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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(8 r - 3)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(8 r - 3)}^{2}$ = ${(8 r)}^{2} - 2 \cdot 8 r \cdot 3 + 3^{2}$ = $64 r^{2} - 48 r + 9$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $9 x^{2} - 30 x + 25$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 30 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 30 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $9 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $25$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $3 x$ und für b dann $5$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 30 x$ = -2⋅ $3 x$ ⋅ $5$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(3 x - 5)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(3 x - 5)}^{2}$ = $3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot (- 5) - 5 \cdot 3 x - 5 \cdot (- 5)$ = $9 x^{2} - 30 x + 25$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $x^{2} - 25$

$x^{2} - 25$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$(x + 5) \cdot (x - 5)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 14 x + ☐$

Der gemischte Term $14 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$14 x$ = 2⋅x⋅◇

also $7$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $7$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $7$ ²

somit gilt: ☐= $49$