Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$3x+5\cdot 5$ = $7$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$3x+5\cdot 5$	=	$7$
$3x+25$	=	$7$	| $-25$
$3x$	=	$-18$	|:$3$
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (5|-3)
denn -3⋅5 +5⋅( - 3 ) = -15 -15 = $-30$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (10|0)
denn -3⋅10 +5⋅0 = -30 +0 = $-30$

Oder : (0|-6)
denn -3⋅0 +5⋅( - 6 ) = 0 -30 = $-30$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $-2$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$3·\left(-2\right)-2y$	=	$-18$
$-6-2y$	=	$-18$
$-2y-6$	=	$-18$	| $+6$
$-2y$	=	$-12$	|:($-2$)
$y$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-2$

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-2+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-2+2y\right)+y$	=	$-9$
$-4+4y+y$	=	$-9$
$5y-4$	=	$-9$	| $+4$
$5y$	=	$-5$	|:$5$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-2+2\cdot \left(-1\right)$

= $-2-2$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-6-2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(-6-2y\right)-4y$	=	$12$
$18+6y-4y$	=	$12$
$2y+18$	=	$12$	| $-18$
$2y$	=	$-6$	|:$2$
$y$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-6-2\cdot \left(-3\right)$

= $-6+6$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|-3)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{17}{2}-\frac{5}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-3x+3·\left(-\frac{17}{2}-\frac{5}{2}x\right)$	=	$27$
$-3x-\frac{51}{2}-\frac{15}{2}x$	=	$27$
$-\frac{21}{2}x-\frac{51}{2}$	=	$27$	|⋅ 2
$2\left(-\frac{21}{2}x-\frac{51}{2}\right)$	=	$54$
$-21x-51$	=	$54$	| $+51$
$-21x$	=	$105$	|:($-21$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{17}{2}-\frac{5}{2}\cdot \left(-5\right)$

= $-\frac{17}{2}+\frac{25}{2}$

= $4$

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

1x +1y = ?

-2x -5y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 3 und y = 4 einsetzen und ausrechnen:

1x +1y = 3 +4 = 7

-2x -5y = -6 -20 = -26

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

1x +1y = 7

-2x -5y = -26

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $\frac{1}{2}+x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-12x+12·\left(\frac{1}{2}+x\right)$	=	$6$
$-12x+6+12x$	=	$6$
$6$	=	$6$	| $-6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $19-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(19-4y\right)-4y$	=	$-4$
$76-16y-4y$	=	$-4$
$-20y+76$	=	$-4$	| $-76$
$-20y$	=	$-80$	|:($-20$)
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $19-4\cdot 4$

= $19-16$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 4