Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(5 u + v) \cdot (5 u - v)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(5 u + v) \cdot (5 u - v)$ = ${(5 u)}^{2} - {(v)}^{2}$ = $25 u^{2} - v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $64 + 16 v + v^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $16 v$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $16 v$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $64$ ) als auch der letzte ( $v^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $8$ und für b dann $v$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $16 v$ = 2⋅ $8$ ⋅ $v$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(8 + v)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(8 + v)}^{2}$ = $8 \cdot 8 + 8 \cdot v + v \cdot 8 + v \cdot v$ = $64 + 16 v + v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 x^{2} - 2$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$2 x^{2} - 2$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (x^{2} - 1)$

Durch Anwendung der 3. binomischen Formel erhalten wir:

$2 (x + 1) (x - 1)$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 4$

Der hintere Term $4$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $4$ = 2⋅2 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=2

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅2

somit gilt: ☐= $4 x$