Man setzt einfach x = -4 in die Gleichung ein und erhält:

$5\cdot \left(-4\right)-y$ = $-23$

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

$5\cdot \left(-4\right)-y$	=	$-23$
$-20-y$	=	$-23$
$-y-20$	=	$-23$	| $+20$
$-y$	=	$-3$	|:($-1$)
$y$	=	$3$

Die Lösung ist somit: (-4|3)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-5|5)
denn -3⋅( - 5 ) -1⋅5 = 15 -5 = $10$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|8)
denn -3⋅( - 6 ) -1⋅8 = 18 -8 = $10$

Oder : (-4|2)
denn -3⋅( - 4 ) -1⋅2 = 12 -2 = $10$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-2·4$	=	$8$
$4x-8$	=	$8$	| $+8$
$4x$	=	$16$	|:$4$
$x$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $4$

Die Lösung des LGS ist damit: (4|4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $5+2x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$x-3·\left(5+2x\right)$	=	0
$x-15-6x$	=	0
$-5x-15$	=	0	| $+15$
$-5x$	=	$15$	|:($-5$)
$x$	=	$-3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $5+2\cdot \left(-3\right)$

= $5-6$

= $-1$

also

y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$4x-3·\left(-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}x\right)$	=	$21$
$4x+\frac{9}{5}+\frac{12}{5}x$	=	$21$
$\frac{32}{5}x+\frac{9}{5}$	=	$21$	|⋅ 5
$5\left(\frac{32}{5}x+\frac{9}{5}\right)$	=	$105$
$32x+9$	=	$105$	| $-9$
$32x$	=	$96$	|:$32$
$x$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\cdot 3$

= $-\frac{3}{5}-\frac{12}{5}$

= $-3$

also

y = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-3)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $1-\frac{4}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}·\left(1-\frac{4}{5}x\right)$	=	$-\frac{25}{6}$
$\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}+\frac{4}{15}x$	=	$-\frac{25}{6}$
$\frac{23}{30}x-\frac{1}{3}$	=	$-\frac{25}{6}$	|⋅ 30
$30\left(\frac{23}{30}x-\frac{1}{3}\right)$	=	$-125$
$23x-10$	=	$-125$	| $+10$
$23x$	=	$-115$	|:$23$
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $1-\frac{4}{5}\cdot \left(-5\right)$

= $1+4$

= $5$

also

y = 5

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

4x +1y = ?

1x -3y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -2 und y = 3 einsetzen und ausrechnen:

4x +1y = -8 +3 = -5

1x -3y = -2 -9 = -11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

4x +1y = -5

1x -3y = -11

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $1-4x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$12x+3·\left(1-4x\right)$	=	$3$
$12x+3-12x$	=	$3$
$3$	=	$3$	| $-3$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $17-5y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(17-5y\right)-7y$	=	$-11$
$85-25y-7y$	=	$-11$
$-32y+85$	=	$-11$	| $-85$
$-32y$	=	$-96$	|:($-32$)
$y$	=	$3$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $17-5\cdot 3$

= $17-15$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|3)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 3