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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(6 + 3 v)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(6 + 3 v)}^{2}$ = $6^{2} + 2 \cdot 6 \cdot 3 v + {(3 v)}^{2}$ = $36 + 36 v + 9 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 x^{2} + 40 x + 25$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $40 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $40 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $25$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4 x$ und für b dann $5$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $40 x$ = 2⋅ $4 x$ ⋅ $5$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(4 x + 5)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(4 x + 5)}^{2}$ = $4 x \cdot 4 x + 4 x \cdot 5 + 5 \cdot 4 x + 5 \cdot 5$ = $16 x^{2} + 40 x + 25$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $x^{2} - 1$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$x^{2} - 1$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$(x + 1) \cdot (x - 1)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 2 x + ☐$

Der gemischte Term $2 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$2 x$ = 2⋅x⋅◇

also $1$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $1$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $1$ ²

somit gilt: ☐= $1$