Wir setzen einfach den Punkt A(1|0.5) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $a^x$ ein und erhalten so die Gleichung:

0.5 = a¹

0.5 = a

Das gesuchte a ist somit 0.5 (Der gesuchte Funktionsterm $\text{f(x)}=$ ${\mathrm{0,5}}^x$)

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1|$-20$) und B(-2|$-\frac{4}{25}$) in den Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $-20$ = $c·a$
II: $-\frac{4}{25}$ = $c·a^{-2}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $-20$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $-\frac{4}{25}$ = $-\frac{20}{a}·\frac{1}{a^2}$

also

II: $-\frac{4}{25}$ = $-\frac{20}{a^3}$

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $a^3$ weg!

$-\frac{20}{a^3}$	=	$-\frac{4}{25}$	|⋅( $a^3$)
$-\frac{20}{a^3}·a^3$	=	$-\frac{4}{25}·a^3$
$-20$	=	$-\frac{4}{25}{a}^3$

$-20$	=	$-\frac{4}{25}{a}^3$	| $+20$ $+\frac{4}{25}{a}^3$
$\frac{4}{25}{a}^3$	=	$20$	|⋅$\frac{25}{4}$
$a^3$	=	$125$	|
$a$	=	$\sqrt[3]{125}$	= $5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

Von oben (I) wissen wir bereits: $-20$ ⋅ $\frac{1}{a}$ = c

mit a=$5$ eingesetzt erhalten wir so: $-4$ = c

Der gesuchte Funktionsterm g(x) ist somit: $\text{f(x)}=$ $-4\cdot 5^x$

Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0|$\frac{1}{2}$), also gilt f(0)=$\frac{1}{2}$.

In den allgemeinen Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $c·a^x$ eingesezt bedeutet das: $\frac{1}{2}$ = $c·a^0$ = c ⋅ 1.

Dadurch wissen wir nun schon: c = $\frac{1}{2}$ , also $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$.

Außerdem können wir den Punkt (1|$2$) auf dem Graphen ablesen, also git f(1) = $2$.

In unseren Funktionsterm $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot a^x$ eingesezt bedeutet das: $2$ = $\frac{1}{2}\cdot a$ = $\frac{1}{2}a$.

Es gilt also: $2$ = $\frac{1}{2}a$ | ⋅ $2$

4 = a

Somit ist der Funtionsterm: $\text{f(x)}=$ $\frac{1}{2}\cdot 4^x$