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Aufgabenbeispiele von Ausmultiplizieren, Ausklammern

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Ausklammern (nur Zahlen)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $12 x - 21$

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$12 x - 21$

= $3 \cdot 4 x - 3 \cdot 7$

Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor $3$ ausklammern und erhalten:

= $3 (4 x - 7)$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $3 x^{2} + 9 x$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$3 x^{2} + 9 x$

= $3 \cdot x^{2} + 3 \cdot 3 x$

Durch Umschreiben von x² in x⋅x sehen wir, dass der Faktor x in beiden Summanden enthalten ist:

= $3 \cdot x \cdot x + 3 \cdot 3 x$

Jetzt können wir die gemeinsamen Faktoren $3$ ⋅x ausklammern und erhalten:

= $3 x \cdot (x + 3)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 9 a - 3 a^{2} b$

Lösung einblenden

$- 9 a - 3 a^{2} b$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- 9 a - 3 a \cdot a \cdot b$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $a$ vorkommt.

Wir können also $a$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $- 3$ ausklammern, weil die $- 3$ auch in $- 9$ = $- 3$ ⋅ $3$ vorkommt.

= $- 3 a \cdot (3 + a b)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 3 r^{2} s^{2} - 3 r^{2} s + 3 r s$

Lösung einblenden

$- 3 r^{2} s^{2} - 3 r^{2} s + 3 r s$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $- 3 r \cdot r \cdot s \cdot s - 3 r \cdot r \cdot s + 3 r \cdot s$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $r \cdot s$ vorkommt.

Wir können also $r \cdot s$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $- 3$ ausklammern

= $- 3 r \cdot s \cdot (r s + r - 1)$

Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $5 x \cdot (- 4 x - 3)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren den ersten Faktor $5 x$ mit der Summe $- 4 x - 3$ indem wir $5 x$ mit jedem Summanden von $- 4 x - 3$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$5 x \cdot (- 4 x - 3)$
= $5 x \cdot (- 4 x) + 5 x \cdot (- 3)$
= $- 20 x \cdot x - 15 x$
= $- 20 x^{2} - 15 x$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(7 y + 2 x) \cdot (3 - 2 x)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(7 y + 2 x) \cdot (3 - 2 x)$
= $7 y \cdot 3 + 7 y \cdot (- 2 x) + 2 x \cdot 3 + 2 x \cdot (- 2 x)$
= $21 y - 14 y x + 6 x - 4 x^{2}$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(\frac{1}{3} x + 20) \cdot (x + 6)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $\frac{1}{3} x + 20$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $x + 6$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(\frac{1}{3} x + 20) \cdot (x + 6)$
= $\frac{1}{3} x \cdot x + \frac{1}{3} x \cdot 6 + 20 \cdot x + 20 \cdot 6$
= $\frac{1}{3} x \cdot x + 2 x + 20 x + 120$
= $\frac{1}{3} x^{2} + 22 x + 120$