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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(2 - 7 d)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(2 - 7 d)}^{2}$ = $2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 7 d + {(7 d)}^{2}$ = $4 - 28 d + 49 d^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $25 t^{2} - 50 t + 25$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 50 t$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 50 t$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $25 t^{2}$ ) als auch der letzte ( $25$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $5 t$ und für b dann $5$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 50 t$ = -2⋅ $5 t$ ⋅ $5$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(5 t - 5)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(5 t - 5)}^{2}$ = $5 t \cdot 5 t + 5 t \cdot (- 5) - 5 \cdot 5 t - 5 \cdot (- 5)$ = $25 t^{2} - 50 t + 25$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- x^{2} + 1$

$- x^{2} + 1$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 1$ aus.

$- (x^{2} - 1)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$- (x + 1) \cdot (x - 1)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 10 x + ☐$

Der gemischte Term $10 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$10 x$ = 2⋅x⋅◇

also $5$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $5$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $5$ ²

somit gilt: ☐= $25$