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Aufgabenbeispiele von Ausmultiplizieren, Ausklammern

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Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $2 \cdot (- 2 x + 5)$

Wir multiplizieren den ersten Faktor $2$ mit der Summe $- 2 x + 5$ indem wir $2$ mit jedem Summanden von $- 2 x + 5$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$2 \cdot (- 2 x + 5)$
= $2 \cdot (- 2 x) + 2 \cdot 5$
= $- 4 x + 10$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $3 x^{2} + 12 x$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$3 x^{2} + 12 x$

= $3 \cdot x^{2} + 3 \cdot 4 x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $3 \cdot x \cdot x + 3 \cdot 4 x$

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren $3$ ⋅x ausklammern und erhalten:

= $3 x \cdot (x + 4)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $6 u^{2} v - 2 u v^{2}$

Lösung einblenden

$6 u^{2} v - 2 u v^{2}$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $6 u \cdot u \cdot v - 2 u \cdot v \cdot v$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $u \cdot v$ vorkommt.

Wir können also $u \cdot v$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $2$ ausklammern, weil die $2$ auch in $6$ = $2$ ⋅ $3$ vorkommt.

= $2 u \cdot v \cdot (3 u - v)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $2 x^{2} - y x^{2} + 3 y x$

Lösung einblenden

$2 x^{2} - y x^{2} + 3 y x$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $2 x \cdot x - y \cdot x \cdot x + 3 y \cdot x$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $x$ vorkommt.

Wir können also $x$ ausklammern.

= $x \cdot (2 x - y x + 3 y)$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(2 u + 1) \cdot (2 - 3 v)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(2 u + 1) \cdot (2 - 3 v)$
= $2 u \cdot 2 + 2 u \cdot (- 3 v) + 1 \cdot 2 + 1 \cdot (- 3 v)$
= $4 u - 6 u v + 2 - 3 v$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(x + 2) \cdot (\frac{1}{2} x + 2)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $x + 2$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $\frac{1}{2} x + 2$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(x + 2) \cdot (\frac{1}{2} x + 2)$
= $x \cdot \frac{1}{2} x + x \cdot 2 + 2 \cdot \frac{1}{2} x + 2 \cdot 2$
= $\frac{1}{2} x \cdot x + 2 x + x + 4$
= $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 4$