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Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Beispiel:

(Alle Sektoren sind Vielfache
von Achtels-Kreisen)

Zwei gleiche Glücksräder wie rechts in der Abbildung werden gleichzeitig gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Differenz der größeren Zahl minus der kleineren Zahl der beiden Glücksräder. Gib alle Werte an, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

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Für die Zufallsgröße X: 'Differenz der beiden Glücksräder' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	0	1	2
zugehörige Ereignisse	1 - 1 2 - 2 3 - 3	1 - 2 2 - 1 2 - 3 3 - 2	1 - 3 3 - 1

Zufallsgröße WS-Verteilung

Beispiel:

Ein Würfel mit nebenstehendem Netz wird 2 mal geworfen. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Summe der Augenzahlen der beiden Würfe. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Augenzahlen' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 6	X = 7	X = 8	X = 9	X = 10
zugehörige Ergebnisse	3 - 3	3 - 4 4 - 3	3 - 5 4 - 4 5 - 3	4 - 5 5 - 4	5 - 5

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 6	X = 7	X = 8	X = 9	X = 10
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{3}$
=	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{9}$	$\frac{1}{9}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	6	7	8	9	10
P(X=k)	$\frac{1}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{9}$

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Beispiel:

In einem Kartenstapel sind nur noch zwei Karten mit dem Wert 4, vier Karten mit dem Wert 5 und vier 8er.Es werden zwei Karten ohne Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der Werte der beiden gezogenen Karten. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.

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Für die Zufallsgröße X: 'Summe der beiden Karten' sind folgende Werte möglich:

Zufallsgröße X	X = 8	X = 9	X = 10	X = 12	X = 13	X = 16
zugehörige Ergebnisse	4 - 4	4 - 5 5 - 4	5 - 5	4 - 8 8 - 4	5 - 8 8 - 5	8 - 8

Jetzt müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erst mal (mit Hilfe eines Baums) berechnet werden.

Und somit können wir dann auch die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße berechnen.

Zufallsgröße X	X = 8	X = 9	X = 10	X = 12	X = 13	X = 16
zugehörige Wahrscheinlichkeit P(X)	$\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{1}{9}$	$\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{2}{9}$	$\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{3}{9}$	$\frac{1}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{2}{9}$	$\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$ + $\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{4}{9}$	$\frac{2}{5}$ ⋅ $\frac{3}{9}$
=	$\frac{1}{45}$	$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{4}{45}$ + $\frac{4}{45}$	$\frac{8}{45}$ + $\frac{8}{45}$	$\frac{2}{15}$

Hiermit ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X:

Zufallsgröße X	8	9	10	12	13	16
P(X=k)	$\frac{1}{45}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{45}$	$\frac{16}{45}$	$\frac{2}{15}$

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Beispiel:

Aus einem Kartenstapel mit 5 Karten der Farbe Herz und 3 weiteren Karten soll solange eine Karte gezogen werden, bis eine Herz-Karte erscheint. Die Zufallsgröße X beschreibt dabei die Anzahl der Ziehungen, bis die erste Herz-Karte gezogen worden ist. Stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsgröße X auf.
(Denk daran, die Brüche vollständig zu kürzen!)

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Da ja nur 3 Karten vom Typ 'kein Herz' vorhanden sind, muss spätestens im 4-ten Versuch (wenn dann alle Karten vom Typ 'kein Herz' bereits gezogen und damit weg sind) eine Karte vom Typ 'Herz' gezogen werden.

Das heißt die Zufallsgröße X kann nur Werte zwischen 1 und 4 annehmen.

Aus dem reduzierten Baumdiagramm rechts kann man nun die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X übernehmen:

Zufallsgröße X	1	2	3	4
P(X=k)	$\frac{5}{8}$	$\frac{15}{56}$	$\frac{5}{56}$	$\frac{1}{56}$

Zufallsgröße rückwärts

Beispiel:

In einer Urne sind 15 Kugeln, die mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. Dabei gibt es nur die Zahlen 1, 6 und 8 als Beschriftung. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Die Zufallsgröße X beschreibt das Produkt der Zahlen der beiden gezogenen Kugeln. Bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X sind nur der erste und der letzte Wert bekannt (siehe Tabelle). Wie viele Kugeln mit den oben genannten Zahlen als Beschriftung müssen jeweils in der Urne sein?

Zufallsgröße X	1	6	8	36	48	64
P(X=k)	$\frac{9}{25}$	?	?	?	?	$\frac{1}{25}$

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Für X=1 gibt es nur das Ereignis: '1'-'1', also dass zwei mal hintereinander '1' kommt.

Wenn p1 die Wahrscheinlichkeit von '1' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '1' kommt, gelten: P(X=1) = p1 ⋅ p1 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=1) = $\frac{9}{25}$ heraus lesen, also muss gelten:

p1 ⋅ p1 = (p1)² = $\frac{9}{25}$ und somit p1 = $\frac{3}{5}$ .

Ebenso gibt es für X=64 nur das Ereignis: '8'-'8', also dass zwei mal hintereinander '8' kommt.

Wenn p3 die Wahrscheinlichkeit von '8' ist, dann muss also für die Wahrscheinlichkeit, dass zwei mal hintereinander '8' kommt, gelten: P(X=64) = p3 ⋅ p3 (siehe Baumdiagramm).

Aus der Tabelle können wir aber P(X=64) = $\frac{1}{25}$ heraus lesen, also muss gelten:

p3 ⋅ p3 = (p3)² = $\frac{1}{25}$ und somit p3 = $\frac{1}{5}$ .

Da es aber nur drei Optionen gibt, muss p1 + p2 + p3 = 1 gelten, also

p2 = 1 - p1 - p3 = $1$ $- \frac{3}{5}$ $- \frac{1}{5}$ = $\frac{5}{5}$ $- \frac{3}{5}$ $- \frac{1}{5}$ = $\frac{1}{5}$

Um nun noch die jeweilige Anzahl der Kugeln mit gleicher Zahl zu ermittlen, müssen wir einfach die Wahrscheinlichkeit mit 15 multiplizieren, weil ja für die Wahrscheinlichkeit für eine der n Kugeln mit einer bestimmten Zahl gilt: p = $\frac{n}{15}$

Somit erhalten wir:

n₁ = $\frac{3}{5}$ ⋅ 15 = 9

n₆ = $\frac{1}{5}$ ⋅ 15 = 3

n₈ = $\frac{1}{5}$ ⋅ 15 = 3

Erwartungswerte

Beispiel:

Bei einer Tombola steht auf jedem zehnten Los 300 Punkte, auf jedem fünften Los 30 Punkte, auf jedem vierten Los 12 Punkte und auf allen anderen 1 Punkt. Wie viele Punkte bringt ein Los durchschnttlich ein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der Punkte auf einem Los.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	300	30	12	1
Zufallsgröße x_i	300	30	12	1
P(X=x_i)	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{9}{20}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$30$	$6$	$3$	$\frac{9}{20}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 300⋅ $\frac{1}{10}$ + 30⋅ $\frac{1}{5}$ + 12⋅ $\frac{1}{4}$ + 1⋅ $\frac{9}{20}$

= $30$ $+$ $6$ $+$ $3$ $+$ $\frac{9}{20}$
= $\frac{789}{20}$

≈ 39.45

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 3 blauen, 9 roten, 6 grünen und 6 weißen Kugeln eine Kugel ziehen. Erwischt er eine blaue, so erhält er 24€. Bei rot erhält er 8€ und bei grün erhält er 16€. Welchen Betrag muss er bei weiß erhalten damit das Spiel fair ist, wenn der Einsatz 18€ beträgt ?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Auszahlung.

Die Zufallsgröße Y beschreibt den Gewinn, also Auszahlung - Einsatz.

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Ereignis	blau	rot	grün	weiß
Zufallsgröße x_i	24	8	16	x
Zufallsgröße y_i (Gewinn)	6	-10	-2	x-18
P(X=x_i)	$\frac{3}{24}$	$\frac{9}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{6}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$3$	$3$	$4$	$\frac{6}{24}$ ⋅ x
y_i ⋅ P(Y=y_i)	$\frac{3}{4}$	$- \frac{15}{4}$	$- \frac{1}{2}$	$\frac{6}{24}$ ⋅(x-18)

Um den gesuchten Auszahlungsbetrag zu berrechnen hat man zwei Möglichkeiten:

Entweder stellt man eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags gleich des Einsatzes ist ...

E(X) = 18

$\frac{3}{24} \cdot 24 + \frac{9}{24} \cdot 8 + \frac{6}{24} \cdot 16 + \frac{6}{24} x$ = 18

3 + 3 + 4 + \frac{6}{24} x

= 18

$3 + 3 + 4 + \frac{1}{4} x$	=	$18$
$\frac{1}{4} x + 10$	=	$18$	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x + 10)$	=	$72$
$x + 40$	=	$72$	\| $- 40$
$x$	=	$32$

... oder man stellt eine Gleichung auf, so dass der Erwartungswert des Gewinns gleich null ist:

E(Y) = 0

\frac{3}{24} \cdot 6 + \frac{9}{24} \cdot (- 10) + \frac{6}{24} \cdot (- 2) + \frac{6}{24} (x - 18)

= 0

\frac{3}{4} - \frac{15}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot x + \frac{1}{4} \cdot (- 18)

= 0

$\frac{3}{4} - \frac{15}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot x + \frac{1}{4} \cdot (- 18)$	=	0
$\frac{3}{4} - \frac{15}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} x - \frac{9}{2}$	=	0
$\frac{1}{4} x - 8$	=	0	\|⋅ 4
$4 (\frac{1}{4} x - 8)$	=	0
$x - 32$	=	0	\| $+ 32$
$x$	=	$32$

In beiden Fällen ist also der gesuchte Betrag: 32€

Erwartungswert ganz offen

Beispiel:

Eine Klasse möchte beim Schulfest ein Glücksrad mit Spielgeld anbieten. Dabei soll das Glücksrad in Sektoren aufgeteilt werden, in denen der Auszahlungsbetrag (z.B. 3€) drin steht. Nach langer Diskussion einigt man sich auf folgende Punkte:• Das Spiel mit dem Glücksrad muss fair sein • Der Einsatz soll 5€ betragen• Der minimale Auszahlungsbetrag soll 1€ sein• Der maximale Auszahlungsbetrag soll soll 22€ sein• Es sollen genau 4 Sektoren mit verschiedenen Auszahlungsbeträgen auf dem Glücksrad seinFinde eine Möglichkeit für solch ein Glücksrad und trage diese in die Tabelle ein.

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Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Als erstes schreiben wir mal die Vorgaben in die Tabelle rein.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			22
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-4			17
P(X) = P(Y)
Y ⋅ P(Y)

Jetzt setzen wir die Wahrscheinlichkeiten so, dass der negative Beitrag vom minimalen Betrag zum Erwartungswert den gleichen Betrag hat wie der positve vom maximalen Betrag.(dazu einfach jeweils den Gewinn in den Nenner der Wahrscheinlichkeit)

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			22
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-4			17
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{4}$			$\frac{1}{17}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Die bisherigen Optionen vereinen eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{17}$ = $\frac{21}{68}$
Als Restwahrscheinlichkeit für die verbleibenden Beträge bleibt nun also 1- $\frac{21}{68}$ = $\frac{47}{68}$ .
Diese wird auf die beiden verbleibenden Optionen verteilt:

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1			22
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-4			17
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{4}$	$\frac{47}{136}$	$\frac{47}{136}$	$\frac{1}{17}$
Y ⋅ P(Y)	$- 1$			$1$

Damit nun der Erwartungswert =0 wird, müssen sich die beiden noch verbleibenden Anteile daran gegenseitig aufheben. Dies erreicht man, in dem man den Gewinn jeweils gleich 'weit vom Einsatz weg' (nämlich $2$ ) setzt.

	Feld1	Feld2	Feld3	Feld4
X (z.B. Auszahlung)	1	3	7	22
Y Gewinn (Ausz. - Einsatz)	-4	-2	2	17
P(X) = P(Y)	$\frac{1}{4}$	$\frac{47}{136}$	$\frac{47}{136}$	$\frac{1}{17}$
Winkel	90°	124.41°	124.41°	21.18°
Y ⋅ P(Y)	$- 1$	$- \frac{47}{68}$	$\frac{47}{68}$	$1$

Wenn man nun den Erwartungswert berechnet, kommt der gesuchte heraus:

E(Y)= -4⋅ $\frac{1}{4}$ + -2⋅ $\frac{47}{136}$ + 2⋅ $\frac{47}{136}$ + 17⋅ $\frac{1}{17}$

= $- 1$ $- \frac{47}{68}$ $+$ $\frac{47}{68}$ $+$ $1$
= $- \frac{68}{68}$ $- \frac{47}{68}$ $+$ $\frac{47}{68}$ $+$ $\frac{68}{68}$
= $\frac{0}{68}$
= $0$

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Beispiel:

Eine Lehrerin sammelt die Hausaufgaben von einigen Schülern ein, um zu kontrollieren, ob diese auch ordentlich gemacht wurden. Aus Zeitgründen möchte sie aber nicht alle, sondern nur ein paar wenige einsammeln, welche durch ein Losverfahren ausgewählt werden. Aus (der unbegründeten) Angst ungerecht behandelt zu werden, bestehen die 3 Jungs darauf, dass unbedingt immer eine Hausaufgabe eines der 18 Mädchen der Klasse eingesammelt wird. Deswegen wird solange gelost, bis das erste Mädchen gezogen wird. Mit wie vielen Hausaufgabenüberprüfungen muss die Lehrerin im Durchschnitt rechnen?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 1-ten Versuch st: $\frac{6}{7}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 2-ten Versuch st: $\frac{9}{70}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 3-ten Versuch st: $\frac{9}{665}$

Die Wahrscheinlichkeit für ein 'Mädchen' im 4-ten Versuch st: $\frac{1}{1330}$

Die Zufallsgröße X beschreibt Anzahl der eingesammelten Hausaufgaben bis das erste Mädchen gezogen wird.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	1	2	3	4
Zufallsgröße x_i	1	2	3	4
P(X=x_i)	$\frac{6}{7}$	$\frac{9}{70}$	$\frac{9}{665}$	$\frac{1}{1330}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{6}{7}$	$\frac{9}{35}$	$\frac{27}{665}$	$\frac{2}{665}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 1⋅ $\frac{6}{7}$ + 2⋅ $\frac{9}{70}$ + 3⋅ $\frac{9}{665}$ + 4⋅ $\frac{1}{1330}$

= $\frac{6}{7}$ $+$ $\frac{9}{35}$ $+$ $\frac{27}{665}$ $+$ $\frac{2}{665}$
= $\frac{570}{665}$ $+$ $\frac{171}{665}$ $+$ $\frac{27}{665}$ $+$ $\frac{2}{665}$
= $\frac{770}{665}$
= $\frac{22}{19}$

≈ 1.16

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Beispiel:

Ein Spieler darf aus einer Urne mit 7 blauen und 3 roten Kugeln 3 Kugeln ohne zurücklegen ziehen. Zieht er dabei 3 blaue Kugeln, so erhält er 2401€, bei 2 blauen bekommt er noch 49€, bei einer 7€. Ist gar keine blaue Kugel dabei, erhält er 0€. Welchen Gewinn kann er erwarten?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
blau -> blau -> blau	$\frac{7}{24}$
blau -> blau -> rot	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> blau	$\frac{7}{40}$
blau -> rot -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> blau -> blau	$\frac{7}{40}$
rot -> blau -> rot	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> blau	$\frac{7}{120}$
rot -> rot -> rot	$\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 0 mal 'blau' ist: $\frac{1}{120}$

Die Wahrscheinlichkeit für 1 mal 'blau' ist: $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ + $\frac{7}{120}$ = $\frac{7}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 2 mal 'blau' ist: $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ + $\frac{7}{40}$ = $\frac{21}{40}$

Die Wahrscheinlichkeit für 3 mal 'blau' ist: $\frac{7}{24}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	0	1	2	3
Zufallsgröße x_i	0	7	49	2401
P(X=x_i)	$\frac{1}{120}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{24}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$0$	$\frac{49}{40}$	$\frac{1029}{40}$	$\frac{16807}{24}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 0⋅ $\frac{1}{120}$ + 7⋅ $\frac{7}{40}$ + 49⋅ $\frac{21}{40}$ + 2401⋅ $\frac{7}{24}$

= $0$ $+$ $\frac{49}{40}$ $+$ $\frac{1029}{40}$ $+$ $\frac{16807}{24}$
= $\frac{0}{120}$ $+$ $\frac{147}{120}$ $+$ $\frac{3087}{120}$ $+$ $\frac{84035}{120}$
= $\frac{87269}{120}$

≈ 727.24

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Beispiel:

Ein leidenschaftlicher Mäxle-Spieler möchte eine Mäxle-Spielautomat bauen. Wie beim richtigen Mäxle sollen auch hier zwei normale Würfel gleichzeitig geworfen werden (bzw. dies eben simuliert). Bei einem Mäxle (also eine 1 und eine 2) soll dann 12€ ausbezahlt werden, bei einem Pasch (also zwei gleiche Augenzahlen) 7€ und bei 61-65 also (also ein Würfel 6 und der andere keine 6) noch 2€. Wie groß müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair wird?
(Denk daran, den Bruch vollständig zu kürzen!)

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Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Ereignis	P
1 -> 1	$\frac{1}{36}$
1 -> 2	$\frac{1}{36}$
1 -> 3	$\frac{1}{36}$
1 -> 4	$\frac{1}{36}$
1 -> 5	$\frac{1}{36}$
1 -> 6	$\frac{1}{36}$
2 -> 1	$\frac{1}{36}$
2 -> 2	$\frac{1}{36}$
2 -> 3	$\frac{1}{36}$
2 -> 4	$\frac{1}{36}$
2 -> 5	$\frac{1}{36}$
2 -> 6	$\frac{1}{36}$
3 -> 1	$\frac{1}{36}$
3 -> 2	$\frac{1}{36}$
3 -> 3	$\frac{1}{36}$
3 -> 4	$\frac{1}{36}$
3 -> 5	$\frac{1}{36}$
3 -> 6	$\frac{1}{36}$
4 -> 1	$\frac{1}{36}$
4 -> 2	$\frac{1}{36}$
4 -> 3	$\frac{1}{36}$
4 -> 4	$\frac{1}{36}$
4 -> 5	$\frac{1}{36}$
4 -> 6	$\frac{1}{36}$
5 -> 1	$\frac{1}{36}$
5 -> 2	$\frac{1}{36}$
5 -> 3	$\frac{1}{36}$
5 -> 4	$\frac{1}{36}$
5 -> 5	$\frac{1}{36}$
5 -> 6	$\frac{1}{36}$
6 -> 1	$\frac{1}{36}$
6 -> 2	$\frac{1}{36}$
6 -> 3	$\frac{1}{36}$
6 -> 4	$\frac{1}{36}$
6 -> 5	$\frac{1}{36}$
6 -> 6	$\frac{1}{36}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Mäxle' ist:

P('1'-'2') + P('2'-'1')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{18}$

Die Wahrscheinlichkeit für 'Pasch' ist:

P('1'-'1') + P('2'-'2') + P('3'-'3') + P('4'-'4') + P('5'-'5') + P('6'-'6')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit für '60er' ist:

P('1'-'6') + P('2'-'6') + P('3'-'6') + P('4'-'6') + P('5'-'6') + P('6'-'1') + P('6'-'2') + P('6'-'3') + P('6'-'4') + P('6'-'5')
= $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ + $\frac{1}{36}$ = $\frac{5}{18}$

Die Zufallsgröße X beschreibt den durch die beiden Würfel ausbezahlten Euro-Betrag.

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Ereignis	Mäxle	Pasch	60er
Zufallsgröße x_i	12	7	2
P(X=x_i)	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{18}$
x_i ⋅ P(X=x_i)	$\frac{2}{3}$	$\frac{7}{6}$	$\frac{5}{9}$

Der Erwartungswert verechnet sich aus der Summe der einzelnen Produkte:

E(X)= 12⋅ $\frac{1}{18}$ + 7⋅ $\frac{1}{6}$ + 2⋅ $\frac{5}{18}$

= $\frac{2}{3}$ $+$ $\frac{7}{6}$ $+$ $\frac{5}{9}$
= $\frac{12}{18}$ $+$ $\frac{21}{18}$ $+$ $\frac{10}{18}$
= $\frac{43}{18}$

≈ 2.39

Aufgabenbeispiele von Erwartungswert

Zufallsgröße (ohne Wahrscheinlichkeit)

Zufallsgröße WS-Verteilung

Zufallsgr. WS-Vert. (auch ohne zur.)

Zufallsgr. WS-Vert. (ziehen bis erstmals ...)

Zufallsgröße rückwärts

Erwartungswerte

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Einsatz für faires Spiel bestimmen

Erwartungswerte der Zufallsgrößen X und Y

Erwartungswert ganz offen

Eine (von vielen möglichen) Lösungen:

Erwartungswerte bei 'Ziehen bis erstmals ...'

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit gesuchten Anzahlen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X

Erwartungswerte mit best. Optionen im WS-Baum

Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ausgänge

Erwartungswert der Zufallsgröße X