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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(6 r - 9 s)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(6 r - 9 s)}^{2}$ = ${(6 r)}^{2} - 2 \cdot 6 r \cdot 9 s + {(9 s)}^{2}$ = $36 r^{2} - 108 r s + 81 s^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 + 24 x + 9 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $24 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $24 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16$ ) als auch der letzte ( $9 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4$ und für b dann $3 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $24 x$ = 2⋅ $4$ ⋅ $3 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(4 + 3 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(4 + 3 x)}^{2}$ = $4 \cdot 4 + 4 \cdot 3 x + 3 x \cdot 4 + 3 x \cdot 3 x$ = $16 + 24 x + 9 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 v^{2} + 48$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 3 v^{2} + 48$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (v^{2} - 16)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 (v + 4) (v - 4)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 25$

Der hintere Term $25$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $25$ = 5⋅5 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=5

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅5

somit gilt: ☐= $10 x$