Man setzt einfach y = -6 in die Gleichung ein und erhält:

$4x+3\cdot \left(-6\right)$ = $-42$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$4x+3\cdot \left(-6\right)$	=	$-42$
$4x-18$	=	$-42$	| $+18$
$4x$	=	$-24$	|:$4$
$x$	=	$-6$

Die Lösung ist somit: (-6|-6)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|4)
denn 5⋅7 -3⋅4 = 35 -12 = $23$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|-1)
denn 5⋅4 -3⋅( - 1 ) = 20 +3 = $23$

Oder : (10|9)
denn 5⋅10 -3⋅9 = 50 -27 = $23$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein y mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach x umstellen:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch $6$ ersetzen und dann nach y auflösen:

$2·6+4y$	=	$4$
$12+4y$	=	$4$
$4y+12$	=	$4$	| $-12$
$4y$	=	$-8$	|:$4$
$y$	=	$-2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Für x haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: x = $6$

Die Lösung des LGS ist damit: (6|-2)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $3+3y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(3+3y\right)+y$	=	$7$
$3+3y+y$	=	$7$
$4y+3$	=	$7$	| $-3$
$4y$	=	$4$	|:$4$
$y$	=	$1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $3+3\cdot 1$

= $3+3$

= $6$

also

x = 6

Die Lösung des LGS ist damit: (6|1)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( $-25-5x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-2·\left(-25-5x\right)$	=	$26$
$-4x+50+10x$	=	$26$
$6x+50$	=	$26$	| $-50$
$6x$	=	$-24$	|:$6$
$x$	=	$-4$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = $-25-5\cdot \left(-4\right)$

= $-25+20$

= $-5$

also

y = -5

Die Lösung des LGS ist damit: (-4|-5)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( $-\frac{23}{5}+\frac{2}{5}y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$1·\left(-\frac{23}{5}+\frac{2}{5}y\right)+3y$	=	$9$
$-\frac{23}{5}+\frac{2}{5}y+3y$	=	$9$
$\frac{17}{5}y-\frac{23}{5}$	=	$9$	|⋅ 5
$5\left(\frac{17}{5}y-\frac{23}{5}\right)$	=	$45$
$17y-23$	=	$45$	| $+23$
$17y$	=	$68$	|:$17$
$y$	=	$4$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = $-\frac{23}{5}+\frac{2}{5}\cdot 4$

= $-\frac{23}{5}+\frac{8}{5}$

= $-3$

also

x = -3

Die Lösung des LGS ist damit: (-3|4)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-4x +2y = ?

-8x +2y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -4 und y = -2 einsetzen und ausrechnen:

-4x +2y = 16 -4 = 12

-8x +2y = 32 -4 = 28

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-4x +2y = 12

-8x +2y = 28

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $8-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$5·\left(8-4y\right)+5y$	=	$10$
$40-20y+5y$	=	$10$
$-15y+40$	=	$10$	| $-40$
$-15y$	=	$-30$	|:($-15$)
$y$	=	$2$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $8-4\cdot 2$

= $8-8$

= 0

also

x = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (0|2)

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $33-6y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(33-6y\right)-3y$	=	$-3$
$132-24y-3y$	=	$-3$
$-27y+132$	=	$-3$	| $-132$
$-27y$	=	$-135$	|:($-27$)
$y$	=	$5$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $33-6\cdot 5$

= $33-30$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|5)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 3

y (y-Wert): 5