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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(4 y - 2)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(4 y - 2)}^{2}$ = ${(4 y)}^{2} - 2 \cdot 4 y \cdot 2 + 2^{2}$ = $16 y^{2} - 16 y + 4$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $81 - 81 x^{2}$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $81$ ) als auch der letzte ( $81 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $9$ und für b dann $9 x$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(9 + 9 x) \cdot (9 - 9 x)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(9 + 9 x) \cdot (9 - 9 x)$ = $9 \cdot 9 + 9 \cdot (- 9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 x \cdot (- 9 x)$ = $81 - 81 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} - 32 x + 64$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$4 x^{2} - 32 x + 64$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (x^{2} - 8 x + 16)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$4 {(x - 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 36$

Der hintere Term $36$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $36$ = 6⋅6 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=6

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅6

somit gilt: ☐= $12 x$