Aufgabenbeispiele von LGS
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Wert zum Einsetzen finden
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme y so, dass (-1|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.
Man setzt einfach x = -1 in die Gleichung ein und erhält:
=
Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:
| = | |||
| = | |||
| = | | | ||
| = |
Die Lösung ist somit: (-1|-6)
Wert zum Einsetzen finden (offen)
Beispiel:
Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: = .
Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.
Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-3)
denn
-2⋅
Eine weitere Lösung wäre aber auch: (8|-1)
denn -2⋅
Oder : (6|-5)
denn -2⋅
LGS (1 Var. schon aufgelöst)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:
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= |
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|: |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
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Somit haben wir eine Lösung für x.
Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y =
Die Lösung des LGS ist damit: (1|3)
LGS (1 Var. ohne Koeff.)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:
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= |
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= |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = -5
Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)
LGS (Standard)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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= |
|
|:( |
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
also
y = -3
Die Lösung des LGS ist damit: (1|-3)
LGS (vorher umformen)
Beispiel:
Löse das lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
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= |
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|⋅ 6 |
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
|
Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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|⋅ 9 |
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= |
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= |
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= |
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|:( |
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= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 3
Die Lösung des LGS ist damit: (-2|3)
LGS zu Lösungen finden
Beispiel:
Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -3 und y = -5 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.
Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:
5x
7x
Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -3 und y = -5 einsetzen und ausrechnen:
5x
7x
So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:
5x
7x
LGS Lösungsvielfalt erkennen
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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| = |
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!
Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.
LGS Anwendungen
Beispiel:
In einem Raum brennen 9 LED-Leuchtmittel gleichen Typs und 3 baugleiche Halogenleuchten. Insgesamt verbrauchen alle Lichter in diesem Raum 87 Watt. In einem anderen Raum verbrauchen 3 LED-Leuchtmittel und 9 Halogenleuchten zusammen 189 Watt.Wie viel Watt verbraucht eine LED-Lampe, wie viel eine Halogenlampe?
Wir bezeichnen x als Stromverbrauch einer LED und y als Stromverbrauch einer Halogenlampe und
Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:
Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:
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= |
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= |
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= |
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|: |
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= |
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Als neues LGS erhält man so:
Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y
durch (
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= |
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= |
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= |
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= |
|
|:( |
|
|
= |
|
Somit haben wir eine Lösung für x.
Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:
y =
=
=
also
y = 20
Die Lösung des LGS ist damit: (3|20)
Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:
Stromverbrauch einer LED (x-Wert): 3
Stromverbrauch einer Halogenlampe (y-Wert): 20
