Man setzt einfach y = 5 in die Gleichung ein und erhält:

$x+3\cdot 5$ = $10$

Jetzt kann man die Gleichung nach x auflösen:

$x+3\cdot 5$	=	$10$
$x+15$	=	$10$	| $-15$
$x$	=	$-5$

Die Lösung ist somit: (-5|5)

Eine (der unendlich vielen) Lösungen wäre beispielsweise: (0|5)
denn -4⋅0 +4⋅5 = 0 +20 = $20$

Eine weitere Lösung wäre aber auch: (4|9)
denn -4⋅4 +4⋅9 = -16 +36 = $20$

Oder : (-4|1)
denn -4⋅( - 4 ) +4⋅1 = 16 +4 = $20$

Man erkennt, dass in der 2. Gleichung ja schon das y gegeben ist.

y = $-4$

Wegen der 2. Zeile können wir nun in der 1. Zeile das y durch $-4$ ersetzen und dann nach x auflösen:

$-x+1·\left(-4\right)$	=	$1$
$-x-4$	=	$1$	| $+4$
$-x$	=	$5$	|:($-1$)
$x$	=	$-5$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Für y haben wir die Lösung ja oben schon erhalten: y = $-4$

Die Lösung des LGS ist damit: (-5|-4)

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $-10-4y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$4·\left(-10-4y\right)+2y$	=	$-26$
$-40-16y+2y$	=	$-26$
$-14y-40$	=	$-26$	| $+40$
$-14y$	=	$14$	|:($-14$)
$y$	=	$-1$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $-10-4\cdot \left(-1\right)$

= $-10+4$

= $-6$

also

x = -6

Die Lösung des LGS ist damit: (-6|-1)

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-5+\frac{4}{3}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-4·\left(-5+\frac{4}{3}x\right)$	=	$6$
$3x+20-\frac{16}{3}x$	=	$6$
$-\frac{7}{3}x+20$	=	$6$	|⋅ 3
$3\left(-\frac{7}{3}x+20\right)$	=	$18$
$-7x+60$	=	$18$	| $-60$
$-7x$	=	$-42$	|:($-7$)
$x$	=	$6$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-5+\frac{4}{3}\cdot 6$

= $-5+8$

= $3$

also

y = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (6|3)

Zuerst formen wir die beiden Gleichungen so um, dass links nur noch die Variablen und rechts nur noch die Zahlenwerte stehen:

Man erkennt, dass in der 1. Gleichung kein Koeffizient vor dem x ist.
Deswegen ist es am einfachsten, wenn man diese Zeile nach x umstellt:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das x durch ( $15+2y$) ersetzen und dann nach y auflösen:

$-5·\left(15+2y\right)+5y$	=	$-45$
$-75-10y+5y$	=	$-45$
$-5y-75$	=	$-45$	| $+75$
$-5y$	=	$30$	|:($-5$)
$y$	=	$-6$

Somit haben wir eine Lösung für y.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

x = $15+2\cdot \left(-6\right)$

= $15-12$

= $3$

also

x = 3

Die Lösung des LGS ist damit: (3|-6)

Eigentlich kann man die Koeffizienten vor x und y frei wählen, z.B.:

-5x -4y = ?

-7x -4y = ?

Jetzt muss man einfach die Lösungen x = 4 und y = -1 einsetzen und ausrechnen:

-5x -4y = -20 +4 = -16

-7x -4y = -28 +4 = -24

So erhält mam als eine von unendlich vielen Lösungen:

-5x -4y = -16

-7x -4y = -24

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$-4x-8·\left(-\frac{3}{4}-\frac{1}{2}x\right)$	=	$6$
$-4x+6+4x$	=	$6$
$6$	=	$6$	| $-6$
0	=	0

Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen!

Diese Gleichung ist für jeden Wert von x gültig. Die Lösungsmenge der Gleichung und die des LGS sind also unendlich groß.

Wir bezeichnen x als kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern und y als kcal eines Schokobonbons und

Aus den Sätzen der Aufgabenstellung ergibt sich somit folgendes lineare Gleichungssystem:

Wir stellen die 1. Gleichung nach y um:

Als neues LGS erhält man so:

Wegen der 1. Zeile können wir nun in der 2. Zeile das y durch ( $-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}x$) ersetzen und dann nach x auflösen:

$3x-2·\left(-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}x\right)$	=	$340$
$3x+115-\frac{3}{2}x$	=	$340$
$\frac{3}{2}x+115$	=	$340$	|⋅ 2
$2\left(\frac{3}{2}x+115\right)$	=	$680$
$3x+230$	=	$680$	| $-230$
$3x$	=	$450$	|:$3$
$x$	=	$150$

Somit haben wir eine Lösung für x.

Diese setzen wir nun in die bereits umgestellte 1. Zeile ein:

y = $-\frac{115}{2}+\frac{3}{4}\cdot 150$

= $-\frac{115}{2}+\frac{225}{2}$

= $55$

also

y = 55

Die Lösung des LGS ist damit: (150|55)

Bezogen auf die Anwendungsaufgabe ergibt sich nun als Lösung:

kcal-Verbrauch bei einer Stunde Wandern (x-Wert): 150

kcal eines Schokobonbons (y-Wert): 55