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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(7 a + 4)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(7 a + 4)}^{2}$ = ${(7 a)}^{2} + 2 \cdot 7 a \cdot 4 + 4^{2}$ = $49 a^{2} + 56 a + 16$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 z^{2} - 25$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16 z^{2}$ ) als auch der letzte ( $25$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4 z$ und für b dann $5$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(4 z + 5) \cdot (4 z - 5)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(4 z + 5) \cdot (4 z - 5)$ = $4 z \cdot 4 z + 4 z \cdot (- 5) + 5 \cdot 4 z + 5 \cdot (- 5)$ = $16 z^{2} - 25$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} - 16$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$4 x^{2} - 16$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (x^{2} - 4)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$4 (x + 2) \cdot (x - 2)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 4 x + ☐$

Der gemischte Term $4 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$4 x$ = 2⋅x⋅◇

also $2$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $2$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $2$ ²

somit gilt: ☐= $4$