Aufgabenbeispiele von LGS

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Wert zum Einsetzen finden

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: x +3y = 3 .

Bestimme y so, dass (-3|y) eine Lösung dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Man setzt einfach x = -3 in die Gleichung ein und erhält:

( -3 ) +3y = 3

Jetzt kann man die Gleichung nach y auflösen:

( -3 ) +3y = 3
-3 +3y = 3
3y -3 = 3 | +3
3y = 6 |:3
y = 2

Die Lösung ist somit: (-3|2)

Wert zum Einsetzen finden (offen)

Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung mit 2 Variablen: -5x -4y = -31 .

Bestimme eine mögliche Lösung (x|y) dieser Gleichung ist.

Lösung einblenden

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (7|-1)
denn -5⋅7 -4( - 1 ) = -35 +4 = -31

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (3|4)
denn -5⋅3 -44 = -15 -16 = -31

Oder : (11|-6)
denn -5⋅11 -4( - 6 ) = -55 +24 = -31

LGS (1 Var. schon aufgelöst)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-4x -3y = 11 (I) +2y = -2 (II)

Lösung einblenden
-4x -3y = 11 (I) +2y = -2 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung gar kein x mehr da ist.
Deswegen können wir diese Zeile sehr einfach nach y umstellen:

2y = -2 |:2
y = -1

Als neues LGS erhält man so:

-4x -3y = 11 (I) +y = -1 (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch -1 ersetzen und dann nach x auflösen:

-4x -3 · ( -1 ) = 11
-4x +3 = 11 | -3
-4x = 8 |:(-4 )
x = -2

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = -1

Die Lösung des LGS ist damit: (-2|-1)

LGS (1 Var. ohne Koeff.)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

x +5y = 12 (I) x +4y = 10 (II)

Lösung einblenden
x +5y = 12 (I) x +4y = 10 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +4y = 10 | -4y
x = 10 -4y

Als neues LGS erhält man so:

x +5y = 12 (I) x = ( 10 -4y ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das x durch ( 10 -4y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

1 · ( 10 -4y ) +5y = 12
10 -4y +5y = 12
y +10 = 12 | -10
y = 2

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

x = 10 -42

= 10 -8

= 2

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|2)

LGS (Standard)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

-2x -3y = -1 (I) 3x +y = -2 (II)

Lösung einblenden
-2x -3y = -1 (I) 3x +y = -2 (II)

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

3x + y = -2
y +3x = -2 | -3x
y = -2 -3x

Als neues LGS erhält man so:

-2x -3y = -1 (I) +y = ( -2 -3x ) (II)

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch ( -2 -3x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x -3 · ( -2 -3x ) = -1
-2x +6 +9x = -1
7x +6 = -1 | -6
7x = -7 |:7
x = -1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 2. Zeile ein:

y = -2 -3( -1 )

= -2 +3

= 1

also

y = 1

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|1)

LGS (vorher umformen)

Beispiel:

Löse das lineare Gleichungssystem:

- 2 3 x -2y = - 22 3 (I) 1 5 x - 1 3 y = - 23 15 (II)

Lösung einblenden
- 2 3 x -2y = - 22 3 (I) 1 5 x - 1 3 y = - 23 15 (II)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

- 2 3 x -2y = - 22 3
-2y - 2 3 x = - 22 3 |⋅ 3
3( -2y - 2 3 x) = -22
-6y -2x = -22 | +2x
-6y = -22 +2x |:(-6 )
y = 11 3 - 1 3 x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( 11 3 - 1 3 x ) (I) 1 5 x - 1 3 y = - 23 15 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( 11 3 - 1 3 x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

1 5 x - 1 3 · ( 11 3 - 1 3 x ) = - 23 15
1 5 x - 11 9 + 1 9 x = - 23 15
14 45 x - 11 9 = - 23 15 |⋅ 45
45( 14 45 x - 11 9 ) = -69
14x -55 = -69 | +55
14x = -14 |:14
x = -1

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = 11 3 - 1 3 ( -1 )

= 11 3 + 1 3

= 4

also

y = 4

Die Lösung des LGS ist damit: (-1|4)

LGS zu Lösungen finden

Beispiel:

Finde ein lineares Gleichungssystem, bei dem x = -5 und y = -3 Lösungen sind.
Dabei darf keiner der Koeffizienten =0 sein.

Lösung einblenden

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-1x +4y = ?

-2x +11y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = -5 und y = -3 einsetzen und ausrechnen:

-1x +4y = 5 -12 = -7

-2x +11y = 10 -33 = -23

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-1x +4y = -7

-2x +11y = -23

LGS Lösungsvielfalt erkennen

Beispiel:

Bestimme die Lösungsmenge:

-4x +y = -20 (I) -2x -3y = -10 (II)

Lösung einblenden
-4x +y = -20 (I) -2x -3y = -10 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem y ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach y umstellt:

-4x + y = -20
y -4x = -20 | +4x
y = -20 +4x

Als neues LGS erhält man so:

+y = ( -20 +4x ) (I) -2x -3y = -10 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( -20 +4x ) ersetzen und dann nach x auflösen:

-2x -3 · ( -20 +4x ) = -10
-2x +60 -12x = -10
-14x +60 = -10 | -60
-14x = -70 |:(-14 )
x = 5

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = -20 +45

= -20 +20

= 0

also

y = 0

Die Lösung des LGS ist damit: (5|0)

LGS Anwendungen

Beispiel:

Wenn man zu einer Zahl x das 6-fache einer anderen Zahl y addiert, so erhält man 26. Wenn man aber vom 4-fachen von x 5 mal die Zahl y subtrahiert, so erhält man -12. Bestimme x und y.

Lösung einblenden

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

x +6y = 26 (I) 4x -5y = -12 (II)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

x +6y = 26 | -6y
x = 26 -6y

Als neues LGS erhält man so:

x = ( 26 -6y ) (I) 4x -5y = -12 (II)

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( 26 -6y ) ersetzen und dann nach y auflösen:

4 · ( 26 -6y ) -5y = -12
104 -24y -5y = -12
-29y +104 = -12 | -104
-29y = -116 |:(-29 )
y = 4

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = 26 -64

= 26 -24

= 2

also

x = 2

Die Lösung des LGS ist damit: (2|4)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

x (x-Wert): 2

y (y-Wert): 4