Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$-3x+4\cdot 5$ = $29$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$-3x+4\cdot 5$	=	$29$
$-3x+20$	=	$29$	| $-20$
$-3x$	=	$9$	|:($-3$)
$x$	=	$-3$

Die Lösung ist somit: (-3|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (-1|0)
denn -1⋅( - 1 ) -5⋅0 = 1 +0 = $1$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (-6|1)
denn -1⋅( - 6 ) -5⋅1 = 6 -5 = $1$

Oder : (4|-1)
denn -1⋅4 -5⋅( - 1 ) = -4 +5 = $1$

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch $-4$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-4\right)+4y$	=	$-28$
$-4+4y$	=	$-28$
$4y-4$	=	$-28$	| $+4$
$4y$	=	$-24$	|:$4$
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-6)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $4+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(4+2y\right)-y$	=	0
$4+2y-y$	=	0
$y+4$	=	0	| $-4$
$y$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $4+2\cdot \left(-4\right)$

= $4-8$

= $-4$

also

x = -4

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-4)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-4+4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·\left(-4+4y\right)-2y$	=	$4$
$-8+8y-2y$	=	$4$
$6y-8$	=	$4$	| $+8$
$6y$	=	$12$	|:$6$
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-4+4\cdot 2$

= $-4+8$

= $4$

also

x = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (4|2)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{7}{5}+\frac{3}{5}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-\frac{2}{5}x+2·\left(-\frac{7}{5}+\frac{3}{5}x\right)$	=	$-\frac{38}{5}$
$-\frac{2}{5}x-\frac{14}{5}+\frac{6}{5}x$	=	$-\frac{38}{5}$
$\frac{4}{5}x-\frac{14}{5}$	=	$-\frac{38}{5}$	|⋅ 5
$5\left(\frac{4}{5}x-\frac{14}{5}\right)$	=	$-38$
$4x-14$	=	$-38$	| $+14$
$4x$	=	$-24$	|:$4$
$x$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{7}{5}+\frac{3}{5}\cdot \left(-6\right)$

= $-\frac{7}{5}-\frac{18}{5}$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-5)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

2x +5y = ?

5x +14y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -1 und y = -4 einsetzen und ausrechnen:

2x +5y = -2 -20 = -22

5x +14y = -5 -56 = -61

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

2x +5y = -22

5x +14y = -61

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-3+3x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$9x-3·\left(-3+3x\right)$	=	$9$
$9x+9-9x$	=	$9$
$9$	=	$9$	| $-9$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-165+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$6x-5·\left(-165+\frac{4}{3}x\right)$	=	$725$
$6x+825-\frac{20}{3}x$	=	$725$
$-\frac{2}{3}x+825$	=	$725$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{2}{3}x+825\right)$	=	$2175$
$-2x+2475$	=	$2175$	| $-2475$
$-2x$	=	$-300$	|:($-2$)
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-165+\frac{4}{3}\cdot 150$

= $-165+200$

= $35$

also

y = 35

Die Lösung des LGS ist damit: (150|35)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 35