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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(6 y + 2) \cdot (6 y - 2)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(6 y + 2) \cdot (6 y - 2)$ = ${(6 y)}^{2} - 2^{2}$ = $36 y^{2} - 4$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $36 - 84 t + 49 t^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 84 t$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 84 t$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $36$ ) als auch der letzte ( $49 t^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $6$ und für b dann $7 t$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 84 t$ = -2⋅ $6$ ⋅ $7 t$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(6 - 7 t)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(6 - 7 t)}^{2}$ = $6 \cdot 6 + 6 \cdot (- 7 t) - 7 t \cdot 6 - 7 t \cdot (- 7 t)$ = $36 - 84 t + 49 t^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 t^{2} - 4 t + 2$

$2 t^{2} - 4 t + 2$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (t^{2} - 2 t + 1)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$2 {(t - 1)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 1$

Der hintere Term $1$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $1$ = 1⋅1 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=1

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅1

somit gilt: ☐= $2 x$