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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Summe der Augenzahlen der beiden Würfe. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Augenzahlen' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	4	5	6	7	8	10
zugehörige Ereignisse	2 - 2	2 - 3 3 - 2	3 - 3	2 - 5 5 - 2	3 - 5 5 - 3	5 - 5

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Drei normale Würfel werden gleichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der gewürfelten 6er. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Anzahl der 6er' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Ergebnisse	0 → 0 → 0	0 → 0 → 1 0 → 1 → 0 1 → 0 → 0	0 → 1 → 1 1 → 0 → 1 1 → 1 → 0	1 → 1 → 1

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 1	X = 2	X = 3
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{5}{6}$	$\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$ ⋅ $\frac{1}{6}$
=	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$ + $\frac{25}{216}$	$\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$ + $\frac{5}{216}$	$\frac{1}{216}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	1	2	3
P(X=k)	$\frac{125}{216}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{1}{216}$

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch zwei Karten mit dem Wert 2, vier Karten mit dem Wert 5 und vier 10er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz zwischen dem größeren und dem kleineren Wert der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 0	X = 3	X = 5	X = 8
zugehörige Ergebnisse	2 → 2 5 → 5 10 → 10	2 → 5 5 → 2	5 → 10 10 → 5	2 → 10 10 → 2

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 0	X = 3	X = 5	X = 8
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{3}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{3}{9}$	$\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{2}{9}$	$\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$	$\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{2}{9}$
=	$\frac{1}{45}$ + $\frac{2}{15}$ + $\frac{2}{15}$	$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$	$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$	$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	0	3	5	8
P(X=k)	$\frac{13}{45}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{8}{45}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 2 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 15 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird.Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der nach diesem Verfahren einsammelten Hausaufgaben. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 2 Hausaufgaben vom Typ 'Jungs' vorhanden sind, muss spätestens im 3-ten Versuch (wenn dann alle Hausaufgaben vom Typ 'Jungs' bereits gezogen und damit weg sind) eine Hausaufgabe vom Typ 'Mädchen' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 3 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3
P(X=k)	$\frac{15}{17}$	$\frac{15}{136}$	$\frac{1}{136}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

Ein Glücksrad hat drei Sektoren, die mit den Zahlen 1, 2 und 3 beschriftet sind. Es wird zwei mal gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Summe der Zahlen die bei den beiden Glücksraddrehungen erscheinen. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie groß müssen jeweils die Winkel der Sektoren sein?

Zufallsgröße X	2	3	4	5	6
P(X=k)	$\frac{121}{324}$	?	?	?	$\frac{1}{16}$

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(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Für X=2 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=2) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=2) = $\frac{121}{324}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{121}{324}$ und somit p1 = $\frac{11}{18}$ .

Ebenso gibt es für X=6 nur das Ereignis: '3'-'3', also dass zwei mal hintereinander '3' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '3' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '3' kommt, gelten: P(X=6) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=6) = $\frac{1}{16}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{1}{16}$ und somit p3 = $\frac{1}{4}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{11}{18}$ $- \frac{1}{4}$ = $\frac{36}{36}$ $- \frac{22}{36}$ $- \frac{9}{36}$ = $\frac{5}{36}$

Um nun noch die Mittelpunktswinkel der drei Sektoren zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 360° multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit eines Sektors mit Mittelpunktswinkel α gilt: p = $\frac{α}{360°}$

Somit erhalten wir:

α₁ = $\frac{11}{18}$ ⋅ 360° = 220°

α₂ = $\frac{5}{36}$ ⋅ 360° = 50°

α₃ = $\frac{1}{4}$ ⋅ 360° = 90°

Erwartungswerte

Beispiel:

Bei einer Tombola steht auf jedem zehnten Los 200 Punkte, auf jedem fünften Los 35 Punkte, auf jedem vierten Los 8 Punkte und auf allen anderen 1 Punkt. Wie viele Punkte bringt ein Los durchschnttlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Punkte auf einem Los.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	200	35	8	1
Zufallsgröße x_i	200	35	8	1
P(X=x_i)	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{9}{20}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$20$	$7$	$2$	$\frac{9}{20}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 200⋅ $\frac{1}{10}$ + 35⋅ $\frac{1}{5}$ + 8⋅ $\frac{1}{4}$ + 1⋅ $\frac{9}{20}$

= $20$ $+$ $7$ $+$ $2$ $+$ $\frac{9}{20}$
= $\frac{589}{20}$

≈ 29.45

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

In einer Urne sind 4 Kugeln, die mit 10€ beschriftet sind, 4 Kugeln, die mit 20€ und 9 Kugeln, die mit 24€ beschriftet sind. Bei dem Spiel bekommt man den Betrag, der auf der Kugel steht, ausbezahlt. Außerdem sind noch weitere 3 Kugeln in der Urne. Mit welchem Betrag müsste man diese beschriften, damit das Spiel bei einem Einsatz von 21,6€ fair wäre?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	10	20	24	?
Zufallsgröße x_i	10	20	24	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	-11.6	-1.6	2.4	x-21.6
P(X=x_i)	$\frac{4}{20}$	$\frac{4}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{3}{20}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$2$	$4$	$\frac{54}{5}$	$\frac{3}{20}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$- \frac{46.4}{20}$	$- \frac{6.4}{20}$	$\frac{21.6}{20}$	$\frac{3}{20}$ ⋅(x-21.6)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 21.6

$\frac{4}{20} \cdot 10 + \frac{4}{20} \cdot 20 + \frac{9}{20} \cdot 24 + \frac{3}{20} x$ = 21.6

2 + 4 + \frac{54}{5} + \frac{3}{20} x

= 21.6

$2 + 4 + \frac{54}{5} + \frac{3}{20} x$	=	$21,6$
$\frac{3}{20} x + \frac{84}{5}$	=	$21,6$	\|⋅ 20
$20 (\frac{3}{20} x + \frac{84}{5})$	=	$432$
$3 x + 336$	=	$432$	\| $- 336$
$3 x$	=	$96$	\|: $3$
$x$	=	$32$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{4}{20} \cdot (- 11,6) + \frac{4}{20} \cdot (- 1,6) + \frac{9}{20} \cdot 2,4 + \frac{3}{20} (x - 21,6)

= 0

- \frac{11,6}{5} - \frac{1,6}{5} + \frac{21,6}{20} + \frac{3}{20} \cdot x + \frac{3}{20} \cdot (- 21,6)

= 0

$- \frac{11,6}{5} - \frac{1,6}{5} + \frac{21,6}{20} + \frac{3}{20} \cdot x + \frac{3}{20} \cdot (- 21,6)$	=	0
$- 2,32 - 0,32 + 1,08 + \frac{3}{20} x - 3,24$	=	0
$\frac{3}{20} x - 4,8$	=	0	\|⋅ 20
$20 (\frac{3}{20} x - 4,8)$	=	0
$3 x - 96$	=	0	\| $+ 96$
$3 x$	=	$96$	\|: $3$
$x$	=	$32$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 32€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:• Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein • Der Einsatz soll 7€ betragen• Der minimale Auszahlungsbetrag soll 4€ sein• Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 30€ sein• Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad seinFinde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	4			30
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3			23
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	4			30
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3			23
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{3}$			$\frac{1}{23}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{23}$ = $\frac{26}{69}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{26}{69}$ = $\frac{43}{69}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	4			30
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3			23
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{3}$	$\frac{43}{138}$	$\frac{43}{138}$	$\frac{1}{23}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $\frac{3}{2}$ ) setzt.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	4	5.5	8.5	30
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-3	-1.5	1.5	23
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{3}$	$\frac{43}{138}$	$\frac{43}{138}$	$\frac{1}{23}$
Winkel	120°	112.17°	112.17°	15.65°
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{43}{92}$	$\frac{43}{92}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -3⋅ $\frac{1}{3}$ + -1.5⋅ $\frac{43}{138}$ + 1.5⋅ $\frac{43}{138}$ + 23⋅ $\frac{1}{23}$

= $- 1$ $- \frac{43}{92}$ $+$ $\frac{43}{92}$ $+$ $1$
= $- \frac{92}{92}$ $- \frac{43}{92}$ $+$ $\frac{43}{92}$ $+$ $\frac{92}{92}$
= $\frac{0}{92}$
= $0$

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 2 Karten der Farbe Herz und 2 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Bestimme den Erwartungswert für die Anzahl der Ziehungen, bis das erste Herz erscheint.
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 1-ten Versuch st: $\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 2-ten Versuch st: $\frac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Herz' im 3-ten Versuch st: $\frac{1}{6}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Ziehungen. bis das erste Herz gekommen ist.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3
Zufallsgröße x_i	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{1}{2}$ + 2⋅ $\frac{1}{3}$ + 3⋅ $\frac{1}{6}$

= $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{2}{3}$ $+$ $\frac{1}{2}$
= $\frac{3}{6}$ $+$ $\frac{4}{6}$ $+$ $\frac{3}{6}$
= $\frac{10}{6}$
= $\frac{5}{3}$

≈ 1.67

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Auf einen Schüleraustausch bewerben sich 12 Mädchen und 9 Jungs. Weil aber leider weniger Plätze zur Verfügung stehen, muss gelost werden. Wie viele Mädchen kann man bei den ersten 3 verlosten Plätzen erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
Mädchen -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{22}{133}$
Mädchen -> Mädchen -> Jungs	$\frac{99}{665}$
Mädchen -> Jungs -> Mädchen	$\frac{99}{665}$
Mädchen -> Jungs -> Jungs	$\frac{72}{665}$
Jungs -> Mädchen -> Mädchen	$\frac{99}{665}$
Jungs -> Mädchen -> Jungs	$\frac{72}{665}$
Jungs -> Jungs -> Mädchen	$\frac{72}{665}$
Jungs -> Jungs -> Jungs	$\frac{6}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'Mädchen' ist: $\frac{6}{95}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'Mädchen' ist: $\frac{72}{665}$ + $\frac{72}{665}$ + $\frac{72}{665}$ = $\frac{216}{665}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'Mädchen' ist: $\frac{99}{665}$ + $\frac{99}{665}$ + $\frac{99}{665}$ = $\frac{297}{665}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'Mädchen' ist: $\frac{22}{133}$

Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl an Mädchen unter den drei verlosten Plätzen.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	1	2	3
P(X=x_i)	$\frac{6}{95}$	$\frac{216}{665}$	$\frac{297}{665}$	$\frac{22}{133}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{216}{665}$	$\frac{594}{665}$	$\frac{66}{133}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{6}{95}$ + 1⋅ $\frac{216}{665}$ + 2⋅ $\frac{297}{665}$ + 3⋅ $\frac{22}{133}$

= $0$ $+$ $\frac{216}{665}$ $+$ $\frac{594}{665}$ $+$ $\frac{66}{133}$
= $\frac{0}{665}$ $+$ $\frac{216}{665}$ $+$ $\frac{594}{665}$ $+$ $\frac{330}{665}$
= $\frac{1140}{665}$
= $\frac{12}{7}$

≈ 1.71

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 16€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 8€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 2€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	Mäxle	Pasch	60er
Zufallsgröße x_i	16	8	2
P(X=x_i)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{8}{9}$	$\frac{4}{3}$	$\frac{5}{9}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 16⋅ $\frac{1}{18}$ + 8⋅ $\frac{1}{6}$ + 2⋅ $\frac{5}{18}$

= $\frac{8}{9}$ $+$ $\frac{4}{3}$ $+$ $\frac{5}{9}$
= $\frac{8}{9}$ $+$ $\frac{12}{9}$ $+$ $\frac{5}{9}$
= $\frac{25}{9}$

≈ 2.78

Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X