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y-Wert aus Schaubild ablesen

Beispiel:

Entnimm dem Graphen in der Abbildung näherungsweise den y-Wert an der Stelle x = -1.

Aus der Zeichnung kann man erkennen, dass an der Stelle x = -1 der (in der Abbildung rechts rote) Punkt (-1|y) auf der Höhe y = -2.6 liegt.

Differenz zweier Funktionswerte

Beispiel:

Im nebenstehenden Schaubild sind die Graphen zweier linearen Funktionen f (in blauer Farbe) und g (in rot) eingezeichnet.
Bestimme die Differenz der Funktionswerte f(4)-g(4), achte dabei auch auf das Vorzeichen.

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Man liest einfach an der Stelle x=4 die y-Werte der jeweiligen Geradenpunkte ab (die roten Punkte im Schaubild) und erhält:
f(4) = 1
g(4) = -1
Als Differenz ergibt sich also f(4)-g(4) = 1-( - 1 ) = 2

Punkt auf Gerade bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(3|d) liegt auf der Geraden mit der Gleichung y= $\frac{2}{3} x - 4$

Welchen Wert muss dann d haben?

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Wir setzten einfach den Punkt P(3|d) in die Geradengleichung y= $\frac{2}{3} x - 4$ ein:

3 für x und d für y

d= $\frac{2}{3} \cdot 3 - 4$

d= 2-4

d= -2

Zur Probe setzen wir den Punkt P(3|-2) noch in die Geradengleichung ein:

-2 = $\frac{2}{3} \cdot 3 - 4$ -> passt ;-)

Steigung aus Schaubild bestimmen

Beispiel:

Bestimme die Steigung m der abgebildeten linearen Funktion.

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Aus der Zeichnung kann man ein Steigungsdreieck erkennen, bei dem man nach rechts 5 und nach oben -6 (bzw. 6 nach unten) abtragen kann. Daraus ergibt sich für die Steigung m= $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $- \frac{6}{5}$ .

m und c bestimmen

Beispiel:

Bestimme die Steigung m und den y-Achsenabschnitt c der abgebildeten linearen Funktion.

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Aus der Zeichnung erkennt man sofort, dass die Gerade die y-Achse bei y= $- 2$ schneidet. Es gilt also c= $- 2$ .

Jetzt muss man das Steigungsdreieck am besten direkt am y-Achsenabschnitt ablesen.
Um genau auf einem Kästchen zu landen muss man sich nun um 1 nach rechts und um -3 nach oben (bzw. 3 nach unten) bewegen. Daraus ergibt sich für die Steigung m= $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $- 3$ .

Die Geradengleichung heißt dann: y= $- 3 x - 2$

Steigung aus 2 Punkten

Beispiel:

Eine lineare Funktion geht durch die Punkte A(4|-4) und B(-1|-1). Bestimme die Steigung dieser linearen Funktion.

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Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.

Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:

links: (-1|-1) und rechts: (4|-4)

Für die Differenzen subtrahieren wir nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: 4 - ( - 1 ) = 5
Differenz der y-Werte: -4 - ( - 1 ) = -3

Daraus ergibt sich für die Steigung m = $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $\frac{-4 -(-1)}{4 -(-1)}$ = $\frac{-3}{5}$ = $- \frac{3}{5}$ .

Gerade einzeichnen

Beispiel:

Zeichne die Gerade in das rechts stehende Koordinatensystem ein.

$y =$ $- 2 x + 1$

Hinweis: Du kannst Punkte setzen indem du auf das Koordinatensystem klickst. Deine Punkte werden automatisch zu einer Geraden ergänzt. Durch Doppelklicken auf das Koordinatensystem kannst du alle bisherigen Elemente löschen.

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Die Gleichung entspricht der Form $y = m x + c$ , wobei m die Steigung und c die Verschiebung in y-Richtung ist.

Da die Gerade immer bei y=c die y-Achse schneidet, Kann man den ersten Punkt also schon mal auf S_y(0| $1$ ) setzen.

Von hier aus zeichnet man danach das Steigungsdreieck ein. Dazu betrachtet man die Steigung m = $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = - $\frac{2}{1}$ .

Man trägt also den Nenner der Steigung m (hier: 1) nach rechts
und den Zähler der Steigung m (hier: -2) nach oben (bei negativen Steigungen eben nach unten) ab.

Die Verbindungsgerade von S_y(0| $1$ ) mit dem anderen Ende des Steigungsdreiecks liefert uns die gesuchte Gerade mit dem Funktionsterm $y =$ $- 2 x + 1$ .

Geradengleichung durch 2 Punkte

Beispiel:

Eine Gerade geht durch die Punkte A(-1|-3) und B(-3|3). Bestimme eine Geradengleichung von g.

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Wenn man die beiden Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, kann man am Steigungsdreieck jeweils die Differenzen der x-Werte und der y-Werte ablesen.

Dazu sortieren wir die beiden Punkte von links nach rechts:

links: (-3|3) und rechts: (-1|-3)

Für die Differenzen subtrahieren wie nun immer die Werte des linken Punkts von denen des rechten:
Differenz der x-Werte: -1 - ( - 3 ) = 2
Differenz der y-Werte: -3 - 3 = -6

Daraus ergibt sich für die Steigung m = $\frac{Zuwachs in y-Richtung}{Zuwachs in x-Richtung}$ = $\frac{-3 -3}{-1 -(-3)}$ = $\frac{-6}{2}$ = $- 3$ .

Mit der nun bekonnten Steigung m wissen wir nun, dass die gesuchte Geradengleichung
y = $- 3$ ⋅ x +c sein muss, wir müssen jetzt also nur noch das c bestimmen.

Dazu können wir einfach einen der beiden Punkte in diese Geradengleichung einsetzen:

Punktprobe mit A(-1|-3) in y = $- 3$ ⋅ x +c :

$- 3$	=	$- 3 \cdot (- 1) + c$
$- 3$	=	$3 + c$
$- 3$	=	$c + 3$	\| $+ 3$ $- c$
$- c$	=	$6$	\|:( $- 1$ )
$c$	=	$- 6$

Die gesuchte Geradengsleichung ist somit y = $- 3 x - 6$ .

Schnittpunkt zweier Geraden

Beispiel:

Im Schaubild sieht man zwei Geraden. Dummerweise ist der Schnittpunkt außerhalb des Schaubild.
Deswegen muss man diesen eben berechnen. Lies dazu erst die beiden Funktionsterme aus dem Schaubild.

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Da die die beiden Geraden an ihrem Schnittpunkt auch den gleichen y-Wert haben müssen, können wir die Terme einfach gleichsetzen um den gemeinsamen x-Wert zu erhalten:

$\frac{1}{3} x - 5$	=	$\frac{1}{5} x - 3$	\| $+ 5$
$\frac{1}{3} x$	=	$\frac{1}{5} x + 2$	\|⋅ 15
$5 x$	=	$3 x + 30$	\| $- 3 x$
$2 x$	=	$30$	\|: $2$
$x$	=	$15$

L={ $15$ }

Damit haben wir den x-Wert des Schnittpunkts. Diesen müssen wir nun noch links oder rechts einsetzen um den y-Wert des Schnittpunkts zu erhalten:

$\frac{1}{3} \cdot 15 - 5$ =0 oder $\frac{1}{5} \cdot 15 - 3$ =0

Wir erhalten also den Schnittpunkt S( $15$ |0).

lineare Ungleich. (nur graphisch)

Beispiel:

Löse die folgende Ungleichung mit Hilfe des Schaubilds:

- \frac{3}{4} x + 3

<

- 2 x - 2

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Der linke Term der Ungleichung $- \frac{3}{4} x + 3$ ist im Schaubild als blaue Gerade y= $- \frac{3}{4} x + 3$ eingezeichnet, der rechte Term $- 2 x - 2$ als die rote Gerade : y= $- 2 x - 2$ .

Im Schaubild kann man leicht ablesen, dass die beiden Geraden sich bei x=-4 schneiden. Bei x=-4 ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Im Schaubild sieht man sofort, dass links vom Schnittpunkt, also für x<-4 die rote Gerade, also y= $- 2 x - 2$ über der blaue Gerade, also y= $- \frac{3}{4} x + 3$ liegt und rechts davon gerade umgekehrt.

Gesucht ist ja der Bereich, wo $- \frac{3}{4} x + 3$ < $- 2 x - 2$ gilt, also wo die blaue Gerade unter der roten liegt.

Man sieht am Schaubild leicht, dass dies links vom Schnittpunkt bei x=-4 sein muss.

Es gilt also x<-4

lineare Ungleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Ungleichung:
$2 x + 4$ ≤ $8 x - 26$

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Um die Ungleichung zu lösen, betrachten und lösen wir erst einmal die 'verwandte Gleichung':
$2 x + 4$ = $8 x - 26$ ,
die ja den Grenzfall der Ungleichung darstellt.

$2 x + 4$	=	$8 x - 26$	\| $- 4$
$2 x$	=	$8 x - 30$	\| $- 8 x$
$- 6 x$	=	$- 30$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$5$

Bei x= $5$ ist also gerade der Grenzfall, wo die linke Seite und die rechte Seite gleich groß sind.

Man kann auch beide Seiten als Geraden betrachten, die sich dann bei x= $5$ schneiden.

Das heißt auf der einen Seite von x= $5$ sind die Funktionswerte von $2 x + 4$ größer als die von $8 x - 26$ , und auf der anderen Seite ist es gerade umgekehrt.
Um heraus zu bekommen, wo welcher Term größer ist, müssen wir einfach jeweils einen Wert in die Terme einsetzen:

Für die linke Seite von x= $5$ wählen wir x=4:

in

2 x + 4

eingesetzt:

2 \cdot 4 + 4

=

12

in

8 x - 26

eingesetzt:

8 \cdot 4 - 26

=

6

Für x=4 und damit für alle x< $5$ gilt:

$2 x + 4$ > $8 x - 26$

also nicht $2 x + 4$ ≤ $8 x - 26$

Für die rechte linke Seite von x= $5$ wählen wir x=6:

in

2 x + 4

eingesetzt:

2 \cdot 6 + 4

=

16

in

8 x - 26

eingesetzt:

8 \cdot 6 - 26

=

22

Für x=6 und damit für alle x> $5$ gilt:

$2 x + 4$ < $8 x - 26$

Schnittpunkt bei
x= $5$

Der richtige Bereich muss somit rechts von x= $5$ liegen, also muss x ≥ $5$ gelten.

(Für x= $5$ ist die Ungleichung ja auch erfüllt)

Aufgabenbeispiele von Lineare Funktionen

y-Wert aus Schaubild ablesen

Differenz zweier Funktionswerte

Punkt auf Gerade bestimmen

Steigung aus Schaubild bestimmen

m und c bestimmen

Steigung aus 2 Punkten

Gerade einzeichnen

Geradengleichung durch 2 Punkte

Schnittpunkt zweier Geraden

lineare Ungleich. (nur graphisch)

lineare Ungleichungen