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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(8 + x) \cdot (8 - x)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(8 + x) \cdot (8 - x)$ = $8^{2} - {(x)}^{2}$ = $64 - x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $49 x^{2} - 4$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $49 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $4$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $7 x$ und für b dann $2$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(7 x + 2) \cdot (7 x - 2)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(7 x + 2) \cdot (7 x - 2)$ = $7 x \cdot 7 x + 7 x \cdot (- 2) + 2 \cdot 7 x + 2 \cdot (- 2)$ = $49 x^{2} - 4$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 t^{2} + 48$

$- 3 t^{2} + 48$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (t^{2} - 16)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 (t + 4) \cdot (t - 4)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 1$

Der hintere Term $1$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $1$ = 1⋅1 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=1

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅1

somit gilt: ☐= $2 x$