-1$)
$x$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $\frac{17}{3}+\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)$

= $\frac{17}{3}-\frac{8}{3}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $\frac{13}{3}-\frac{2}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{2}{3}x-\frac{1}{2}·\left(\frac{13}{3}-\frac{2}{3}x\right)$	=	$-\frac{1}{6}$
$\frac{2}{3}x-\frac{13}{6}+\frac{1}{3}x$	=	$-\frac{1}{6}$
$x-\frac{13}{6}$	=	$-\frac{1}{6}$	|⋅ 6
$6\left(x-\frac{13}{6}\right)$	=	$-1$
$6x-13$	=	$-1$	| $+13$
$6x$	=	$12$	|:$6$
$x$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $\frac{13}{3}-\frac{2}{3}\cdot 2$

= $\frac{13}{3}-\frac{4}{3}$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x -3y = ?

3x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = 5 einsetzen und ausrechnen:

-1x -3y = 3 -15 = -12

3x +6y = -9 +30 = 21

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x -3y = -12

3x +6y = 21

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-1+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-1+2y\right)-6y$	=	$-3$
$-3+6y-6y$	=	$-3$
$-3$	=	$-3$	| $+3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-20+\frac{2}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-3·\left(-20+\frac{2}{5}x\right)$	=	$780$
$6x+60-\frac{6}{5}x$	=	$780$
$\frac{24}{5}x+60$	=	$780$	|⋅ 5
$5\left(\frac{24}{5}x+60\right)$	=	$3900$
$24x+300$	=	$3900$	| $-300$
$24x$	=	$3600$	|:$24$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-20+\frac{2}{5}\cdot 150$

= $-20+60$

= $40$

also

y = 40

Die Lösung des LGS ist damit: (150|40)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 40