Man setzt einfach y = -2 in die Gleichung ein und erhält:

$5x-\left(-2\right)$ = $32$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$5x-\left(-2\right)$	=	$32$
$5x+2$	=	$32$	| $-2$
$5x$	=	$30$	|:$5$
$x$	=	$6$

Die Lösung ist somit: (6|-2)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|3)
denn -1⋅0 +4⋅3 = 0 +12 = $12$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|4)
denn -1⋅4 +4⋅4 = -4 +16 = $12$

Oder : (-4|2)
denn -1⋅( - 4 ) +4⋅2 = 4 +8 = $12$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-5$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-5\right)+y$	=	$-6$
$-5+y$	=	$-6$
$y-5$	=	$-6$	| $+5$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-5$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-1)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $22+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-3·\left(22+4y\right)-4y$	=	$14$
$-66-12y-4y$	=	$14$
$-16y-66$	=	$14$	| $+66$
$-16y$	=	$80$	|:($-16$)
$y$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $22+4\cdot \left(-5\right)$

= $22-20$

= $2$

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|-5)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-9-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x+2·\left(-9-\frac{1}{2}x\right)$	=	$12$
$-4x-18-x$	=	$12$
$-5x-18$	=	$12$	| $+18$
$-5x$	=	$30$	|:($-5$)
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-9-\frac{1}{2}\cdot \left(-6\right)$

= $-9+3$

= $-6$

also

y = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $\frac{1}{3}-\frac{2}{3}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$\frac{3}{2}·\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3}y\right)+3y$	=	$-\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}-y+3y$	=	$-\frac{3}{2}$
$2y+\frac{1}{2}$	=	$-\frac{3}{2}$	|⋅ 2
$2\left(2y+\frac{1}{2}\right)$	=	$-3$
$4y+1$	=	$-3$	| $-1$
$4y$	=	$-4$	|:$4$
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\cdot \left(-1\right)$

= $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}$

= $1$

also

x = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (1|-1)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

3x +2y = ?

7x +6y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 5 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

3x +2y = 15 -8 = 7

7x +6y = 35 -24 = 11

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

3x +2y = 7

7x +6y = 11

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $1-3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(1-3y\right)+12y$	=	$4$
$4-12y+12y$	=	$4$
$4$	=	$4$	| $-4$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von y gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-1000+\frac{7}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-1000+\frac{7}{2}x\right)$	=	$700$
$3x+4000-14x$	=	$700$
$-11x+4000$	=	$700$	| $-4000$
$-11x$	=	$-3300$	|:($-11$)
$x$	=	$300$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-1000+\frac{7}{2}\cdot 300$

= $-1000+1050$

= $50$

also

y = 50

Die Lösung des LGS ist damit: (300|50)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 300

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 50